SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

Transkript

1 SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

2 1. Výrazy a počítání s nimi Mocniny s celým exponentem a s racionálním exponentem Počítání s odmocninami Úpravy algebraických výrazů Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Lineární rovnice, rovnice s neznámou ve jmenovateli Soustavy lineárních rovnic Lineární nerovnice Soustavy lineárních nerovnic, nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Kvadratické rovnice Kvadratické nerovnice Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Rovnice s parametrem Iracionální rovnice rovnice s neznámou v odmocněnci (pod odmocninou) Exponenciální rovnice Logaritmické rovnice Goniometrické rovnice Soustava lineární a kvadratické rovnice Funkce Funkce - definice, vlastnosti, Lineární funkce, lomená funkce Mocninné a kvadratické funkce Exponenciální funkce Logaritmická funkce, logaritmy a počítání s nimi Goniometrické funkce Planimetrie, stereometrie Obvody a obsahy rovinných obrazců Řešení pravoúhlého trojúhelníku Řešení obecného trojúhelníku Povrchy a objemy těles Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika

3 5. 1. Variace, permutace, kombinace, kombinatorické pravidlo součinu Výrazy a rovnice s n! a s kombinačními čísly Binomická věta Základy pravděpodobnosti Základy statistiky Posloupnosti a základy finanční matematiky Pojem a určení posloupnosti, vlastnosti posloupnosti Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost (GP) Využití posloupností, slovní úlohy Analytická geometrie v rovině Vzdálenost dvou bodů, střed úsečky Vektor, vektorová algebra Přímka v rovině Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Vzdálenost bodu od přímky Kružnice Kružnice a přímka Elipsa Elipsa a přímka Parabola Parabola a přímka Hyperbola Hyperbola a přímka

4 1. Výrazy a počítání s nimi 1.1. Mocniny s celým exponentem a s racionálním exponentem Mocniny s celým mocnitelem V dalších úlohách budeme užívat následující pravidla a vlastnosti mocnin: (1) a 0 = 1 a R \ 0 n (2) a -n 1 1 = n = a a (3) a b n b a (4) a r. a s = a r+s r, s N (5) a r : a s = a r-s (6) (a r ) s = (a s ) r = a r.s (7) (a.b) r = a r. b r (8) (a : b) r = a r : b r n a R \ 0 n N a, b R \ 0 n N Zjednodušte dané výrazy: a) Provedeme úpravu dělitele. Odstraníme záporný mocnitel. Umocníme každou proměnnou i číslo samostatně; nahradíme 4 = 2 2 viz Pravidla (7), (8). Násobíme, resp. dělíme mocniny o stejném základu viz Pravidla (4), (5): Podmínka: b) ( )

5 Provedeme úpravu se zápornými mocniteli viz Pravidla (2), (3), resp. (1). Upravíme dělení zlomkem na násobení jeho převrácenou hodnotou: ( ) Podmínka: x > 2, c) Umocníme dle Pravidel (6), (7), (8), resp. (1) a násobíme, resp. dělíme mocniny o stejném základu viz Pravidla (4), (5): Podmínka: Mocniny s racionálním mocnitelem Pro mocniny s racionálním mocnitelem platí Pravidla (1) (8) viz kapitolka Mocniny s celým mocnitelem. Dále pak musí splňovat následující pravidla: PRAVIDLA : (9) ( ) (10) (11) (12) (13) Zjednodušte dané výrazy (počítejte pomocí pravidel pro počítání s mocninami s racionálním mocnitelem): a) Užijeme Pravidla (4), (5) a respektujeme počítání se zlomky:

6 Podmínka: b) ( ) Upravíme na mocniny s racionálním mocnitelem dle Pravidla (9) a dále užijeme Pravidla (4), (5), (6): ( ) c) Podmínka: Podmínka: d) Čísla v základu mocniny upravíme na mocniny prvočísel. e) f)

7 g) h) Podmínka: 1.2 Počítání s odmocninami Částečné odmocňování Číslo nebo výraz pod odmocninou rozložíme tak, aby alespoň jeden z činitelů šel odmocnit a pak užijeme vzorec a) b)

8 1.2.2 Usměrňování zlomků Tuto úpravu užíváme, pokud se ve jmenovateli zlomku vyskytuje odmocnina 1. ZPŮSOB: Rozšíříme čitatele i jmenovatele výrazem, který je v zadání ve jmenovateli a pak upravujeme: 2. ZPŮSOB: Nejdříve zjednodušíme zadaný zlomek a pak rozšíříme podle vzoru 1. způsobu: a) Volíme 1. způsob výpočtu: Volíme 2. způsob výpočtu: b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zjednodušte dané výrazy pomocí pravidel pro počítání s odmocninami PRAVIDLA pro počítání s odmocninami (1) (2) (3) (4) (5) ( )

9 a) Nejprve upravíme na stejné odmocnitele dle Pravidla (4), potom sloučíme pod jednu odmocninu dle Pravidla (1): Podmínka: b) Odstraníme záporné mocnitele a ve jmenovateli užijeme pravidlo (4) : Podmínka: c) Podmínka: d) ( ) Nejprve upravíme závorku, tj. 1. zlomek a pak dále dělení převedeme na násobení. V poslední řadě krátíme a sečteme zbylé zlomky: ( ) ( ) ( ) ( ) Podmínka: e)

10 Úprava mezivýsledku: Podmínka: f) Upravíme na odmocniny Podmínka: x g) ( ) ( ) Podmínka: x 1.3 Úpravy algebraických výrazů Vypočtěte Úloha se vztahuje na sčítání, resp. odčítání zlomků. Zopakujte si stanovení společného jmenovatele a převedení všech zlomků na něj. a) Rozložte si složený výraz: b) Podmínky: Rozklad jmenovatelů: a

11 Podmínky: c) Podmínky: d) 1. způsob úpravy: 2. způsob úpravy: Podmínky: e) Zvolte libovolný ze způsobů úpravy. Podmínky: f)

12 Podmínky: ; 2. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.1 Lineární rovnice, rovnice s neznámou ve jmenovateli Řešte v R rovnice a proveďte zkoušku a) Odstraníme zlomky: Zkouška: { } b) Umocňujeme podle vzorce :

13 { } Kontrolu proveďte sami. c) { [ ] } Postupně odstraňujeme závorky: { [ ] } { [ ] } { } { } Kontrolu proveďte zpaměti Řešte v N rovnice a proveďte zkoušku Dané rovnice řešíme známým způsobem. V závěru posoudíme, zda je vypočtený kořen přirozené číslo. a) { }

14 b) { } Kontrolu proveďte zpaměti Řešte v R rovnice, udejte podmínky řešení a) Násobíme společným jmenovatelem: Podmínky: { } b) Rozklad složených jmenovatelů :

15 Rozšíříme společným jmenovatelem : Podmínky: { } c) Upravíme složené zlomky: { } Podmínky: d) Rozklad složených jmenovatelů:

16 Odstraníme zlomky násobením společným jmenovatelem : Podmínky: { } Slovní úlohy na lineární rovnice a) Které číslo je nutné přičíst k čitateli a jmenovateli zlomku, aby se změnil na zlomek? Označme hledané číslo: a Ze zadání plyne: Řešíme vzniklou rovnici: Hledané číslo je. Podmínka: b) Jana je třikrát starší než Martin. Za pět let však bude jen dvakrát starší. Kolik let je nyní oběma dětem?

17 nyní za 5 let Martin Jana Máme soustavu rovnic: zvolíme dosazovací metodu řešení soustavy dvou rovnic Dětem je 15 a 5 let. c) Skupina pracovníku lesního závodu by vysadila stanovený počet stromků za 10 hodin, skupina brigádníků tentýž počet za 18 hodin. Za kolik hodin by stanovený počet stromků vysadily obě skupiny, kdyby pracovaly společně? samostatná práce za 1 hodinu sami udělají za x hodin společné práce zaměstnanci 10 hodin 1/10 práce x/10 práce brigádníci 18 hodin 1/18 práce x/18 práce sestavíme rovnici: odstraníme zlomky: Obě skupiny budou společně pracovat asi 6,4 hodiny. d) Součástka měla před opracováním hmotnost 420 g. Jakou hmotnost měla součástka opracovaná, je-li hmotnost odpadu 20 krát menší než hmotnost opracované součástky? hmotnost odpadu: x g.. 20 g

18 hmotnost opracovaného výrobku: 20x g 400 g celková hmotnost před opracováním: 420 g 420 g Sestavíme rovnici: Opracovaná součástka měla 400 g, odpad 20 g. 2.2 Soustavy lineárních rovnic Principem řešení soustavy více rovnic o více neznámých (stejný počet rovnic jako neznámých) je dovoleným způsobem postupně snížit počet rovnic a neznámých v nich až k jedné rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme a pak postupně dopočítáme zbylé neznámé. Úpravy soustav rovnic: 1) Početní dosazovací (substituční) - sčítací - porovnávací 2) Grafické sestrojíme obrazy příslušných funkcí a hledáme souřadnice jejich průsečíků Kontrolu dosazením do zadaných rovnic provádějte sami Řešte v soustavy rovnic a) Označíme rovnice I, II. Z rovnice I vyjádříme x a dosadíme do rovnice II. Použijeme tedy dosazovací metodu. I) (substituce) II) ) získali jsme jednu rovnici o jedné neznámé, kterou řešíme známým způsobem

19 vypočtenou hodnotu y dosadíme zpět do substituce Y = {[ ]} - Množinu kořenů tvoří uspořádaná dvojice čísel [ ] při grafickém řešení souřadnice průsečíku Soustava má 1 řešení. b) ; Použijeme sčítací metodu. Obě rovnice označíme I, II a rovnici II od I odečteme (přičteme násobek ). ) ) nepravdivé tvrzení => soustava nemá řešení { } Poznámka: Obě rovnice máme zapsány ve tvaru, kde: je u obou rovnic stejné rozhodujeme o směru přímky (graf) jsou různá čísla průsečíky s osou y. Grafické řešení by ukázalo, že obrazem obou funkcí jsou různé rovnoběžné přímky => nemají žádný společný bod. c) Volíme sčítací metodu. Koeficienty v obou rovnicích upravíme tak, aby u jedné z neznámých tvořily opačná čísla. rovnice sečteme vypočtené x dosadíme do 1. rovnice {[ ]}

20 d) Volíme dosazovací metodu. Vypočtené x dosadíme do substituce y = 3x 17 : {[ ]} Řešte početně i graficky a) Početně: rovnice odečteme a dostáváme dosadíme za y do 1. rovnice {[ ]} Graficky: z obou rovnic vyjádříme ) )

21 Řešením jsou souřadnice průsečíku P. b) Početně:... {[ ]} Graficky: ) )

22 Řešením jsou souřadnice průsečíku P. c) Početně: rovnice sečteme {[ ]} Graficky: ) )

23 Řešením jsou souřadnice průsečíku P Řešte v R 3 soustavy rovnic. a) Označíme rovnice I) III) ) ) ) ) ) ) ) ) {[ ]}

24 b) ) ) ) ) ) ) rovnice sečteme ) dosadíme za x postupně do rovnice I) i II) ) {[ ]} c) V závodě je zaměstnáno o 164 mužů více než žen. 18 mužů odešlo do důchodu a je přijato 6 žen. Tím dosáhl počet mužů trojnásobku počtu žen. Kolik bylo kterých? Ženy Původně Po změnách Kontrola Muži nebo jinak Sestavíme rovnici: Původně bylo v závodě 64 žen a 228 mužů.

25 d) Do nádrže na 150 hl přitéká voda dvěma otvory. Teče-li prvním 3 hodiny a druhým 5 hodin, nateče 95 hl. Teče-li prvním 5 hodin a druhým 3 hodiny, nateče 105 hl. Kolik hl nateče za hodinu každým otvorem a za kolik hodin bude nádrž plná, přitéká-li voda oběma otvory zároveň? Nejdříve vyřešíme 1. část úlohy množství vody, které vytéká každým otvorem: Množství vody za hodinu hl/hod. 1.otvor 3 hod. 2.otvor 5 hod. 1.otvor 5 hod. 2.otvor 3 hod. 1.otvor X 3x hl 5x hl 2.otvor Y 5y hl 3y hl Celkem 95 = 3x + 5y 105 = 5x + 3y Řešíme soustavu rovnic - použita sčítací metoda řešení potom po dosazení za y Prvním otvorem nateče za hodinu 15 hl, druhým 10 hl. 2. část úlohy: Za kolik hodin bude nádrž plná, přitéká-li voda oběma otvory najednou? Za hodinu Za z hodin Kontrola 1.otvor 2.otvor 15 hl 10 hl Celkem 25 hl 150 hl Řešíme rovnici: Nádrž se naplní za 6 hodin.

