α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
|
|
- Anna Štěpánková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte, zda jsou lineárně nezávislé také vektory u + v + 2 w, u v + w, u + v + w. Řešení: Uvažujme nulovou lineární kombinaci vektorů u + v + 2 w, u v + w, u + v + w. α 1 ( u + v + 2 w) + α 2 ( u v + w) + α 3 ( u + v + w) = o (α 1 α 2 + α 3 ) u + (α 1 α 2 + α 3 ) v + (2α 1 + α 2 + α 3 ) w = o je nulová lineární kombinace vektorů u, v, w. Ta musí být triviální, protože tyto vektory jsou lineárně nezávislé. Platí tedy Napíšeme a upravíme matici této soustavy: α 1 α 2 + α 3 = 0 α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = Soustava má nekonečně mnoho řešení, např. α 1 = 2, α 2 = 1, α 3 = 3. 2( u + v + 2 w) + 1( u v + w) + 3( u + v + w) = o je netriviální nulová lineární kombinace vektorů u + v + 2 w, u v + w, u + v + w, jsou tedy lineárně závislé. 2. Najděte všechna řešení maticové rovnice AX + X = C, kde , C = Řešení: AX + X = C (A + E)X = C X = (A + E) 1 C) X = = Nechť V je lin. obal vektorů (1, 1, 2, 1), (2, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (0, 1, 1, 2), (1, 1, 0, 2), W je lin. obal vektorů (1, 1, 1, 1), (2, 2, 3, 0), (1, 1, 3, 3), (1, 1, 0, 3), (2, 2, 1, 4). Spočtěte dimensi prostorů V, W, V + W, V W. Řešení: Dimense podprostoru IR 4 je rovna hodnosti matice, jejímiž řádky jsou generátory tohoto podprostoru. Označme A matici, jejímiž řádky jsou generátory prostoru V Zřejmě hod 3 = dimv. Analogicky spočítáme dimensi prostoru W. Označme B matici, jejímiž řádky jsou generátory prostoru W B =
2 Zřejmě hodb = 2 = dimw. Spojení podprostorů je generováno sjednocením generátorů těchto podprostorů. Nemusíme pracovat se všemi (deseti) generátory, stačí vzít báze - ty získáme z upravených matic. Označme C matici, jejímiž řádky jsou generátory prostoru V + W. C = Zřejmě hodc = 4 = dim(v + W ). dimv + dimw = dim(v + W ) + dim(v W ), tedy dim(v W ) = = 1. Zjistili jsme tedy, že dimv = 3, dimw = 2, dim(v + W ) = 4, dim(v W ) = Označme P 2 lineární prostor všech polynomů nejvýše 2. stupně. Nechť A : P 2 P 2 je lineární zobrazení, pro které platí A(x 2 +2x 1) = x 2 +x+2, A(x 2 +x 2) = x 2 +2x, A(x 2 +2x) = x 2 +3x 2. Rozhodněte, zda je zobrazení A prosté. Řešení: Najdeme matici A lineárního zobrazení A vzhledem k bazím (x 2 + 2x 1, x 2 + x 2, x 2 + 2x) a bázi standardní (x 2, x, 1). Je to matice, jejímiž sloupci jsou souřadnice vektorů z báze prostoru vzorů vzhledem k bázi prostoru obrazů (tj. bázi standardní) Zobrazení A je prosté právě tehdy, když je matice A regulární. det = 8, A je regulární a zobrazení A je tedy prosté. 5. Definujte souřadnice vektoru u vzhledem k uspořádané bázi B. Spčtěte souřadnice polynomu P (x) = 3x 3 + 5x 2 1 vzhledem k uspořádané bázi B = (x 2, 1, x, x 3 ). Řešení: Nechť B = ( b 1, b 2,... b n ), je uspořádaná báze vektorového prostoru V. Každý vektor v V můžeme právě jedním způsobem napsat jako lineární kombinaci vektorů z báze B. Vektor koeficientů této lineární kombinace nazveme souřadnice vektoru v vzhledem k bázi B. Tedy jestliže v = a 1 b1 + a 2 b a n bn, pak vektor souřadnic je (a 1, a 2,..., a n. Polynom P (x) = 3x 3 + 5x 2 1 = 5 x 2 + ( 1) x + 3 x 3, jeho souřadnice vzhledem k bázi B tedy jsou (5. 1, 0, 3).
