Systém vztahů obecné pružnosti Zobecněný Hookeův zákon

Transkript

1 Stém vtahů obecné pružnoti Zobecněný Hookeův ákon V PPI e řešil úloh pružnoti u prutů. Pro řešení pouvů napětí a přetvoření obecného 3D těleo je třeba etavit a řešit tém vtahů obecné pružnoti. Jeho řešení může být realiováno přítupem: diferenciálním řešení outav diferenciálních rovnic, variačním vjádření energetické veličin a hledání jejího etrému pomocí variačního počtu. Materiál považujeme a kontinuum (homogenní, iotropní, lineárně elatické), jehož vlatnoti jou popán globálními elatickými parametr (E, μ) a dalšími materiálovými parametr (σ k, σ Pt, σ C, K IC...)a diferenciální rovnice etavujeme na ákladě uvolnění trojnáobně elementárního prvku.

2 Nejdůležitější vlatnoti tenoru napětí (opakování PPI): 1. Le jej apat čtvercovou maticí Z této matice le určit ložk napětí v libovolné rovině ted i ouřadnice tenoru v libovolné ouř. outavě. 3. Při pootáčení elem. hranolku le nalét polohu, kd mková napětí ve všech třech vájemně kolmých rovinách jou nulová; normálová napětí e pak naývají hlavními napětími. 4. Hlavní měr tenoru jou vájemně kolmé; poue v případě, že dvě hlavní ložk jou tejné, pak přílušné hlavní měr mohou vírat libovolný úhel. 5. Hlavní napětí le určit charakteritické rovnice tenoru napětí, což je algebraická rovnice 3, tupně e třemi reálnými kořen; jejími koeficient jou invariant tenoru napětí. 6. enor napětí le grafick náornit v Mohrově rovině, což nám umožňuje nadno určit minimální a maimální hodnot normálového i mkového napětí. 7. Jou-li některé ložk tenoru nulové, příp. tejné, dotáváme vláštní tp napjatoti: rovinná (dvouoá), jednooá, rovinná rovnoměrná, prutová, mková, trojoá rovnoměrná atd. 8. enor napětí le roložit na deviátorovou a rovnoměrnou (kulovou) čát.

3 1) 3) ) 4). 5) I I I. 6).... III II I

4 7) 8) K D K D

5 enor přetvoření odvoení geometrických vtahů u dy Y o C / dy C o d B / o v dx X A o u o A / dx d B o u u dx X v u v ; u v v w ; w ; u w ;

6 Z analogie (a obecných vlatnotí tenoru) plnou podobné nejdůležitější vlatnoti tenoru přetvoření: 1. Le jej apat čtvercovou maticí Z této matice le určit ložk přetvoření v libovolné rovině ted i ouřadnice tenoru v libovolné ouř. outavě. 3. Při pootáčení elem. hranolku le nalét polohu, kd úhlová přetvoření ve všech třech vájemně kolmých rovinách jou nulová; délková přetvoření e pak naývají hlavními přetvořeními. 4. Hlavní měr tenoru jou vájemně kolmé; poue v případě, že dvě hlavní ložk jou tejné, pak přílušné hlavní měr mohou vírat libovolný úhel. 5. Hlavní přetvoření le určit charakteritické rovnice tenoru přetvoření, což je algebraická rovnice 3, tupně e třemi reálnými kořen; jejími koeficient jou invariant tenoru přetvoření. 6. enor přetvoření le grafick náornit v Mohrově rovině, což nám umožňuje nadno určit minimální a maimální hodnot délkových i úhlových přetvoření. 7. Jou-li některé ložk tenoru nulové, příp. tejné, dotáváme vláštní deformační tav v bodě: rovinný (dvouoý), jednooý, mkový, trojoý rovnoměrný atd. 8. enor přetvoření le roložit na deviátorovou (tvarovou) a rovnoměrnou (kulovou, objemovou) čát.

7 1) 3) ) 4). 5) E E E. 6) III II I

8 7) 8) K D D K Poměrná měna objemu e = ε + ε + ε = ε 1 + ε + ε 3

9 Základní tp rovnic obecné pružnoti: 1. Cauchho rovnice rovnováh elementárního prvku: a) Vnitřního: o o o o A Prvek má tvar šetitěnu (hranolu, krchle), měrná objemová íla v těchto rovnicích může být gravitační, etrvačná, elektromagnetická aj. b) Hraničního: p p p Prvek má tvar čtřtěnu, jehož jedna těna je oučátí povrchu tělea. Je-li tento povrch neatížený, pak přílušný tlak je roven nule.. Geometrické vtah: Parciální diferenciální rovnice, které vjadřují ložk tenoru přetvoření jako funkce pouvů. 3. Fikální (kontitutivní) vtah: Vjadřují vájemné áviloti mei ložkami tenorů napětí a přetvoření. V lineární PP e jedná o Hookeův ákon (obecněný).