26 2.3 Lineární nerovnice Řešte nerovnice v daných množinách Nerovnici řešíme podle pravidel práce s ní a výsledkem je průnik zadané a vyřešené množiny. a) b) při násobení nebo dělení záporným číslem obracíme smysl nerovnice Výsledkem je interval protože řešíme v R. c) { } { } Stanovte definiční obor u následujících funkcí a) výraz pod odmocninou musí být nezáporný (

27 b) logaritmovat umíme jen kladná čísla c) viz a) ) Uveďte, kdy mají dané výrazy záporný jmenovatel a) Zlomek má záporný jmenovatel pro všechna. b) použijeme vzorec a 3 + b 3

28 Zlomek má záporný jmenovatel pro všechna 2.4 Soustavy lineárních nerovnic, nerovnice v součinovém a podílovém tvaru V množině R řešte soustavu nerovnic Každou nerovnici řešíme samostatně. Výsledek je průnikem dílčích řešení. a) ) ) ) ) ) ( b) ) ) ) )

29 c) ) ) ) ) Stanovte definiční obor funkcí Řešíme nerovnice v podílovém tvaru. Užíváme diskuzi, kdy je podíl výrazů kladný, resp. záporný. a) Podmínka : Určíme čísla, pro která je výraz ve jmenovateli, resp. čitateli roven nule = nulové body (NB): čitatel : jmenovatel : Nulové body rozdělí R na tři intervaly, ve kterých provedeme uvedenou diskuzi: ) ) ) b) Podmínka:

30 NB: c) Podmínka: sestavíme nerovnici: NB: ( ( ( Řešte v R a) Podmínka: Jednou z možností řešení je převést problém na řešení nerovnice v podílovém tvaru: - upravujeme tak, aby na pravé straně byla 0 a převedeme na společného jmenovatele nerovnice v podílovém tvaru řešení pomocí nulových bodů NB, nebo řešením soustavy nerovnic viz dále:

31 ) nebo ) b) Podmínka: převedeme na společný jmenovatel řešení pomocí NB NB: X: c) Podmínky: opět upravujeme na jeden zlomek - společný jmenovatel řešíme pomocí nulových bodů

32 NB: X: Celkem: d) NB: ; ( ) ( ) e) NB: ; f) NB: ( )

33 2.5 Kvadratické rovnice Úplná kvadratická rovnice I řešíme rozkladem v součin lineárních dvojčlenů a pomocí pravidla součin je roven 0, je-li alespoň 1 činitel roven 0 II nebo pomocí vzorců diskriminant D, kořeny A) Řešte v R rovnice: 1) Řešíme rozkladem v součin lineárních dvojčlenů. 2) Řešíme užitím vzorců pro diskriminant a kořeny. a = 3; b = - 8 ; c = 4 { } { } 3) Upravíme na anulovaný tvar a řešíme pomocí vzorců. { } 4) Řešíme rozkladem v součin. { }

34 B) Z daných kořenů sestavte kvadratickou rovnici: Opačná úloha k řešení rovnice. Využijeme možnost sestavit kvadratický trojčlen násobením dvojčlenů, kde a jsou zadané kořeny. Tento součin kořenových činitelů položíme roven nule. 1) 2, - 3 součin kořenových činitelů Dosadíme: 2) 6, -6 součin kořenových činitelů Kvadratické nerovnice Kvadratické nerovnice řešíme úpravou na nerovnice v součinovém tvaru rozklad kvadratického mnohočlenu v součin kořenových činitelů, nebo užitím vlastností příslušné kvadratické funkce Řešte v R kvadratické nerovnice a) NB: ( ) ( ) b) řešení viz tabulka v části a) c)

35 Rozložíme kvadratický trojčlen v součin výpočtem kořenů příslušné kvadratické rovnice: NB: d) užíváme vzorce pro rozklad kvadratického trojčlenu Určete všechna pro která nabývá funkce hodnoty větší nebo rovné nule: Úlohy řešíme pomocí metod pro kvadratické nerovnice sestavíme ji, určíme nulové body funkce a využijeme jejich vlastností. a)

36 NB: ( ) ( ) b) NB: ( ) ( ) c) NB: ( ) ( )

37 2.6.3 Určete definiční obory funkcí: V úlohách použijeme vlastnosti příslušných funkcí (logaritmovat umíme pouze kladná čísla, resp. odmocnit umíme jen čísla nezáporná) k sestavení nerovnice, kterou řešíme výše použitými metodami. a) NB: b) NB: ( ) ( )

38 2. 7. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Odstraňujeme absolutní hodnotu výrazu v závislosti na tom, zda nabývá výraz v absolutní hodnotě kladné či záporné hodnoty (popř. 0) a vlastností absolutní hodnoty reálného čísla Rovnice 1) Řešte v R: a) Stanovíme nulový bod výrazu v absolutní hodnotě. Pomocí něj rozdělíme řešení rovnice do dvou intervalů, podle hodnoty výrazu. NB: ) - + ) { } b) NB: ) - +

39 ) { } c) NB: ) - + ) { } 2) Řešte v Z: a) { } { } - + ) odstraníme zlomek upravíme na anulovaný tvar

40 řešíme kvadratickou rovnici ) { } { } { } { } b) NB: { } { } { } ) { } ) { } { }

41 ) { } { } rovnice nemá v Z řešení c) NB: { } { } { } ) { } řešením jsou všechna čísla daného intervalu { } ) { } { } ) { } { } 3) Rovnice: má v intervalu a) žádné řešení b) právě 2 řešení c) právě 1 řešení d) právě 3 řešení e) nekonečně mnoho řešení Úlohu můžeme řešit obvyklým způsobem - jen rozsah úvah omezíme na Nebo z tohoto intervalu volíme postupně čísla a zkoumáme, zda jsou řešením dané rovnice (např.: { }) Pokud takto najdeme alespoň 4 řešení, pak platí varianta e) atd. Obvyklý způsob řešení:

42 NB: Nulové body, resp. nulový bod rozdělí zadaný interval na dvě části: ) ) ) ) ) nekonečně mnoho řešení { } Platí varianta e) NEROVNICE Nerovnice s absolutní hodnotou řešíme obdobně jako rovnice v předešlé části, jen navíc respektujeme ekvivalentní úpravy nerovnic. Výsledkem v jednotlivých částech je průnik intervalu, který je řešením vzniklé nerovnice a intervalu v němž řešíme. Celkové řešení je sjednocením řešení dílčích. 1) Řešte v R následující nerovnice: a) NB: ) - +

43 ) ) ) b) NB: ( + - ( ( ( c) NB: ) - +

44 { } ( 2) Řešte v daných intervalech: a) ) NB: Daný interval bude nulovými body rozdělen na 3 části I. - III. ) ) ) I. ) { } II. ) III. ) ) b)

45 NB: Vzhledem k hodnotám NB řešíme jen pro Získáme nerovnici: ) 3) Definičním oborem funkce f: je množina: a) ) b) ) c) { } d) e) ) Řešíme soustavu nerovnic: I. pro ) II. pro ) { } ) ) Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahují kromě neznámé, vzhledem ke které rovnici řešíme, ještě další proměnnou - parametr, kterou v průběhu řešení považujeme za konstantu a sledujeme (kromě podmínek existence a smyslu rovnice) kolik a za jakých podmínek pro parametr má rovnice řešení. 1) Řešte v R rovnici s parametrem : a)

46 Rovnici řešíme stejně jako každou jinou lineární rovnici. Protože je parametr a ve jmenovateli zlomku, musíme stanovit, kdy má rovnice smysl: - odstraníme zlomek - vyjádříme x - výrazy s neznámou x převedeme na stejnou stranu - vytkneme x na levé straně rovnice - vzhledem k tomu, že dělíme výrazem (resp. ), musí platit:, Závěr: - pro a současně má rovnice právě jeden kořen ve tvaru ; - pro nemá rovnice smysl. b) - rovnice má smysl pro - odstraníme zlomky - upravíme levou stranu rovnice - osamostatníme x - dělíme výrazem Závěr: - pro má rovnice právě jeden kořen ve tvaru ; - pro nemá rovnice smysl a - pro nemá rovnice řešení. 2) Řešte v N rovnici s parametrem pro nemá rovnice smysl

47 je-li - pro - pro - pro - pro - pro - pro Větší čísla nemá smysl za parametr a dosazovat. Závěr: - pro - pro { } - pro { } 3) Řešte v R rovnici s parametrem pro m = 0 nemá rovnice smysl po dosazení m = - 2 dostáváme tvrzení typu 0 2 rovnice nemá řešení po dosazení m = 2 dostáváme tvrzení typu 0 = 0 rovnice má nekonečně mnoho řešení kromě x = 0 Závěr: - pro nemá rovnice smysl - pro nemá rovnice řešení - pro má rovnice nekonečně mnoho řešení, - pro má rovnice jedno řešení

48 4) Pro které hodnoty parametru má daná rovnice s neznámou x předepsaný kořen: V těchto úlohách nás budou zajímat vlastnosti kořenů v návaznosti na hodnoty parametru. Nepovedeme tady diskuzi k řešení rovnice (postupu). odstraníme zlomky Proto budeme diskutovat:.řešíme nerovnici v podílovém tvaru vzhledem k a. Použijeme metodu nulových bodů: Závěr: Výraz bude mít kladnou hodnotu pro 5) Určete všechny hodnoty parametru a, pro které má rovnice: a) kladné řešení b) záporné řešení Obě části úlohy budeme řešit společně a rozlišíme je až v diskuzi.

49 rovnice není definována pro Nejdříve vyčleníme hodnotu parametru pro Dále vedeme diskuzi NB: Závěr: a) Rovnice má kladné řešení pro b) Rovnice má záporné řešení pro Iracionální rovnice rovnice s neznámou v odmocněnci (pod odmocninou) Rovnice tohoto typu upravujeme obvykle umocněním obou stran shodným mocnitelem, což není tzv. ekvivalentní úprava rovnic. Proto musíme buď stanovit podmínky, za kterých mají výrazy s odmocninou smysl, nebo jako součást řešení provedeme zkoušku. 1) Řešte v R rovnice:

50 V úlohách a) a b) je vždy jen jedna odmocnina v rovnici. Vždy ji nejdříve osamostatníme a pak provedeme umocnění. a) Podmínky: - rovnici umocníme - řešíme kvadratickou rovnici rozkladem v součin - součin je roven nule, je-li alespoň jeden z činitelů roven nule nevyhovuje vyhovuje { } podmínkám podmínkám b) Podmínky: K úpravě levé strany rovnice musíme užít vzorec Obdobně jako v úloze a) řešíme kvadratickou rovnici. Kořen x 2 nevyhovuje podmínkám. { } V dalších příkladech jsou v zadání rovnic dvě a více odmocniny. Proto bude potřeba umocňovat tyto rovnice opakovaně vždy po vhodné úpravě. Dále postupujeme známým způsobem (viz úloha 1).

51 c) Levou stranu umocníme podle vzorce Osamostatníme odmocninu Zjednodušíme rovnici Umocníme podruhé Použijeme vzorec Kontrola: { } d) - můžeme upravit i tak, abychom měli na každé straně rovnice po jedné odmocnině: Další postup viz. předchozí úloha ( ) Umocníme Kontrola:

52 { } e) ( ) ( ) ; Kontrola: { } f) ( )

53 Kontrola: Nelze určit kořen nemůže být řešením { } Exponenciální rovnice V úlohách 1-3 pracujeme s pravidly pro počítání s mocninami: (pro přípustné hodnoty proměnných) Případně Pravidlo o rovnosti mocnin

54 a) 1) Řešte v R rovnici: Použijeme pravidlo (6) o rovnosti mocnin o stejném základu upravíme pravou stranu Vzhledem k použití neekvivalentní úpravy rovnice - pravidlo (6) je součástí řešení ZKOUŠKA Zkoušku je možné provést zpaměti dosadíme za x do původní rovnice { } b) Upravíme (8), resp. (3) - a použijeme (6) Kontrolu opět provedeme zpaměti. { } c) Postupujeme obdobně jako v předchozích úlohách. Zkouška:

55 { } d) Upravíme obě strany na mocniny se základem 3: (1), (3) Pravidlo (6) Kontrolu proveďte zpaměti { } e) Upravíme obě strany rovnice na mocniny se základem 10: (4), (7), (3), (1) Pravidlo (6) Kontrola zpaměti. { } f) Levou stranu rovnice upravíme na mocninu se základem. [ ] [ ] užita pravidla (3), (1), (7) užitím pravidla (6) Po kontrole zpaměti : { } g) [ ]

56 Kontrola zpaměti. { } h) rozložíme: pravidlo (1) vytkneme Kontrola zpaměti. { } i) rozklad: pravidlo (1) Kontrola zpaměti. { } j) Rozklady: Substituce Dosadíme do substituce: Po kontrole: { }

57 2.11 Logaritmické rovnice 1) Řešte logaritmické rovnice o neznámé x nebo y: V této části budeme užívat jednak pravidel pro počítání s logaritmy: Pro každé { } pro a platí: A dále pravidla rovnosti logaritmů: Rovnají-li se logaritmy dvou výrazů, musí se rovnat i výrazy. Protože v průběhu řešení logaritmických rovnic používáme tzv. neekvivalentní úpravu - pravidlo rovnosti logaritmů (odlogaritmování rovnice), je třeba buď stanovit podmínky řešení nebo provést zkoušku. a) Podmínky, za kterých jsou výrazy v rovnici definovány, plynou z vlastností logaritmické funkce: Použijeme pravidlo rovnosti logaritmů dvou výrazů a odlogaritmujeme: Řešíme lineární rovnici kořen splňuje podmínky { } b) Místo stanovení podmínek můžeme také v závěru provést zkoušku, která je součástí řešení. Odlogaritmováním dostaneme Upravujeme na anulovaný tvar a řešíme kvadratickou rovnici

58 Zkouška: není definován není řešení c) { } Pravou stranu rovnice je třeba nahradit příslušným logaritmem: rovnost dvou logaritmů:, abychom dostali Podmínky: Odlogaritmujeme: vyhovuje podmínkám { } d) Upravíme levou stranu rovnice: - { } e) Podmínky: Potom platí vyhovuje podmínkám -pravidlo (2) Tento typ logaritmické rovnice řešíme zavedením substituce za příslušný logaritmus, řešením vzniklé rovnice a následným dosazením kořenů do původní substituce: Substituce: Podmínky: Dostáváme rovnici:

59 Dosadíme za z do substituce: Oba kořeny vyhovují podmínkám. { } f) Postupujeme obdobně jako v předchozí úloze Substituce: Podmínky: dosadíme do substituce: vyhovuje podmínkám { } g) Upravíme levou stranu rovnice pravidlo (1) a následně odlogaritmujeme. [ ] Podmínky: Řešení kvadratické rovnice pomocí nevyhovuje podmínkám { } nevyhovuje podmínkám

60 2) Řešte rovnici o neznámé a parametru : Upravujeme obě strany rovnice podle pravidel pro počítání s logaritmy (1), (2) a dále řešíme obdobně jako úlohy v části 2) jen bereme v úvahu, že řešíme současně parametrickou rovnici: odlogaritmujeme odstraníme zlomky 2.12 Goniometrické rovnice V úloze 1) budeme řešit základní typy goniometrických rovnic: Nejdříve stanovíme pomocný úhel Dále určíme základní řešení - popř. v rozmezí resp. Všechna řešení dostaneme přičtením k-násobku příslušné periody, kde a perioda, resp. Je-li v zadání stanoveno řešte v R, výsledky uvádíme v radiánech 1) Řešte v R rovnice: a) pomocný úhel

61 { } b) pomocný úhel Základní řešení - násobek periody { } c) všechna řešení je záporný ve III. a IV. kvadrantu { } d) je kladný v I. a II. kvadrantu { } e) je záporný ve III. a IV. kvadrantu { }

