Základy piezoelektřiny pro aplikace Jiří Erhart.proince 11 Tato prezentace je polufinancována Evropkým ociálním fondem a tátním rozpočtem Čeké republiky. 1
ÚVOD
Co je to za jev? Kovová membrána čími divným LED blikají, proč? J.Erhart: Demontrujeme piezoelektrický jev, Matematika, fyzika, informatika (1) 16-19 3
Trocha hitorie 188, 1881 - Pierre a Jacque Curieovi, piezoelektřina objevena na turmalínu a křemeni 1917 A.Langevin generace ultrazvuku, onar 191 feroelektřina - J.Valaek: Piezoelectricity and allied phenomena in Rochelle alt, Phy.Rev. 17 (191) 475 196 W.Cady tabilizace frekvence ocilačního obvodu pomocí křemenného rezonátoru 1944-1946 UA, R, Japonko feroelektrická keramika BaTiO 3 1954 B.Jaffe et al PZT keramika 6. léta krytaly LiNbO 3 a LiTaO 3 7.léta feroelektrický polymer PVDF 8.léta piezoelektrické kompozity 9.léta domémové inženýrtví v krytalech PZN-PT, PMN-PT 4
Předchůdci piezoelektřiny Pyroelektřina turmalín lapi electricu (Na,Ca)(Mg,Fe) 3 B 3 Al 6 i 6 (O,OH,F) 31 Franz Ulrich Theodor Aepinu (174 18) polární jev Tourmaline crytal. Carl Linnaeu (177 1778) David Brewter pyroelektřina 184 pyrooheň David Brewter (1781 1868) 5
Pyroelektřina A.C.Becquerel William Thomon (Lord Kelvin) První měření pyroelektřiny teorie pyroelektřiny 188 1878, 1893 P p θ Antoine Céar Becquerel (1788 1878) William Thomon, Lord Kelvin (184 197) 6
Objev piezoelektřiny Krytal turmalínu, 188 8.4.188 ociété minéralogique de France 4.8.188 Académie de cience P d T Pierre Curie (1859 196) Paul-Jacque Curie (1856 1941) Curie J, Curie P (188) Développement, par preion, de l électricité polaire dan le critaux hémièdre à face inclinée. Compte rendu de l Académie de cience 91: 94; 383. Curie J, Curie P (1881) Contraction et dilatation produite par de tenion électrique dan le critaux hémièdre à face inclinée. Compte rendu de l Académie de cience 93: 1137-114. 7
Zákonitoti jevu Lineární jev, náboj nezávií na délce krytalu, ale na velikoti ploch Exituje díky aniotropii krytalu (polární oy), amorfní látky vlatnot nemají Curieův princip Prvky ymetrie vlivu způobující nějaký jev muejí být v tomto jevu obaženy. Krytal pod vlivem vnějšího pole má pouze ty prvky ymetrie polečné ymetrii krytalu amotného a ymetrii vnějšího vlivu. Např.: mechanický tlak ve měru [111] na kubický krytal o ymetrii m3m vede na ymetrii napjatého krytalu rovnou 3m 8
Piezoelektřina přímý jev obrácený jev mechanický tlak elektrický náboj elektrické pole mechanická deformace omezena na některé třídy krytalové ymetrie ( z 3 možných) 1,, m,, mm, 4, 4, 4, 4mm, 4m, 3, 3, 3m, 6, 6, 6, 6mm, 6m, 43m, 3 Příklad: io (křemen) ymetrie 3 9
Měřící technika a metoda Přímý jev (bratři Curieovi) Thomponův elektrometr Nulovací metoda ΔQVΔC (Danielův článek 1.1V, 1836) 1
Měřící technika a metoda Obrácený jev (bratři Curieovi) Holtzův troj (indukční elektrika, VN) Deformace měřena přímým jevem, opticky 11
Původ piezoelektřiny Bratři Curieovi molekulární teorie 1