10 Zobecněný Hookeův ákon Platí pro homogenní iotropní lineárně pružný materiál. akový materiál naýváme pak Hookeovký. Nejnadněji e odvodí pomocí principu uperpoice na ákladě jednooého atížení ve třech vájemně kolmých měrech. Pro eplicitně vjádřená přetvoření platí: 1. E 1. E 1. E 1 G. 1 G. 1 G. Inverní vtah ( eplicitně vjádřenými napětími) mají tvar (příklad pro jednu ložku normálového napětí): E. 1 1 Zavedením nových elatických kontant dotaneme: G. e kde G G e G G e G.. G, E 1 E 1 1 e, Čato budeme používat Hookeův ákon v maticovém tvaru nebo peciální tvar Hookeova ákona pro rovinnou napjatot a rovinný tav deformace; odvodíme také tvar pro mkovou napjatot.

11 Energie napjatoti (=potenciální energie pružné deformace) e íká integrací měrné energie napjatoti pře objem všetřovaného tělea. Okrajové podmínk jou nutné pro řešení diferenciálních rovnic. Mohou být dvojího tpu: deformační (předepané pouv v některých bodech povrchu tělea) ilové (předepán tlak na čáti povrchu tělea). ato podmínka platí i pro volný povrch tělea (tlak je nulový). Shrnutí: Výtupními hodnotami jou neávilé funkce obecné pružnoti, ted: pouv (vektor pouvů u e ložkami u, v, w), přetvoření (tenor přetvoření ε neávilými ložkami ε, ε, ε, γ, γ, γ ), napětí (tenor napětí σ neávilými ložkami σ, σ, σ, τ, τ, τ ). ěchto 15 nenámých funkcí e řeší analtick pomocí tému rovnic obecné pružnoti, který etává : rovnic tatické rovnováh elementárního prvku 3 parciální diferenciální rovnice, rovnic geometrických 6 parciálních diferenciálních rovnic, rovnic Hookeova ákona 6 lineárních algebraických rovnic.

12 Základní úloha obecné pružnoti je formulována jako tv. Vtup: geometrie, materiál, vab, atížení. přímá úloha (vtup výtup). Výtup: pouv, napětí, přetvoření. Kirchhoff dokáal jednonačnot řešení přímých úloh obecné pružnoti. Inverní úloha: na ákladě naloti některého výtupního parametru (např. dovolené napětí) e vpočítá některý e vtupních parametrů (roměr, požadovaná pevnot materiálu, příputné atížení apod.). Řešení těchto úloh není jednonačné, potup bývá obecně numerick netabilní, špatná podmíněnot. Optimaliační úloha: vtupní parametr e mění tak, ab blo doaženo etrémní hodnot optimaliační veličin (např. minimální hmotnoti, maimální únonoti apod.) Variant řešení tému rovnic obecné pružnoti: e liší podle toho, které nenámých funkcí volíme a ákladní. Deformační varianta: potupujeme od pouvů k přetvořením a od nich k napětím. ato varianta je nejpoužívanější jak při analtickém, tak při numerickém (variačním) řešení. Silová varianta: potupujeme od napětí k přetvořením a polée pouvům. Málo používaná. Pro ajištění pojitoti řešených funkcí pouvů potřebuje další rovnice- rovnice kompatibilit (pojitoti deformace) vi kripta tr. 5.

13 Přítup k řešení přímého problému obecné pružnoti Diferenciální přítup Variační přítup Deformační varianta Silová varianta Hbridní varianta Analtické řešení Numerické řešení Analtické řešení Výhod: pokud eituje v uavřeném tvaru, le vjádřit funkční ávilot mei vtup a výtup a řešit nadno inverní i optimaliační úloh. Nevýhod: jen málo praktických problémů má analtické řešení. Numerické řešení Výhod: e oučanými možnotmi výpočetní technik le řešit praktick libovolně ložité problém hledika geometrie, materiálového chování. Nevýhod: čaová náročnot tvorb modelu, nenáme pojitou ávilot mei vtup a výtup, výledk e těžko obecňují; nele přímo řešit inverní nebo optimaliační úloh. Diferenciální deformační přítup geometrické vtah Hookeův ákon Cauchho rovnice SR elementu Doadíme-li geometrické vtah do Hookeova ákona a ten pak do Cauchho rovnic rovnováh, dotaneme Lamého rovnice obecné pružnoti v pouvech (vi kripta tr. 56); jejich obecné řešení není námo.