3 Zadání C. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte, zda jsou lineárně nezávislé také vektory 2 u + v w, u + 2 v 2 w, u v + w. Řešení: Uvažujme nulovou lineární kombinaci vektorů 2 u + v w, u + 2 v 2 w, u v + w. α 1 (2 u + v w) + α 2 ( u + 2 v 2 w) + α 3 ( u v + w) = o (2α 1 + α 2 + α 3 ) u + (α 1 + 2α 2 α 3 ) v + ( α 1 2α 2 + α 3 ) w = o je nulová lineární kombinace vektorů u, v, w. Ta musí být triviální, protože tyto vektory jsou lineárně nezávislé. Platí tedy 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 α 1 + 2α 2 α 3 = 0 α 1 2α 2 + α 3 = 0 Napíšeme a upravíme matici této soustavy: Soustava má nekonečně mnoho řešení, např. α 1 = 1, α 2 = 1, α 3 = 1. (2 u + v w) + 1( u + 2 v 2 w) + 1( u v + w) = o je netriviální nulová lineární kombinace vektorů 2 u + v w, u + 2 v 2 w, u v + w, jsou tedy lineárně závislé. 2. Najděte všechna řešení maticové rovnice XA + X = C, kde , C = Řešení: XA + X = C X(A + E) = C X = C(A + E) 1 X = = Nechť V je lin. obal vektorů (1, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1), (12, 1, 1, 2), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 1), W je lin. obal vektorů (1, 1, 2, 1), (2, 1, 3, 2), (0, 3, 1.0), (1, 5, 0, 1), (3, 3, 4, 3). Spočtěte dimensi prostorů V, W, V + W, V W. Řešení: Dimense podprostoru IR 4 je rovna hodnosti matice, jejímiž řádky jsou generátory tohoto podprostoru. Označme A matici, jejímiž řádky jsou generátory prostoru V Zřejmě hod 3 = dimv. Analogicky spočítáme dimensi prostoru W. Označme B matici, jejímiž řádky jsou generátory prostoru W B =
4 Zřejmě hodb = 2 = dimw. Spojení podprostorů je generováno sjednocením generátorů těchto podprostorů. Nemusíme pracovat se všemi (deseti) generátory, stačí vzít báze - ty získáme z upravených matic. Označme C matici, jejímiž řádky jsou generátory prostoru V + W. C = Zřejmě hodc = 4 = dim(v + W ). dimv + dimw = dim(v + W ) + dim(v W ), tedy dim(v W ) = = 1. Zjistili jsme tedy, že dimv = 3, dimw = 2, dim(v + W ) = 4, dim(v W ) = Označme P 2 lineární prostor všech polynomů nejvýše 2. stupně. Nechť A : P 2 P 2 je lineární zobrazení definované předpisem A(ax 2 + bx + c) = (a + b c)x 2 + (a + c)x + 2a b c. Najděte matici tohoto zobrazení vzhledem ke standardním bazím a rozhodněte, zda je toto zobrazení prosté. Řešení: Matice lineárního zobrazení vzhledem ke standardním bazím je taková matice, jejímiž sloupci jsou souřadnice obrazů vektorů ze standardní báze vzorů vzhledem ke standardní bázi prostoru obrazů. Spočítáme si, na co se zobrazí vektory x 2, x, 1. A(x 2 ) = x 2 + x + 2, A(x) = x 2 1, A(1) = x 2 + x 1. Matice lineárního zobrazení vzhledem ke standardním bazím je tedy matice Zobrazení A je prosté právě tehdy, když je matice A regulární. det = 5, A je regulární a zobrazení A je tedy prosté. 5. Definujte determinant čtvercové matice. Odvoďte Sarrusovo pravidlo pro matici řádu 2. Řešení: Nechť (a i,j ) je čtvercová matice řádu n. Determinantem této matice je reálné číslo det π ( 1) sgnπ a 1,π(1) a 2,π(2)...a n,π(n), kde sčítáme přes všechny permutace π. Pro n = 2 máme dvě permutace: π 1, která číslu 1 přiřadí číslo 1 a číslu 2 přiřadí číslo 2 ajejíž znaménko je +1, a permutaci π 2, která číslu 1 přiřadí číslo 2 a číslu 2 přiřadí číslo 1 ajejíž znaménko je 1. Tedy det (+1) a 1,1 a 2,2 + ( 1) a 1,2 a 2,1 Determinant tedy spočítáme tak, že od součinu členů na hlavní diagonále odečteme součin členů na vedlejší diagonále.
