Simulační schemata, stavový popis. Petr Hušek

Transkript

1 Simulační schemaa, savový popis Per Hušek

2 Simulační schemaa, savový popis Per Hušek kaedra řídicí echniky Fakula elekroechnická ČVUT v Praze MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis /37

3 Co se dnes dozvíme? Jak vyvoři z diferenciální rovnice simulační schema spojiého sysému Jak vyvoři z diferenční rovnice simulační schema diskréního sysému Co je savový popis diskréního sysému, savová veličina MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 3/37

4 Simulační schema spojiého sysému zakreslení diferenciální rovnice v grafické podobě pomocí malého poču různých bloků možnos využií simulačních programů jednodušší reprezenace nelineárních sysémů Simulační schema lineárního spojiého sysému lineární diferenciální rovnice.řádu v B dv( ) m + Bv() = F( ) d F v( 0) = v 0 MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 4/37

5 nakresleme schema pomocí 3 bloků: inegráor z(0) z(0) z() w() z() s w() 0 w () = z( 0) + z( τ) dτ z() 0 z() 0 z () w () z () s w () w () = z( 0) + z () MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 5/37

6 zesilovač z() K w() z() K w() w () = Kz () sčíačka z() z () + +(-) w () z z() () + +(-) w () w () = z() + z() MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 6/37

7 m dv( ) d + Bv() = F( ) dv( ) d B = v( ) ( ) m + m F Vsup F() K /m /m*f() B/m*v() Add dv()/d B/m K s v(0) Inegraor v() Scope dx() B = x () + u () d m m y () = x() x ( 0) = x = v 0 0 MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 7/37

8 lineární diferenciální rovnice.řádu x k B F m d x ( ) dx ( ) m + B + kx() = d d dx x( 0) = x, ( 0) = v d d x( ) B dx() k = x() + d m d m m 0 0 F( ) F() Vsup F() K /m /m*f() Add B/m B/m*x() K k/m*x() dx()/d k/m K3 s Inegraor v 0 x 0 dx()/d s Inegraor x() Scope MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 8/37

9 x ( ) = x( ) x dx( ) ( ) = d d x( ) dx( ) m + B + kx ( ) = d d dx( ) m + Bx( ) + kx( ) = d F( ) F () dx() = x () d x ( 0) = x( 0) = x 0 dx() k B = x() x() + F() d m m m dx x( 0) = ( 0) = v0 d diferenciální rovnici.řádu jsme převedli na diferenciální rovnice.řádu MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 9/37

10 lineární diferenciální rovnice n-ého řádu s jednoduchou pravou sranou y ( n) ( n ) an ) () + y ( + + a y() = b u( ) 0 0 ( n ) ( n ) y y y y ( 0), ( 0),, ( 0), ( 0) Vsup u() b0 b0 /m*f() Add dny()/dn an- an- s y (n-) (0) Inegraorn..... s Inegraor n y (0) dy()/d s y(0) Inegraor y() Scope a a a0 a0 MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 0/37

11 lineární diferenciální rovnice n-ého řádu y () + a y () + + a y() = b u () + b u () + + b u() ( n) ( n ) ( m) ( m ) n 0 m m 0 ( n ) ( n ) y y y y ( 0), ( 0),, ( 0), ( 0) bn bn y() Vsup u() Add an- an- s Inegraorn..... xn s x Inegraor n b b s Inegraor b0 x b0 Add Scope a a a0 a0 MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis /37

12 počáeční podmínky diferenciální rovnice nesouhlasí s počáečními podmínkami schemau!!! ( 0), ( 0),, ( 0), ( 0) ( n ) ( n ) y y y y x ( 0), x ( 0),, x ( 0), x ( 0) n n simulační schema lineárního spojiého sysému lze sesavi z inegráorů, zesilovačů a sumáorů jednoduché nelineární diferenciální rovnice g x ( ) = sin ϕ( ) = K sin ϕ() R + 5 r x( 0) = x, x ( 0) = v 0 0 MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis /37

