Modelování a simulace

Transkript

1 Modelování a simulace Doc Ing Pavel Václavek, PhD Modelování a simulace Úvod - str /48

2 Obsah a organizace Obsah a org Cíl předmětu Náplň přednášek Vyučující Hodnocení Literatura Modelování a simulace Úvod - str 2/48

3 Cíl předmětu Seznámení s principy matematického modelování Sestavování matematických modelů fyzikálních systémů Prostředky pro simulaci Základní seznámení s modelováním a simulací systémů diskrétních událostí Obsah a org Cíl předmětu Náplň přednášek Vyučující Hodnocení Literatura Modelování a simulace Úvod - str 3/48

4 Náplň přednášek,model,simulace Vztah reálný systém-model systémů, souvislosti stavového a V/V popisu systému, linearizace Analogové modely, operační zesilovač, základní stavební prvky, problémy měřítek Matlab Simulink, numerické metody řešení dynamických systémů Modely mechanických dynamických systémů - základní prvky Obsah a org Cíl předmětu Náplň přednášek Vyučující Hodnocení Literatura Modely mechanických dynamických systémů-metoda uvolňování, Lagrangeovy rovnice Modelování dynamických systémů pomocí vazebních grafů Přidělení kauzality Modelovací schéma z vazebního grafu Modelování a simulace Úvod - str 4/48

5 Náplň přednášek Modelování dynamických systémů pomocí vazebních grafů Principy modelování elektrických systémů Modelování dynamických systémů pomocí vazebních grafů, zjednodušování grafů, modelování mechanických systémů, kolize kauzality, algebraické smyčky Půlsemestrální test Modelování systémů diskrétních událostí Modelování náhodných veličin Modelování systémů diskrétních událostí, základní algoritmus Obsah a org Cíl předmětu Náplň přednášek Vyučující Hodnocení Literatura modelování systémů diskrétních událostí, Markovovy řetězce Modelování tepelných a hydraulických systémů Opakování Modelování a simulace Úvod - str 5/48

6 Vyučující přednášky Doc Ing Pavel Václavek, PhD Prof Ing František Šolc, CSc numerická cvičení Doc Ing Pavel Václavek, PhD počítačová cvičení Ing Libor Veseselý Ing Dušan Zámečník Obsah a org Cíl předmětu Náplň přednášek Vyučující Hodnocení Literatura Modelování a simulace Úvod - str 6/48

7 Hodnocení skladba bodového hodnocení 4 bodů numerická a počítačová cvičení minitesty na cvičení, nebo jiné úlohy 6 bodů půlsemestrální test proběhne na přednášce bodů písemná zkouška řádný termín první opravný termín druhý opravný termín Obsah a org Cíl předmětu Náplň přednášek Vyučující Hodnocení Literatura podmínky udělení zápočtu účast na cvičeních získání alespoň 0 bodů v průběhu semestru Modelování a simulace Úvod - str 7/48

8 Literatura a informace k předmětu skripta Šolc, Václavek: Modelování a simulace, elektronický text VUT Horáček: Systémy a modely, skripta ČVUT Rábová, Blatný, Češka, Zendulka: Modelování a simulace, skripta VUT informace k předmětu bmodvaclaveknet Obsah a org Cíl předmětu Náplň přednášek Vyučující Hodnocení Literatura Modelování a simulace Úvod - str 8/48

9 Obsah a org Proč Model Abstr mod Simulace Nástroje Modelování a simulace Úvod - str 9/48

10 Důvody k modelování a simulaci experimenty s modelem ekonomické bezpečné časové hledisko získání podkladů pro zlepšení existujících reálných systémů návrh řízení ověřování činnosti dosud neexistujících reálných systémů Obsah a org Proč Model Abstr mod Simulace Nástroje Modelování a simulace Úvod - str 0/48

11 Model Reálný systém fyzikální model Abstraktní model Model Fyzikální model náhrada reálného systému jiným fyzikálním systémem ikonické, modely v měřítku, analogové modely, trenažéry abstraktní model matematické modelování Obsah a org Proč Model Abstr mod Simulace Nástroje Modelování a simulace Úvod - str /48

12 Abstraktní model Abstraktní model Abstraktní Systém abstraktní model = matematický model Algebraické rovnice Diferenciální rovnice Diferenční rovnice Algoritmy požadavky na abstraktní model musí mít řešení řešení musí být jednoznačné musí být kauzální - nesmí reagovat na události v budoucnosti Obsah a org Proč Model Abstr mod Simulace Nástroje Reálný systém Abstraktní systém Reálný systém Počítač Modelování a simulace Úvod - str 2/48