62 f) je záporný ve II. resp. III. kvadrantu g) { } h) { } Poznámka: Základní typy goniometrických rovnic, podobně jako další jednodušší typy, můžeme také řešit pomocí jednotkové kružnice nebo grafů jednotlivých goniometrických funkcí. Následující úlohy mají na levé straně rovnice funkci násobného argumentu a tedy složenou funkci. Vnější funkcí je některá z goniometrických funkcí a vnitřní funkcí je násobek nebo díl argumentu x. Tyto úlohy řešíme pomocí substituce. Za vnitřní funkci zavedeme jinou neznámou. Tím vznikne rovnice základního typu, kterou řešíme známým způsobem. Konečný výsledek získáme zpětným dosazením do substituce. i) Substituce: Dosadili jsme substituci a řešíme rovnici vzhledem k y Pomocný úhel Základní řešení

63 Dosadíme do substituce: zjednodušením zápisu { } j) Substituce: pomocný úhel; řešení hledáme ve III. a IV. kvadrantu Dosadíme do substituce: { } k) Substituce: Dosadíme do substituce: { } l) Substituce: Dosadíme do substituce:

64 { } Následující úlohy buď už v zadání představují nebo se dají upravit na kvadratické rovnice, kde neznámou je některá z goniometrických funkcí. Zde tedy také zavádíme substituci za příslušnou goniometrickou funkci, řešíme vzniklou kvadratickou rovnici a zpětně dosazujeme výsledky do použité substituce. Tím vznikne goniometrická rovnice základního typu, kterou řešíme podle postupu v 1. úloze. m) Substituce: řešíme vzniklou kvadratickou rovnici bez absolutního členu Postupně dosadíme kořeny do substituce: řešením základních goniometrických rovnic dostaneme { } n) Substituce: Dosadíme do substituce: nemá řešení

65 { } o) Substituce: Dosadíme do substituce: p) { } V této úloze máme 2 goniometrické funkce. Proto užitím vzorce, upravíme nejdříve zadanou rovnici:, resp. Nyní zavedeme substituci a pokračujeme obvyklým způsobem: Dosadíme do substituce:

66 nemá řešení { } q) Obdobně jako v části d) nahradíme jednu z funkcí užitím vzorce např.. Přesněji zavedeme substituci: a řešíme iracionální rovnici umocníme upravíme Dosadíme do substituce: { } Poznámka: úlohu tohoto typu můžeme řešit i graficky:

67 Rovnici můžeme upravit na tvar : Z grafů je patrné: 1) 2) a tak dále Soustava lineární a kvadratické rovnice Při řešení tohoto typu soustav rovnic volíme obvykle dosazovací metodu (vyjádříme jednu neznámou z lineární rovnice) a následně řešíme vzniklou kvadratickou rovnici obvyklým způsobem. Řešte soustavy rovnic: 1) ) ) dosadíme do II) po úpravě rozkladem v součin

68 dosadíme za y {[ ] [ ]} 2) ) dosadíme do II) ) Výpočet dosadíme do vztahu : {[ ] [ ]} 3) ) dosadíme do rovnice II) ) Výpočet {[ ][ ]} 4) ) ) dosadíme do I) )

69 Výpočet : {[ ] [ ]} 3. Funkce Funkce - definice, vlastnosti,. 1) Pražská střední škola pořádá zájezd na jižní Moravu. Pronájem autobusu je bude stát 5 500,- Kč, neboť autobusová společnost si účtuje 20 Kč za 1 km. Označte x počet účastníků zájezdu a y Kč cestovné, které připadá na jednoho účastníka. Funkce f vyjadřující závislost y na x je dána předpisem: A) B) C) D) Platí varianta C). Celková cena se rozdělí na počet účastníků. 2) Závislost délky pružiny na hmotnosti závaží, které na ni zavěsíme, je pro závaží o hmotnosti 0 kg až 20 kg dána lineární funkcí. Při zatížení závažím o hmotnosti 2 kg má pružina délku 13 cm, při zatížení závažím o hmotnosti 10 kg má délku 25 cm. a) Sestavte funkční předpis vyjadřující závislost délky pružiny na hmotnosti zavěšeného závaží. b) Určete délku nezatížené pružiny. c) Sestrojte graf závislosti délky pružiny na hmotnosti zavěšeného závaží.

70 a) Sestavte funkční předpis vyjadřující závislost délky pružiny na hmotnosti zavěšeného závaží: Označíme x hmotnost závaží; y délka pružiny. Z textu úlohy plynou hodnoty: Hledáme lineární funkci, která má předpis: 2 10 y Dosadíme postupně do této rovnice za x a y hodnoty z tabulky: rovnice odečteme Výpočet b: Výsledná rovnice funkce: b) Délka nezatížené pružiny: Hmotnost závaží je 0: Délka nezatížené pružiny je 10 cm. c) Sestrojte graf závislosti délky pružiny na hmotnosti zavěšeného závaží: Lineární funkce, lomená funkce 1) Načrtněte graf dané funkce a určete: její název, D(f), H(f), intervaly růstu a poklesu a případné významné body dané funkce. a) b)

71 a) obrázek 3.2.1a) lineární funkce Grafem je přímka. D(f) = R, H(f) = R. - protože parametr Průsečíky s osami: - vždy [ ] [ ] - vždy [ ] [ ]...zvláštní případ lineární funkce - KONSTATNÍ funkce Grafem je přímka rovnoběžná s osou x viz obr a). D(g) = R ; H(g) = { } Funkce neroste ani neklesá. zvláštní případ - lineární funkce - přímá úměrnost Grafem je přímka jdoucí bodem [ ] - viz obr a). D(h) = R ; H(h) = R Funkce roste -. - průsečík s osami: [ ] - přímka je osou I. a III. kvadrantu - obdobně bude graf funkce lineární funkce s absolutní hodnotou Při konstrukci grafu vycházíme z vnitřní funkce: a vlastností absolutní hodnoty. - sestrojíme graf (například posunutím )

72 - určíme nulový bod funkce (NB) [ ] - pomocí osové souměrnosti s osou souměrnosti sestrojíme 2. část grafu funkce - graf funkce je dále osově souměrný podle přímky, která je rovnoběžná s osou y a jde NB - D(k) = R ; H(k) = ; funkce roste a klesá - průsečíky s osami: [ ] [ ] b) obrázek b1) nepřímá úměrnost Grafem je HYBERBOLA, která prochází I. a III. kvadrantem viz. obr b1) D(f) = R\{ } ; H(f) = R\{ } ; funkce klesá { } Bod [ ] hyperboly ; osy x, y asymptoty grafu funkce nepřímá úměrnost Grafem je HYBERBOLA, která prochází II. a IV. kvadrantem viz. obr b1) D(g) = R\{ } ; H(g) = R\{ } ; funkce roste { } Bod [ ] ; - osy x, y asymptoty grafu funkce

73 Obrázek 3.2.1b2) h: po úpravě nepřímá úměrnost Grafem je HYBERBOLA, která prochází I. a III. kvadrantem viz. obr b2) D(f) = R\{ } ; H(f) = R\{ } ; funkce klesá { } Bod [ ] hyperboly ; osy x, y asymptoty grafu funkce k: lineární lomená funkce Graf získáme posunutím grafu funkce o dvě jednotky ve směru záporné části osy x. - hyperbola se středem v [ ] viz. obr b2) D(k) = R\{ } ; H(k) = R\{ } ; funkce klesá { } - asymptoty - osa x; y=-2 - průsečík s osou y:..x = 0 [ ]

74 2) Ozubené kolo o průměru d mm vykoná n otáček za minutu a zasahuje do jiného ozubeného kola o průměru 200 mm, které se otočí za minutu 8-krát. Najděte funkci, která udává závislost n na d. 1.kolo: d mm, n-otáček/min. 2.kolo: d 1 = 200 mm, n 1 = 8 - otáček/min. Pro převod ozubenými koly musí platit vztah: 3) Vyjádřete následující závislosti jako funkce a zapište je rovnicí funkce: a) závislost obvodu čtverce na délce jeho strany b) závislost délky kružnice na velikosti jejího poloměru c) závislost stavu krmiva na čase, jestliže se ze zásoby 10 tun denně zkrmí 280 kg a) závislost obvodu čtverce na délce jeho strany Vyjdeme ze známého vzorce:.f: b) závislost délky kružnice na velikosti jejího poloměru Vzorec: c) závislost stavu krmiva na čase, jestliže se ze zásoby 10 tun denně zkrmí 280 kg y - stav krmiva v kg x - počet dní 4) Obsah obdélníku je 10 a) zapište rovnici závislosti délky základy z obdélníku na jeho výšce v b) znázorněte graficky tuto závislost, jestliže výška v obdélníku c) určete vlastnosti této funkce a) zapište rovnici závislosti délky základy z obdélníku na jeho výšce v vzorec: b) znázorněte graficky tuto závislost, jestliže Obrázek 3.2.8

75 c) vlastnosti funkce - nepřímá úměrnost - klesající funkce - - grafem část větve hyperboly viz obrázek Mocninné a kvadratické funkce 1) Načrtněte graf dané funkce a určete: její název D (f), H (f), intervaly růstu a poklesu a případné významné body dané funkce. a) f: g: h: k: b) f: g: h: k: a) f: Kubická funkce - patří do skupiny mocninných funkcí s obecnou rovnicí kladné., n liché, Graf: kubická parabola viz obrázek 3.3.1a1) D (f) = R; H (f) = R ; roste

76 Průsečík s osami - [ ] Obrázek 3.3.1a1): g: Mocninná funkce - Graf: parabola - viz obrázek 3.3.1a1) D (g) = R ; H (g) = ; roste ; klesá Vrchol - V [ ] h: Mocninná funkce - Graf: hyperbola větve umístěny v I. a ve II. kvadrantu - viz obrázek 3.3.1a2) D (h) = R \ { }; H (h) = ; roste ; klesá Osy x, y asymptoty Obrázek 3.3.1a2):

77 k: Mocninná funkce - Graf: hyperbola větve hyperboly umístěny v I. a ve III. kvadrantu - viz obrázek 3.3.1a2) D (k) = R \ { }; H (k) = R \ { }; klesá { } Osy x, y asymptoty b) f: Kvadratická funkce obecná rovnice : Graf: parabola otevřená nahoru (, zde ) viz. obrázek 3.3.1b1) D (f) = R ; H (f) = ; roste ; klesá Vrchol - V [ ]; Osa symetrie y + Obrázek 3.3.1b1):

78 g: Kvadratická funkce obecná rovnice : Graf: parabola otevřená dolů (, zde ) viz. obrázek 3.3.1b1) D (g) = R ; H (g) = ; roste ; klesá Vrchol - V [ ] ; Osa symetrie y h: Kvadratická funkce obecná rovnice : Graf: parabola otevřená nahoru (, zde ) viz. obrázek 3.3.1b2) D (h) = R ; H (h) = ) ; roste ; klesá Y nová souřadnice vrcholu paraboly Vrchol: [ ] - ; Současně průsečík s osou y. Průsečíky s osou x nulové body funkce : odtud dostáváme

79 [ ] [ ] Obrázek 3.3.1b2): k: Kvadratická funkce - obecná rovnice : Graf: parabola otevřená dolů (, zde ) viz. obrázek 3.3.1b2) D (k) = R ; H (k) = ( ; roste ; klesá Y nová souřadnice vrcholu paraboly Vrchol: V [ ] - ; Současně průsečík s osou y.

80 Průsečíky s osou x: nulové body funkce : odtud dostáváme [ ] [ ] V úlohách 2 4 určete u vytvořených funkcí D(f), H(f), intervaly růstu a poklesu, popř. významné body funkce: 2) Délky hran kvádru jsou v poměru 1: 3: 2. Určete funkci, která vyjadřuje závislost objemu kvádru na délce nejdelší hrany a načrtněte její graf. Označíme délky hran kvádru a, b, c :, z čehož vyplývá: ze vzorce pro objem kvádru plyne: Graf: část kubické paraboly viz. obrázek 3.3.2: ; ;

81 3) Určete funkci, která vyjadřuje závislost obsahu rovnostranného trojúhelníku na délce jeho strany. Pro obsah rovnostranného trojúhelníku platí vzorec: kvadratická funkce Graf: část paraboly viz. obrázek 3.3.3: ; ; 4) Vyjádřete funkci, která uvádí závislost obsahu čtverce na délce jeho strany. Ze vzorce pro výpočet obsahu čtverce plyne: kvadratická funkce Graf: část paraboly viz. obrázek 3.3.4:

82 ; ; Exponenciální funkce 1) Načrtněte graf dané funkce a určete: její název D(f), H(f), intervaly růstu a poklesu a případné významné body dané funkce. a) f: b) g: c) h: d) f: e) g: a) Grafem je exponenciála viz. obrázek 3.4.1a):

83 D(f) = R ; H(f) = ; roste Průsečík s osou [ ] Osa x asymptota grafu b) ( menší než 1) D(g) = R ; H(g) = ; klesá Průsečík s osou [ ] Osa x asymptota grafu Grafem je exponenciála viz. obrázek 3.4.1b):

84 c) Grafem je exponenciála viz. obrázek 3.4.1c). D(h) = R ; H(h) = ; roste Průsečík s osou [ ] Osa x asymptota grafu. Obrázek 3.4.1c):

85 d) Grafem je exponenciála viz. obrázek 3.4.1d): D(f) = R ; H(f) = ; roste

86 Průsečík s osou [ ] Osa x asymptota grafu. e) Grafem je exponenciála viz. obrázek 3.4.1e). D(g) = R; H(g) = ; klesá Průsečík s osou [ ] Osa x asymptota Obrázek 3.4.1e).: 2) Objasněte: a) Proč grafy všech exponenciálních funkcí prochází bodem [ ]? b) Proč v exponenciální funkci nevolíme základ a = 1, a = 0, a < 0? a) a = 1 Jakékoli číslo umocněno na 0 dá 1.Proto ať je základ a jakýkoli, vždy bude každá exponenciální funkce procházet číslem 1 na ose y, tj. bodem [0;1]. b) 3) Sestrojte graf funkce určené rovnicí. Pomocí něj určete x, pro která platí:

87 a) b) c) d) Obrázek 3.4.4: a) b) c) d) Logaritmická funkce, logaritmy a počítání s nimi. 1) Načrtněte graf dané funkce a určete: její název, D(f), H(f), intervaly růstu a poklesu a případné významné body dané funkce. a) b) c) a)

88 Logaritmická funkce se základem a = 5 větším než 1 Inverzní funkce k dané funkci: Grafem je logaritmická křivka viz. obrázek 3.5.1a): Grafy vzájemně inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy I. a III. kvadrantu přímka s rovnicí y = x. D(f) = ; H(f) = R Funkce roste v celém definičním oboru: Funkce prochází bodem na ose x: [ ] Osa y asymptota grafu b) Logaritmická funkce se základem Inverzní funkce k dané funkci : Grafem je logaritmická křivka viz. obrázek 3.5.1b). Grafy vzájemně inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy I. a III. kvadrantu přímka s rovnicí y = x.

