e en loh. kola 4. ro n ku fyzik ln olympi dy. Kategorie B uto i loh: M. anda (, 3), I. Volf (), K. auner (6),. Ban k (4), V. V cha (5) a P. ediv (7). a) Ozna me u 0 rychlost m e po odrazu od kv dru. Ze z kona zachov n hybnosti a z kona zachov n energie plyne pro sou adnice rychlost u 0 u 0 a v : mu 0 = mu 0 + m v mu 0 = mu0 + mv : e en m t to soustavy rovnic dostaneme: m v = u 0 = 0 ms m + m ; : bod b) Po odrazu m e se v d sledku pohybu kv dru za ne pru ina nejprve stla ovat a bude p sobit na voz k a kv dr silami pru nosti F p a ;F p (obr. ). S la F p ud l voz ku vzhledem k zemi zrychlen a. Vzta n soustava spojen svoz kem nen inerci ln. hceme-li popsat pohyb z va vzhledem k t to soustav, mus me po tat se setrva nou silou F s = ;m a (obr. ). Je-li okam it v chylka kv dru zp vodn rovnov n polohy vzhledem k voz ku x, plat a = Fp m = kx m anakv dr p sob ve vzta n soustav spojen svoz kem v sledn s la F = ;F p + F s = ;F p ; m a = ;F p + m m o sou adnici F = ;k + m x = ;k m 0 x: Odvozen vztahy plat i po n vratu kv dru do rovnov n polohy a jeho vych len na opa nou stranu, kdy se pru ina nat hne a s la F p voz k brzd. body Obr. x x Obr. F p ;F p ;F a w Fs p Kv dr se vzhledem k voz ku rozkmit s hlovou frekvenc! a periodou T : r k r 0 k(m + m ) r : mm! = = =0 s ; T = m m m k(m + m =0 63 s : )

body Na po tku se kv dr nach z v rovnov n poloze a velikost v jeho po te n rychlosti vzhledem k voz ku je tedy amplitudou rychlosti. mplituda v chylky je x m = v : =0 95 m : bod! c) T i t soustavy kv dr{voz k se pohybuje rovnom rn rychlost v T, kterou ur me pomoc z kona zachov n hybnosti: (m + m )v T = m v v T = v m m + m : =0 57 ms ; : Za jednu periodu kmit uraz voz k stejnou dr hu jako t i t soustavy: s = v T T : =0 35 m : bod d) Okam it rychlost v v kv dru vzhledem k voz ku je v v = v cos!t. Okam it rychlosti v w kv dru a voz ku vzhledem k zemi mus podle z kona zachov n hybnosti spl ovat vztahy: m m v = m v +m w = m (w +v cos!t)+m w w = v (;cos!t) m + m m m v = v + cos!t : m + m m + m by sekv dr pohyboval st le stejn m sm rem, muselo by platit m <m. v ms ; 0 Obr. 3 5 0 v w 0 5 v T ;0 5 0 0 3 0 5 T 0 7 0 8 t s 3 body

Obr. 4 rm. a) Podle 3. Keplerova z kona 3 TM = r Z T Z TM 3 r M = r Z = 7 9 0 6 km : T Z b) Z obr. 4 odvod me: v M = rm T M =4 km s ; : a = r Z + r M a = rz + rm =88 8 0 6 km : c) Dobu letu po Hohmannov trajektorii ur me z 3. Keplerova z kona jako polovinu periody pohybu po cel elipse: T a 3 3 = t = T T Z r Z = TZ a : = 59 d : r Z d) Na obr. 4 jsou trajektorie Zem, Marsu a kosmick lodi zobrazeny ve vyzna en m m tku. B hem letu kosmick lodi se pr vodi e Zem a Marsu oto o hlov dr hy ' Z = t 360 = 55 ' M = t 360 = 36 : T Z T M Sestrojen m t chto hl nalezneme hledan polohy Z a M. M Z 4 0 m 3 ' M ' Z S Z M 0 3

3. Odpor v tve B je = % a kde a je d lka strany tverce, S pr ez vodi e a % S m rn elektrick odpor materi lu, ze kter ho je dr t vyroben. Stejn odpor maj tak v tve B D a D. Odpor v tve E (rovn BE E DE )je a p p 0 = % S = : a) : Vbodech B D a E je stejn potenci l. Lze proto v tve BE DE nahradit zkratem (obr. 5a) nebo vypustit (obr. 5b). V obou p padech dojdeme ke stejn mu odporu : = + p = ; ; p : =0 586 : 0 D = = = F = B 0 0 0 0 0 E 0 0 G Obr. 5a Obr. 5b Obr. 6 b) B(= D): St ed F v tve B a st ed G v tve D maj stejn potenci l jako bode. Zn hradn ho sch matu na obr. 6 plyne: B = + + 0 + + 0 = = 9 ; 4p 7 : =0 478 : 4