První teorie a aplikace piezoelektřiny Tenzorová analýza pro popi anizotropních vlatnotí krytalů 189 Woldemar Voigt: Lehrbuch der Kritallographie, Teubner Verlag 191 První aplikace elektrometr, radioaktivita (Maria kłodowka-curie) Woldemar Voigt (185 1919) Curieův elektrometr Maria kłodowka- Curie (1867 1934) 13
Jevy ve vázaných polích Heckmannův diagram Piezoelektřina E T + d D λ i d λµ iµ T µ µ + ε iλ T ij E E j i Jona Ferdinand Gabriel Lippmann (1845 191) E λ i D λµ g T iµ µ T µ + g iλ + β D T ij i D j 14
Feroelektřina Joeph Valaek, 19, eignetteova ůl NaKC 4 H 4 O 6.4H O Joeph Valaek (1897-1993) Hyterezní myčka eignetteovy oli uchý krytal, o C Valaek J (191) Piezoelectricity and allied phenomena in Rochelle alt. Phy. Rev. 17: 475-481 15
Křemen io přírodní a yntetický, quartz hodinky Warren Perry Maon (19-1986) Křemenný krytal W.P.Maon: U patent No.,81,45 (1937) první patent na hodinkový křemenný rezonátor (ladička) 16
Křemenný rezonátor W.G.Cady první tandard frekvence - U National Bureau of tandard, 191 196 tabilizace kmitočtu rádiového vyílače Walter Guyton Cady (1874 1974) 17
Elektromechanické vlatnoti Přímá konverze mezi mechanickou a elektrickou energií Lineární jevy - Piezoelektřina a Pyroelektřina Nelineární jevy - Feroelektřina, Elektrotrikce Analogie v magnetických materiálech Piezomagnetické vlatnoti, magnetotrikce, magnetoelektrické vlatnoti, atd. 18
Krytalografické požadavky pro exitenci piezoelektřiny Necentroymetrické třídy (kromě třídy 43) piezoelektrických krytalografických tříd Polární třídy (1) jediná polární oa 1,, m, mm, 4, 4mm, 3, 3m, 6, 6mm Polárně-neutrální třídy (1) více polárních o, 4, 4, 4m, 3, 6, 6, 6m, 43m, 3 19
Pyroelektřina Přímý jev Změna teploty elektrický náboj Obrácený jev (elektrokalorický jev) Elektrické pole generace nebo aborbce tepla Anizotropie Example: Lithium tetraborate Li B 4 O 7, ymmetrie 4mm
Krytalografické požadavky pro exitenci pyroelektřiny Polární třídy ymetrie (1) jediná polární oa 1,, m, mm, 4, 4mm, 3, 3m, 6, 6mm Pyroelektrická polarizace látky (dipólový moment) měr polární oy 1
Feroelektřina pontánní dipólové momenty pyroelektřina přeorientovatelnou polarizací Elektrická analogie permanentních magnetů Charakteritické vlatnoti Feroelektrické domény a doménové těny Hyterezní myčka D-E (-E)
BaTiO 3 paraelektrická fáze Perovkitová truktura A + B 4+ O - 3
BaTiO 3 feroelektrické fáze Exituje několik různých měrů pontánní polarizace m3m 4mm mm 3m 4
Domény, doménové těny Doména pojitá oblat e tejnou orientací pontánního dipólového momentu (polarizace) Doménové těny rozhraní mezi doménami Nabité těny Neutrální těny Feroelektrické domény exitují ve feroelektrické fázi Fázový přechod Curieova teplota 5
D-E hyterezní myčka 6
-E hyterezní myčka T. Liu, C.. Lynch: Domain engineered relaxor ferroelectric ingle crytal Continuum Mech. Thermodyn. 18 (6) 119 135 7
Domény v keramice BaTiO 3 m3m 4mm Proce zániku doménové truktury při zahřívání keramiky BaTiO 3 nad Curieovu teplotu (a) gradient teploty rovnoběžný (b) gradient teploty kolmý na doménové těny ang-beom Kim, Doh-Yeon Kim:J. Am. Ceram. oc., 83 [6] 1495 98 () 8
Elektrotrikce Nelineární jev Deformace je úměrná druhé mocnině intenzity elektrického pole Nejou žádné požadavky na ymetrii materiálu, exituje ve všech látkách 9