89 D(g) = ; H(g) = R; funkce klesá pro všechna Průsečík s osou x: [ ] Osa y asymptota grafu Obrázek 3.5.1b): c) Dekadická logaritmická funkce. Základ a = 10 je větší než 1 Funkce inverzní k dané funkci : Graf obdoba funkce v části a) viz. obrázek 3.5.1c):

90 Grafy vzájemně inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy I. a III. kvadrantu přímka s rovnicí y = x. D(h) = ; H(h) = R ; funkce roste Průsečík s osou x: [ ] Osa y asymptotou grafu 2) Podle průběhu funkce ze cvičení 1a) zapište, co platí o hodnotách funkce, je-li: a) b) c) a) b) c) 3) Podle průběhu funkce ze cvičení 1b) zapište, co platí o hodnotách funkce, je-li: a) b) c) ) ) ) 4) Určete hodnoty x. Využijte definice logaritmické funkce pro přípustné hodnoty:

91 právě když a) ) 5) Určete hodnoty y. Využijte definice logaritmické funkce pro přípustné hodnoty: právě když a) b) 6) Pro který základ z platí: ) b) [ ] 7) Logaritmujte dané výrazy. Připomeňte si věty o logaritmování. a) b) a) b) 8) Odlogaritmujte: a) b) a) b)

92 3. 6. Goniometrické funkce 1) Dokažte, že platí: a) b) c) Užijeme periodicity funkcí sin x a cos x perioda 2π (resp ) tg x a cotg x perioda π (resp ) a najdeme tzv. základní velikost zadaného úhlu v argumentu funkce. Výsledek vyjádříme ve tvaru k-násobek periody + základní velikost úhlu, kde : a) b) c) 2) Rozhodněte, která z následujících čísel jsou kladná; záporná; rovna 0. a) b) c) K řešení využijeme tabulku kladných a záporných hodnot goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech. Pak vždy zařadíme úhel v argumentu funkce do příslušného kvadrantu a podle něj pak přidělíme znaménko: I. II. III. IV. (0 ; 90 ) (90 ; 180 ) (180 ; 270 ) (270 ; 360 ) a) b)

93 c) 3) Rozhodněte, které z dále uvedených výroků jsou pravdivé. Užijeme vlastností funkcí: roste, klesá. Nejprve posoudíme, do kterého kvadrantu patří úhly v argumentu goniometrických funkcí. Pak, v případě že funkce roste, musí platit, že většímu úhlu je přiřazena větší hodnota funkce; pokud daná funkce klesá, platí, že většímu úhlu je přiřazena menší hodnota funkce. a) b) c) 4) Pomocí vztahů mezi goniometrickými funkcemi určete hodnoty zbývajících funkcí, víte-li: Použijeme vztahy :. III. kvadrant Vypočítáme hodnotu ( ) Sinus je ve III. kvadrantu záporný Vypočítáme tg x a cotg x:

94 5) Zjednodušte: V následujících úlohách použijeme vztahy mezi goniometrickými funkcemi a vzorce pro úpravu mnohočlenů typu apod. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi: (1) sin 2 x + cos 2 sin x x = 1 pro x R (2) tg x = pro x (2k + 1) cos x 2 cos x (3) cotg x = pro x 2k, resp. kπ (4) tg x. cotg x = 1 pro x k sin x 2 2 a) Použijeme vzorec (2) a upravený vztah (1)-vyjádříme cos x b) K umocnění použijeme vzorce a vztah (1): c) Při úpravě použity vztahy (1) a (3): d) Užijeme vytýkání, vzorec (1) a následně krácení a vztah (3):

95 4. Planimetrie, stereometrie Obvody a obsahy rovinných obrazců 1) Obdélníková louka má rozměry 120 m x 30 m a je oplocena elektrickým ohradníkem. Představte si, že louku s uvedenou výměrou přeměníme postupně na čtvercovou, kruhovou a na tvar rovnostranného trojúhelníka. Při kterém tvaru bude nejmenší spotřeba elektrického ohradníku? Obdélník Čtverec o Kruh potom potom Rovnostranný trojúhelník m Nejmenší spotřeba ohradníku je u kruhového pozemku. 2) Vypočítejte obsah a výšky trojúhelníku o stranách a = 8 cm, b = 11 cm, c = 13 cm. Vyjdeme z Heronova vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku: kde s s

96 Výpočet výšek: užit vzorec 43,8 cm 2 3) O kolik procent se změnil obsah průřezu plechového potrubí, jehož kruhový tvar byl při stejném obvodu změněn na čtvercový? Vyjdeme ze vzorců a vztahů: odtud Vyjádříme a jako funkci r: Vyjádříme obsah čtverce pomocí obsahu kruhu: Obsah průřezu se snížil o 21,5 %. 4) Plášť rotačního válce, rozvinutý do roviny, je čtverec o obsahu S = 0,81 m 2. Určete poloměr r a výšku v. Obrázek : a = v a = o = 2πr

97 Vypočteme a ze vzorce pro obsah čtverce (obsah pláště): Výpočet Výpočet odtud m Poloměr válce je asi 0,14 m a výška 0,9 m. 5) Při opakování planimetrie vyslovili studenti tato tvrzení: (1) Existuje trojúhelník, jehož střed kružnice vepsané a střed kružnice opsané jsou totožné. (2) Existuje trojúhelník, jehož střed kružnice opsané leží na některé z jeho stran. (3) Existuje trojúhelník, jehož střed kružnice vepsané leží na některé z jeho stran. (4) Existuje trojúhelník, jehož průsečík výšek leží na některé z jeho stran. (5) Existuje trojúhelník, jehož průsečík výšek a jehož střed kružnice opsané leží vně tohoto trojúhelníku. (6) Existuje trojúhelník, jehož střed kružnice vepsané, střed kružnice opsané a průsečík výšek jsou totožné. (7) Existuje trojúhelník, jehož těžiště leží vně tohoto trojúhelníku. Mezi nimi nejsou pravdivá právě tato tvrzení: A) (2) a (7) B) (1), (4) a (6) C) (1) a (4) D) (3) a (7) E) (3), (5) a (7) 1) pravda rovnostranné trojúhelníky 2) pravda pravoúhlé trojúhelníky Thaletova kružnice střed kružnice je středem přepony 3) nepravda kdyby střed vepsané kružnice ležel na některé ze stran, pak by byla část této kružnice vně trojúhelníku nemohla by být vepsaná 4) pravda pravoúhlé trojúhelníky odvěsny jsou současně výškami 5) pravda tupoúhlé trojúhelníky 6) pravda rovnostranné trojúhelníky 7) nepravda těžiště trojúhelníku leží vždy uvnitř trojúhelníku Závěr: Platí varianta D) - nepravdivá jsou tvrzení (3) (7).

98 4. 2. Řešení pravoúhlého trojúhelníku 1) V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C jsou dány velikosti těžnic Vypočítejte velikosti stran trojúhelníku ABC. Na obrázku je vidět náčrt zadání. a a S a t b ta c Tím získáváme soustava dvou rovnic o dvou neznámých a, b. K jejímu řešení užijeme porovnávací metodu řešení soustavy rovnic. C. b b S b A dosadíme za t a a t b Výpočet a: Výpočet c: Velikost stran trojúhelníku ABC je 6; 4 a 7,2. 2) V pravoúhlém trojúhelníku jsou velikosti částí přepony, na které výška rozděluje přeponu, rovny 2,25 m a 4 m. Vypočtěte velikost vnitřních úhlů a odvěsen. Obrázek 4.2.2:

99 B β C a a c C b C b α A Vypočítáme velikosti odvěsen Euklidovy věty: kde Výpočet velikosti vnitřních úhlů: 3)Z tyče kruhového průřezu o poloměru 35 mm má být vyfrézována tyč, jejímž průřezem je pravidelný osmiúhelník. Vypočtěte délku strany tohoto osmiúhelníku a vzdálenost jeho protilehlých stran. Obrázek 4.2.3: Z náčrtku situace je patrné, že pravidelný osmiúhelník je možné rozdělit na 8 rovnoramenných trojúhelníků s hlavním vrcholem S, rameny délky r = 35 mm, základnou a a výškou ρ.

100 Pro úhel při hlavním vrcholu α platí: Vypočteme a: Vypočteme vzdálenost protějších stran : = 32, Délka strany osmiúhelníku bude asi 27 mm a vzdálenost protějších stran asi 65 mm. 4) Výška kruhového mostního oblouku je Jeho rozpětí Vypočtěte poloměr mostního oblouku a příslušný středový úhel. Na obrázku je zakreslena situace, ze které budeme vycházet. Obrázek 4.2.4: Výpočet poloměru r: Výpočet středového úhlu ω:

101 ω Poloměr mostního oblouku je asi 47 m a příslušný středový úhel Řešení obecného trojúhelníku 1) Po přímé cestě jede vojenská kolona. Radiolokátorem, umístěným mimo cestu v místě R, bylo zjištěno, že vzdálenost od čela A kolony je a vzdálenost od konce B kolony je Vypočtěte délku kolony. Náčrt situace je na obrázku 4.3.3: A B α R potom

102 Délka kolony je 5 km. 2) Z okna domu stojícího těsně u řeky se díváme kolmo na řeku a vidíme kámen na protějším břehu v hloubkovém úhlu Z jiného okna, které je 12 m nad prvním oknem, vidíme stejný kámen v hloubkovém úhlu. Jak široká je řeka? Náčrtek situace na obrázku 4.3.4: B Β β A γ δ α ω C K Popis k obrázku Z ze sinové věty: Šířka řeky je 120 m.

103 3) Pro v němž znáte určete: a) obsah S b) poloměr c) poloměr r kružnice opsané d) výšku ) a) obsah S trojúhelník je zadán velikostí všech tří stran, proto použijeme Heronův vzorec:, kde b) poloměr kružnice vepsané: ) c) poloměr kružnice opsané: ) d) výšku vyjdeme ze vzorce pro obsah Dosadíme za S - viz a) e) těžnici náčrtek situace na obrázku 4.3.5:

104 C b t c a α S c A c B Vyjdeme z vyjádříme cos α Dosadíme Z A užitím kosinové věty: 4) Veslař vesluje po proudu pod úhlem 60 k toku řeky. Jeho rychlost v klidné vodě by byla 2m rychlost proudu je 3m. Loď se pohybuje rychlostí přibližně: ) B) 4,20 ) D) ) Obrázek 4.3.6: Náčrtek využíváme skládání rychlostí z fyziky. Popis obrázku:

105 Výpočet Výpočet : - z jednoho z trojúhelníků užitím kosinové věty: Platí varianta C) Povrchy a objemy těles 1) Jaká je hmotnost ocelové tyče délky 2 m, je-li její průřez pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami o délkách 3 cm a 2 cm? Vyjdeme ze vzorce pro výpočet hmotnosti tělesa: Za objem dosadíme ze vzorce: Potom dostáváme vztah: Po dosazení: Hmotnost ocelové tyče je 4,68 kg. 2) Malý motocykl má vrtání válce zdvih pístu Vypočtěte objem válce v cm 3. (Vrtání válce znamená průměr válce, zdvih pístu znamená výšku válce.) Vyjdeme ze vzorce pro objem válce a dosadíme do něj všechny veličiny v cm:

106 Objem válce malého motocyklu je 50 cm 3. 3) Máte rádi čokoládu? Představte si, že vám někdo předloží k výběru dvě čokoládové pochoutky. První bude dutá čokoládová koule o vnějším průměru 5 cm a tloušťce stěny 1,5 cm. Druhá bude 115 čokoládových kuliček o průměru 1 cm. Která nabídka představuje více čokolády? První nabídka: Zadání popisuje obrázek : Provedeme nejdříve pomocné výpočty: Označíme: Potom objem čokolády bude: Po dosazení dostáváme: Druhá nabídka: Objem jedné kuličky: Objem 115 kuliček: Po dosazení dostáváme:

107 První nabídka představuje větší množství čokolády. 4) Vnitřní povrch vodojemu tvaru koule je Pojme 18 hl vody? K posouzení otázky je potřeba vypočítat objem daného vodojemu. Proto nejdříve vypočítáme Jeho poloměr. Použijeme k tomu vzorec pro povrch koule: Po dosazení dostáváme: Výpočet objemu vodojemu: Vodojem nepojme 18 hl vody. 5. Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika Variace, permutace, kombinace, kombinatorické pravidlo součinu Kombinatorické pravidlo součinu 1) Z města A do města B vedou dvě trasy. Z města B se lze dostat do města C celkem třemi trasami. Kolika způsoby se lze přepravit z města A do města C, pojedeme-li přes město B? Danou situaci si znázorněme na následujícím schématu viz. obrázek : Obrázek :

108 1 3 A B 4 C 2 5 Popišme trasy jako uspořádané dvojice: {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} z A do B z B do C trasou 1 trasou 3 Ke každé možnosti jak se přepravit z A do B můžeme vystřídat postupně všechny možnosti přepravy z B do C. Proto užíváme kombinatorické pravidlo součinu: počet všech tras = 2.3 = 6. 2) Kolik různých vrhů můžeme provést: a) dvěma kostkami b) třemi kostkami? a) dvě kostky - využijme k ilustraci možných výsledků náznak schématu. Tvoříme uspořádané dvojice typu[ ], kde: a - výsledek na 1. Kostce b - výsledek na 2. kostce [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Opět jsme použili kombinatorické pravidlo součinu. Ke každé možnosti, která může padnout na 1. kostce, můžeme prostřídat všechny možnosti, které mohou padnout na 2. kostce. Při hodu dvěma kostkami můžeme osáhnout celkem 36 možných výsledků. b) tři kostky Obdobně jako v části a) - ke každému výsledku pokusu v části a) můžeme postupně vystřídat