13 Simulace Obsah a org, Reálný systém, Proč Model Abstr mod Simulace Nástroje Reálný systém Simulační systém porovnání chování reálného systému a modelu verifikace modelu ověření, zda model vystihuje významné vlastnosti modelovaného objektu adekvátnost modelu Modelování a simulace Úvod - str 3/48

14 Simulační nástroje Simulační prostředky v teorii řízení MATLAB-Simulink Simnon 20sim Simulační prostředky jiných oborů Adams - simulace mechanických systémů Simmechanics - simulace mechanických systémů PSpice - simulace elektrických obvodů Simcript - obecný simulační jazyk Simula - obecný simulační jazyk Wittness - systémy diskrétních událostí Obsah a org Proč Model Abstr mod Simulace Nástroje Modelování a simulace Úvod - str 4/48

15 Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové Modelování a simulace Úvod - str 5/48

16 Vnější popis Popisuje jen vstupně výstupní chování systému, nepopisuje děje probíhající uvnitř systému parametrické diferenciální rovnice, diferenční rovnice operátorový přenos frekvenční přenos neparametrické přechodová a impulsní charakteristika frekvenční charakteristika Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové Modelování a simulace Úvod - str 6/48

17 Stav systému t o t o t o Interval pozorování <t o ;t f > Interval pozorování <t o ;t f > Interval pozorování <t o ;t f > t f t f t f t t t Vstupní segment Stavový segment Výstupní segment Stav systému je nejmenší množina údajů, které musíme znát v čase t 0, abychom na základě znalosti vstupního segmentu dokázali jednoznačně určit stavový a výstupní segment (stav a výstup v čase t f ) Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové Modelování a simulace Úvod - str 7/48

18 Obecný tvar stavových rovnic dx = f dt (u ; u 2 ; u r ; x ; x 2 ; x n ; t) dx 2 = f dt 2 (u ; u 2 ; u r ; x ; x 2 ; x n ; t) y = g (u ; u 2 ; u r ; x ; x 2 ; x n ; t) y 2 = g 2 (u ; u 2 ; u r ; x ; x 2 ; x n ; t) dx n dt = f n (u ; u 2 ; u r ; x ; x 2 ; x n ; t) x (t o ); x 2 (t o ); x n (t o ); }{{} stavové rovnice Tvar s vektory y m = g m (u ; u 2 ; u r ; x ; x 2 ; x n ; t) }{{} výstupní rovnice dx dt = f(u;x;t) y = g(u; x; t) x(t o ) Modelování a simulace Úvod - str 8/48

19 Lineární t-variantní systém ẋ = a (t)x + a 2 (t)x a n (t)x n + b (t)u + b 2 (t)u b r (t)u r ẋ 2 = a 2 (t)x + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t)u + b 22 (t)u b 2r (t)u r ẋ n = a n (t)x + a n2 (t)x a nn (t)x n + b n (t)u + b n2 (t)u b nr (t)u r y = c (t)x + c 2 (t)x c n (t)x n + d (t)u + d 2 (t)u d r (t)u r y 2 = c 2 (t)x + c 22 (t)x c 2n (t)x n + d 2 (t)u + d 22 (t)u d 2r (t)u r y m = c m (t)x + c m2 (t)x c mn (t)x n + d m (t)u + d m2 (t)u d mr (t)u r x (t o );x 2 (t o );x n (t o ) Tvar s vektory dx dt = A(t)x + B(t)u y = C(t)x + D(t)u x(t o ) Modelování a simulace Úvod - str 9/48

20 Lineární t-invariantní systém ẋ = a x + a 2 x a n x n + b u + b 2 u b r u r ẋ 2 = a 2 x + a 22 x a 2n x n + b 2 u + b 22 u b 2r u r ẋ n = a n x + a n2 x a nn x n + b n u + b n2 u b nr u r y = c x + c 2 x c n x n + d u + d 2 u d r u r y 2 = c 2 x + c 22 x c 2n x n + d 2 u + d 22 u d 2r u r y m = c m x + c m2 x c mn x n + d m u + d m2 u d mr u r Tvar s vektory x (t 0 );x 2 (t 0 );x n (t 0 ) dx dt = Ax + Bu y = Cx + Du x(t 0 ) Modelování a simulace Úvod - str 20/48

21 Výpočet (simulace) stavových rovnic dx dt = f (u ; u 2 ; u l ; x ; x 2 ; x n ; t); x (t 0 ) Obsah a org [ 2, 3, ] ( ; 2; ; ; 2; ; ) ( 0 ) Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové Modelování a simulace Úvod - str 2/48

