Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
|
|
|
- Naděžda Němečková
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010
2 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v kladném případě určete příslušné koeficienty: a) x = ( 1, 0, 2, 3), u = (1, 1, 0, 2), v = (1, 2, 0, 3), w = (1, 4, 2, 1), b) x = (4, 4, 6, 18), u = (1, 1, 0, 1), v = (0, 1, 2, 7), w = (2, 1, 0, 1), c) x = (8, 3, 2), u = (4, 1, 1), v = (1, 1, 1), w = (2, 0, 3), d) x = (1, 1), u = ( 14, 3), v = (5, 1), w = (1, 7), e) x = (1, 3, 6), u = (1, 1, 2), v = (2, 1, 1), w = (1, 2, 1), f) x = (1, 1, 1), u = (1, 1, 1), v = (2, 1, 2), w = (1, 2, 1), Příklad 2. Zjistěte, zda jsou níže uvedené vektory lineárně nezávislé: a) (2, 3, 5), (1, 1, 1), (3, 2, 2) v IR 3, b) (2, 0, 3), (1, 1, 1), (0, 2, 1) v IR 3, c) (1, 1, 1, 2), (1, 8, 7, 7), (1, 2, 3, 1), (1, 5, 5, 4) v IR 4, d) (2, 1, 1, 2, 1), ( 4, 3, 2, 1, 1), (3, 5, 2, 1, 2), (2, 2, 1, 3, 1), ( 1, 2, 3, 1, 3) v IR 5, e) (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1) v IR 3, f) (4, 0, 1), (1, 3, 4), (3, 2, 1) v IR 3, g) (1, 0, 2, 3), ( 1, 1, 0, 5), (2, 3, 7, 1) v IR 4, h) (3, 1, 2), (3, 1, 19), ( 1, 2, 5) v IR 3, i) (1, 2, 3, 0), (2, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1) v IR 4, Příklad 3. Určete pro která a IR jsou následující vektory lineárně nezávislé: a) (a, 4, 1), (4, 6, 3), (1, 1, a) v IR 3, b) (1, a, 1), (2, 2, a), (1, 1, 1) v IR 3, Příklad 4. Z vektorů nížě vyberte nějakou bázi jejich lineárního obalu: a) (5, 7, 1, 3), (1, 3, 8, 2), (9, 17, 10, 4), ( 2, 6, 16, 4) IR 4, b) (1, 0, 2, 3), (3, 2, 1, 5), ( 1, 2, 1, 2), ( 3, 0, 2, 0) IR 4, Příklad 5. Rozhodněte, zda vektor x patří do lineárního obalu množiny M: a) x = (1, 1, 2, 1), M = {(1, 0, 2, 2), (0, 1, 0, 2)}, b) x = (1, 4, 4, 1), M = {(0, 1, 3, 4), (2, 2, 2, 2), (1, 1, 3, 7)}, Příklad 6. Rozhodněte, zda následující vektory tvoří bázi prostoru IR 3 : a) (1, 0, 1), (3, 1, 0), (5, 2, 1), b) (1, 2, 3), (2, 0, 1), (5, 2, 5), c) (1, 4, 1), (0, 2, 3), Příklad 7. Spočtěte dimenzi vektorového prostoru V, jestliže: a) V = (1, 1, 2, 0), (2, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 3, 0, 2), b) V = (1, 2, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 0, 3, 5), (2, 3, 0, 1), c) V = (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1), (1, 0, 2, 2), (3, 2, 1, 1), d) V = (1, 2, 0, 1), (2, 3, 1, 2), (0, 1, 1, 0), (3, 5, 1, 3), e) V = (1, 2, 3, 4), (1, 5, 1, 2), (1, 1, 2, 3), f) V = (4, 4, 2, 3), (4, 3, 1, 0), (1, 2, 2, 3), (2, 3, 4, 4), 1
3 Příklad 8. Najděte bázi IR 4, která obsahuje vektor v: a) v = (1, 2, 3, 4), b) v = (1, 1, 1, 0), c) v = (1, 0, 0, 0), Příklad 9. Pro která p IR je vektor u prvkem lineárního obalu množiny M? Nalezněte nějakou bázi prostoru M a určete jeho dimenzi. a) u = (7, 2, p), M = {(2, 3, 5), (3, 7, 8), (1, 6, 1)}, b) u = (p, 6, 0), M = {(2, 3, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 0)}, 2
4 Cvičení 3 Příklad 10. Určete velikosti vektorů u, v a úhel ϕ, který tyto vektory svírají, je-li: a) u = (2, 1, 2), v = (1, 1, 4), b) u = (1, 0, 8), v = ( 2, 0, 16), c) u = (2, 1, 2, 4), v = (0, 2, 1, 0), a) u = (1, 0), v = (0, 1), a) u = (1, 1, 1), v = (1, 0, 0), a) u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6), Příklad 11. Nechť jsou zadány matice A = , B = , C = Určete matici X, jestliže: a) X = 2A 5B + C T, b) X = 4A T + 4B C, Příklad 12. Spočtěte hodnost matice A, jestliže: a) A = [hod(a) =] b) A = [hod(a) = 3] c) A = [hod(a) =] d) A = [hod(a) =] e) A = [hod(a) = 3] f) A = [hod(a) =] g) A = [hod(a) =] h) A = [hod(a) = 4] Příklad 13. Určete hodnost matice A v závislosti na parametru p IR, jestliže: a) A = 1 p p 0 [hod(a) = 4 pro p 2, hod(a) = 1 pro p = 2] p b) A = 0 1 p [hod(a) = pro p, hod(a) = pro p =] 4 p 0 c) A = 1 p p [hod(a) = 1 pro p {1, 2}, hod(a) = 3 pro p / {1, 2}]
