MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Osrava 0 Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzia Osrava ISBN Teno sudijní maeriál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpoču České republiky v rámci řešení projeku: CZ..07/..00/.06, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 OBSAH CVIČENÍ Č..... Příklady... POUŽITÁ LITERATURA... 0 CZ..07/..00/.06

3 Cvičení č. CVIČENÍ Č. STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Výpoče inegrálů rozkladem na parciální zlomky Inegrování funkcí složených z goniomerických funkcí Aplikace vlasnosí při výpoču určiých inegrálů MOTIVACE: Již umíme počía neurčié inegrály úpravou na základní inegrály meodou per pares a subsiuční. U racionálních lomených funkcí nám yo meody nepomohou, proo si ukážeme podrobný posup, kerý nám umožní inegrova libovolnou racionální lomenou funkci. Dále se podíváme na inegrování funkcí složených z goniomerických funkcí. Takové inegrály se časo vyskyují v prakických úlohách (při řešení vícenásobných inegrálů např. ve fyzikálních aplikací - hmonos a saický momen rovinné desky či souřadnice ěžišě, ad.). Určiý inegrál má řadu využií ve velkém množsví aplikací. CÍL: Umě řeši inegrály, kde je inegrandem racionální lomená funkce či funkce složená z goniomerických funkcí. Pochopi základní vlasnosi určiého inegrálu a umě aplikova dané vlasnosi při výpočech určiých inegrálů. CZ..07/..00/.06

4 Cvičení č.. PŘÍKLADY Příklad : Vypočěe následující inegrál ( ) d. Řešení: Jedná se o inegraci racionální lomené funkce, kde derivace jmenovaele se nerovná funkci v čiaeli, a proo si musíme pomoci rozkladem funkce na parciální zlomky. Supeň polynomu v čiaeli je menší než supeň polynomu ve jmenovaeli, z oho důvodu nemusíme děli a hned se pusíme do rozkladu. Kořeny polynomu ve jmenovaeli jsou řešením rovnice 0 máme jeden reálný kořen a dva komplení kořeny. ( ) Odhadovaný var rozkladu je: ( ) vynásobíme celou rovnici A ( ) B C, a srovnávací meodou určíme koeficieny A, B, C. V inegrálu nahradíme původní funkci nalezeným rozkladem a vyřešíme. ln d ( ) ln( ) arcg( ) c Příklad : d Vypočěe následující inegrál. Řešení: d ln ln ( ) d ( ) Jedná se o inegrál funkce složené z goniomerické funkce. Teno inegrál můžeme vyřeši dvěma způsoby. a) Můžeme si uvědomi, že si inegrál můžeme napsa aké d, což je přesně m n inegrál ypu d, kde mocnina u funkce kous je lichá. Z oho důvodu půjde určiě použí subsiuce varu, jen musíme původní inegrand upravi. d d d d d d CZ..07/..00/.06

5 Cvičení č. Po úpravě a aplikaci zvolené subsiuce jsme dosali inegrál z racionální lomené funkce. Rozklad: A B A, B d d d c ln ln ln c b) Můžeme při řešení použí i univerzální subsiuce. Příklad : g d d d d d d d g ln ln c ln c g Vypočěe inegrál f ( ) d, kde pro [,] f ( ) pro [,]. pro [, ] Řešení: Daná funkce je spojiá v inervalu [,] Newon-Leibnizovy formule. i ohraničená, zn., můžeme při výpoču využí CZ..07/..00/.06

6 Cvičení č. 6 9 Příklad : f ( ) d ( 7) d d d 9 [ ] ( ( ) ) ( 9 ) Vypočěe inegrál d a d Řešení: Podívejme se na graf funkce f ( ). Vidíme, že funkce není na inervalu [, ] nespojiosi. druhu) a proo inegrál d není definován. spojiá (ani po čásech, v bodě 0 má bod Ale na inervalu [,] již funkce spojiá je, akže inegrál d jsme schopni urči. d [ ln ] ln ln ln. Příklad : Vypočěe inegrál d. Řešení: Z definice absoluní hodnoy víme, že plaí CZ..07/..00/.06

7 CZ..07/..00/.06 7 Cvičení č. [ ] [ ],,, viz graf. Inegrál d eisuje, proože funkce je na daném inervalu spojiá a ohraničená. ( ) ( ) 9 d d d Příklad 6: Vypočěe následující neurčié a určié inegrály: a) d ( ) ( ) d d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) c d ln b) d 8 ( ) ( )( ) ( )( ),, 0 8 C B A C B A c d d d d ln ln ln 8

8 Cvičení č. 8 d g d d c) d g ( ) d c 6 π g g c π d) d d d π [ g ] 0 π e) d d ln ln ( ln ) Další řešené příklady: hp:// π hp:// ml hp:// ml hp:// Neřešené příklady: Vypočěe následující neurčié a určié inegrály: 6 a) d ( ) ln arcg c b) d c) d ( ) co g c 9 8 CZ..07/..00/.06

9 Cvičení č. 9 d) d 0 d e) 6 6 ln Další příklady najdee ve sbírce úloh v kapiole.,.6 a první příklad v kapiole 6.: hp:// hp:// CZ..07/..00/.06

10 Použiá Lieraura 0 POUŽITÁ LITERATURA [] KREML P.a kol.: Maemaika II.. Učební ey VŠB-TUO, Osrava, 007, ISBN [] JARNÍK V.: Inegrální poče I. Praha, 97. [] VRBENSKÁ H.: Základy maemaiky pro bakaláře II. Skripum VŠB-TU, Osrava, 998, ISBN [] elekronický učební e: CZ..07/..00/.06