22 Výpočet (simulace) stavových rovnic 2 dx dt = f (u, u 2, x, x 2 ); x (t 0 ) dx 2 dt = f 2 (u, u 2, x, x 2 ); x 2 (t 0 ) y = x + x 2 (, 2,, 2) (, 2,, 2) 2 ( 0 ) 2 + Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové 2 ( 0 ) Modelování a simulace Úvod - str 22/48

23 Výpočet (simulace) stavových rovnic dx dt = f(u,x, t) y = g(u, x, t) x(t 0 ) ( 0 ) (,, ) (,, ) Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové Modelování a simulace Úvod - str 23/48

24 Výpočet LTI systému 2 dx dt = a x + a 2 x 2 + b u + b 2 u ; x (t 0 ) dx 2 dt = a 2 x + a 22 x 2 + b 2 u + b 22 u 2 ; x 2 (t 0 ) y = x + x ( 0 ) 2 + Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové 2 ( 0 ) Modelování a simulace Úvod - str 24/48

25 Výpočet LTI systému dx dt = Ax + Bu y = Cx + Du x(t 0 ) ( 0 ) Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové Modelování a simulace Úvod - str 25/48

26 Řešení LTI systému pomocí Laplaceovy transformace rovnice systému dx dt = Ax + Bu y = Cx + Du x(0) aplikace Laplaceovy trasnformace po úpravě px(p) x(0) = AX(p) + BU(p) Y(p) = CX(p) + DU(p) X(p) = (pi A) BU(p) + (pi A) x(0) Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové Modelování a simulace Úvod - str 26/48

27 Řešení LTI systému pomocí Laplaceovy trasnformace obraz vektoru stavových veličin X(p) = (pi A) BU(p) + (pi A) x(0) aplikace zpětné Laplaceovy trasnformace x(t) = L {(pi A) }x(0)+l {(pi A) BU(p)} x(t) = Φ(t)x(0) + t 0 Φ(t τ)bu(τ)dτ matice Φ(t) se nazývá matice přechodu Φ(t) = e At = I + At + A 2 t2 2! + A3 t3 3! Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové Modelování a simulace Úvod - str 27/48

28 matematické kyvadlo je možné pro malé výchylky popsat modelem [ ] [ ] [ ] α 0 α = ω g/l 0 ω Laplaceův obraz stavových veličin dostaneme pomocí α(p) ω(p) = p 2 +g/l X(p) = (pi A) BU(p) + (pi A) x(0); A = det A adja = p p g/l 0 p α(0) = g/l p ω(0) p p 2 +g/l g/l p 2 +g/l α(0) ω(0) p 2 +g/l s p 2 +g/l = p g/l p α(0) ω(0) α(0) ω(0) Modelování a simulace Úvod - str 28/48

29 Pokud budeme uvažovat počáteční podmínku α(0) 0, ω(0) = 0 dostaneme řešení [ ] [ ] [ ] [ p α(p) p = 2 +g/l p 2 +g/l α(0) = ω(p) ω(0) g/l p 2 +g/l s p 2 +g/l p p 2 +g/l α(0) g/l p 2 +g/l α(0) ] pomocí inverzní Laplaceovy trasnformace dostaneme řešení v časové oblasti [ ] {[ p α(t) = L α(0) ]} [ p 2 +g/l α(0) cos(t g/l) g/l ω(t) α(0) = α(0) g/l sin(t g/l) p 2 +g/l ] Modelování a simulace Úvod - str 29/48

30 Vnitřní vnější ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Laplaceova transformace px(p) = AX(p) + BU(p) Y(p) = CX(p) + DU(p) Y(p) = [ C(pI A) B + D ] U(p) = [ ] = C adj(pi A)B + D U(p) det(pi A) }{{} F(p) F (p) F 2 (p) F m (p) F F (p) = 2 (p) F 22 (p) F 2m (p) F r (p) F r2 (p) F rm (p) Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové Modelování a simulace Úvod - str 30/48

31 model řízeného kyvadla pro malé výchylky [ ] [ ] [ ] [ α 0 α = + ω g/l 0 ω 0 ml 2 ] M stavové veličiny budeme považovat za výstupy C = I, není přímá vazba ze vstupu na výstup D = 0 F(p) = (pi A) B po dosazení a výpočtu [ G(p) = p p 2 +g/l g/l p 2 +g/l p 2 +g/l s p 2 +g/l ] [ 0 ml 2 ] = [ p 2 +g/l ml 2 p p 2 +g/l ml 2 ] Modelování a simulace Úvod - str 3/48

