Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.
1. Číselné obory Číselné obory Přirozená čísla označujeme N Potřebujeme-li přidat nulu, pak označujeme N 0. jedná se o čísla 1, 2, 3, 4,... Nejmenší přirozené číslo je 1. Celá čísla označujeme Z (Opět můžeme vytvářet např. Z +, Z -, či Z 0 +.) tento číselný obor dostaneme, když k přirozeným číslům přidáme čísla opačná a nulu Racionální čísla označujeme Q (Opět můžeme vytvářet např. Q +, Q -, či Q 0 +.) jsou to všechna čísla, která můžeme vyjádřit zlomkem s celočíselným čitatelem i jmenovatelem. Iracionální čísla nemají své označení, protože ho vlastně nepotřebujeme (v obrázku níže jsme pro názornost použili označení I) patří sem např. čísla, 2, 3, apod. Reálná čísla označujeme je R (Opět můžeme vytvářet např. R +, R -, či R 0 +.) jsou to všechna čísla, která můžeme zobrazit na číselné ose Komplexní čísla označujeme je C jsou to čísla, která už nelze zobrazit na jedné číselné ose, ale potřebujeme k tomu dvě na sebe kolmé osy (podobně jako pro zobrazení bodů v rovině). Rovinu, v níž čísla zobrazujeme, nazýváme Gaussovou rovinou. 2. Dělitelnost Dělitelnost čísel 2
Dělitel daného čísla je takové číslo, kterým můžeme dané číslo beze zbytku dělit. Prvočísla jsou taková čísla, která mají za dělitele pouze číslo jedna a sama sebe. Čísla, která mají kromě jedničky a sama sebe ještě alespoň jednoho dělitele, se nazývají čísla složená. Příklad 1: Vypište všechny dělitele čísla 12 a čísla 7. 12 - je číslo složené (dělitelem je 1, 2, 3, 4, 6, 12) 7 - prvočíslo (dělitelem je pouze 1, 7) Dělitelnost přirozených čísel (znaky dělitelnosti): Dělitelnost číslem 0: "Číslem nula nelze nikdy dělit". Dělitelnost číslem 1: "Číslo je dělitelné číslem jedna vždy" Dělitelnost číslem 2: "Číslo je dělitelné číslem 2, je-li sudé (tj. je-li zakončeno sudou číslicí)". Dělitelnost číslem 3: "Číslo je dělitelné číslem 3, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi". Dělitelnost číslem 4: "Číslo je dělitelné čtyřmi, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné číslem 4". Dělitelnost číslem 5: "Číslo je dělitelné pěti, končí-li číslicí 5 nebo 0". Dělitelnost číslem 6: "Číslo je dělitelné šesti, je-li dělitelné současně dvěma i třemi". Dělitelnost číslem 7: - znak dělitelnosti existuje, ale je natolik složitý, že je rychlejší se o dělitelnosti čísla sedmičkou přesvědčit pouhým vydělením sedmi. Znak se tedy moc nepoužívá. Dělitelnost číslem 8: "Číslo je dělitelné osmi, je-li jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi". Dělitelnost číslem 9: "Číslo je dělitelné devíti, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti". Dělitelnost číslem 10: "Číslo je dělitelné deseti, končí-li číslicí nula". Dělitelnost číslem 11: 3
"Číslo je dělitelné jedenácti, je-li rozdíl součtu číslic na sudých pozicích a součtu číslic na lichých pozicích čísla dělitelný jedenácti". ---------------------------------------------------- Čísla, která mají kromě jedničky ještě alespoň jednoho společného dělitele, se nazývají čísla soudělná. Příklady: 2, 40 15, 60, 36 Čísla, která nemají kromě jedničky žádného společného dělitele, se nazývají čísla nesoudělná. Příklady: 5, 13 11, 15, 23 ----------------------------------------------------- Znaky dělitelnosti pro vyšší čísla: Lze-li libovolné číslo rozdělit na součin dvou nesoudělných čísel, pak platí, že původní číslo je dělitelné součinem, jeli dělitelné každým činitelem. Příklad 2: Určete, zda čísla 330 a 240 jsou dělitelná patnácti. Číslo 330 je dělitelné třemi i pěti, proto je dělitelné i patnácti. Číslo 240 je dělitelné třemi i pěti, proto je též dělitelné patnácti. 3. Nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Nejmenší společný násobek Násobek dvou nebo více čísel je číslo, které lze všemi zadanými čísly beze zbytku vydělit. V praxi často hledáme takové číslo nejmenší a to pak tedy nazýváme nejmenší společný násobek. Postup pro určení nejmenšího společného násobku dvou nebo více čísel: Příklad 1: Určete nejmenší společný násobek čísel 20 a 24: 20 = 2. 10 = 2. 2. 5 24 = 2. 12 = 2. 2. 6 = 2. 2. 2. 3 - čísla, která se opakují v obou rozkladech (nebo alespoň ve dvou rozkladech při více číslech), píšeme pouze jednou, dále do součinu doplníme i zbylá čísla: 2. 2. 2. 3. 5 = 120 Závěr: n(20, 24) = 120 Příklad 2: Určete nejmenší společný násobek čísel 10, 18, 27. 10 = 2. 5 18 = 2. 3. 3 27 = 3. 3. 3 4
------------------ n(10, 18, 27) = 2. 3. 3. 5. 3 = 270 Pozn.: Nejmenší společný násobek můžeme určit také pokusem, a to tak, že vezmeme největší ze zadaných čísel a zkoumáme, zda je dělitelné zbývajícími čísly. Pokud ano, jsme hotovi. Pokud ne, bereme postupně dvojnásobek, trojnásobek, atd. největšího čísla a vždy zkoumáme, zda je dělitelný zbývajícími čísly. Jakmile je tato podmínka splněna, jsme hotovi. Největší společný dělitel Dělitel dvou nebo více čísel je číslo, kterým lze všechna zadaná čísla beze zbytku vydělit. V praxi většinou hledáme největší takové číslo a to pak nazýváme největší společný dělitel. Postup pro určení největšího společného dělitele dvou nebo více čísel: Příklad 3: Určete největší společný dělitel čísel 24 a 30. 24 = 2. 2. 2. 3 30 = 2. 3. 5 - čísla, která se opět v rozkladech opakují, píšeme do součinu pouze jednou; další zbylá čísla ale už nepíšeme: 2. 3 = 6 Závěr: D(24, 30) = 6 Pokud máme zadáno více čísel, do výsledného součinu píšeme pouze ta čísla, která se opakují v rozkladech všech čísel. Příklad 4: Určete největší společný dělitel čísel 36, 60 a 30. 36 = 2. 2. 3. 3 60 = 2. 2. 3. 5 30 = 2. 3. 5 ---------------------- D(36; 60; 30) = 2. 3 = 6 Závěr: D(36; 60; 30) = 6 4. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty s reálnými čísly Výraz je matematický zápis, ve kterém se vyskytují čísla (např. 2, 76, 896), proměnné (např. x, y, z), znaky početních operací (např. +, -, :), případně i pomocné znaky (např. závorky). Pokud se ve výrazu nevyskytují proměnné, ale pouze čísla, hovoříme o číselném výrazu. Pozn.: Úpravy číselných výrazů budeme provádět zpaměti, tedy bez použití kalkulačky 5
Přehled základních operací s číselnými výrazy 1. Sčítání (odečítání) číselných výrazů členy při sčítání nazýváme sčítanci, výsledek pak součet; při odečítání nazýváme číslo, od něhož odečítáme, menšenec, číslo, které odečítáme, menšitel a výsledek rozdíl při sčítání využíváme vhodně komutativnost, případně asociativnost jedná-li se o složitější čísla, postupujeme odzadu, podobně jako při sčítání (odečítání) písemném - pozor na odpovídající si řády! zlomky sčítáme (odečítáme) tak, že je nejprve převedeme na společného jmenovatele 2. Násobení číselných výrazů členy, které mezi sebou násobíme, nazýváme činitelé, výsledek pak jejich součin opět výhodně využíváme komutativnost nebo asociativnost složitější čísla si vynásobíme formou pomocného výpočtu pod sebe, případně můžeme využít některých dalších pomůcek (např. máme-li číslo vynásobit 25, je vhodné ho vynásobit stem a následně vydělit čtyřmi) násobíme-li desetinná čísla, má výsledek tolik desetinných míst, kolik jich měly všechny činitelé dohromady násobíme-li mezi sebou zlomky, pak součin jejich čitatelů lomíme součinem jejich jmenovatelů Pozn.: U zlomku horní číslo nazýváme čitatel, spodní jmenovatel 3. Dělení číselných výrazů číslo, které dělíme, nazýváme dělenec, číslo, kterým dělíme, nazýváme dělitel a výsledek podíl opět můžeme používat různé triky - např. chceme-li číslo dělit 25, pak ho vydělíme stem a následně vynásobíme čtyřmi dělíme-li mezi sebou desetinná čísla, postupujeme nejprve tak, že výpočet rozšíříme tak, aby v děliteli vymizelo desetinné číslo dělení často vyjadřujeme zlomkem Pozn.: Zlomky můžeme rozšiřovat (tj. můžeme násobit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly), dále je můžeme též krátit (tj. dělit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly). Při rozšiřování nebo krácení zlomků se nemění jejich hodnota. Zlomek je v základním tvaru, pokud už ho nelze dále krátit. dělíme-li mezi sebou dva zlomky, násobíme první zlomek (v nezměněné podobě) převrácenou hodnotou druhého zlomku Pozn.: Převrácenou hodnotu zlomku dostaneme tak, že jeho čitatele nahradíme jmenovatelem a naopak. Pokud u zlomku změníme jen znaménko, dostáváme zlomek opačný. Při této činnosti je jedno, zda napíšeme znaménko do čitatele, do jmenovatele nebo před zlomek. 4. Umocňování číselných výrazů umocňujeme-li desetinné číslo, pak výsledek má tolik desetinných míst, kolik je součin desetinných míst u původního čísla a exponentu mocniny umocňujeme-li číslo, které končí jednou nebo více nulami, pak umocníme tu část čísla, která vznikne po pomyslném odstranění nul a připíšeme tolik nul, kolik je součin jejich původního počtu a čísla v exponentu umocňujeme-li zlomek, pak umocňujeme jeho čitatele i jmenovatele druhé mocniny čísel do 20 musíme znát zpaměti 1 2 1 11 2 121 2 2 4 12 2 144 3 2 9 13 2 169 4 2 16 14 2 196 5 2 25 15 2 225 6 2 36 16 2 256 6
7 2 49 17 2 289 8 2 64 18 2 324 9 2 81 19 2 361 10 2 100 20 2 400 stejně tak musíme znát zpaměti třetí mocniny čísel do 10 1 3 1 2 3 8 3 3 27 4 3 64 5 3 125 6 3 216 7 3 343 8 3 512 9 3 729 10 3 1000 5. Odmocňování číselných výrazů provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) druhou odmocninu desetinného čísla, musíme nejprve číslo upravit tak, aby obsahovalo sudý počet desetinných míst a zároveň toto číslo zapsané bez ohledu na desetinnou čárku bylo v rozmezí od jedné do tisíce. To provedeme tak, že buď přidáme nulu na konec čísla, případně provedeme zaokrouhlení. U výsledku pak přibude polovina desetinných míst z jejich původního počtu. provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) třetí odmocninu desetinného čísla, postupujeme úplně stejně, jen číslo v prvním kroku upravíme tak, aby počet desetinných míst byl násobkem tří. U výsledku pak přibude třetina desetinných míst z jejich původního počtu. jedná-li se o čísla naopak příliš velká (končí jednou nebo více nulami), provedeme zaokrouhlení tak, aby počet nul byl sudé číslo (pro druhou odmocninu) a číslo odpovídající násobku tří (pro třetí odmocninu) a zbytek čísla (po pomyslném oddělení nul) byl z rozmezí od jedné do tisíce. Po odmocnění posuneme desetinnou čárku o tolik míst doprava, kolik je polovina z celkového počtu nul (pro druhou odmocninu) nebo třetina z celkového počtu nul (pro třetí odmocninu) Pokud se v číselném výrazu vyskytují závorky, řešíme je na prvním místě s tím, že v první fázi odstraňujeme závorky kulaté, dále hranaté a nakonec teprve závorky složené. Ukázkové příklady: Příklad 1: Vypočítejte: 7
Příklad 2: Vypočtěte: Příklad 3: Vypočtěte: 8
