Poznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například:

Transkript

1 ARNP Př. 5 Základní operace s přirozenými čísly Přesná definice přirozeného čísla je složitá spokojíme se s tím, že o libovolném čísle dokážeme rozhodnout, zda je, či není přirozeným číslem (5, -7, 3 4, 8, 2, 16 ). 4 Dále je zřejmé, že pomocí přirozených čísel určujeme počty prvků konečných množin. Vzniká otázka, co s číslem nula. Je nula přirozené číslo nebo ne? Vzhledem k tomu, že mezi konečné množiny počítáme i prázdnou množinu, budeme nulu (počet prvků prázdné množiny) za přirozené číslo považovat. Pro připomenutí: Přirozená čísla dokážeme: pojmenovat pomocí číslovek zapisovat pomocí číslic (cifer) znázornit pomocí číselné osy Základní operace (početní výkony) s přirozenými čísly: Sčítání: Terminologie: sčítanec, sčítanec, součet Násobení: Terminologie: činitel, činitel, součin Poznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například:

2 Součet a Základní vlastnosti sčítání a násobení: Pro každá tři přirozená čísla abc,, platí: b je přirozené číslo Součin a b je přirozené číslo a b c a b c (U) a b c a b c (A) a b b a a b b a (K) 0 a a 0 a 1 a a 1 a (N) 0 a a 0 0 (AG) a b c a b a c (D) Označení v posledním sloupci znamená: (U) věty o uzavřenosti oboru přirozených čísel vzhledem ke sčítání a násobení (součtem a stejně tak součinem libovolných přirozených čísel je vždy přirozené číslo) (A) věty o asociativnosti sčítání a násobení (sčítance při sčítání, resp. činitele při násobení můžeme libovolně sdružovat) (K) věty o komutativnosti sčítání a násobení (pořadí sčítanců při sčítání, resp. pořadí činitelů při násobení můžeme zaměnit) (N) věta o neutrálnosti čísla 0 vzhledem k sčítání a čísla 1 vzhledem k násobení (číslo 0 je neutrální prvkem vzhledem ke sčítání, číslo 1 je neutrálním prvkem vzhledem k násobení)

3 (AG) věta o agresivnosti čísla 0 vzhledem k násobení (číslo 0 je agresivním prvkem vzhledem k násobení) (D) věta o distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání (násobíme-li číslem součet dvou nebo více čísel, vynásobíme tímto číslem každého sčítance) Další operace (početní výkony), tj. odčítání, dělení a umocňování definujeme pomocí základních operací (tj. sčítání a násobení). Odčítání: rozdíl a b dvou přirozených čísel ab, je to přirozené číslo x, pro které platí a b x. Dělení: podíl : menšenec menšitel rozdíl a b dvou přirozených čísel, 0 přirozené číslo x, pro které platí a b x. a b b je to 18 : 3 6 dělenec Důležité případy: a 0, b 0 dělitel podíl : nulu dělíme nenulovým číslem. Podle definice dělení platí: 0 b x, takže jediné číslo x, které této rovnici vyhovuje, je číslo 0. Závěr: Dělíme-li nulu nenulovým číslem, je výsledkem nula.

4 a 0, b 0 : nenulové číslo se pokoušíme dělit nulou. Podle definice dělení platí: a 0 x, což je rovnice, která nemá řešení. Ať nulu násobíme libovolným číslem x, výsledek nemůže být nikdy nenulové číslo. a 0, b 0 : nulu se pokoušíme dělit nulou. Podle definice dělení platí 0 0 x. V tomto případě vyhovuje libovolné číslo x, což ale neposkytuje jednoznačný výsledek operace. Závěr: Dělení, při kterém je dělitel rovný nule, nemá smysl. Nulou tedy nelze dělit žádné číslo. Nulou se nedělí ani v neděli. Umocňování: mocnina b a dvou přirozených čísel ab, je to přirozené číslo, které je součinem b činitelů rovnajících se číslu a ( ). POZOR: Rozdíl dvou přirozených čísel nemusí být přirozené číslo (například rozdíl čísel 5 8 není přirozené číslo). Podíl dvou přirozených čísel nemusí být přirozené číslo (například podíl čísel 5:3 není přirozené číslo). ZÁVĚR: Obor přirozených čísel je uzavřený pouze vzhledem ke sčítání a násobení.

5 Příklady: 1. Ověřte, zda platí věta o komutativnosti pro odčítání a dělení. 2. Zamyslete se nad tím, že děti v první třídě vlastně používají větu o asociativnosti, když se učí sčítat přes deset : Zkuste vymyslet další příklady, i pro sčítání přes dvacet. 3. Vypočítejte s použitím základních vlastností: Připomeňte si algoritmy pro provádění operací s vícecifernými přirozenými čísly. Příklady: , , , : 37

6 Další příklady:

7