32 Snižování řádu derivace předpokládáme přenos systému F (p) = Y (p) U(p) = b 0 p n + a n p n + a p + a 0 odpovídající diferenciální rovnice y (n) = a n y (n ) a n 2 y (n 2) a y () a 0 y + b 0 u realizace ( ) ( ) 2 2 ( 2) () 0 Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové Modelování a simulace Úvod - str 32/48

33 Modelování a simulace Úvod - str 33/48 Snižování řádu derivace ẋ ẋ 2 ẋ n ẋ n = a 0 a a 2 a n x x 2 x n x n b 0 u y = x

34 Kanonická forma řiditelnosti operátorový přenos F (p) = Y (p) U(p) = b n p n + b n 2 p n b p + b 0 p n + a n p n + a p + a 0 zlomek rozšíříme výrazem p n X(p) F (p) = označíme (b n p + b n 2 p b p n+ + b 0 p n )X(p) ( + a n p + a n 2 p a p n+ + a 0 p n )X(p) Y (p) = (b n s + b n 2 s b s n+ + b 0 s n )X(p) U(p) = ( + a n s + a n 2 s a s n+ + a 0 s n )X(p) z druhé rovnice pak vyjádříme Obsah a org Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové X(p) = U(p) (a n p + a n 2 p a p n+ + a 0 p n )X(p) Modelování a simulace Úvod - str 34/48

35 Kanonická forma řiditelnosti Obsah a org ẋ ẋ 2 ẋ n ẋ n = a 0 a a 2 a n [ ] T y = [b 0 b b n 2 b n ] x x 2 x n x n Frobeniův kanonický tvar x x 2 x n x n u Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové Modelování a simulace Úvod - str 35/48

36 Kanonická forma pozorovatelnosti operátorový přenos F (p) = Y (p) U(p) = b n p n + b n 2 p n b p + b 0 p n + a n p n + a p + a 0 zlomek rozšíříme p n a upravíme (+a n p +a n 2 p 2 ++a p n+ +a 0 p n )Y (s) = (b n p +b n 2 p 2 ++b p n+ +b 0 p n )U(s) Y = ( a n Y +b n U)p +( a n 2 Y +b n 2 U)p 2 +( a Y +b U)p n +( a 0 Y +b 0 U)p n Modelování a simulace Úvod - str 36/48

37 Kanonická forma pozorovatelnosti Obsah a org ẋ ẋ 2 ẋ n ẋ n = a a a n a n x x 2 x n x n + b 0 b b n 2 b n u Vnější popis Stav Nelineární LTV LTI Vypnel Výpočet LTI LTI Lapla Vnitřní vnější Snižování Forma řid Forma pozor Paralelní Seriové [ y = [0 00 ] x x 2 x n x n ] T Modelování a simulace Úvod - str 37/48

38 Paralelní programování F (p) = Y (p) U (p) = b p + a + b 2 p + a A = C = [ a a a a k a k a n b b 2 b 3 0 b k b n ] D = [0] b k p 2 + a k p + a k + Jordanův kanonický tvar B = b n p + a n Modelování a simulace Úvod - str 38/48

39 Modelování a simulace Úvod - str 39/48 Seriové programování F (p) = Y (p) U (p) = b 0 (p + b ) (p + b 2 ) (p + b m ) (p + a ) (p + a 2 ) (p + a n ) A = a (b 2 a 2 ) (b 3 a 3 ) a 2 (b 3 a 3 ) a a n m a n B = m=n, m<n C = [ b 0 (b a ) b 0 (b 2 a 2 ) b ] D = [b 0 ] n=m, [0] m<n Kaskádní řazení

40 Obsah a org Cíl linearizace Metoda nejmenších čtverců Taylorova řada Modelování a simulace Úvod - str 40/48

41 Cíl linearizace předpokládejme nelineární systém dx = f(x, u) dt nelineární systém nahradíme lineárním, jehož chování pak vyšetřujeme pomocí metod známých z teorie lineárních systémů hledáme lineární náhradu - linearizace funkcí f i (x, u) linearizační metody metoda nejmenších čtverců rozvoj do Taylorovy řady Obsah a org Cíl linearizace Metoda nejmenších čtverců Taylorova řada Modelování a simulace Úvod - str 4/48