109 všech 6 výsledků na 3. kostce: [ ] [ ] [ ] [ ] Při hodu třemi kostkami můžeme osáhnout celkem 216 možných výsledků. 3) Ve třídě je 20 chlapců a 5 dívek. Kolik různých deputací složených ze dvou chlapců a dvou dívek je možno z nich vytvořit? - možnosti výběru chlapců: dvojice z 20-ti chlapců bez ohledu na role či pořadí - možnosti výběru dívek: Ke každé možnosti jak vybrat chlapce můžeme postupně vystřídat všechny možnosti výběru dívek: = možností výběru 2 chlapci + 2 dívky. 4) V hřebčíně mají 10 bílých a 8 černých závodních koní stejné výkonnosti. Na závody mají vybrat dvojice, kde bude jeden černý a jeden bílý kůň. Kolika možnými způsoby mohou provést výběr? Obdobně jako v úlohách výše Ke každému bílému koni můžeme prostřídat postupně všechny černé koně: = 80 způsoby Výběr dvojic koní mohou provést 80-ti způsoby Permutace PERMUTACE počet možností jak můžeme přeměnit pořadí v dané n-tici: 1) Kolika způsoby lze rozmístit osm věží na šachovnici tak, aby se vzájemně neohrožovaly? Šachovnice čtverec 8 x 8 polí. Věže se mohou pohybovat svisle nebo vodorovně. Proto lze umístit 8 věží daným způsobem jen na úhlopříčkách šachovnice. Zanedbáme-li označení polí a zkoumáme jen umístění na jedné z úhlopříček, jde pouze o počet změn postavení (pořadí) těchto 8-mi věží na 8-mi polích:

110 Máme celkem možností, jak rozmístit osm věží na šachovnici tak, aby se vzájemně neohrožovaly. 2) V lavici sedí 5 žáků A, B, C, D, E. a) Kolikerým způsobem je můžeme přesadit? b) Kolikerým způsobem je můžeme přesadit tak, aby žák A seděl stále na jednom nebo druhém z obou krajů? Část a): Proběhne jen záměna pořadí v dané 5-tici: Například: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] atd. Máme celkem 120 možností jak můžeme přesadit 5 žáků. Část b): žák A 1. kraj: měníme pořadí zbylých 4 žáků: žák A 2. kraj: měníme pořadí zbylých 4 žáků: Celkem: Máme celkem 48 možností jak můžeme přesadit 5 žáků tak, aby žák A seděl stále na jednom nebo druhém z obou krajů. 3) Čtyři knihy české a tři slovenské se mají postavit na poličku do řady tak, aby byly zařazeny nejprve knihy české a potom slovenské. Kolikerým způsobem to lze provést? - počet možností postavení českých knih: - počet možností postavení slovenských knih: Ke každému postavení českých knih můžeme postupně vystřídat všechna postavení slovenských knih. Proto dále použijeme kombinatorické pravidlo součinu: Celkem možností: Variace VARIACE počet možností, jak z daných n-prvků vytvořit uspořádané k-tice (záleží na pořadí prvků v k-tici), kde

111 1) Kolik různých dvojbarevných signálů lze vytvořit z 8 různobarevných vlajek (vytahování dvou vlajek na žerď)? Vybíráme dvě vlajky z osmi možných a ještě můžeme zaměnit pořadí vlajek na žerdi Můžeme vytvořit celkem 56 dvojbarevných signálů užitím 8 různobarevných vlajek. 2) 8 kamarádů se dohodlo, že si vzájemně pošlou pohlednice z prázdninových cest. Kolik pohlednic bylo odesláno? - každý z kamarádů musel odeslat 7 pohlednic 8. 7 = 56 NEBO - pomocí pohlednic se tvoří dvojice: [ ] potom: Bylo odesláno 56 pohlednic. 3) Kolik různých popěvků složených ze čtyř tónů je možno vytvořit z tónů stupnice C dur? (Tóny v popěvku se neopakují, jdou po sobě a na jejich délce nezáleží.) Z tónů stupnice C dur vybíráme čtveřice různých tónů. Změnou jejich pořadí získáme nový popěvek. Proto použijeme k výpočtu variace. stupnice C dur má 8 tónů: c, d, e, f, g, a, h, Z tónů stupnice C dur můžeme vytvořit za daných podmínek celkem 1680 popěvků Kombinace KOMBINACE počet možností jak z daných n-základních prvků vytvořit k-tice (v nichž nezáleží na pořadí prvků), kde ( ) kombinační číslo 1) Určete, kolika způsoby lze ze 7-mi mužů a 5-ti žen vybrat čtyřčlennou skupinu, jestliže: a) nejsou stanoveny žádné omezující podmínky b) v ní mají být právě dvě ženy

112 Část a): pokud nemáme stanoveny podmínky pro počet žen a mužů ve vytvářené skupině, pak je počet základních prvků n = 7+5 = 12 lidí. Nejsou-li stanoveny role ve vytvářené skupině, znamená to, že nezáleží na pořadí ve skupině a proto je úloha zařazena mezi kombinacemi. Z 5-ti žen a 7-mi mužů lze vybrat čtyřčlennou skupinu 495-ti způsoby. Část b): ve skupině mají být právě dvě ženy: Podmínka právě dvě ženy znamená, že ve čtyřčlenné skupině mají být vždy, 2 ženy a 2 muži. Protože nejsou stanoveny úlohy jednotlivých členů, použijeme opět kombinace. - možnosti výběru žen: - možnosti výběru mužů: celkem ke každé volbě dvojice žen můžeme postupně vystřídat všechny možnosti výběru mužů: Pokud má být ve čtyřčlenné skupině po dvou ženách i mužích, máme 210 možností jak tyto skupiny vytvořit. 2) Kolika různými způsoby lze vyplnit tiket Sportky? Vybíráme z n = 49 čísel šestice nezáleží v jakém pořadí daná čísla zatrhneme změnou pořadí vybraných čísel nedostáváme nový tip: Tiket Sportky lze vyplnit ti způsoby. možností 3) Ve třídě, je 18 chlapců a 14 dívek. Kolikerým způsobem lze zvolit do třídní samosprávy 3 členy tak, aby to byli dva chlapci a jedna dívka? - nestanoveny úlohy ve skupině - možnosti výběru chlapců: - možnosti výběru dívek: 14

113 celkem ke každé volbě dvojice chlapců můžeme postupně vystřídat každou ze 14-ti dívek: Zadaným způsobem můžeme vytvořit celkem různých tříčlenných samospráv Výrazy a rovnice s n! a s kombinačními čísly 1) Zjednodušte výrazy: a) Podobně jako u všech algebraických zlomků i tady je třeba upravit všechny zlomky na stejného (společného) jmenovatele. Dále respektujeme vlastnosti faktoriálu. Proto rozložíme: podle vzorce. Potom: b) obdobný postup jako v části a) 2) Řešte v Z rovnice: Všechny faktoriály v rovnicích musí splňovat podmínku: pro n! a) Podmínky:

114 Řešíme kvadratickou rovnici b) { } Podmínky: [ ] vyhovuje podmínkám 3) Zjednodušte a vypočtěte: { } Tato úloha opakuje počítání s kombinačními čísly. Budeme v nich používat základní vlastností a vztahy: 1) 2) 4) 3) 5) a) užit vztah (1) b) rozložíme čitatel tak, aby bylo možno krátit 21

115 obdobně jako v a) c) d) 4) Řešte rovnice: Rovnice s neznámou v kombinačním čísle používáme vlastností kombinačních čísel-viz úloha 3) této kapitoly a běžných postupů řešení rovnic. Dále a) P [ ] užit vztah (1), upravíme levou stranu pro krácení nevyhovuje podmínkám vyhovuje (po kontrole) { } b) Podmínky: užit vztah (1) rozklad faktoriálů a krácení

116 Ani jeden z kořenů nevyhovuje podmínkám. { } c) Podmínky: splněna ; splněna ; ; [ ] Závěr podmínek: [ ] Postupujeme podobně jako v úlohách a), b) /.2 Vyhovuje nevyhovuje podmínkám { }

117 5. 3. Binomická věta V následujících úlohách budeme využívat tzv. BINOMICKOU VĚTU: kde a, b R; n N. Kombinační čísla lze určit pomocí Pascalova trojúhelníku viz Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy autorů Mikulčák a spol. str. 62. Nebo je vypočteme ze vzorce: 1) Užitím binomické věty vypočtete: a) ; v úlohách jsou již kombinační čísla nahrazena jejich hodnotami. b) 2) Zjednodušte: a) zapíšeme stejné členy obou rozvojů pod sebe a pak je sečteme b) postupujeme obdobně jako v části a) 3) Najděte: V dalších úlohách uplatníme vzorec pro výpočet jednoho - libovolného členu rozvoje Je to vzorec pro k-tý člen tohoto rozvoje:

118 a) pátý člen rozvoje výrazu V našem případě k = 5, n = 12: b) člen rozvoje ( ) který je přirozeným číslem Aby hodnota členu byla přirozeným číslem, musí obsahovat součin, abychom odstranili odmocniny a to je 3. člen: c) v rozvoji výrazu ( ) člen obsahující má platit: řešíme exponenciální rovnici logaritmujeme řešíme lineární rovnici Provedeme kontrolu: Jedná se o sedmý člen, který má hodnotu d) v rozvoji výrazu absolutní člen Absolutní člen neobsahuje proměnnou. Sestavíme vzorec pro k-tý člen: v něm musí platit řešíme exponenciální rovnici

119 platí pro 4. člen Provedeme kontrolu: Hledaným členem je Základy pravděpodobnosti V dalších úlohách budeme používat následující termíny a označení: V množina všech možných výsledků náhodného pokusu (jiný než fyzikální, chemický ) počet všech výsledků náhodného pokusu A, B,C - množiny výsledků, které jsou příznivé (v nich nastane) náhodnému jevu - počet všech výsledků, které jsou příznivé náhodnému jevu A operace s náhodnými jevy (obdoba množinových operací) statistická definice pravděpodobnosti náhodného jevu A (m, n viz. výše) Ø nemožný jev 1) Student si má vytáhnout 3 z 10 otázek. Je připraven na 5 otázek. Jaký je počet všech možných výsledků, tj. počet prvků množiny V, tj. Jaký je počet všech výsledků příznivých jevům A, B, kde A, B značí jevy: a) A student vytáhne právě jednu otázku, kterou umí b) B student nevytáhne žádnou otázku, kterou umí počet všech možných výsledků: Protože máme 10 otázek, 3 z nich volíme a nezáleží na pořadí, v jakém otázky vytahujeme: a) A student vytáhne právě jednu otázku, kterou umí jinak řečeno z 5-ti, které umí, vytáhne jednu a dvě zbylé vytáhne z těch 5-ti, které neumí:

120 možnosti jak vybrat tu, co umí vybírá 2, které neumí b) B student nevytáhne žádnou otázku, kterou umí tj. všechny 3 otázky vytáhne z těch 5-ti, které neumí: 2) Náhodně vybraný výrobek může být 1., 2. nebo 3. jakosti. Označme jevy: A vybraný výrobek je 1. jakosti; B vybraný výrobek je 2. jakosti; C vybraný výrobek je 3. jakosti Interpretujte jevy: ) ) ( ) ) ) a) nastane tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů Vybraný výrobek je buď 1. nebo 2. jakosti = vybraný výrobek není 3. jakosti b) ( )..jev opačný ke sjednocení jevů A,C nastane vždy, když nenastal jev Vybraný výrobek není 1. nebo 3. jakosti = vybraný výrobek je 2. Jakosti c) jev opačný k jevu A (zahrnuje všechny zbylé možnosti) = vybraný výrobek není 1. jakosti d) ( ) jev nemožný vybraný výrobek je třetí jakosti protože vybraný výrobek nemůže být současně 1., 2. Jakosti 3) Z 26 žáků ve třídě, ve které je 12 chlapců a 14 dívek, se losují 3 zástupci. Jaká je pravděpodobnost, že to budou: a) samé dívky b) dvě dívky a jeden chlapec c) samí chlapci Všechny možnosti: volba 3 z 26 (nejsou stanoveny role ve skupině) a) A ve skupině zástupců jsou samé dívky (3 ze 14) Pravděpodobnost, že ve skupině zástupců jsou samé dívky, je 7 : 50.

121 b) B ve skupině zástupců budou 2 dívky a jeden chlapec (2 ze 14; 1 z 12) 2 dívky 1 chlapec Pravděpodobnost, že ve skupině zástupců budou 2 dívky a jeden chlapec, je 21 : 50. c) C ve skupině zástupců budou samí chlapci (3 z 12) Pravděpodobnost, že ve skupině zástupců budou samí chlapci, je 11 : ) Střelec střílí se spolehlivostí (tj. s pravděpodobnosti zásahu) 0,9. Jaká je ravděpodobnost, že při první ráně nezasáhne cíl? Jev A střelec 1. ranou zasáhne cíl.. Jev je jev opačný k jevu A střelec 1. ranou nezasáhne cíl. Pro pravděpodobnost opačných jevů platí vztah: ( ) ( ) - - Pravděpodobnost, že střelec 1. ranou nezasáhne cíl, je 0,1. 5) Při výrobě určitého výrobku musí být provedeny postupně tři náročné operace, jejichž dlouhodobě sledované úspěšnosti jsou 90%, 80% a 85%. Jaká je při tomto postupu pravděpodobnost zhotovení kvalitního výrobku? Označme jevy: A úspěšně provedená 1. operace úspěšnost 90% B úspěšně provedená 2. operace úspěšnost 80% C úspěšně provedená 3. operace..úspěšnost 85% D zhotovení kvalitního výrobku musí nastat jevy A, B, C současně; A, B, C jsou vzájemně nezávislé jevy (nástup jednoho neovlivní to, jestli nastanou další 2). Proto platí vzorec:

122 Pravděpodobnost zhotovení kvalitního výrobku je 0,612 (61,2%) Základy statistiky Na začátku připomeňme některé pojmy ze statistiky: STATISTICKÝ SOUBOR skupina, na které provádíme statistické šetření. Její prvky ( jednotky) označujeme jako STATISTICKÉ JEDNOTKY. Sledovaná vlastnost je ZNAK, který může být kvantitativní (charakterizován číslem), nebo kvalitativní (např. žena/muž; vzdělání ). ROZSAH SOUBORU počet jednotek ve statistickém souboru. ČETNOST kolikrát se vyskytla konkrétní hodnota sledovaného znaku. RELATIVNÍ (POMĚRNÁ) ČETNOST = četnost : rozsah souboru desetinné číslo menší než 1, nebo po vynásobení. 100 dostaneme výsledek v %. 1) V regionech A, B, C J pracují dětské kluby v počtech uvedených v tabulce: a) doplňte tabulku o relativní četnosti v % (zaokrouhlete na 1 desetinné místo). Region A B C D E F G H I J Počet klubů Relativní četnost v % b) Znázorněte údaje z tabulky pomocí spojnicového diagramu (polygonu). a) doplňte tabulku o relativní četnosti v % (zaokrouhlete na 1 desetinné místo). Označme atd.... až nazýváme rozsah souboru relativní četnosti v %:

123 Region A: Region B: podobně region E Region C: podobně region F Region D: Region G: podobně regiony H, J Region I: Výsledky jsou shrnuty v následující tabulce: Region A B C D E F G H I J Počet klubů Relativní četnost v % 16,1 12,9 3,2 22,6 12,9 3,2 6,5 6,5 9,7 6,5 b) znázorněte údaje z tabulky pomocí spojnicového diagramu (polygonu) Obrázek 5.5.1b): 2) Podle statistických údajů Českého statistického úřadu z roku 2002 byl počet knihoven vysokých škol technického směru 206, univerzitního směru 645, ekonomického 52, zemědělského 153, uměleckého 18, jiného 22.

