STAVOVÝ POPIS DYNAMICKÉHO SYSTÉMU Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakla mecharoniky, informaiky a mezioborových sdií Teno maeriál vznikl v rámci projek ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, kerý je spolfinancován Evropským sociálním fondem a sáním rozpočem ČR
POPIS DYNAMICKÉHO SYSTÉMU Popis obyčejnými diferenciálními rovnicemi vnější popis definje závislos y (výsp) na (vsp) v podobě obyčejné diferenciální rovnice vyššího řád vniřní popis popisje dynamik změn savových proměnných v podobě sosavy obyčejných diferenciálních rovnic 1. řád
(,,, ), 1 2 m vekor bzení x (,,,,, ), x1 x2 x3 x4 x n x vekor savových veličin 1 y1 x x x 4 1 x 2 m x 3 xn yk y y (,,, ), y1 y2 y k y vekor výspů
Savová rovnice STAVOVÝ POPIS DYNAMICKÉHO SYSTÉMU STAVOVÝ POPIS DYNAMICKÉHO SYSTÉMU x () f( x(), ()) x() f( x( ), ( )) d x( 0) f f ( f1, f2,, f n ) - vekor fnkčních hodno nlých derivací x, 0 Výspní rovnice y() g( x(), ()) g g ( g1, g2,, g k ), - vekor fnkčních hodno nlých derivací x,
Simlální inegrace f 1 1 s x 1 f 2 1 s x 2 f n x n 1 x s f a a f ( f1, f2,, f n ), f vekor fnkčních hodno nlých derivací x,
Savová rovnice pro lineární časově invarianní spojiý sysém x () Ax() B() y() Cx() D() x (), (), y () A B C nn nm kn n m k - maice sosavy - maice bzení - maice výsp km D - maice převod B D () x () x() y() d A C
Transformace vnějšího popis na savový(vniřní) Vyjádření savovým popisem je nejednoznačné, j. je nekonečně mnoho možných vyjádření. Kanonické vary savového vyjádření (FROBENIOVY FORMY) I. Normální forma řidielnosi NFŘ ay ayayb bb n ( n) ' ( n) ' 1 0 n 1 0 pro an 1 A 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 B 0 0 0 1 0 a0 a1 a2 an 1 1 C b b a b b a b b a b b a D b 0 n 0 1 n 1 2 n 2 n1 n n1 n
NFŘ vede na simlační schéma meody snižování řád derivace () bn 0 y () bn 1 b n2 b 0 ( n) v ( n 1) v v ( xn xn 1 x1 x n v an 1 an 2 a0
II. Normální forma pozorovaelnosi NFP y a y a y b b b ( n) ' ( n 1) ' 1 0 n 1 1 0 A an1 1 0 0 bn1 an 2 0 1 0 bn 2 B a1 0 0 1 b1 a0 0 0 0 b 0 C 1 0 0 0 D 0
NFP vede na simlační schéma meody pospné inegrace () b 0 b 1 bn 1 y x () n x x n n 1 xn 1 x x x 2 1 1 a 0 a 1 an 1
III. Jordanův var y a y a yb b b ( n ) ' ( n 1) ' 1 0 n1 1 0 n Ys () i Fs (), U () s s s i1 s i s1 0 0 0 1 0 s 2 0 0 1 A0 0 s3 0 B 1 0 0 0 s n 1 i - jso různé jednonásobné kořeny C D 1 2 3 n 0
Simlační schéma Jordanova var x 1 1 x 1 1 x 2 s 1 x 2 () 2 s 2 y () x n x n n s n
Sovislos mezi savovým(vniřním) a vnějším popisem dynamického sysém x () Ax () B () y() Cx() D() s X( s) AX( s) BU( s) ( s I A ) X ( s ) BU ( s ) X s sia BU s 1 ( ) ( ) ( ) Y ( s ) CX ( s ) DU ( s ) Y s C sia BU s DU s 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( s) ( ( s ) ) ( s) Y C I A B D U Y( s) 1 adj( si A) F ( s ) C ( s I A ) B D C B U ( s) de( si A) D
Přepoče počáečních podmínek y a y a y b b b x Ax B ( n) ' ( n 1) ' 1 0 n 1 1 0 y(0) y ' (0) y 0 y ( n 1) y (0) y n 1 1 y C x D x (0) y(0) Cx(0) D(0) ' ' y CAx CB D (0) (0) (0) (0) '' ' '' y (0) CA 2 x (0) CAB (0) CB (0) D (0) ( n 1) ( n 1) ( n 2) ( n 2) ( n 1) y (0) CA x(0) CA B(0) CB (0) D (0) x (0) C CA CA ( n 1) 1 y0 D (0) 0 y1 CB(0) 0 ( n1) ( n2) ( n1) y (0) CA B(0) D (0)
Transformace savového vyjádření x AxB x Tx, kde T msí bý reglární 1 y Cx D x T x T x Ax B y Cx D dosadíne za x 1 1 T x AT xb 1 y CT x D 11 yj x T AT x TB 1 y CT x D A T AT B T B C CT D D Savové vyjádření lineárního časově invarianního sysém ( ABCD,,, ) má nekonečně mnoho ekvivalenních 1 1 1 1 reprezenací ( TAT, TB, CT, D), kde T je reglární maice definjící ransformační maici sav.