42 y y = f(x 0 ) + k(x x 0 ) min E k pracovní bod (x 0, y 0 ) Metoda nejmenších čtverců y = f(x) y = b + ax E = Δyi 2 E min a,b nezachová pracovní bod Δy i x Obsah a org Cíl linearizace Metoda nejmenších čtverců Taylorova řada Modelování a simulace Úvod - str 42/48

43 Metoda nejmenších čtverců předpokládáme nelineární funkci y = f(x, u) hledáme lineární náhradu F (h) = f(h 0 ) + k(h h 0 ) v okolí pracovního bodu h 0, kde h = [x, x 2,, x n, u, u 2,, u m ] kriterium E = r [f(h i ) F (h i )] 2 = r [y i y 0 k(h i h 0 )] 2 = min i= i= odchylka od pracovního bodu Δy i = y i y 0, Δh i = h i h 0 E = r [Δy i (k Δh,i + k 2 Δh 2,i + + k n+m Δh n+m,i )] 2 i= hledání minima kriteria E E r = 2 [Δy i (k Δh,i + k 2 Δh 2,i + + k n+m Δh n+m,i )]( Δh j,i ) = 0 k j i= j =, 2,, n + m Modelování a simulace Úvod - str 43/48

44 Metoda nejmenších čtverců k r i= k i= k i= r r Δh 2,i + k 2 Δh 2,i Δh,i + + k n i= r r Δh,i Δh 2,i + k 2 Δh 2 2,i + + k n Δh,i Δh n,i + k 2 r i= i= r i= r i= Δh 2,i Δh n,i + + k n+m Δh n,i Δh,i = r i= Δh n,i Δh 2,i = r r i= i= Δh 2 n+m,i = r i= Δy i Δh,i Δy i Δh 2,i Δy i Δh n+m,i soustava n + m lineárních rovnic řešení existuje, pokud máme data z n + m lineárně nezávislých bodů Δh i obdobné rovnice lze nalézt i pro náhradu bez zachování pracovního bodu F (u) = a 0 + au Modelování a simulace Úvod - str 44/48

45 rozvojem do Taylorovy řady předpokládejme systém popsaný stavovými rovnicemi dx = f(x, u, t) y = g(x, u, t) dt pracovní bod x 0, u 0, y 0 (obvykle volen jako rovnovážný stav - příští přednáška) odchylkové rovnice x = x 0 + Δx, y = y 0 + Δy, u = u 0 + Δu dx 0 + Δx = f(x 0 + Δx, u 0 + Δu, t) dt y 0 + Δy = g(x 0 + Δx, u 0 + Δu, t) rozvoj do Taylorovy řady, uvažujeme jen absolutní člen a první derivaci dx 0 dt + dδx ( ) ( ) f f = f(x 0, u 0, t) + Δx + Δu + R f dt x u ( ) ( ) g g y 0 + Δy = g(x 0, u 0, t) + Δx + Δu + R g x u Modelování a simulace Úvod - str 45/48

46 rozvojem do Taylorovy řady dx 0 dt + dδx ( ) f = f(x 0, u 0, t) + dt x ( ) g y 0 + Δy = g(x 0, u 0, t) + x ( ) f Δx + u ( ) g Δx + u Δu + Δu + R f R g pro okolí blízké pracovnímu bodu jsou chyby malé, lze je zanedbat odpovídá pracovnímu bodu, lze odečíst dynamický systém odchylek od pracovního bodu ( ) ( ) dδx f f = Δx + dt x u ( ) ( ) g g Δy = Δx + x u Δu Δu Modelování a simulace Úvod - str 46/48

47 rozvojem do Taylorovy řady Jacobiho matice ( ) f x ( ) dδx f = dt x ( ) g Δy = x = ( ) f x ( ) f2 x ( ) fn x ( ) f Δx + u ( ) g Δx + u ( ) f x ( 2 ) f2 x 2 ( ) fn x 2 Δu Δu ( f ) x ( n ) f2 x n ( ) fn x n matice ( lineárního ) systému ( f f A, B x u ), C ( ) g, D x ( g u ) Modelování a simulace Úvod - str 47/48

48 matematický model M Obsah a org α = ω ω = g sin α + M l ml 2 pracovní bod M 0 = 0; α 0 = 0 linearizace [ ] [ Δ α = Δ ω 0 g l cos α 0 ] 0 [ Δα Δω ] + [ 0 ml 2 l ] m ΔM Cíl linearizace Metoda nejmenších čtverců Taylorova řada po dosazení pracovního bodu [ ] [ ] [ Δ α 0 Δα = Δ ω g 0 Δω l ] + [ 0 ml 2 ] ΔM Modelování a simulace Úvod - str 48/48