124 Znázorněte uvedené údaje: a) sloupcovým diagramem (histogramem) b) kruhovým diagramem Zapišme pro přehlednost dané údaje do tabulky: Typ školy T techniky U Univerzity E ekonomický Z zemědělský Um umělec. J jiné n (rozsah souboru) Četnost knihoven a) sloupcový diagram (histogram) uvádí obrázek 5.5.2a): - výška sloupce odpovídá počtu knihoven - šířka sloupce libovolná, ale u všech typů škol stejná

125 b) kruhový diagram obrázek 5.5.2b): Postup tvorby: - narýsujeme kruh - jednotlivé četnosti znázorníme odpovídající velikostí kruhové výseče - velikosti výsečí vymezíme pomocí relativní četnosti odpovídajícímu středovému úhlu: Výsledný kruhový diagram uvádí obrázek 5.5.2b). V následujících úlohách se budou vyskytovat další statistické pojmy a vztahy: Některé tzv. CHARAKTERISTIKY SOUBORU: ARITMETICKÝ PŮMĚR: kde x i je hodnota znaku a n i její četnost MODUS Mod(x) hodnota s nejvyšší četností znaku x MEDIÁN Med(x) prostřední hodnota znaku, je-li uspořádán podle velikosti GEOMETRICKÝ PRŮMĚR:

126 HARMONICKÝ PRŮMĚR: 3) V prodejně osobních vozidel prodali za určité období 11 vozidel po Kč, 6 vozidel po Kč, 2 vozidla po Kč a 1 vozidlo za Kč. Porovnejte aritmetický průměr, medián a modus cen vozidel. Shrňme dané údaje do tabulky: Znak - označení x 1 x 2 x 3 x 4 Cena vozidla (Kč) Četnost vozidel Četnost-označení Aritmetický průměr: Medián prostřední hodnota ceny vozidla, pokud je uspořádáme do řady podle velikosti v našem případě (20 prodaných vozidel) to budou (10-tá + 11-tá cena):2 obě jsou Kč, proto Med (x) = Kč Modus hodnota s nejvyšší četností nejčastěji se vyskytuje Mod (x) = Kč. 4) Máte posoudit fyzickou zdatnost žáků vaší třídy. Uveďte aspoň pět kvantitativních znaků, které by při tomto posuzování přicházely v úvahu. kvantitativní znak má hodnotu vyjádřenou číslem Vhodné kvantitativní znaky pro posouzení fyzické zdatnosti - např.: - počet kliků (provedených za 1 min.) - počet sklapovaček (provedených za 1 min.) - počet dřepů (provedených za min.) - počet m uběhnutých za 1 min. - počet minut za kolik uběhne student 3 km a podobně

127 5) Z dvaceti zájemců má být proveden výběr 5-ti nejschopnějších řidičů autobusu. Uveďte alespoň tři kvantitativní znaky a tři kvalitativní znaky, které by při rozhodování měly být posuzovány. kvantitativní znak jeho hodnota se vyjadřuje číslem - můžeme např. posuzovat: - věk uchazeče - délka praxe - počet přestupků (dopravních) za dobu praxe atd. kvalitativní znak jeho hodnota je popisována slovně - můžeme např. posuzovat: - žena nebo muž - psychické předpoklady (cholerik, ) - svobodný, ženatý, rozvedený apod. 6) Hodnoty získané při laboratorním měření by měly odpovídat podmínce: aritmetický průměr = geometrický průměr = harmonický průměr. Byly získány tyto hodnoty: Vypočítejte: a) aritmetický průměr b) medián c) modus d) geometrický průměr e) harmonický průměr Sestavíme tabulku četností podle hodnot znaku x: x; 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 15,7 n; a) aritmetický průměr: b) medián: prostřední hodnota znaku x, jsou-li hodnoty uspořádány podle velikosti - proto vybereme (podle tabulky) 5. a 6. hodnotu v pořadí podle velikosti a dělíme 2: Med (x) = 15,3 c) modus: hodnota znaku x, která se vyskytuje nejčastěji s největší četností

128 - proto Mod (x) = 15,3 d) geometrický průměr: Po dosazení: e) harmonický průměr: 6. Posloupnosti a základy finanční matematiky Pojem a určení posloupnosti, vlastnosti posloupnosti 1) V soustavě pravoúhlých souřadnic zobrazte prvé čtyři členy posloupnosti a určete člen desátý: Posloupnost je zadána pomocí vzorce pro n-tý člen posloupnosti. Představuje předpis, podle kterého si máme vytvořit postupně vzorce pro: 1. člen a 1 dosazením za n = 1 2. člen a 2 dosazením za n = 2 atd. a) n = 1: n = 2:

129 n = 3: n = 4: n = 10: Graf prvních čtyřech členů posloupnosti viz. obrázek 6.1.1a). Obrázek 6.1.1a): 2) Napište prvých šest členů posloupnosti dané rekurentním vzorcem: je-li a zobrazte je v pravoúhlé soustavě souřadnic. Jsou dány členy a 1 a a 2. Budeme tedy určovat členy a 3 až a 6 : Výpočet a 3 : dosadili jsme za ; Tím vznikl vzorec, do něhož dosadíme zadané hodnoty: Výpočet a 4 : Obdobně si nejdříve vytvoříme vzorec: Dosadíme: Výpočet a 5, a 6 : Stejný postup: Pro přehled zapíšeme výsledek počítání členů posloupnosti tzv. VÝČTEM NĚKOLIKA PRVNÍCH ČLENŮ POSLOUPNOSTI:

130 Graf uvádí obrázek 6.1.5: { } 8) Stanovte n-tý člen posloupnosti a dokažte, zda je daná posloupnost rostoucí či klesající: a) b) c) d) e) 1; -1; 1; -1; 1 Z prvních členů posloupností se snažíme vypozorovat obecné vlastnosti, které pak zformulujeme do vzorce pro n-tý člen. Následně dokážeme požadované vlastnosti viz. úlohy 2) a 3). a) Daná posloupnost klesá. b) Čitatel roste rychleji než jmenovatel. Daná posloupnost roste.

131 6.2 Aritmetická posloupnost Posloupnost se nazývá ARITMETICKÁ, tehdy když existuje takové číslo d R, že pro každé n N platí: (1) d diference ; Dále pro aritmetické posloupnosti použijeme vztahy: (2) (3) r,s N (4) (5) aritmetický průměr; pro 1) Ve které aritmetické posloupnosti je? Zadány 2 rovnice o čtyřech neznámých. K určení aritmetické posloupnosti stačí hodnota a 1 a d. Proto v rovnicích nahradíme všechny členy pomocí vzorců: ; ; ; Užili jsme vztah (2). Dále dosadíme vytvořené vzorce do rovnice I) a II): ) po úpravách 2 soustava dvou II): po úpravách rovnic o dvou neznámých K řešení použijeme dosazovací metodu: Dosadíme za z rovnice I) vyjádříme a dosadíme do II) II): potom Dané vztahy platí pro posloupnost zadanou 2) V aritmetické posloupnosti určete a 1, n, d, a n, s n, pokud nejsou známy: a) b),, a) Výpočet a 1 : užit upravený vztah (2) Výpočet a 7 : užit vztah (3) Výpočet s 7 : užit vztah (4)

132 . součet prvních 7-mi členů posloupnosti b),,, Výpočet a 1 : Výpočet a 10 : Výpočet s 10 : 3) Mezi čísla 1 a 25 vložte tolik čísel, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost o součtu 117. Určete čísla vložená a jejich počet. Dáno:,, Je třeba určit: Určíme : Určíme : = 3 Hledaných čísel bude celkem 7 (9-2 zadaná) a budou se zvětšovat o : 4) Napište prvních 5 členů aritmetické posloupnosti: a) b) a) resp. resp. nebo { } b) nebo

133 nebo nebo { } 6.3 Geometrická posloupnost (GP) V této části sbírky budeme potřebovat následující pojmy a vztahy: Posloupnost je GEOMETRICKÁ tehdy, když existuje q { }, že pro každé číslo n N platí rekurentní vzorec (1):, kde pro q kvocient- platí:. Další vztahy: (2) (3) kde r, s N (4) pro q = 1 (5) pro q 1 (6) geometrický průměr; pro 1) Napište prvních 5 členů GP, je-li: a) b) c) a) Uplatníme stejný postup jako v a): Vyšší členy. Nižší členy: Pro přehled uvedeme výčet prvních 5-ti členů posloupnosti: { } b) Nejdříve vypočítáme q, potom použijeme opět (1):

134 Pro přehled uvedeme výčet prvních 5-ti členů posloupnosti: { } c) Použijeme vztah (3) pro výpočet kvocientu q a pak postu pro výpočet vyšších a nižších členů: Pro přehled uvedeme výčet prvních 5-ti členů posloupnosti: { } 2) Vypočtěte součet prvých 10-ti členů dané GP: Použit vztah (5): pro dosadíme 3) V GP je. Určete. Zadané vztahy představují dvě rovnice o třech neznámých, proto musíme vytvořit 2 rovnice o 2 neznámých (např. ): I): II): Dosadíme za členy : a do rovnic I) a II)

135 I) II) Použijeme porovnávací metodu řešení soustavy rovnic: [ ] Vypočteme : Výpočet : Výpočet : dosadíme za řešíme exponenciální rovnici 4) V geometrické posloupnosti je:. Určete. Vzorce v zadání představují soustavu dvou rovnic o třech neznámých. Proto je nahradíme např. a 1 a q: I): II): Užijeme porovnávací metodu řešení soustavy rovnic:

136 [ ] Výpočet a 1: Vypočteme s 4 : 6.4 Využití posloupností, slovní úlohy 1) Na střeše tvaru lichoběžníku jsou srovnány tašky do řad tak, že při hřebenu je 85 tašek a v každé další řadě o jednu tašku více než v řadě předcházející. Kolika taškami je pokryta střecha, má-li řada při okapu 100 tašek? Předmětem řešení je aritmetická posloupnost (AP): Úkol určit : musíme stanovit velikost : Dosadíme: Počítáme tedy s 16 : Na pokrytí střechy je třeba tašek. 2) Bakterie se množí půlením tak, že k dělení dojde v příznivých podmínkách vždy za půl hodiny. Kolik bakterií vznikne za 12 hodin z jedné bakterie? začátek pokusu :

137 Potom: Otázka zní, kolik bakterií za 12 hodin vznikne; tedy původní jednu bakterii musíme odečíst. Vznikne proto bakterií. 3) Z jaké výšky byla spuštěna pružná koule, která se odrazila od země celkem 8 krát a po osmém odrazu odskočila ještě do výše 0,5 metru, vyletěla-li po každém dopadu do té výše, ze které spadla. Proveďme rozbor zadání: původní výška: výška po prvním odskoku: výška po 2. odskoku: a tak dále, až výška po 8. odskoku: vypočteme a 1 Koule byla spuštěna z výšky 298 cm. 4) Občan Spořivý si založil osobní spořicí účet s roční úrokovou mírou 4,2 % na dobu tří let. Rozhodl se vždy na začátku roku vložit částku Kč. Po 1. roce se roční úroková míra snížila na 4 % a pak už se neměnila. Jakou částku měl pan Spořivý na účtu po třech letech, je-li roční daň z úroku 15 %? Banka stav na účtu na konci roku vždy zaokrouhluje na haléře. Označení: J jistina peníze v bance - pravidelný každoroční vklad.. - peníze na konci 1. roku po připsání úroků a odečtení daně 15 % z úroků

138 - peníze na konci 2. roku po připsání úroků a odečtení daně 15 % z úroků - peníze na konci 3. roku 1.rok: vytkli jsme J 0 ( ) vytkli jsme 0,042 2.rok: dosadíme za J 0 ( ) ( ) po vytknutí výrazu (J 1 + J 0 ) dosadíme za J 1 a J 2 3.rok: ( ) ( ) po úpravě Po třech letech bude mít pan Spořivý v bance ,85 Kč. 5) Každým rokem se ve stejnou dobu zjišťuje přírůstek objemu dřeva v lese. Přírůstek činí pravidelně p % oproti předchozímu roku. Jestliže se za deset let zvětšil objem dřeva v lese o 10 %, je číslo p po zaokrouhlení na setiny rovno: A) 0,90 B) 0,96 C) 1,00 D) 1,05 E) 1,10

139 Označení: objem dřeva na začátku objem dřeva po 1. roce objem dřeva po 2. roce objem dřeva po 10. roce ze zadání plyne: nárůst objemu o p % objem po 1. roce: dosadíme za [ ] objem po 2. roce: Jde o geometrickou posloupnost s kvocientem. Potom: Ze zadání dále plyne: objem vzrostl o 10 % Po dosazení do předchozí rovnice dostáváme: odmocníme vyjádříme p ( ) Správná je varianta B). 10) V rámci restrukturalizačního programu vedení firmy na začátku ledna rozhodlo, že na konci každého čtvrtletí klesne počet zaměstnanců firmy o 5 % oproti stavu na počátku čtvrtletí. Počet procent (zaokrouhlený na desetiny), o který klesne počet zaměstnanců na konci prosince oproti stavu na začátku ledna téhož roku je roven: A) 20,0 B) 19,5 C) 19,0 D) 18,5 E) 18,0

140 Označení: počet zaměstnanců na začátku ledna počet zaměstnanců po 1. Čtvrtletí a tak dál až počet zaměstnanců na konci 4. čtvrtletí Ze zadání plyne: obdobně Jedná se o geometrickou posloupnost s kvocientem 0,95. Proto: Což znamená, že na konci roku činil počet zaměstnanců 81,5 % z počtu na začátku roku. Pokles počtu zaměstnanců tedy činil 18,5 %. Platí varianta D). 7. Analytická geometrie v rovině 7.1. Vzdálenost dvou bodů, střed úsečky V této části uplatníme následující vztahy: (1) - vzdálenost bodů [ ] a [ ] (2) - souřadnice středu úsečky AB; [ ] ; [ ] - [ ] 1) Hmotný bod se pohybuje rovnoměrně přímočaře tak, že se posune za dobu t = z bodu [ ] do bodu [ ]. Vypočítejte jeho rychlost. (Absolutní hodnoty souřadnic udávají délky v m.)