5 Cvičení 4 Příklad 14. Rozhodněte o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic a v kladném případě určete množinu všech rešení této soustavy: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 6x 1 + 2x 2 x 3 + 7x 4 = 0 4x 1 + 2x 2 3x 3 + 5x 4 = 4 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0 x 1 + x 3 = 3 3x 1 2x 2 + 6x 3 + 2x 4 4x 5 = 5 x x 3 x 4 + 2x 5 = 3 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 1 2x 1 6x 2 + 4x 3 + 2x 4 4x 5 = 5 2x 1 + 2x 2 2x 3 + x 4 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 2x 4 = 1 3x 1 + 4x 2 x 3 + 2x 4 = 5 x 1 + 3x 2 + 3x 3 2x 4 = 4 x 1 x 3 + 3x 4 = 0 x 1 + x 2 x 4 x 5 = 0 5x 1 + x 2 4x 3 + 3x 4 9x 5 = 0 x 1 x 2 2x 3 + x 4 5x 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 4x 5 = 0 x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0 x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 3x 5 + 3x 6 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 + x 5 + x 6 = 0 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 6x 4 + 2x 5 + 8x 6 = 0 x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 3x 5 + 3x 6 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 + x 5 + x 6 = 1 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 6x 4 + 2x 5 + 8x 6 = 10 x 1 + x 2 + x 3 = 4 2x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 11 4x 1 + 6x 2 + 8x 3 = 24 2x 1 + x 2 + x 3 = 1 4x 1 + x 2 = 2 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 7 4x 1 + 4x 2 x 3 + x 4 7x 5 = 11 2x 1 2x 2 + x 3 + 3x 5 = 4 4x 1 4x 2 + 5x 3 + x 4 + 7x 5 = 3 6x 1 + 6x 2 4x 3 + x 4 12x 5 = 7 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 2x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 4 x 1 + 2x 3 = 2 3x 1 + 7x x 3 + 6x 4 = 7 [x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = 1, x 4 = 1] [2 2u, 12 ], u, 2t 1, t [x 1 = 3 + 3t, x 2 = 3 2t, x 3 = t, x 4 = 1] [s + 3t, s 3t, s, t, t] [t, t, t, t, t] [ t + v 3u, t, 2v, u, v, 0] [ 1 t + v 3u, t, 2 2v, u, v, 2] [x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1] [x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1] [4 u + v, v, 4 u, 1 + 2u, u] [soustava nemá řešení] 4
6 Příklad 15. Rozhodněte o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic a v kladném případě určete množinu všech rešení homogenní soustavy rovnic s maticí: a) [] b) [] Příklad 16. Řešte nehomogenní soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí: a) [] b) [] c) e) [] d) [] f) [] [] Příklad 17. Klasifikujte řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic vzhledem k parametru a IR s danou rozšířenou maticí: a) a a 0 1 [] b) c) d) 1 2 a a a 3 5 a a a a 1 1 e) f) a a a a 1 a a a 1 0 [] [a = 2 nekonečně mnoho řešení] [a = 6 nemá řešení, a = 1 nekonečně mnoho řešení] [] [a = 0 nemá řešení, a = 1 nekonečně mnoho řešení] 5
7 Cvičení 5 Příklad 18. Najděte inverzní matici A 1 pomocí Gauss-Jordanovy eliminace k matici A: a) A = A 1 = b) A = A 1 = c) A = A 1 = d) A = A 1 = e) A = A 1 = f) A = A 1 = g) A = A 1 = Příklad 19. Spočítejte inverzní matici A 1 pomocí Gauss-Jordanovy eliminace k matici A s parametrem a IR: a) A = 1 1 a a A 1 = 1 a 1 Příklad 20. Nechť je dána matice A = 1 1 a a. 1 a 1 a) Spočtěte A 2. b) Spočtěte (A T ) 2. c) Spočtěte A T A. d) Spočtěte A A T. Příklad 21. Nechť A = 1 1 1, B = a) A X = B, b) X A = B. 6
8 Příklad 22. Nechť A = , B = a) A X = B, b) X A = B T. Příklad 23. Nechť A = 1 1 0, B = a) A X = B + X, b) X A B = X. Příklad 24. Nechť A = , B = a) X A = 3B, X = Příklad 25. Nechť A = , B = a) 12A T X 3X = 4B, X = Příklad 26. Nechť A = , B = a) AX X = C, X = Příklad 27. Nechť A = , B = 1 1 0, C = , a) A X C = B X, b) X A = X B + C. 7
9 Příklad 28. Nechť A = 1 0 1, B = 1 1 1, C = a) AXB = C, X = Příklad 29. Nechť A = a) AX + X + A = O, kde O je nulová matice, X = Příklad 30. Nechť A = a) A X X + 4A = O, kde O je nulová matice, X =
10 Cvičení 6 Příklad 31. Spočtěte nálsledující determinanty, jestliže: a) [] b) c) [] d) e) [] f) g) [] h) i) [21] j) k) [ 20] l) m) [2] n) [] [] [] [1] [ 15] [294] [0] Příklad 32. Určete, pro jaké hodnoty parametru p IR je matice A regularní (resp. singulární), jestliže: 1 p 1 1 a) A = p [det A = p 2 3p + 4, pro p { 4; 1} je singulární] p b) A = p [det A =, pro p {} je singulární] c) A = 1 p 1 [ { 2 1 p det A = 2p 2 p, pro p 0; 1 } ] je singulární p 1 3 [ d) A = 1 2 p det A = p p 34, pro p {2; 17} je singulární ]