Hierarchie elektromechanických jevů Piezo- io, GaPO 4, AlPO 4,... Pyro- Li B 4 O 7,... Fero- BaTiO 3, PbTiO 3, PZT, KNbO 3, TG, KDP,... 3
Piezoelektrické materiály Monokrytaly Polykrytaly (keramika) Polymery Kompozity Tenké vrtvy 31
Monokrytaly α-quartz (io ),α-berlinite (AlPO 4 ),Galium Orthophophate (GaPO 4 ), Langaite (La 3 Ga 5 io 14 ), Langatite (La 3 Ga 5.5 Ta.5 O 14 ), Langanite (La 3 Ga 5.5 Nb.5 O 14 ) Lithium Tetraborate (Li B 4 O 7 ) Lithium Niobate (LiNbO 3 ), Lithium Tantalate (LiTaO 3 ) Perovkity - Lead Titanate (PbTiO 3 ), Barium Titanate (BaTiO 3 ), Potaium Niobate (KNbO 3 ) Tuhé roztoky - (1-x)Pb(Mg 1/3 Nb /3 )O 3 xpbtio 3 (PMN-PT), (1- x) Pb(Zn 1/3 Nb /3 )O 3 xpbtio 3 (PZN-PT) Rochelle alt, KDP, ADP, KTP, 3
LiNbO 3 a LiTaO 3 Objeveny v 6.letech, yntetické krytaly vyoká Curieova teplota 1195 o C a 61 o C Aplikace v optice a pro rezonátory BAW a AW LiNbO 3 LiTaO 3 33
Tuhé roztoky - perovkity (1-x)Pb(Mg 1/3 Nb /3 )O 3 xpbtio 3 (PMN-PT) (1-x)Pb(Zn 1/3 Nb /3 )O 3 xpbtio 3 (PZN-PT) 3 Cubic PMN-PT Tranition Temperature (ºC) 1-1 Tetragonal Rhombohedral.1. Curie Temperature (ºC) 1-1 Poled Unpoled Tm Td Cubic Peudo-cubic Region I Electrotrictive Region III Relaxor Piezo..1..3.4.5 MOLE (x) PT Tetragonal Normal Piezo. PZN x PT 34
Doménové inženýrtví Piezoelektrický koeficient je zvýšen vhodnou polarizací E E Krytal řez d 33 [pc/n] k 33 [%] PZN (111) 83 38 (1)eng 11 85 PZN-8%PT (111) 84 39 (1)eng 5 94 PMN-33%PT (1)eng 8 94 J.Kuwata, K.Uchino,.Nomura: Dielectric and Piezoelectric Propertie of.91pb(zn1/3nb/3)o3-.9pbtio3 ingle Crytal, Jpn.J.Appl.Phy. 1,9 (198), 198-13 35
Polykrytaly (keramika) ložení polykrytalu ze zrn (zrno o velikoti 1-1μm) Polarizace elektrickým polem feroelektrické látky ( mm ) E P Před polarizací Texturovaná keramika po polarizaci 36
Piezoelektrická keramika PZT keramika Pb(Zr x Ti 1-x )O 3 6 D 8 D 37
Texturovaná keramika Texturovaná zrna G.L.Meing et al: Templated Grain Growth of Piezoelectric ceramic, Critical Review in olid tate and Material cience 9 (4) 45-96 38
Texturovaná keramika Textura zrna a jeho upořádání G.L.Meing et al: Templated Grain Growth of Piezoelectric ceramic, Critical Review in olid tate and Material cience 9 (4) 45-96 39
Texturovaná keramika Textura zrn G.L.Meing et al: Templated Grain Growth of Piezoelectric ceramic, Critical Review in olid tate and Material cience 9 (4) 45-96 4
Piezoelektrické polymery PVDF (- CH CF -, β-fáze), F C F F C F F C F dipólový moment C C C H H H H H H H.Kawai: The Piezoelectricity of Poly(Vinylidene Fluoride), Jpn.J.Appl.Phy. 8 (1969) 975-976 Heiji Kawai (191-?) Eiichi Fukada (19) Copolymer P(VDF-TrFE), Electrically poled - m, and tretched - Bone, colagen, DNA, 41
Bublinkový polypropylen - feroelektret Dutinky uvnitř nabité dipólové momenty Velké piezoelektrické vlatnoti, nízká akutická impedance, měkké a flexibilní 4
Piezoelektrické kompozity Dvě a více fází Paralelní (a) a ériové (b) pojení fází ériové pojení d eff 33 v (1) d v (1) 33 (1) () 33 () 33 Paralelní pojení ε ε + v + v () () d ε () 33 (1) 33 ε (1) 33 (1) (1) () v d33 33 d eff + 33 (1) () v 33 + v v () () d () 33 (1) 33 (1) 33 a) b) 43