141 Vyjdeme ze vzorce pro rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu: Výpočet dráhy s: ; s..(1) S Výpočet rychlosti: Rychlost hmotného bodu je. 2) Jaký obvod má trojúhelník s vrcholy [ ], [ ], [ ]?( Absolutní hodnoty souřadnic udávají délky v m.) Vyjdeme ze vzorce pro obvod : součet délek stran Výpočty délek jednotlivých stran: Dosadíme: Obvod trojúhelníku je přibližně 29,34 m. 3) Určete souřadnice vrcholů trojúhelníku KLM tak, aby jeho strany tvořily střední příčky trojúhelníku ABC s vrcholy: [ ]; [ ] a [ ].

142 Střední příčka trojúhelníku je spojnice středů dvou sousedních stran. Dále zaznamenejte, že ABC z této úlohy je stejný jako v úloze předchozí. Můžeme si udělat představu o zadání i kontrolu svých výpočtů z obrázku Výpočet souřadnic vrcholů KLM jako středů příslušných stran: [ ] [ ] : [ ] 7.2. Vektor, vektorová algebra V tomto oddíle použijeme následující informace: VEKTOR množina všech stejně velkých, rovnoběžných a souhlasně orientovaných úseček - má nekonečně mnoho možností zobrazení umístění vektoru - obrázek 7.2.a) SOUŘADNICE VEKTORU : - zápis znamená, že jsme zvolili umístění vektoru tak, že jeho počátečním bodem je bod A, koncovým bodem bod B - výpočet souřadnic: podle formální rovnice, kde [ ] a [ ] ; vždy od souřadnic koncového bodu odečítáme souřadnice počátečního bodu! - výpočtem souřadnic vektoru jej rovněž můžeme umístit tak, že má počáteční bod [ ] a koncový bod [ ], což činíme nejčastěji obrázek 7.2.b) VELIKOST VEKTORU délka orientované úsečky AB: - odvození pomocí Pythagorovy věty viz. obrázek 7.2.b) ODCHYLKA VEKTORŮ ;

143 Obrázek 7.2.a): Obrázek 7.2.b): 1) Jsou dány body [ ] [ ] a vektor, kde. a) Určete souřadnice bodu C. b) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC. c) Určete velikost největšího vnitřního úhlu trojúhelníku ABC a) Určete souřadnice bodu C. Zápis Výpočet souřadnic bodu C: b) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC. [ ] Lze počítat jako vzdálenost příslušných vrcholů nebo jako velikost vektorů, které jsou tvořeny stranami trojúhelníku ABC.Volíme variantu pomocí velikosti vektorů.

144 zadán, proto Souřadnice Souřadnice c) Určete velikost největšího vnitřního úhlu trojúhelníku ABC. Podle pravidla: proti větší straně v trojúhelníku leží větší úhel. Platí, že největším úhlem v trojúhelníku ABC bude úhel, který leží proti největší straně(ab) a tedy úhel BAC =. Velikost úhlu určíme pomocí vzorce pro odchylku vektorů, které mají počáteční bod ve vrcholu A a koncové body ve vrcholu B, resp. C: Nákres situace obrázek 7.2.1c):

145 Výpočet souřadnic obou vektorů: Výpočet odchylky α: Největší úhel v ABC je úhel 2) Jsou dány body [ ], [ ], [ ]. a) Dokažte, že body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku. b) Vypočtěte délky stran trojúhelníku ABC. c) Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku ABC a) body A, B, C - vrcholy trojúhelníku Z bodů A, B, C vytvoříme po řadě vektory: Prověříme, zda jsou nebo nejsou lineárně závislé: Jsou-li dva vektory lineárně závislé (leží v téže přímce), musí pro ně platit vztah: a tím také:, kde { } Prověříme vztah protože se k neshodují, proto nemohou body A, B, C ležet v jedné přímce.

146 Obdobně můžeme prověřit zbylé dvě dvojice: resp.. Nezáleží na tom, kterou z nich si zvolíme. Vrcholy A, B, C tvoří trojúhelník. b) délky stran trojúhelníku ABC Je možné využít vektory vektorů: z části a). Velikosti stran jsou stejné jako velikosti těchto Velikosti stran ABC jsou po řadě :. Z nich plyne, že se jedná o rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník. c) velikost vnitřních úhlů trojúhelníku ABC K řešení tohoto úkolu opět použijeme vektory (část a): - (- - ) Podle závěru v části b) platí pro vektory : Úhel mezi vektory Protože oba vektory mají stejnou velikost a jedná se o rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, zbylé dva úhly jsou stejně velké. Proto 3) Zjistěte graficky i početně souřadnice součtu vektorů,, Při počítání s vektory používáme pravidlo: co děláme s vektory, to provádíme s jejich souřadnicemi. početně:

147 graficky: zvolíme takové umístění vektorů, aby měly shodný počáteční bod [ ], koncové body mají stejné souřadnice jako vektory. Sečteme nejprve a k výsledku připočteme vektor obrázek7.2.4: 4) Zjistěte graficky i početně souřadnice vektoru, je-li početně: graficky: - vektory umístíme tak, aby měly počáteční bod v bodě [ ] - rozdílem vektorů rozumíme součet vektoru s vektorem opačným k vektoru tj. s vektorem. Obrázek 7.2.5:

148 5) Určete souřadnice vektoru tak, aby byl kolmý k vektoru a měl stejnou velikost. Podmínka kolmosti vektorů a : Stejná velikost předpokládá: Proto musí být čísla stejně velká jako resp. a u jednoho z nich změníme znaménko: nebo Ověření podmínky kolmosti: nebo Ověření velikosti: nebo Hledané vektory jsou nebo.

149 7.3. Přímka v rovině Uvedeme některé pojmy a vztahy na úvod: Obrázek 7.3.: Pojmy: - SMĚROVÝ VEKTOR PŘÍMKY libovolný vektor, který na ní leží, případně je s ní rovnoběžný je jich nekonečně mnoho navzájem lineárně závislé - NORMÁLOVÝ VEKTOR PŘÍMKY vektor kolmý na přímku a tím i na směrový vektor přímky je jich nekonečně mnoho - navzájem lineárně závislé - SMĚROVÝ ÚHEL PŘÍMKY ϕ úhel, který svírá přímka (i její směrový vektor) s kladným směrem osy x Vše na obrázku 7.3. Vztahy: - OBECNÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY:, kde a, b souřadnice normálového vektoru přímky - SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY:, kde je směrnice přímky, q úsek, který přímka vytíná na ose y - PARAMETRICKÉ ROVNICE PŘÍMKY: - symbolický zápis : ; t R parametr [ ] libovolný bod přímky, směrový vektor přímky 1) Napište obecnou rovnici a parametrické vyjádření přímky: a) b)

150 Obě zadané rovnice představují směrnicový tvar, proto ze směrnice stanovíme souřadnice směrového vektoru a z q souřadnice určujícího bodu, protože [ na ose y, kterým daná přímka prochází. ] je bod a) obecný tvar rovnice: převedeme na anulovaný tvar parametrické rovnice: směrový vektor q průsečík s osou [ ] b) postupujeme obdobně jako v části a) obecný tvar rovnice: parametrické rovnice: [ ] 2) Napište rovnici přímky, která: a) prochází bodem [ ] a má směrový úhel b) prochází bodem [ ]. a) přímka prochází bodem [ ] a má směrový úhel Vytvoříme směrnicový tvar: Číslo q určíme dosazením souřadnic bodu A do hledané rovnice:

151 Nebo parametrické rovnice: b) přímka prochází bodem [ ]. ( ) buď: nebo: dosadíme souřadnice bodu C: 3) Určete číslo v rovnici přímky aby přímka procházela bodem [ ] jeho souřadnice vyhovují rovnici přímky p Dosadíme za x a y souřadnice bodu A: nebo p: 4) Sestavte parametrické rovnice přímky p, a) je-li určena bodem [ ] a směrovým vektorem, b) je-li určena body [ ] [ ] a) přímka je určena bodem [ ] a směrovým vektorem Pouze dosadíme souřadnice jak určujícího bodu A, tak směrového vektoru : p: b) přímka je určena body [ ] [ ] Je třeba určit souřadnice směrového vektoru: např. může být orientovaný i opačně

152 použity souřadnice bodu A; nebo: použit bod B. 5) Určete geometrické místo bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodů [ ] [ ] Geometrickým místem bodů, které jsou stejně vzdálené od A, B, je osa o úsečky Platí pro ni: a střed úsečky AB je jejím bodem Směrový vektor přímky AB: = B A: Směrový vektor osy o: proto Souřadnice středu úsečky AB: [ ] Sestavíme parametrické rovnice osy 7.4. Vzájemná poloha dvou přímek v rovině 1) Zjistěte vzájemnou polohu přímek: Vzájemnou polohu přímek vektorů: poznáme porovnáním jejich směrových nebo normálových směrové vektory normálové vektory jeden směrový a jeden normálový vektor

153 lineárně závislé vektory lineárně závislé vektory nebo nebo lineárně nezávislé vektory lineárně nezávislé vektory neplatí žádný z předchozích vztahů Proto najdeme příslušné vektory a porovnáme je: Přímka p: a q: p: Pro vektory a neplatí žádný z tabulkových vztahů. Proto jsou to různoběžné přímky. 2) Určete průsečíky dvou daných přímek: ;, Průsečík přímek společný bod jeho souřadnice musí vyhovovat rovnicím obou přímek, proto řešíme soustavou dvou rovnic o dvou neznámých. p: q:, p: soustava rovnic 2 o třech neznámých q: vyloučíme parametr odečteme odečteme vypočítáme Průsečík přímek p a q je bod [ ]

154 3) Je dán trojúhelník ABC: [ ] [ ] [ ]. a) Napište rovnici výšky. b) Napište rovnici střední příčky, která je rovnoběžná se stranou a. c) Napište rovnici těžnice. a) Napište rovnici výšky Výška v a je kolmice vedená z vrcholu A na stranu a. Proto platí: nebo Rovnice užijeme obecný tvar dopočítáme c dosadíme souřadnice bodu A Rovnice výšky b) Napište rovnici střední příčky, která je rovnoběžná se stranou a. Střední příčka, která je rovnoběžná se stranou a, je spojnicí středů stran b a c... středy stran b, c vypočteme souřadnice jednoho ze středů - např. : [ ] Sestavíme rovnici viz část a), c) Napište rovnici těžnice Těžnice t b je spojnice vrcholu B se středem strany b. je střed strany b jeho souřadnice viz část b): [ ] [ ] Směrový vektor: Rovnice těžnice

155 4) Určete souřadnice průsečíku P os stran trojúhelníku ABC: [ ] [ ] [ ]. Osy stran trojúhelníku: přímky, které procházejí středem příslušné strany a jsou k ní kolmé. Jejich průsečík je současně středem kružnice opsané daného trojúhelníku. Řešení dané úlohy je několik a vycházejí z popsaných vlastností os stran trojúhelníku ABC: A) Sestavením rovnice kružnice opsané trojúhelníku ABC a určením souřadnice jejího středu S viz úloha 6) v části 7.6 Kružnice. B) Sestavíme rovnice dvou os stran trojúhelníku ABC a určíme jejich průsečík. V této části zvolíme postup B) Náčrtek situace obrázek 7.4.8: I) Sestavíme rovnici osy : - Určíme souřadnice středu strany : [ ]

156 - Sestavíme obecný tvar : resp. obecný tvar rovnice dopočítáme c dosazujeme souřadnice dosadíme do rovnice rovnice přímky jdoucí rovnoběžně s y, bodem [ ] II) Obdobným postupem sestavíme rovnici : -souřadnice [ ] -obecný tvar : ) obecný tvar rovnice dopočítáme c dosazujeme souřadnice III) Průsečík soustava rovnic dosazovací metoda

157 Hledaný průsečík os stran ABC bod [ ] 5) Určete úhel (odchylku) přímek p:,. Odchylka dvou přímek je vlastně odchylkou jejich směrových nebo normálových vektorů a současně Určíme souřadnice směrových vektorů: Vypočítáme odchylku přímek podle vzorce:, kde jsou naše Odchylka daných přímek je Vzdálenost bodu od přímky V této části budeme užívat k výpočtům následující vzorec: - vzdálenost bodu M od přímky p: kde [ ] ; p: obecný tvar rovnice přímky a je velikost normálového vektoru přímky p. 1) Určete vzdálenost bodu [ ] od přímky:, vzdálenost [ ] od p:, Přímka p je zadána v parametrickými rovnicemi. Převedeme na obecný tvar rovnice. (*)

158 parametrické zadání představuje soustavu rovnic o 3 neznámých (x, y, t) tvoříme rovnici o dvou neznámých (x, y) vyloučíme t rovnice odečteme a upravíme na anulovaný tvar použijeme vzorec obecný tvar rovnice přímky p 2) Vypočítejte vzdálenost počátku od přímky: Řešení. [ ] obecný tvar p: Vzdálenost počátku od dané přímky je 2. 3) Určete velikost výšky trojúhelníku ABC: [ ] [ ] [ ] Výška je kolmice vedená z vrcholu C na stranu c. Její velikost podobně jako v předchozí úloze můžeme chápat jako vzdálenost vrcholu C od strany c. Sestavíme proto obecný tvar rovnice strany c a použijeme vzorec (*). Náčrtek dané situace viz. obrázek Sestavujeme obecný tvar rovnice strany c: směrový vektor normálový vektor tvoříme obecný tvar rovnice strany c dosazujeme souřadnice jednoho z bodů strany c

159 hotová rovnice strany c Výpočet velikosti výšky: Velikosti výšky je. Obrázek 7.5.4: 7.6. Kružnice Několik poznámek na úvod: Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu S střed kružnice - stejnou vzdálenost r poloměr kružnice,. Středový tvar rovnice kružnice: (1) středová poloha - [ ] (2) obecná poloha - [ ] Obecný tvar rovnice kružnice: (3), kde