13 x( 0) = x, x ( 0) = v x ( ) = K s in ϕ( ) 0 0 x (0) x(0) phi() sin -K- dx()/d s dx()/d s x() Vsup Sin K Inegraor Inegraor Scope MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 3/37

14 Operáorový zápis lineární diferenční rovnice Jv ( ) ( J BT) v ( T) = rrtf( T) zavedeme operáor zpoždění d (delay) ~ zpoždění funkce (posloupnosi) o jeden krok za nulových počáečních podmínek (v(0) = 0): v ( T) v ( ) d v ( ) 5 4 zpozdeni o krok, T=s v() v(-t) ( J ( J BT) d) v ( ) = ( rrt d) F () v[m/s] 3 D F() D{ v ()} { } [s] MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 4/37

15 zavedeme přenos sysému v operáoru d: Gd ( ) { výsup} { vs } D{ y( ) } { ( )} { v( ) } { F ()} J D = = D up D u Gd ( ) D rrt d = = D ( J BT ) d za nulových počáečních podmínek zavádíme operáor z za nulových počáečních podmínek (v(0)=0): d z = v ( T) v ( ) z v ( ) ( J ( J BT) z ) v) ( = rrt z F( ) Z { v ()} Z { F() } MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 5/37

16 přenos sysému v operáoru z: G( z Gz () ) { výsup} Z { vsup} { v( ) } { F() } Z = = Z Z { y( ) } { u ()} za nulových počáečních podmínek Z rrt z rrt = = = Z J ( J BT) z J z ( J BT ) operáor z předsavuje posunuí posloupnosi o jeden krok vpřed, j. vlevo po časové ose v[m/s] posun o krok vpred, T=s v(+t) v() z v() v( + T) v( +) [s] MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 6/37

17 + T Jv ( ) ( J BT) v ( T) = rrtf( T) Jv ( + T) ( J BT) v() = rrtf( ) diferenční rovnice musí plai pro jakýkoli čas (, +T, -T, +4T, -4T,...) posun okénka Jv ( ) ( J BT) v ( T) = rrtf( T) Jv ( + T) ( J BT) v() = rrtf ( ) rrt d Gd ( ) = J ( J BT) d Gz () rrt = J z ( J BT) MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 7/37

18 vs up ni s ila F(-5T) F(-T) F(+3T) F() [N] [s] 5 rychlos servacniku v[m/s] 4 3 v(-4t) v() v(-t) v(+4t) v(+3t) n v(-5t) [s ] MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 8/37

19 zpoždění o dva kroky: zpoždění o n kroků: x() x(-t) x() a x(-t x ( nt) d n x ( ) n x ( + nt) z x ( ) x[m] [s] za nulových počáečních podmínek x ( T) d x ( ) d d x ( ) = d x ( ) x ( + T) z x ( + ) z z x () = z x () MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 9/37

20 m k F x m x ( ) x ( T) + + k x ( T) = F( T) T T T Gd ( ) { v( ) } ( ) mx() x ( T) + + kt x ( T) = T F ( T) Gz ( ) D T d = = D d T { F ()} m + ( + k ) { v( ) } { () } Z T = = Z F mz z + + kt d MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 0/37

21 Simulační schema lineárního diskréního sysému lineární diferenční rovnice.řádu B v ( ) m () m BT v ( T ) = TF( T) v( 0) v = 0 q() v F zesilovač K w() w () = Kq () q() q () sčíačka + +(-) w () w () = q() + q() zpoždění o krok q() z q(0) w() w () = q ( T) MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis /37

22 + T ( ) mv () m BT v ( T ) = TF( T) m BT T v ( ) = v ( T) + ( T ) m m F v ( T) = m + BT () T () m v + m F v(0) F() T/m v(+t) v() Vsup T/m Add x(+t) z Uni Delay x() Scope -K- (m-bt)/m MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis /37