5 Zadání B. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte, zda jsou lineárně nezávislé také vektory u + 2 v w, 2 u + v + w, u + 5 v 4 w. Řešení: Uvažujme nulovou lineární kombinaci vektorů u + 2 v w, 2 u + v + w, u + 5 v 4 w. α 1 ( u + 2 v w) + α 2 (2 u + v + w) + α 3 ( u + 5 v 4 w) = o (α 1 + 2α 2 + α 3 ) u + (2α 1 + α 2 + 5α 3 ) v + ( α 1 + α 2 4α 3 ) w = o je nulová lineární kombinace vektorů u, v, w. Ta musí být triviální, protože tyto vektory jsou lineárně nezávislé. Platí tedy α 1 + 2α 2 + α 3 = 0 α 1 + α 2 + 5α 3 = 0 α 1 + α 2 4α 3 = 0 Napíšeme a upravíme matici této soustavy: Soustava má nekonečně mnoho řešení, např. α 1 = 3, α 2 = 1, α 3 = ( u + 2 v w) + 1(2 u + v + w) + 1( u + 5 v 4 w) = o je netriviální nulová lineární kombinace vektorů u + 2 v w, 2 u + v + w, u + 5 v 4 w, jsou tedy lineárně závislé. 2. Najděte všechna řešení maticové rovnice BX = C + X, kde B = 1 2 0, C = Řešení: BX = C + X BX X = C (B E)X = C X = (B E) 1 C X = = Najděte bázi lineárního podprostoru V vektorového prostoru IR 4, jestliže V je generován vektory (1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 0), (3, 3, 2, 1), (1, 1, 0, 1). Řešení: Označme A matici, jejímiž řádky jsou generátory prostoru V. Tuto matici upravíme pomocí řádkových úprav na stupňovitou matici, jejíž řádky jsou lineárně nezávislé. Tvoří tedy bázi prostoru V Báze prostoru V je např. {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 2)}
6 4. Označme P 2 lineární prostor všech polynomů nejvýše 2. stupně. Nechť A : P 2 P 2 je lineární zobrazení, pro které platí A(x 2 +x+1) = x 2 +x+2, A(x 2 +2x+1) = x 2 +2x, A(x 2 +x+2) = x 2 +3x 2. Rozhodněte, zda je zobrazení A prosté. Řešení: Najdeme matici A lineárního zobrazení A vzhledem k bazím (x 2 +x+1, x 2 +2x+1, x 2 +x+2) a bázi standardní (x 2, x, 1). Je to matice, jejímiž sloupci jsou souřadnice vektorů z báze prostoru vzorů vzhledem k bázi prostoru obrazů (tj. bázi standardní) Zobrazení A je prosté právě tehdy, když je matice A regulární. det = 8, A je regulární a zobrazení A je tedy prosté. 5. Definujte hodnost matice. Najděte matici typu (4, 3), která má hodnost 2. Zdůvodněte. Řešení: Hodnost matice typu (m,n) je dimense podprostoru R n, který je generován řádky matice. Takovou maticí je např matice neboť bazí prostoru generovaného vektory (1, 1, 1), (0, 1, 1), (2, 2, 2), (0, 0, 0)je např. množina {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}.,
7 Zadání D. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte, zda jsou lineárně nezávislé také vektory 2 u + v 2 w, u + 2 v 2 w, u + 5 v 4 w. Řešení: Uvažujme nulovou lineární kombinaci vektorů 2 u + v 2 w, u + 2 v 2 w, u + 5 v 4 w. α 1 (2 u + v 2 w) + α 2 ( u + 2 v 2 w) + α 3 ( u + 5 v 4 w) = o (2α 1 + α 2 + α 3 ) u + (α 1 + 2α 2 + 5α 3 ) v + ( 2α 1 2α 2 4α 3 ) w = o je nulová lineární kombinace vektorů u, v, w. Ta musí být triviální, protože tyto vektory jsou lineárně nezávislé. Platí tedy 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0 2α 1 2α 2 4α 3 = 0 Napíšeme a upravíme matici této soustavy: Soustava má nekonečně mnoho řešení, např. α 1 = 1, α 2 = 3, α 3 = 1. (2 u + v 2 w) 3( u + 2 v 2 w) + 1( u + 5 v 4 w) = o je netriviální nulová lineární kombinace vektorů 2 u+ v 2 w, u+2 v 2 w, u+5 v 4 w, jsou tedy lineárně závislé. 2. Najděte všechna řešení maticové rovnice XB = C + X, kde B = 1 1 1, C = Řešení: XB = C + X XB X = C X(B E) = C X = C(B E) 1 X = = Najděte bázi lineárního podprostoru V vektorového prostoru IR 4, jestliže V je generován vektory (1, 1, 1, 2), ( 1, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 0), (1, 4, 3, 5), (2, 1, 0, 1). Řešení: Označme A matici, jejímiž řádky jsou generátory prostoru V. Tuto matici upravíme pomocí řádkových úprav na stupňovitou matici, jejíž řádky jsou lineárně nezávislé. Tvoří tedy bázi prostoru V Báze prostoru V je např. {(1, 1, 1, 2), (0, 3, 2, 3), (0, 0, 1, 9)}