Piezoelektrické kompozity Efektivní kombinace elektromechanických vlatnotí Vlatnoti: Zeílené Zcela nové - 1-3 -3 44
Polymer + keramika Efektivní hydrotatický koeficient 45
Piezoelektrické vlatnoti d 33 [pc/n] 6 15 84 86 35 31 8 16 cymbal compoit e PMN- PT PZN- PT oft PZT hard PZT BaTiO 3 PbTiO 3 KNbO 3 PVDF polym er LiNbO 3 LiTaO 3 α- io 46
Závěrem k úvodu Přímá konverze energie je využitelná v mnoha komerčních zařízeních enzory, aktuátory a převodníky pro automatizaci a klízení energie mart materiály a truktury Elektromechanické vlatnoti jou důležitými vlatnotmi pro dielektrické materiály Anizotropie a mikrotruktura je záadní 47
PIEZOELEKTŘINA A FEROELEKTŘINA 48
Onova Krytalografická ymetrie Tenzorové vlatnoti tavové rovnice Termodynamická teorie fázových přechodů Závěr 49
Krytalografie Piezoelektrický materiál anizotropní médium Keramika mm Plošně ortotropní v rovině kolmo ke měru polarizace x 3 x x 1 5
Lineární tavové rovnice Vázané veličiny mechanické (napětí/deformace), tepelné (entropie/teplota) a elektrické (elektrické pole/indukce) ij D i d σ α E ijkl ikl E kl T T T kl kl kl + + ε + d p kij T ik T k E E k E k k + + α + p T i E ij Θ Θ C Θ Θ 51
ymetrie tenzorových ouřadnic Elatické jikl ijlk klij Elektrotrikční Qklij Qlkij Qklji [ V ][ V ] Piezoelektrické dijk dikj V[ V ] Dielektrické (tepelná roztažnot, index lomu, atd.) Pyroelektrické ijkl ε ij ε ji p j [[ V ][ V ]] Pro rovnání: ymetrie tenzoru optické aktivity (axiální tenzor. řádu) g ij (det a) g ji [ V V ] ε[ V ] 5
Tenzorová a maticová notace Elatické vlatnoti c αβ cijkl α, β 1,,...,6 αβ 4 ijkl ijkl ijkl α, β 1,,3 α 1,,3; β 4,5,6 α, β 4,5,6 Piezoelektrické vlatnoti e i e α ijk α 1,,...,6 d α i d d ijk ijk α 1,,3 α 4,5,6 tenor 11 33 3,3 13,31 1,1 matrix 1 3 4 5 6 53
Tenzorové koeficienty materiálových vlatnotí Elatické moduly/poddajnoti (1) Piezoelektrické koeficienty (18) Dielektrická permitivita, tepelná roztažnot (6) Pyroelektrický koeficient (3) d d d ε ε ε 11 1 13 11 1 31 ε ε ε 1 3 d d d 1 3 ε ε ε 13 3 33 d d d 13 3 33 d d d 14 4 34 d d d 15 5 35 d d d 16 6 36 ( p p ) 1 p3 11 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 13 3 33 34 35 36 14 4 34 44 45 46 15 5 35 45 55 56 16 6 36 46 56 66 54
Krytalografické ouřadnice ouřadnice jou vázány prvky bodové ymetrie krytalografické třídy Triklinická třída bez prvků ymetrie Monoklinická třída 55
Krytalografické ouřadnice Ortorombická třída 56
Krytalografické ouřadnice Trigonální třída 57
Krytalografické ouřadnice Tetragonální třída 58
Krytalografické ouřadnice Hexagonální třída 59
Krytalografické ouřadnice Kubická třída 6
Tenzorové ouřadnice Uvedeny v krytalografických ouřadnicích Triklinická třída 61
Tenzorové ouřadnice Monoklinická třída 6
Tenzorové ouřadnice Ortorombická třída 63
Tenzorové ouřadnice Tetragonální třída 64
Tenzorové ouřadnice Trigonální třída 65
Tenzorové ouřadnice Hexagonální třída 66
Tenzorové ouřadnice Kubická třída 67
Požadavky na krytalografickou ymetrii 68