Pozn.: Sejdou-li se při úpravě číselného výrazu, pak postupujeme tak, že dvě shodná znaménka nahradíme znaménkem plus a dvě opačná znaménka nahradíme znaménkem minus. 5. Číselné výrazy - procvičovací příklady 1. Vypočtěte 4,396 : (1,3 + 0,27) - 0,95 + 1,15 2. Vypočti 2950 2945 3. Vypočtěte bez použití kalkulátoru: 2981 4. Vypočti 0,322 : 1,4 5. Vypočti 2974 2940 6. Vypočti 2964 7. Vypočti 2942 8. Vypočti 2960 9
9. Vypočti 245 + 595 : 35 10. Vypočti 2948 2965 11. Vypočti 2961 12. Vypočti 876 - (1 712-2 314) + (-2 896 + 1 413) 13. Vypočtěte: 2938 2982 14. Vypočti 2971 15. Vypočti 2966 16. Vypočti 2972 17. Vypočti 2936 18. Vypočti 2967 19. Vypočti: 30 + 150 : 30-10. (7,8-3,12) 20. Vypočti a výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa 2958 2943 21. Vypočtěte a zaokrouhlete na desítky 35,4-16,8 : 2,4 - (30-25,4) + 15. 0 2951 10
22. Zjednoduš: 2978 23. Vypočti 2973 24. Vypočti 2959 25. Vypočti 2941 26. Vypočti 2975 27. Vypočti 2937 28. Vypočti 2946 29. Vypočti 2944 30. Vypočti 2939 11
31. Vypočti (0,42. 3,5) : 0,49 32. Zjednoduš zlomek a potom jej převeď na desetinné číslo zaokrouhlené na tisíciny. 2949 2979 33. Vypočti 2970 34. Vypočti 2963 35. Vypočti 208. 4 + 2 36. Vypočti bez zaokrouhlování 2954 2976 37. Vypočítejte číslo a a zapište číslo opačné: 2980 a = (-3). (-0,1). 200. (-4) 38. Vypočti 2947 39. Vypočti 208 : 4-2 40. Vypočti číslo b a zapiš jeho převrácenou hodnotu 2956 2977 41. Vypočti 208 + 4. 2 42. Vypočti 2955 2957 12
43. Vypočti 2952 44. Vypočti 2968 45. Vypočti 2962 46. Vypočti 208-4 : 2 47. Vypočti 2953 2969 6. Intervaly Intervaly, jejich zápis a znázornění Užití intervalů je široké a setkáme se s nimi nejen při řešení nerovnic. Interval je vlastně jakési rozmezí čísel. Rozdělení intervalů: 1. Uzavřený interval a x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší nebo rovno než a ) - zapisujeme též množinově: x <a; b> Grafickým znázorněním tohoto intervalu je úsečka se svými krajními body. 2. Otevřený interval a < x < b (x je menší než b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x (a; b) 13
Grafickým znázorněním je úsečka bez krajních bodů. Poznámka: Zvláštním případem otevřeného intervalu je celá množina reálných čísel. Grafickým znázorněním je přímka. x (- ; + ) nebo jinak x R 3. Polootevřený (polouzavřený) interval a < x b (x je menší nebo rovno b a zároveň větší než a ) - zapisujeme též množinově: x (a; b> Grafickým znázorněním je úsečka s jedním krajním bodem. Takovýto interval někdy také nazýváme zprava uzavřený interval. Pozn.: Analogicky bychom mohli definovat zleva uzavřený interval. 4. Další typy intervalů x < a x (- ; a) Analogicky by byl interval pro x > a x a x (- ; a> Opět analogicky by vypadal interval pro x a Průnik a sjednocení intervalů S průnikem a sjednocením intervalů se setkáme v praxi například při řešení soustav nerovnic, ale i u některých funkcí - například u funkcí s absolutní hodnotou. Průnik dvou intervalů obsahuje tu část číselné osy, jejíž obsah patří do obou intervalů současně. Příklad 1: Určete průnik intervalů <-3; 5> a <2; 7) 14
Při průniku hledáme to, co je oběma intervalům společné, tedy řešením je uzavřený interval <2; 5>. Příklad 2: Určete průnik intervalů (- ; 3) a <0; + ) Společnou částí je v tomto případě zleva uzavřený interval <0; 3). Příklad 3: Určete sjednocení intervalů (-4; 2) a <1; 5) Při sjednocení hledáme to, co patří alespoň do jednoho z intervalů. Řešením je tedy otevřený interval (-4; 5). Příklad 4: Určete sjednocení intervalů (-4; 1) a (2; 4). Řešením je v tomto případě sjednocení (-4; 1) (2; 4). 7. Množiny a operace s nimi Co je množina Množinovými pojmy vyjadřujeme matematické úvahy o skupinách (souhrnech, souborech, oborech) osob, věcí i abstarktních věcí. Společné vlastnosti skupin, oborů, útvarů, souhrnů vyjadřujeme v matematice pomocí základních množinových pojmů: 15
