Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Transkript

1 Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali , napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat mocninu takto: A n (čteme: a na entou, n-tá mocnina čísla a). Číslu A se říká základ mocniny (nebo mocněnec), a číslu n mocnitel (nebo exponent). Př dvě na pátou, (pátá mocnina čísla 2) 5 2. Jak jsem již prozradil na začátku, mocnina tedy znamená, že: = 4 6 Pokud bychom chtěli umocnit zlomek, pak budeme postupovat stejným způsobem. Jen musíme dát pozor na to, že musíme umocnit jak čitatele, tak jmenovatele zvlášť. Př = = Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel. Pokud budeme umocňovat záporné číslo na sudý exponent, vyjde nám vždy kladné číslo. Pokud však záporné číslo budeme umocňovat na lichý exponent vyjde vždy záporné číslo. Sudý exponent Lichý exponent (-3) 2 = (-3) (-3) = 9 (-3) 3 = (-3) (-3) (-3) = -9 (-7) 4 = (-7) (-7) = (-7) 5 = (-7) (-7) (-7) = To, jak se chovají znaménka + a víme již z prvního stupně. Ale raději si to ještě jednou připomeneme. + a + = kladné číslo (+) + a - = záporné číslo (-) - a + = záporné číslo (-) - a - = kladné číslo (+)

2 Pozór!!! (velmi důležité) Určitě se někdy setkáte s tímto příkladem: -4 4 = Jak je však možné, že výsledek je záporný. Jak postupovat v tomto případě? Číslo -4 totiž nesmíme chápat jako (-4). Pokud je číslo uzavřeno v závorce, pak znaménko mínus je k číslu přiděleno tzv. na pevno. (-4) 2 = (-4) (-4) = 16 Pokud je však znaménko mínus před číslem a celý tento výraz není uzavřen v závorce pak na znaménko mínus musíme pohlížet jako na samostatný člen. Mohli bychom to znázornit takto: -4 2 = (-1) 4 2 = (-1) 4 4 = (-1) 16 = -16 Z příkladu je vidět, že znaménko mínus je samostatné a nepatří k číslu 4. (není k němu pevně připojeno). Je zde zcela jedno zda je exponent lichý nebo sudý, výsledek vyjde vždy záporný. Př. 4 3 = = = (-4) 2 = 16 (-3) 5 = -243 (-7) 4 = = = = -16 Z toho co jsme si doposud ukázali bychom mohli zobecnit některá pravidla, která pro nás budou nadále závazná. Věta: Sudá mocnina čísla a čísla k němu opačného se vždy rovnají. 2 2 = (-2) 2 = 4 Věta: Sudá mocnina čísla je vždy nezáporné číslo Jak by to vypadalo kdybychom umocňovali nulu? Pokud umocníme 0 na cokoliv dostaneme opět nulu. 0 3 = = 0

3 Některé mocniny je dobré umět zpaměti. Nyní se musíme naučit základní pravidla pro počítání s mocninami = = = Druhá mocnina čísla má vždy dvojnásobný počet nul než dané číslo. 0,1 2 = 0,01 0,01 2 = 0, ,001 2 = 0, Druhá mocnina čísla má dvojnásobný počet desetinných míst než dané číslo. Pokud se tedy setkáme s příkladem např , budeme ho řešit s použitím předešlého pravidla = (umocníme číslo 6 a přidáme dvojnásobek nul) Pozor na druhý typ příkladu, velmi často dochází k záměně pojmu počet nul a počet desetinných míst. Jestliže umocňujeme desetinné číslo pak musíme dávat velký pozor na počet desetinných míst za desetinou čárkou. 0,06 2 = 0,0036 ( počet desetinných míst musí vždy zůstat dvojnásobný) 0,012 2 = 0,0144 V osmé třídě by mělo být samozřejmostí umět druhou mocninu až do čísla 15 a třetí mocninu do čísla 5. (samozřejmě zpaměti) 1 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 125

4 Pravidla pro počítání s mocninami Součin mocnin se stejným základem Mocniny se stejným základem násobíme tak, že jejich základ umocníme na součet mocnitelů. (Polopaticky řečeno = sečteme mocniny a číslo a umocníme na jejich součet. ) a m a n = a (m+n) = 4 (3+12) = 4 15 = Je však důležité abychom dodržely následující podmínky: a může být libovolné číslo, m,n musí být čísla přirozená Podíl mocnin se stejným základem Mocniny se stejným (nenulovým) základem dělíme tak, že jejich základ umocňujeme na rozdíl mocnitele dělence a mocnitele dělitele. (Polopaticky řečeno = odečteme n od m a číslo a umocníme na výsledek tohoto rozdílu) a m : a n = a (m-n) 7 9 : 7 5 = 7 (9-5) = 7 4 = a 0, m,n musí být čísla přirozená, m > n Mocnina součinu Součin umocníme, pokud umocníme každého činitele zvlášť. (a b) n = a n b n (4 6) 3 = = = a může být libovolné číslo, m,n musí být čísla přirozená Mocnina podílu Podíl umocníme, pokud umocníme dělence i dělitele. (a : b) n = a n : b n n a a = n b b n (9 : 2) 3 = 9 3 : 2 3 a může být libovolné číslo, b 0, n musí být číslo přirozené

5 Mocnina mocniny Mocninu umocníme tak,že základ mocniny umocníme na součin mocnitelů. (Polopaticky řečeno = vynásobíme oba exponenty a číslo a umocníme na jejich násobek.) (a m ) n = a m n (7 2 ) 3 = 7 6 = a může být libovolné číslo, m,n musí být čísla přirozená Nyní pozor!!! Ukážeme si dva speciální případy mocnin. a 0 = 1 tento případ znamená, že jakékoliv číslo umocněné na 0 je vždy rovno 1. Př. 2 0 = 1, 23 0 = 1, (-7) 0 = 1 Toto je velmi důležitý fakt pro počítání s mocninami. a -n 1 = v tomto případě se mocnitelem stalo celé záporné číslo, je zde velmi důležité si n a uvědomit podmínku: a Př. 5 = , 17 = 4 Velmi často tento vzorec uplatníte např. ve fyzice. Jak zapisovat čísla v desítkové soustavě pomocí mocnin Co je to vlastně desítková soustava? Desítková soustava je množina znaků ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ), které používáme k zápisu jakéhokoliv čísla, které známe. Desítková se jí říká právě proto, že obsahuje deset znaků. Všimněte si, že desítková soustava již nemá znak pro číslo deset, musíme ho složit ze dvou znaků 1 a 0 (10). A právě toto je princip zápisu desítkové soustavy. 10 = = = = = = = = 10 8

6 Jakýkoliv zkrácený zápis čísla v desítkové soustavě můžeme rozepsat jako rozvinutý zápis čísla v desítkové soustavě = Použil jsem mocniny, které jsme již procvičili. Abych vyjádřil číslo 7 na místě jednotek použil jsem pravidlo a 0 = 1. Tento zápis se nám velmi hodí při počítání s velkými čísly nebo např. v zeměpisu, kde určujeme velké rozlohy moří či světadílů. Zápis čísla můžeme zapisovat i obráceným postupem: = Jak zapíšeme číslo v jehož zápisu se objeví 0? = všimněte si, že čísla na pozici desítek a stovek jsou z desítkového zápisu vynechané. Jakékoliv číslo násobené 0 je rovno opět 0. Věta: Každé kladné číslo větší nebo rovno 10 můžeme zapsat ve tvaru a 10 n, kde a je číslo větší nebo rovno 1 a menší než 10 a n je přirozené číslo.