Volba tavových veličin Příklad: piezoelektrický jev 69 k T ik i i k k E E T d D E d T + ε + ν ν µ ν µν µ k T ik i i k k D D T g E D g T + β + ν ν µ ν µν µ k ik i i k k E E e D E e c T + ε ν ν µ ν µν µ k ik i i k k D D h E D h c T + β ν ν µ ν µν µ
Piezoelektrické koeficienty Koeficienty různé podle volby nezávilých veličin 7
Piezoelektrická keramika Elektromechanické tenzory třída ymetrie mm, měr polarizace 3 71 ) ( 1 11 66 66 44 44 33 13 13 13 11 1 13 1 11 33 31 31 15 15 d d d d d ε ε ε 33 11 11 ( ) 3 p
Anizotropie materiálových vlatnotí plocha d 33 P [1] T PbTiO 3 4mm d 33 l 33 +(d 31 +d 15 )l 3 (l 1 +l ) l 1 in(θ)co(φ), l in(θ)in(φ), l 3 co(θ) d 33 83.7, d 31-7., d 15 6. [pc/n] Maximum 83.7pC/N pro θ o, tj. pro [1] C 7
Anizotropie materiálových vlatnotí plocha d 33 P [1] T BaTiO 3 4mm d 33 l 33 +(d 31 +d 15 )l 3 (l 1 +l ) l 1 in(θ)co(φ), l in(θ)in(φ), l 3 co(θ) d 33 9, d 31-33.4, d 15 564 [pc/n] Maximum 4pC/N pro θ 51 o 9pC/N pro [1] C 1pC/N pro [111] C 73
Feroelektřina pontánní exitence polarizace (oučaně také pontánní deformace) - trukturní fázový přechod Feroelektrické/feroelatické domény - orientační doménové tavy Doménové těny Hytereze 74
Domény v krytalu PbTiO 3 m3m 4mm Krytal PbTiO 3 v polarizačním mikrokopu. Velikot krytalu 1.5 mm. Contributed by ang-wook Cheong. http://www.phyic.rutger.edu/cmx/gif/pbti.html 75
Domény v keramice BaTiO 3 m3m 4mm Leptaný povrch keramiky BaTiO 3 a) truktury rybí kot a šachovnice b) Páová truktura, domény procházejí krz zrna G.Arlt, P.ako: J.Appl.Phy. 51 (198) 4956-496 76
Feroické fáze trukturní fázové změny Mateřká (např. paraelektrická) fáze feroická fáze LiNbO 3 KNbO 3 BaTiO 3 Pb 5 Ge 3 O 11 KIO 3 Feroelektrika 3m 3m m3m mm m3m 4mm 6 3 3m m AgNbO 3 NaNbO 3 Pb 3 (PO 4 ) Feroelatika m3m mmm 3m / m 77
Anomálie materiálových vlatnotí Dielektrická permitivita, pontánní polarizace, atd. BaTiO 3 78
Anomálie materiálových vlatnotí Piezoelektrický koeficient LiTaO 3 79
Landau-Devonhirova teorie Rozvoj termodynamického potenciálu Rovnováha a tabilita Rovnovážná hodnota parametru upořádání 8 4 4 1 ) ( 1 ), ( βη η α Φ η Φ + + C T T T, > η η Φ Φ ) ( 3 + βη η α η T C T Φ < ± > C C C T T T T T T 1 ) ( β α η
Fázový přechod. řádu Bez hytereze 81
Fázový přechod 1. řádu Hytereze 8
Curie Weiův zákon Závilot permitivity na teplotě 83
ouvilot pontánní deformace e pontánní polarizací Obecně (pro vlatní feroelektrika) Příklad pro feroelektrický druh 84 j i ijkl kl P P Q mmm m xy 4 / 1 1 3 3 1 3 1 1 66 44 44 33 31 31 13 11 1 13 1 11 6 5 4 3 1 P P P P P P P P Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ),, ( 3 1 1 P P P P
Experimentální určení pontánní deformace Mřížkové kontanty měřené RTG difrakcí V mateřké fázi (extrapolace do feroické fáze) Ve feroické fázi LB Table III/16a Obecný vztah pro ložky tenzoru deformace J.L.chlenker, G.V.Gibb, M.B.Boien, Jr.: Acta Cryt. A34 (1978) 5-54 85
Bi 4 Ti 3 O 1 4 / mmm m xy c tetr b tetr c mon a mon b mon 8 feroelektrických D 4 feroelatických D a tetr P a >>P c 86