23 m BT T x( + T) = x( ) + u( ) m m y ( ) = x () x ( 0) = x = v 0 0 lineární diferenční rovnice.řádu x k B F m x( 0) = x0, x( T) = xt ( ) x ( kt ) mx () m BT ( T) + m BT + x( T) = T F( T) m BT m x() BT kt T ( ) ( ) F( ) m x T + + m x T = m T +T MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 3/37

24 ( ) m BT ( ) m BT kt ( ) T + x+ T = x + T x + F( ) m m m x ( T ) = K x ( + T ) K x () + K F( ) + 3 x T =x (0) x 0 =x (0) Vsup F() -K- K3 Add x(+t) x(+t) z Uni Delay x(+t) x() z Uni Delay x() x() Scope -K- K -K- K MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 4/37

25 x x ( ) = x( ) ( + T ) = x ( ) x ( + T) = K x () + K x ( + T) + K F( ) x 3 ( + T ) = K x () + K x ( ) + K u( ) 3 x ( + T) = x ( ) x ( + T) = K x () K x () + K u() 3 y () = x() x( 0) = x0, x( 0) = xt diferenční rovnici.řádu jsme převedli na diferenční rovnice.řádu MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 5/37

26 lineární diferenční rovnice n-ého řádu s jednoduchou pravou sranou y ( ) + a y ( T) + + a y ( nt ) = b u( nt) n 0 0 y( 0), y( T),, y(( n ) T) y((n-)t)=x n (0) y(t)=x (0) y(0)=x (0) Vsup u() b0 b0 Add y(+nt) y(+t) y(+t) y()..... xn(+t) z xn() x3() z x() z x() Uni Delayn Uni Delay Uni Delay3 Scope an- an- n a a a0 a0 MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 6/37

27 x() = y () x( + T) = x( ) x() = y ( + T) = x( + T) x( + T) = x3( ) x3() = y ( + T) = x( + T) x3( + T) = x4( ) x () = y ( + ( n ) T) = x ( + T) x n n ( + ) = y ( + nt) y ( ) + a y ( T) + + a y ( nt ) = b u( nt) n 0 0 y ( + nt) + a y ( + ( n ) T) + + a y( ) = b u() x i () savové veličiny n n 0 0 x ( + T) = x ( ) n x ( + T) = a x () a x () a x () + b u() y () = x() n n 0 n n 0 x ( 0) = y( 0) x ( 0) = y( T) x ( 0) = y( T) 3 x ( ) (( ) ) n 0 = y n T savový popis MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 7/37

28 maicový zápis savových rovnic lineárního sysému sysém.řádu B m BT T x ( T) x () u() m m + = + y ( ) x ( ) = v F x( + T) = Ax() + Bu() y() = Cx() + Du() x ( 0) = x = v 0 0 x() = x () = v(), u() = u() = F() y() = y() = v() m BT T A=, = m B m C [], D [ 0] = = MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 8/37

29 sysém.řádu x k B F m x ( + T) = x ( ) x ( + T) = K x () + K x () + K 3 y() = x () x ( 0) = x, x ( 0) = 0 x T u( ) x( + T) = Ax() + Bu() y() = Cx() + Du() 0 0 A =, = K K B K 3 C [ 0], D [ 0] = = x() x() =, () u() F() x () = x () u = = y() = y() = x() MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 9/37

30 x ( + T) = x ( ) x ( + T) = x ( ) 3 x ( + T) = x ( ) 3 4 x ( + T) = x ( ) n sysém n-ého řádu x ( + T) = a x () a x () a x () + b u() y () = x() n n 0 n n 0 x( + T) = Ax() + Bu() y() = Cx() + Du() x() x() =, u() = u() xn () y() = y() x ( 0) = y( 0) x ( 0) = y( T) x ( 0) = y( T) 3 x ( ) (( ) ) n 0 = y n T A = 0, B= a a a a n b 0 0 C [ 0 0], D [ 0] = = MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 30/37