Skupina, organizace, obor, útvar - množina Část skupiny, dílčí organizace, podobor, část útvaru - podmnožina Být členem organizace, patří do skupiny, náležet do oboru, patřit do útvaru - být prvkem množiny Skupina bez členů, útvar neobsahující žádný bod, prázdný obor - prázdná množina Množinu lze zadat: výčtem prvků pomocí charakteristické vlastnosti Inkluze a rovnost množin: inkluzi množiny A v množině B zapisujeme A B (čteme též "Množina A je podmnožinou množin B") rovnost množin zapisujeme A = B Každá množina je i podmnožinou sama sebe. Každá prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Pozn.: Platí, že A B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je zároveň i prvkem množiny B. Platí, že A = B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je i prvkem množiny B a zároveň pro každý prvek množiny B platí, že je i prvkem množiny A. Doplněk množiny: Jsou-li A, U dvě množiny, pro které platí A U, pak existuje množina všech prvků množiny U obsahující prvky, které nepatří do A. Tuto množinu nazveme doplňkem množiny A v množině U (označujeme A ) Průnik a sjednocení množin: Jsou dány množiny A, B, přičemž A B. Množinu všech prvků, které obsahují prvky aspoň jedné z množin A, B nazveme sjednocení množin A, B. Zapisujeme A B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A a zároveň i do množiny B, nazýváme průnik množin A, B. Zapisujeme A B. Množiny, které nemají společné prvky, nazýváme disjunktní množiny. Rozdíl množin: Jsou dány množiny A, B, přičemž A B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A, ale nepatří do množiny B, nazveme rozdíl množin. Zapisujeme A \ B. Množinové operace často znázorňujeme Vennovými diagramy. Procvičovací úlohy: Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A B C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. 16
Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A B' C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A U (B C'). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A' B') U (A B). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) (C U B). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Mezinárodní konference o teorii množin se účastní celkem 134 matematiků, z nich každý ovládá alespoň jeden z těchto jazyků: ruštinu, francouzštinu, angličtinu. 15 z nich ovládá všechny tři jazyky, angličtinu zná o 28 účastníků více než ruštinu. Těch, kteří ovládají ruštinu a francouzštinu a neznají angličtinu, je pětkrát méně, než těch, kteří znají pouze angličtinu. Účastníků konference, kteří znají jenom ruštinu, je třikrát více než těch, kteří ovládají ruštinu a angličtinu, ale neznají francouzštinu. Těch, kteří znají jenom francouzštinu, je právě tolik, jako těch, kteří ovládají jenom angličtinu. Účastníků, kteří ovládají angličtinu a ruštinu, ale neznají francouzštinu, je o 18 méně než těch, kteří neovládají ruštinu, ale znají francouzštinu a angličtinu. Předseda organizačního výboru mluví všemi třemi jazyky. Ve kterém z nich by měl přednést uvítací projev, aby jej mohlo poslouchat co nejvíce účastníků bez tlumočníka? Z 35 žáků odebírá časopis ABC 8 žáků, časopis VTM 10 žáků. 21 žáků neodebírá žádný z těchto dvou časopisů. Kolik žáků odebírá oba časopisy. 17
Obsah 1. Číselné obory 2. Dělitelnost 3. Nejmenší společný násobek, největší společný dělitel 4. Číselné výrazy 5. Číselné výrazy - procvičovací příklady 6. Intervaly 7. Množiny a operace s nimi 2 2 4 5 9 13 15 18