Bi 4 Ti 3 O 1 pontánní deformace/polarizace (ouřadnice v mateřké fázi) 87 ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( ) ( ) ( ) ( ) ( c a a VIII c a a VII c a a VI c a a V c a a IV c a a III c a a II c a a I P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 33 13 13 13 11 1 13 1 11 4 33 13 13 13 11 1 13 1 11 3 33 13 13 13 11 1 13 1 11 33 13 13 13 11 1 13 1 11 1
Orientace doménové těny ( ( ) ( 1) ( ) ( 1) d ) ( d ) ( ij ij ) d d i j Příklad pro Bi 4 Ti 3 O 1 Pár doménových těn (1) (P (1), P () ) and () (P (3),P (4) ) (d d ) d 13 1 3 1 Dvě kolmé doménové těny Nabitá těna (1) W-wall Neutrální těna (1K) -wall K 13 1 88
Orientace těn v Bi 4 Ti 3 O 1 (1) P (1),P () (1) () (3) (4) P (1),P () P (3),P (4) P (5),P (6) N/A (1) (1-K) (1-1) (1) () N/A (1) P (3),P (4) (1-K) P (7),P (8) (1) (1K) (11) (1) (3) N/A (1) P (5),P (6) (1K) (4) P (7),P (8) N/A 89
Typy doménových těn W-wall W - libovolná orientace těny W f fixovaná krytalografická rovina těny -wall ( trange wall, W -wall) 1 měr P b ijk a Q ijkl 3 měr P, b ijk a Q ijkl 4 měr a velikot P, b ijk a Q ijkl 5 velikot P, b ijk a Q ijkl 9
Dovolené páry doménových těn W - libovolná orientace těn W f W f fixovaná krytalografická orientace těn W f fixovaná a trange těna pár trange těn R nejou dovoleny těny mezi dvěma doménami J.Fouek, V.Janovec: J.Appl.Phy. 4 (1969) 135 J.apriel: Phy.Rev. B1 (1975) 518 J.Erhart: Phae Tranition 77 (4) 989-174 91
Antiferoelektřina Dipólové momenty jou čátečně kompenzovány Přeorientace až při vyšších polích E 9
Elektrotrikce Nelineární tavové rovnice d E + ij kij k Q ijkl P k P l Bez krytalografických omezení! Všechny látky mají elektrotrikční vlatnoti 93
Elektrotrikce pro kubické látky Elektrotrikční koeficienty Q 11, Q 1, Q 44 94 1 3 1 3 3 1 44 44 44 11 1 1 1 11 1 1 1 11 6 5 4 3 1 P P P P P P P P P Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
Koeficient elektromechanické vazby Přeno energie mezi mechanickou a elektrickou formou 95
Elektromechanická vazba k 33 d33 E T 33ε33 W.Heywang, K.Lubitz, W.Wering (edt.): Piezoelectricity, pringer Verlag 8 96
Koeficient elektromechanické vazby Další mody Příčný k 31 d31 E T 11ε33 tloušťkově třižný d15 k15 E T ε 55 11 tloušťkový radiálně rozpínavý k t c e33 D 33ε33 k p ε T 33 d ( 31 E 11 + E 1 ) 97
Remanentní polarizace P, P r, E C koercitivní pole 98
Mechanimu doménové reorientace 99
Remanentní deformace Feroelaticita feroelektrické látky 1
Dielektrické ztráty Permitivita komplexní hodnoty ε ε ' jε '' Diipovaný výkon ztráta energie za 1 tan( δ ) ε ε '' ' P U C Z C I ( ε ' jε '') 1 jωc Z C I C' d C'' jc' ω( C' + C'' jc'' ) C'' I ω( C' + C'' ) j ω( C' C' I + C'' ) 11
Mechanické ztráty Elatické vlatnoti - komplexní ' j'' Koeficient mechanické kvality Q m Q m πf m 1 Z C T k eff 1
Youngův modul a elatické koeficienty 13 33 33 13 11 13 33 33 13 11 11 1 33 13 1 11 11 11 c c c T c c c T c c c T + + + + + + Příklad pro ymetrii 4mm Mechanický tlak Mechanická deformace 11 11 11 11 11 11 33 33 33 33 33 33 11 11 11 11 33 33 33 11 11 11 11 11 1 1 1 T Y T Y T Y T Y T Y T Y T Y T Y T Y σ σ σ σ σ σ
Youngův modul Maticový tvar c -1 11 1/Y 11 33 1/Y 33 Y 33 c 33 c c 11 13 + c 1 Y 11 ( c 11 c 1 )[ c c 11 33 c ( c 33 11 c + c 1 13 ) c 13 ] 14