8 4. Označme P 2 lineární prostor všech polynomů nejvýše 2. stupně. Nechť A : P 2 P 2 je lineární zobrazení definované předpisem A(ax 2 + bx + c) = (a b c)x 2 + (a b + c)x + 2a + b c. Najděte matici tohoto zobrazení vzhledem ke standardním bazím a rozhodněte, zda je toto zobrazení prosté. Řešení: Matice lineárního zobrazení vzhledem ke standardním bazím je taková matice, jejímiž sloupci jsou souřadnice obrazů vektorů ze standardní báze vzorů vzhledem ke standardní bázi prostoru obrazů. Spočítáme si, na co se zobrazí vektory x 2, x, 1. A(x 2 ) = x 2 + x + 2, A(x) = x 2 x + 1, A(1) = x 2 + x 1. Matice lineárního zobrazení vzhledem ke standardním bazím je tedy matice Zobrazení A je prosté právě tehdy, když je matice A regulární. det = 6, A je regulární a zobrazení A je tedy prosté. 5. Definujte inversní matici k matici A. Dokažte, že pokud existuje inversní matice k matici A, pak je určena jednoznačně. Řešení: Necht A je čtvercová matice řádu n. Inversní maticí k matici A nazveme čtvercovou matici X řádu n, pro kterou platí AX = X E. Nechť tuto podmínku splňují matice X, Y, tj. platí AX = X E a také AY = Y E. Potom Matice X a Y jsou si tedy rovny. X = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y.
a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Polynomy. Matice a determinanty. 1. Rozložte na součin kořenových činitelů polynom. P(x) = x 4 6x Řešení: x 4 6x 2 +8 = (x+2)(x 2)(x+ 2)(x 2)
Polynomy 1 Rozložte na součin kořenových činitelů polynom P(x = x 4 6x 2 +8 x 4 6x 2 +8 = (x+2(x 2(x+ 2(x 2 2 Rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů polynom P(x = x 6 64 x 6 64 = (x 2(x 2
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(19. 4. 2011), varianta R 1.Nechť p, q, rjsoupolynomy,všechnymajístupeňroven n.pakpolynom má stupeň: a)vždyroven n 2, b)vždyroven2n, c)vždyroven n, d)nejvýšeroven
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)
A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
Cvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
z textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1
Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Matematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
těchto písemek (bez řešení) najdete na (odkazy v posledních dvou odstavcích před sekcí Literatura ).
Vážení studenti, předkládám vám zde vzorová řešení písemek, které proběhly letos v semestru, a také řešení vzorové písemky. Zadání těchto písemek (bez řešení) najdete na http://math.feld.cvut.cz/0educ/pozad/y01alg.htm
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Obecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Výběr báze. u n. a 1 u 1
Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu
Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd
Lineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
Lineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem
Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem
Transformace souřadnic
Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška
AVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Linearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak