Michal Musílek, 2009 michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/
Počítání na prstech (včetně násobení) Zápis číslic v různých kulturách, vrubovky Abakus (5+2, 4+1, 10) a výpočty na něm Mechanické kalkulátory a jejich tvůrci
Nejstarší početní pomůcka a současně nejstarší vnější paměť (přenos mezi řády při písemném ) Založeno na vzájemně jednoznačném zobrazení mezi počítanými předměty a prsty Různé kultury mohou stejné číslo znázorňovat různě (vztyčování prstů X pokládání do dlaně) Na prstech lze nejen sčítat, ale i násobit (stačí umět zpaměti násobilku do 5 a vyšší čísla mezi sebou násobíme pomocí prstů (malíčky = 6, prsteníčky = 7, prostředníčky = 8, palce = 10) Násobení na prstech se užívalo ve středověku, ale postupně se stalo zapomenutým uměním
Jak funguje? Dotkneme se špičkami prstů, které odpovídají příslušným číslům (6 až 10), volné prsty nahoře představují doplňky těchto dvou čísel do 10ti, označme doplňky a a b (10 a) (10 b) = 100 10 (a + b) + ab = = [10 (a + b)] 10 + ab Tedy počet prstů dole (směrem k malíčkům), včetně dotýkajících se, udává počet desítek, zatímco součin prstů nahoře udává jednotky výsledku násobení. Šlo by podobný postup uplatnit i pro násobení větších čísel?
Co může znamenat následující zápis? (10 + a) (10 + b) = 100 + 10 (a + b) + ab = = [10 + (a + b)] 10 + ab Pro tento vzorec označíme prsty čísly 11 = malíček, 12 = prsteníček, 15 = palec. I zde počet prstů dole (směrem k malíčkům), včetně dotýkajících se, udává počet desítek, ale pozor! Vždy je zde také jedna stovka a jednotky tentokrát získáme jako součin prstů dole, opět počítáno včetně dotýkajících se prstů. Zkuste sami vymyslet pravidlo pro násobení dvou čísel od 16 do 20.
Počet prstů na ruce, na obou rukou, případně na všech čtyřech končetinách, ovlivnil nejen základ naší (desítkové) poziční číselné soustavy, ale také: Zápis číslic klínovým písmem Zápis číslic ve dvacítkové soustavě Mayů Tvar římských číslic I, V, X
Dodnes používaná početní pomůcka s tisíciletou tradicí: Umožňuje všechny 4 základní početní operace. Při tréninku je stejně rychlý a přesný jako kalkulátor.
Starověký abakus = destička s drážkami a kamínky (hladkými oblázky) kalkulus Čínské počítadlo suan pan Drát nebo drážka jsou rozděleny na dvě části: kratší horní (váha 5) delší dolní (váha 1) na prvních 3 drátech vidíme čísla 7 1 8
Japonské počítadlo soroban Japonská pečlivost důsledně odstranila vše nadbytečné. Má opět dvě části. Kratší horní (váha 5) a delší dolní (váha 1)
Ruské počítadlo sčot Podobné počítadlo používají i naši prvňáčci, ale učí se na něm pouze sčítat a odčítat My se naučíme všechny 4 základní početní operace Simulace sčotu je připravena na mém webu v sekci matematika Ve stejné sekci je brožura vysvětlující výpočty na sčotu s řadou názorných ilustrací
John Napier, 1550 1617, skotský matematik, fyzik a astronom
Napier se snažil vyřešit problém s násobením velkých čísel, tj. co nejvíc ho usnadnit a zrychlit Podařilo se mu to dvěma různými způsoby, a to jednak vytvořením pomůcky (Napierových kostí) pro zautomatizování násobení užitím algoritmu gelosia, jednak objevem logaritmů Násobením užitím algoritmu gelosia, pomocí Napierových kostek i pomocí logaritmických tabulek a logaritmického pravítka se budeme zabývat v příští přednášce
1623 Schickardův kalkulátor (počítací hodiny) 1642 Pascalina (první sériově vyráběný model) 1673 Morlandův kalkulátor 1675 Leibnizův kalkulátor (Leibnizovo kolo) 1862 Colmarův Arithmometer (sériová výroba) 1878 Odhnerova konstrukce (Odhnerovo kolo)
Wilhelm Schickard, 1592 1635, profesor astronomie na univerzitě v Tübingenu, sestrojil první počítací stroj, který ovládal 4 základní početní operace Mimo jiné využil princip Napierových kostek Korespondoval také s Johanem Keplerem, chtěl pro něj jeden kalkulátor sestrojit, ale během 30leté války Schickard zahynul a kalkulátor byl zničen Naštěstí se dochovaly původní plány, podle kterých byl počítací stroj až roku 1960 znovu postaven a fungoval
Blaise Pascal, 1623-1662 Blaise Pascal, francouský matematik, fyzik, filozof Kalkulátor Pascalina uměl pouze sčítat a odčítat, ale byl naprosto spolehlivý Blaise ho sestrojil v 19ti pro svého otce
Pascalův kalkulátor byl vyroben v desítkách exemplářů, s lehkou nadsázkou lze hovořit o prvním sériově vyráběném kalkulátoru
1625 1695, anglický královský mechanik, sestrojil kalkulátor, který uměl násobit a dělit Konstrukce stroje však byla mnohem méně spolehlivá než u Pascaliny Přenos do vyššího řádu nebyl zautomatizován Kvůli horší spolehlivosti nebyl vyráběn ve větších sériích
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 1716
Charles Xavier Thomas de Colmar, 1785 1870 Francouzský vynálezce komerčně úspěšného, ve velkých sériích vyráběného kalkulátoru Je známyý i pod jménem Thomasův kalkulátor http://www.artithmometre.org/
Willgodt Theophil Odhner 1845 1905
Vyráběny až do 70. let 20. století
Jak násobit na prstech čísla od 16 do 20? Prsty značí čísla: malíček = 16, prsteníček = 17, palec = 20. Prsty nahoře představují doplňky těchto dvou čísel do 20ti, označme je a a b (20 a) (20 b) = 400 20 (a + b) + ab = = 200 + 2 [10 (a + b)] 10 + ab Tedy vezmeme základ 200 a k němu přičteme tolik desítek, kolik je dvojnásobek počtu prstů dole (směrem k malíčkům), včetně dotýkajících se prstů. Součin volných prstů nahoře udává jednotky výsledku násobení.