c) E: Pro p ehlednost p ekresl me sch ma podle obr. 7a. V bodech B a D je stejn potenci l. Z n hradn ho sch matu na obr. 7b plyne: E = 0 + + 0 + + 0 = = 4 ; p 7 : =0 369 : E B D 0 D 0 B 0 0 E Obr. 7a Obr. 7b Odpory jsou v pom ru : B : E =0 586 : 0 478: 0 369 : Nejv t odpor zm me mezi uzly a, nejmen mezi uzly a E. bod 4. a) V roztoku kyseliny s rov doch z k disociaci H SO 4 *) H + +SO ; 4. Kationty H + vytv ej s molekulami vody oxoniov ionty H 3O + a putuj k z porn katod, kde prob h reduk n reakce, p i kter vznik vod k: H 3O + +e ;! H +H O (Volmerova reakce) nionty SO ; 4 putuj ke kladn anod, kde odevzd vaj elektrony a reaguj s vodou za vzniku kysl ku: SO ; 4 +H O! e ; +H SO 4 +O body b) P i vzniku molekuly kysl ku O se na anod uvoln 4 elektrony. Stejn velk n boj sta na katod ke vznikudvou molekul vod ku H. Proto objem plynu v trubici 5

u katody roste rychleji ne v trubici u anody. Po et N molekul plynu ve zcela zapln n trubici ur me pomoc stavov rovnice: pv T = Nm N = NpV N LS p a + L N = %g : mt mt Po dosazen : N = 096 0 3 : (T =93 5 K p = 09 0 5 Pa V =4 0 0 ;3 m 3 :) K vylou en takov ho po tu molekul vod ku pot ebujeme n boj Q =Ne = I : Z toho: = Q I = Ne I Po dosazen : Q =3 5 0 4 =7 0 0 4 s=9 5 h: K vylou en stejn ho po tu molekul kysl ku pot ebujeme dvojn sobn n boj. Proto = = 7 0 0 4 s = 39 h: Toto je tak doba, za kterou budou zapln ny plynem ob trubice. 5bod c) bychom z skali N molekul kysl ku, mus me spot ebovat N molekul vody o relativn molekulov hmotnosti M r =8 06. elkov hmotnost spot ebovan vody je m =NM rm u =6 55 0 ;3 kg : : 5. a) Vztlakov s la mus m t alespo takovou velikost, jako je t ha obalu a vzduchu uvnit balonu: V% g = mg + V% g 4 3 r3 % =4r + 4 3 r3 % % :::hustota okoln ho vzduchu, % :::hustota vzduchu uvnit balonu, m :::hmotnost obalu. Hustotu vzduchu ur me ze stavov rovnice: % = pmm mt r = 3TTm p am m(t ; T ) : Pro dan hodnoty: r = 6 m: b) Hmotnost balonu se z t je (k + )-kr t v t ne hmotnost obalu: V% g =(k +)mg + V% g r = Pro dan hodnoty: r =0 4 m: 3(k +)TTm p am m(t ; T ) : body c) Z podm nky rovnov hy pro balon se z t m 0 dojdeme k rovnici V% g =(m 0 + m)g + V% g 6

4p am m ; r 3 ; 4r ; m 0 =0: body 3 m T T Je to rovnice t et ho stupn s nezn mou r, kterou vy e me numericky.po dosazen dost v me rovnici s nezn mou x = frg ( seln hodnota polom ru): f(x) =0 76 x 3 ; 88 x ; 00 = 0 : Z grafu funkce y = f(x) na obr. 8odhadneme r =6 : m. P esn j v po et vede k hodnot r =6 9 m. y 00 Obr. 50 8 ;50 0 3 4 5 7 x ;00 7. a) Kdyby neexistoval odpor vzduchu, dol tl by m za dobu v0 sin T = =3 604 s do vzd lenosti L = v 0 sin =63 7 m : body g g Modelov n pohybu m e s odporem vzduchu i bez n j m eme prov st nap klad n sleduj c m programem v syst mu FMULUS. Pro modelov n pohybu bez odporu vzduchu v loze b) sta zm nit hodnotu prom nn ro (hustota vzduchu) na ro=0 V loze c) vol me hodnoty prom nn vv (rychlost v tru) postupn 0, ;5 a5. b) Numerick model pohybu bez odporu vzduchu vede k hodnot m T =3 605 s L =63 73 m kter jsou prakticky stejn jako v sledky v po tu v a). c) Model pohybu s odporem vzduchu zabezv t d v hodnoty T = 854 s L =30 3 m : P i v kopu proti v tru (viz obr. 9) dost v me hodnoty ap iv kopu po v tru hodnoty T = 769 s L = 73 m T = 940 s L =38 6 m : 5bod 7

Kopac m - - - - - - - - prom nn, konstanty, procedury a funkce - - - - - - - - dt=0.00! asov krok g=9.8! t hov zrychlen m=0.40 r=0.05 =0.48! parametry m e ro=.5! hustota vzduchu K=0.5**pi*ro*r^/m! pomocn konstanta vv=-5! rychlost v tru - - - - - - - - - - - - - po te n hodnoty - - - - - - - - - - - - - t=0 x=0 y=0! po te n poloha v=5 alfa=45*pi/80! po te n rychlost vx=v*cos(alfa) vy=v*sin(alfa) DISP - - - - - - - - - - - - - - - - model - - - - - - - - - - - - - - - - x=x+vx*dt y=y+vy*dt vxr=vx-vv vr=sqrt(vxr^+vy^)! relativn rychlost vzhledem ke vzduchu ax=-k*vr*vxr ay=-g-k*vr*vy vx=vx+ax*dt vy=vy+ay*dt t=t+dt IF y<0 THEN t=t-y/vy x=x-y/vy*vx! line rn interpolace SetWritePos(,5,) WITE Graph, 'T = ',t:5:3,'s L = ',x:5:,'m' STOP END ; Obr.9 8