31 lineární diferenční rovnice n-ého řádu y () + a y ( T) + + a y ( nt) = b u () + b u ( T) + + b u ( mt) n 0 m m 0 y( 0), y( T),, y(( n ) T) bn bn y() Vsup u() Add an- z Uni Delayn..... xn z x Uni Delayn n b b z Uni Delayn x b0 b0 Add Scope an- a a a0 a0 MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 3/37

32 počáeční podmínky obecné diferenciální rovnice nesouhlasí s počáečními podmínkami schemau!!! y(( n ) T), y(( n ) T),, y( 0) x ( 0), x ( 0),, x ( 0), x ( 0) n n simulační schema lineárního diskréního sysému lze sesavi z bloků zpoždění o krok, zesilovačů a sumáorů jednoduché nelineární diferenciální rovnice x () x ( T) + x ( T ) = KT s in ϕ( T) K g = R + 5 r x( 0) = x, x ( 0) = v 0 0 x( 0) x( T) x( 0) x( 0) = x0, v( 0) = x( T) = v( 0) T + x( 0) T T MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 3/37

33 x () x ( T) + x ( T ) = KT s in ϕ( T) x ( + T) = x ( + T) x ( ) + KT sin ϕ( ) Vsup phi() sin Sin -K- K Add x(t)=x (0) x(0)=x (0) x(+t) x(+t) x() x(+t) z x() z x() Uni Delay Uni Delay Scope x ( + T) = x ( ) x ( + T) = x ( ) x ( ) + KT sin u( ) y () = x() x( + T) = f( x( ), u( )) y () = gx ( (), u ()) x ( + T) = f ( x ( ), x ( ), u( )) x ( + T) = f ( x ( ), x ( ), u( )) y () = gx ( (), x(), u ()) MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 33/37

34 Konrolní oázky Pomocí kerých bloků jsme schopni sesavi simulační schema jakéhokoli lineárního spojiého sysému? Kam zapisujeme počáeční podmínky? Čím se liší savový popis lineárního spojiého a diskréního sysému? Nakreslee spojié simulační schema pro volný pád, jesliže jako výsupní veličinu budeme uvažova polohu závaží x(). m x Nakreslee simulační schema následujícího spojiého sysému, jesliže jako vsupní veličinu uvažujeme sílu F() a výsupní polohu závaží x(). Nakreslee éž simulační schema odpovídajícího diskréního sysému a napiše savové rovnice obou popisů. x k F g F m MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 34/37

35 Nakreslee diskréní simulační schema kyvadla, jehož výsupem je úhlová poloha φ(). Jaké jsou jeho počáeční podmínky? φ m m Kolik savových veličin má lineární sysém? U příkladu sysému. řádu se závažím, pružinou a lumičem je výsupem poloha závaží x(). Pokuse se co nejjednodušeji doplni simulační schema, aby výsupní veličinou byla rychlos závaží v(). Nakreslee simulační schema cyklisického renažeru a diskuuje vliv velikosi počáeční podmínky (rychlosi) v() na velikos usálené rychlosi při jednokovém skoku vsupní síly F(). MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 35/37

36 Vyvoře simulační schema modelu sysému seskoku padákem, kerý je popsán diferenční rovnicí m v ( T) + Bv ( T) = mg m BT v () v ( T) = m gt B v mg Nasimuluje siuaci, kdy parašuisa leí volným pádem rychlosí 60m/s a právě se mu oevře padák. Uvažuje m = 80kg, B = 70Ns/m, T = 0.0s. MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 36/37

37 Pokuse se nakresli simulační schema cyklisického renažeru s uvažováním zaěžovacího momenu M z () jako druhého vsupu a zamyslee se nad jeho vlivem na průběh výsupní rychlosi v(). Jv () ( J BT v( T) = rrtf ( T) RTM ( T) ) z MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa, savový popis 37/37