160 1) Napište středový tvar rovnice kružnice a ten převeďte na obecný tvar rovnice kružnice, je-li dáno: [ ] [ ] Užijeme tvar (2):, kde jsou souřadnice středu a -poloměr Středový tvar: Obecný tvar: umocníme závorky ve středovém tvaru a převedeme rovnici na anulovaný tvar upravíme podle vzorce (3) hledaný obecný tvar rovnice kružnice 2) Napište rovnici kružnice ve středovém tvaru a určete souřadnice středu a velikost poloměru. přeskupíme členy rovnice doplníme na trojčlen, který je druhou mocninou typu, resp. středový tvar rovnice: odtud: [ ] o stejná čísla doplníme pravou stranu rovnice 3) Kružnice má střed v bodě a prochází bodem. Napište její obecný tvar. [ ] [ ]. Vyjdeme ze středového tvaru rovnice kružnice:. Kde jsou souřadnice středu kružnice, r-poloměr. Dále využijeme souřadnic bodu a vypočítáme poloměr r, resp. : středový tvar rovnice hledané kružnice: Upravíme do obecného tvaru:

161 4) Napište rovnici kružnice, která je opsána trojúhelníkem ABC: [ ] [ ] [ ]. Sestavíme obecný tvar rovnice kružnice vztah (3): Dosazením souřadnice bodů A, B, C do této rovnice za x a y (opsaná kružnice těmito body prochází) získáme soustavu tří rovnic o třech neznámých a, b, c, kterou budeme řešit: [ ] sečteme [ ] [ ] sečteme I) II) odečteme Dosadíme a do I): Výpočet b z rovnice po dosazení souřadnic bodu A: Obecný tvar kružnice: středový tvar:

162 7.7. Kružnice a přímka Vzájemnou polohu kružnice a přímky rozlišujeme pomocí počtu společných bodů: - sečna 2 společné body - tečna 1 společný bod - vnější přímka (nesečna) 0 společných bodů Počet společných bodů zjistíme řešením soustavy 2 rovnic o 2 neznámých rovnice kružnice kvadratická rovnice a přímky lineární rovnice viz kapitola ) Zjistěte vzájemnou polohu kružnice a přímky soustava rovnic dosazovací metoda řešení Dopočítáme x dosazením do : a Potom dostáváme: [ ] a [ ] Přímka je sečnou kružnice. 2) Ve kterých bodech protínají souřadnicové osy kružnici:. Průsečíky s osou x - řešíme soustavou rovnic: dosadíme do rovnice kružnice

163 řešíme kvadratickou rovnici a tedy Průsečíky s osou x: [ ] a [ ] Průsečíky s osou y obdobně: dosadíme do rovnice kružnice řešíme kvadratickou rovnici Osa y kružnici neprotíná. (rovnice nemá řešení) 3) Kružnice má střed v bodě [ ] a dotýká se přímky. Najděte dotykový bod na této přímce a napište rovnici kružnice. Hledáme rovnici kružnice, kde m, n jsou souřadnice středu kružnice ( [ ]) a, resp. r je poloměr kružnice a tedy vzdálenost středu S od dané přímky, která je tečnou kružnice. Výpočet r:, kde a, b, c jsou koeficienty z rovnice přímky:. Rovnice kružnice: Bod dotyku: po úpravě: dosadíme za x:

164 po úpravě Vypočítáme x: Bod dotyku je [ ] Elipsa Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů ohniska E, F konstantní součet vzdáleností 2a délka hlavní osy. Popis elipsy (viz. obrázek 7.8.a): [ ] střed elipsy; A,B hlavní vrcholy elipsy; C,D vedlejší vrcholy elipsy; E,F ohniska; X libovolný bod elipsy. Vztahy mezi prvky v elipse: délka hlavní osy; délka hlavní poloosy délka vedlejší osy; délka vedlejší poloosy vzdálenost ohnisek; - excentricita, výstřednost definiční vztah pro libovolný bod na elipse ; Rovnice elipsy: OSOVÁ ROVNICE ELIPSY: - hlavní osa elipsy rovnoběžná s osou x: pro [ ] středová poloha (viz. obrázek 7.8.b) pro [ ] obecná poloha - hlavní osa elipsy rovnoběžná s osou y: pro [ ] středová poloha (viz. obrázek 7.8.c) OBECNÝ TVAR ROVNICE ELIPSY: pro [ ] obecná poloha

165 Obrázek 7.8.a: Obrázek 7.8.b:

166 Obrázek 7.8.c: 1) Najděte délky poloos u elipsy. Rovnice elips upravíme na osový tvar:, resp.: 2) Určete vzájemnou polohu elipsy a bodů: [ ] [ ] [ ]. Dosadíme souřadnice bodů do rovnice elipsy. Pokud na levé straně dostaneme: - kladný výsledek - bod vnější; - záporný výsledek - vnitřní bod; - nula - bod elipsy [ ]: bod elipsy

167 [ ]: vnitřní bod [ ]: vnější bod 3) Zjistěte souřadnice středu a ohnisek elipsy a velikost poloos elipsy, je-li elipsa dána rovnicí. Upravíme danou rovnici do osového tvaru: Z něj pak plyne : I) [ ] II) Ohniska elipsy leží na přímce, která je rovnoběžná s osou x a S je jejím bodem: Proto [ ] [ ] viz. obrázek 7.8.b Výpočet e: Souřadnice ohnisek: [ ] [ ] 4) Uveďte jméno a rovnici křivky, která je množinou všech bodů v rovině, pro které platí, že součet jejich vzdáleností od bodů [ ] [ ] je roven 10. Množinou definovanou v úloze je elipsa s ohnisky v bodech M a N. Z definice elipsy dále plyne, že pro libovolný bod X elipsy: a je velikost hlavní poloosy elipsy. Proto Protože obě ohniska jsou stejně vzdálena od středu elipsy: [ ] Stanovíme b, resp. : kde

168 Rovnice elipsy: 7.9. Elipsa a přímka Vzájemnou polohu přímky a elipsy rozlišujeme podle počtu společných bodů (podobně jako u kružnice: - 0 společných bodů nesečna (vnější přímka) - 1 společný bod tečna - 2 společné body sečna Počet společných bodů zjišťujeme řešením soustavy dvou rovnic (elipsy a přímky) 1) Zjistěte vzájemnou polohu přímky a elipsy. elipsa: soustava 2 rovnic o 2 neznámých přímka: dosadíme do rovnice elipsy Vypočítáme : [ ] Daná přímka je tečnou elipsy s bodem dotyku [ ]. 2) Do elipsy je vepsán obdélník, jehož dvě protější strany procházejí ohnisky elipsy kolmo k hlavní ose. Vypočtěte obsah tohoto obdélníku.

169 Náčrtek úlohy obrázek 7.9.2: Osová rovnice dané elipsy: [ ] Poloha ohniska: [ ] [ ] Výpočet excentricity e: Rozměry vepsaného obdélníka: [ ] [ ], kde [ ] je bod na elipse. viz. obrázek Výpočet ( ) dosazujeme do rovnice elipsy.. Potom Obsah obdélníku: 3) Bod [ ] je vedlejší vrchol elipsy. Ohniska elipsy leží na přímce. Napište rovnici této elipsy, jestliže pro výstřednost e a velikost hlavní poloosy a platí. Náčrtek zadání obrázek 7.9.3:

170 K sestavení rovnice elipsy potřebujeme: I. souřadnice středu elipsy II. velikosti poloos a, b (resp. ) I) Souřadnice S: je rovnoběžná s osou x. Protože střed S musí ležet na téže přímce jako ohniska elipsy a současně [ ] viz. náčrtek obrázek II. velikosti poloos viz. náčrtek obrázek Výpočet a: v zadání úlohy Pro rozměry elipsy platí vztah: dosadíme za e, b Rovnice elipsy:

171 7.10. Parabola Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od daného pevně zvoleného bodu ohnisko- a dané přímky řídicí přímka (ohnisko neleží na řídicí přímce) Popis paraboly viz. obrázek 7.10.a : F ohnisko; V vrchol paraboly; d řídicí přímka; o osa paraboly - o FV Vztahy mezi prvky paraboly: parametr paraboly půl parametru definiční vztah pro libovolný bod paraboly Obrázek 7.10.a: Rovnice paraboly: rozlišujeme podle polohy paraboly I:, parabola otevřená doprava obrázek 7.10.b: Vrcholová rovnice: [ ] středová poloha [ ] obecná poloha

172 II:, parabola otevřená doleva obrázek 7.10.c: Vrcholová rovnice: [ ] středová poloha [ ] obecná poloha III :, parabola otevřená nahoru obrázek 7.10.d: Vrcholová rovnice: [ ] středová poloha [ ] obecná poloha IV :, parabola otevřená dolů obrázek 7.10.e: Vrcholová rovnice: [ ] středová poloha [ ] obecná poloha 1) Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a prochází: a) bodem [ ] a je souměrná podle osy x b) bodem [ ] a je souměrná podle osy y c) bodem [ ] a je souměrná podle osy x d) bodem [ ] a je souměrná podle osy y

173 a) parabola prochází bodem [ ] a je souměrná podle osy x Zadání odpovídá typu I: Dosadíme souřadnice bodu A výpočet parametru p: Rovnice paraboly: b) parabola prochází bodem [ ] a je souměrná podle osy y Zadání odpovídá typu III: výpočet parametru p dosadíme souřadnice bodu B: Rovnice paraboly: c) parabola prochází bodem [ ] a je souměrná podle osy x vyjdeme z typu II: výpočet parametru: Rovnice paraboly: d) parabola prochází bodem [ ] a je souměrná podle osy y vyjdeme z typu IV: výpočet parametru: Rovnice paraboly: 2) Najděte rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a prochází body: a) [ ] [ ] b) [ ] [ ]. a) parabola prochází body [ ] [ ]; [ ] Body A, B jsou souměrně sdružené podle kladné části osy x, proto použijeme rovnici: dopočítáme parametr pomocí Rovnice paraboly:

174 b) parabola prochází body [ ] [ ]; [ ] Body C, D souměrně sdružené podle záporné části osy x, proto použijeme rovnici: výpočet parametru p užitím Rovnice paraboly: 3) Najděte rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a ohnisko: a) [ ] b) [ ]. a) [ ]; [ ] Ohnisko leží na záporné části osy x užijeme rovnici Výpočet parametru: Rovnice paraboly: b) [ ] [ ] Ohnisko leží na kladné části osy y užijeme rovnici typu: parametr - viz část a) Rovnice paraboly: Parabola a přímka Vzájemnou polohu přímky a paraboly rozlišujeme podle počtu společných bodů: - 0 společných bodů nesečna (vnější přímka) tečna paraboly - přímka není rovnoběžná s osou paraboly - 1 společný bod sečna paraboly 2. typu přímka je rovnoběžná s osou paraboly - 2 společné body sečna 1. typu Počet společných bodů zjišťujeme řešením soustavy dvou rovnic (paraboly a přímky). 1) Zjistěte vzájemnou polohu paraboly a přímky: a) b) c). a) přímka: ; parabola:

175 Vytvoříme soustavu rovnic a řešíme ji. Parabola: přímka: dosadíme do rovnice paraboly upravíme na anulovaný tvar řešíme kvadratickou rovnici Dopočítáme x: Přímka je sečnou paraboly s průsečíky: [ ], [ ]. b) přímka: ; parabola: Vytvoříme soustavu rovnic a řešíme ji. Parabola: přímka: dosadíme do rovnice přímky řešíme kvadratickou rovnici [ ] Parabola má s přímkou jeden společný bod. Musíme dále rozhodnout mezi polohou tečny a nebo sečny 2. typu (rovnoběžná s osou paraboly): parabola: [ ], osa symetrie kladná část osy x přímka: není rovnoběžkou s osou x Přímka je tečnou paraboly. c) parabola:.

176 postup viz část a) parabola: přímka: dosadíme do rovnice paraboly řešíme kvadratickou rovnici záporný diskriminant znamená, že soustava nemá řešení Daná přímka je nesečnou. 2) Jakou velikost má tětiva, kterou vytíná přímka na parabole? I. Výpočet souřadnic průsečíků přímky a paraboly body A, B: parabola: přímka: dosadíme do rovnice paraboly umocníme podle vzorce řešíme kvadratickou rovnici Dopočítáme : Průsečíky: [ ] [ ] II. Výpočet vzdálenosti bodů A, B (velikost tětivy)

177 ( ) ( ) ( ) ( ) Tětiva má délku 16. 3) Pro jakou hodnotu parametru p je přímka tečnou paraboly? Protože daná přímka není rovnoběžná s osou paraboly osa x, hledáme takovou hodnotu parametru p, aby soustava (rovnic paraboly a přímky) měla jedno řešení D=0: Parabola: Přímka: dosadíme do rovnice paraboly Zjistíme pro jaké hodnoty p: D=0 nevyhovuje parabola nemůže mít takový parametr (vzdálenost ohniska od řídicí přímky) vyhovuje zadání

178 7.12. Hyperbola Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů - ohnisek konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností. Popis hyperboly viz. obrázek 7.12.a. S střed hyperboly; A, B vrcholy hyperboly; E, F ohniska hyperboly; - osy hyperboly p, q asymptoty hyperboly Vztahy mezi prvky hyperboly: délka hlavní osy délka hlavní poloosy délka vedlejší osy délka vedlejší poloosy excentricita (výstřednost) hyperboly Pokud platí, pak takovou hyperbolu označujeme jako rovnoosá hyperbola. Obrázek 7.12.a: Rovnice hyperboly: I) hlavní osa hyperboly o 1 - rovnoběžná s osou x Obrázek 7.12.b: Osová rovnice hyperboly středová poloha pro [ ] pro [ ] obecná poloha

179 II) hlavní osa hyperboly o 1 - rovnoběžná s osou y Obrázek 7.12.c: Osová rovnice hyperboly středová poloha pro [ ] pro [ ] obecná poloha 1) Zjistěte velikost poloos, výstřednost a souřadnice vrcholů a ohnisek hyperboly: a) b) c) d) a) Rovnici hyperboly upravíme na osový tvar: Dostáváme: porovnáním s Výstřednost (excentricita): Vrcholy hyperboly: [ ] [ ] proto [ ] [ ] Ohniska hyperboly: [ ] [ ] proto [ ] [ ] b) postup viz část a) potom Výstřednost (excentricita): Vrcholy hyperboly: [ ] [ ] proto [ ] [ ]