11 Příklad 33. Nechť A = , B = Spočtěte determinant matice a) A B A T, [] b) A 2 B T, [] c) A 1 B 1, [] Příklad 34. Užitím Cramerova pravidla vyřešte nehomogenní soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí: a) [[ 1; 2; 1]] b) [] c) e) [] d) [] f) [] [[1; 2; 1]] Příklad 35. Najděte inverzní matici A 1 pomocí adjungované matice  k matici A: a) A = A 1 = b) A = A 1 = c) A = A 1 = d) A = A 1 = e) A = A 1 = f) A = A 1 = g) A = A 1 =
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A
æ æ Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta A 4 3 2 1 2 8 0 1 0 3 1. Vzhledem k reálnému parametru a diskutujte hodnost matice 2 1 0 1 2. 0 1 2 1 2 4 3 1 1 a 2.
Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
Numerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
Matematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
ÚlohykpřednášceNMAG101a120: Lineární algebra a geometrie 1,
ÚlohykpřednášceNMAGa: Lineární algebra a geometrie 5 Verzezedne9.prosince Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se budou
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Soustavy lineárních algebraických rovnic SLAR
Soustavy lineárních algebraických rovnic SLAR Helena Říhová FBMI 12. listopadu 2010 Helena Říhová (ČVUT) Soustavy lineárních algebraických rovnic [4pt] SLAR 12. listopadu 2010 1 / 11 Obsah 1 Soustavy lineárních
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Numerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)
A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R. + c)det A= 3det B, d)det A= 6det B, e)det A=6detB.
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(14. 4. 2010), varianta R 1. Které z následujících tvrzení je pravdivé? a) Každý polynom má aspoň jeden komplexní kořen. + b) Existují polynomy, které nemají žádný
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
Podobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1
Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Matematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(19. 4. 2011), varianta R 1.Nechť p, q, rjsoupolynomy,všechnymajístupeňroven n.pakpolynom má stupeň: a)vždyroven n 2, b)vždyroven2n, c)vždyroven n, d)nejvýšeroven
Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Linearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
LINEÁRNÍ ALGEBRA - KMA/LA. Roman HAŠEK
LINEÁRNÍ ALGEBRA - KMA/LA Roman HAŠEK 1. října 2018 Obsah 1 Lineární algebra 4 2 Vektory 5 3 Matice 9 3.1 Cvičení - Užití matic při řešení soustav lineárních rovnic............ 15 4 Algebraické operace
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22
Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic
Přednáška 4: Soustavy lineárních rovnic Touto přednáškou vrcholí naše snažení o algebraický popis řešení praktických problémů. Většina inženýrských úloh má totiž lineární charakter (alespoň přibližně)
LINEÁRNÍ ALGEBRA - KMA/LA. Roman HAŠEK
LINEÁRNÍ ALGEBRA - KMA/LA Roman HAŠEK 16. prosince 2016 Obsah 1 Lineární algebra 4 2 Matice 5 2.1 Cvičení - Užití matic při řešení soustav lineárních rovnic............ 12 3 Algebraické operace s maticemi
2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a
MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí
předmětu MATEMATIKA B 1
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory
Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Matematika 1 sbírka příkladů
Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
z textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi.
Lineární funkcionál Z teorie je nutné znát pojm: lineární funkcionál jádro hodnost a defekt lineárního funkcionálu Také vužijeme větu o dimenzi [cvičení] Nechť je definován funkcionál ϕ : C C pro každé
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Cvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
MATEMATIKA A Metodický list č. 1
Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači
Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10
1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz
DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra
2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při
Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem