Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Issue: 2013 15 3 Ideální aktivní prvky pro syntézu chaotických oscilátorů Ideal active elements for synthesis of the chaotic oscillators Jiří Petržela petrzelj@feec.vutbr.cz Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Abstrakt: Tento článek ukazuje, že vhodná volba aktivního funkčního bloku je důležitým faktorem při návrhu analogových chaotických oscilátorů, nebo obecně při syntéze nelineárních dynamických systémů. Existuje totiž celá řada slibných aktivních prvků, jejichž oblast využití prozatím není jednoznačně dána. Oproti tomu určité typy moderních aktivních elementů nejsou pro klasickou syntézu obvodů příliš vhodné. Postupy odvození výsledné struktury obvodu na základě stavové matice a několik příkladů realizací algebraicky jednoduchých autonomních deterministických chaotických systémů třetího řádu bude ověřeno obvodovou simulací v programu Orcad Pspice. Abstract: This paper shows that choosing suitable active elements is a key step in the case of circuit synthesis of the chaotic oscillators or, more generally, for design of the nonlinear dynamical systems. This is important since there exists a gallery of the active devices with unknown optimal application. It turns out that some devices are not suitable for conventional network synthesis. The design procedure and final circuit structures are based on the state matrix description. Few algebraically simple third-order autonomous deterministic dynamical systems with chaotic behavior will be realized and verified by circuit simulator Orcad Pspice.
Ideální aktivní prvky pro syntézu chaotických oscilátorů Jiří Petržela Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Email: petrzelj@feec.vutbr.cz Abstrakt Tento článek ukazuje, že vhodná volba aktivního funkčního bloku je důležitým faktorem při návrhu analogových chaotických oscilátorů, nebo obecně při syntéze nelineárních dynamických systémů. Existuje totiž celá řada slibných aktivních prvků, jejichž oblast využití prozatím není jednoznačně dána. Oproti tomu určité typy moderních aktivních elementů nejsou pro klasickou syntézu obvodů příliš vhodné. Postupy odvození výsledné struktury obvodu na základě stavové matice a několik příkladů realizací algebraicky jednoduchých autonomních deterministických chaotických systémů třetího řádu bude ověřeno obvodovou simulací v programu Orcad Pspice. 1 Úvod Je známo, že nelineární deterministické dynamické systémy vyšších řádů mohou vykazovat velice složité chování, pro které se ustálil pojem chaos. Z hlediska analogových elektronických aplikací přitahují generátory chaotických signálů značnou pozornost, a to díky svým unikátním vlastnostem. Nejvýraznější z nich je extrémní citlivost řešení systému na neurčitost v počátečních podmínkách, která je způsobena lokální exponenciální divergencí vektorového pole. Nelineární funkce způsobuje zakřivení stavových trajektorií, takže řešení může být ohraničeno v konečném objemu stavového prostoru. Chaotický signál má široké a spojité kmitočtové spektrum, které připomíná šum. Obecný názor je takový, že chaos má prioritní využití v telekomunikacích jako maskovací, šifrovací nebo modulovací signál [1]. Teorie chaosu a nelineární dynamika patří mezi perspektivní interdisciplinární problémy. Na rozdíl od analýzy je syntéza elektronických obvodů mnohoznačnou úlohou. To platí i o návrhu struktury a hodnot obvodových prvků chaotických oscilátorů. Výchozí je vždy znalost matematického modelu dynamického systému formou soustavy diferenciálních rovnic. Jednotlivé metody vytvoření výsledného obvodu se liší, v praxi však převládají tři univerzální postupy. První z nich vychází z tzv. integrátorového blokového schématu systému. Jeho výhodou je ideová jednoduchost, chaotický oscilátor je složen pouze ze tří funkčních bloků. Je to integrátor, diferenční (sumační) zesilovače a dvojbran s předepsanou nelineární převodní charakteristikou. Tyto struktury pracují téměř výhradně v napěťovém režimu [2], jednotlivé stavové proměnné jsou tedy snadno měřitelné a také většina současných komerčně dostupných aktivních prvků pracuje se vstupními a výstupními napětími. Druhý postup bývá označován jako klasická syntéza a jejím principem je realizace složená z paralelní kombinace nelineárního dvojpólu a lineární admitance odpovídajícího řádu. Výhoda této metody spočívá v minimalizaci počtu obvodových prvků [3], a to pasivních i aktivních. 2 Podstata syntézy obvodu na základě znalosti matematického modelu systému Jako nejefektivnější se jeví postup syntézy nelineárních dynamických systémů, kdy předpokládáme, že stavovými proměnnými jsou napětí na uzemněných kapacitorech. Lineární část vektorového pole je v podstatě vyjádřena admitanční maticí, jednotlivé rovnice potom popisují proudové bilance ve třech nezávislých uzlech obvodu. Při některých specifických tvarech stavové matice lze dva kapacitory nahradit sériovým nebo paralelním rezonančním obvodem, a to ztrátovým případně bezeztrátovým. Určitá seskupení kapacitoru a induktoru lze totiž v admitanční matici reprezentovat specifickým razítkem, tedy submaticí rozměru menšího než tři. Jednou ze stavových proměnných zde bude proud induktorem. To je potřeba mít na paměti při výběru prvku, který bude realizovat požadovanou nelineární funkci. V praxi je vhodnější, když všechny stavové proměnné nelineární funkce jsou napětí. Je-li na i-té pozici hlavní diagonály stavové matice záporná hodnota je tato přímo realizována rezistorem zapojeným mezi i-tý uzel a zemní svorku. Plovoucím lineárním rezistorům připojeným mezi uzly 1, 2 a 3 o vodivosti G 12, G 13 a G 23 odpovídá dílčí admitanční matice ve tvaru G12 G13 G12 G13 ~ Y = G12 G12 G23 G23, (1) G13 G23 G13 G23 Konstanty vyskytující se ve výchozím matematickém modelu systému realizujeme přímo formou nezávislého zdroje stejnosměrného proudu. Problematické může být u tohoto typu syntézy vytvoření nelineární převodní charakteristiky. Má totiž fyzikální rozměr transadmitance, vstupní veličinou je napětí a výstupní proud. Pro obvodovou realizaci tedy můžeme přímo využít čtyřkvadrantovou napěťovou analogovou násobičku, když její výstupní napětí převedeme na proud pomocí transadmitančního zesilovače (OTA). Jak však bude demonstrováno, lze v řadě případů nedostatek spočívající v nutnosti použití OTA prvku odstranit, a to díky univerzálnosti použité analogové násobičky AD633 ( X U X 2 )( UY1 UY ) U Z U K U + = 2 W 1, (2) kde K=0.1 je konstanta nastavená interně v integrovaném obvodu a X 1, X 2, Y 1, Y 2, Z jsou jeho vysokoimpedanční vstupy. Velikost těchto vstupních odporů je ve srovnání s pracovními hodnotami rezistorů natolik veliká, že jejich vliv na globální dynamické chování lze zanedbat. Je však třeba brát v úvahu omezený dynamický rozsah makromodelů aktivních prvků při modelování velkých stavových atraktorů. 156
Realizované výchozí diferenciální rovnice jsou téměř vždy bezrozměrné, na závěr syntézy je nutné provést kmitočtové a impedanční odnormování. V dalším textu je použita jednotná kmitočtová norma 10 4 a impedanční norma 10 3, což vede na použití nominálních kapacitorů 100nF a rezistorů 1kΩ. 3 Hledání optimálního funkčního bloku a jeho modelování Trendem poslední doby v analogové technice je vymýšlení nových hypotetických moderních funkčních bloků, a to jak po principielní stránce tak také interní zapojení odpovídajícího integrovaného obvodu. Celou řadu příkladů lze nalézt v článku [4]. Doposud byla většina chaotických oscilátorů realizována pomocí standardních operačních zesilovačů [5], proudových konvejorů [6] nebo transadmitančních zesilovačů [7]. Otázkou je, zda by aplikace některého z objevených aktivních elementů vedla ke zjednodušení výsledné struktury obvodu, případně k výraznému zlepšení některých parametrů chaotického oscilátoru. Jedná se zejména o strukturální stabilitu geometrie stavového atraktoru u vysokofrekvenčních chaotických oscilátorů, jejichž kmitočtová spektra spadají až do oblasti jednotek MHz. V těchto případech je nutné provést důkladnou analýzu vlivu parazitních vlastností použitých aktivních prvků na řešení dynamického systému v časové oblasti, a to především vstupních respektive výstupních rezistancí a kapacit. Obecně lze říci, že neideální a parazitní vlastnosti všech komponent obvodu mění konstanty diferenciálních rovnic, vkládají do nich chybové výrazy a nové funkční závislosti (především saturačního typu, převodní charakteristiky aktivních prvků), mohou zvýšit řád výsledného oscilátoru, popřípadě vést k deformaci nebo destrukci očekávaného chaotického atraktoru. Při modelování aktivních prvků, jejichž makromodel není obsažen v knihovnách simulačního programu, se nevyhneme přechodu k vyššímu stupni abstrakce. Zde velmi často čelíme problémům s konvergencí výpočetního algoritmu a nutností zavést do obvodu nenulové počáteční podmínky například pseudosoučástkou IC1. Pro případy vyšší abstrakce modelování existuje v rámci simulačního programu Pspice celá řada užitečných bloků, například SUM pro součet dvou napětí nebo MULT pro jejich násobení. Idealizaci představuje i využití některého z řízených zdrojů, například E (zdroj napětí řízený napětím) nebo G (zdroj proudu řízený napětím). Jediným parametrem těchto zdrojů je jejich zisk. Experimenty ukázaly, že nejvhodnějším kandidátem pro syntézu je funkční blok označovaný zkratkou MO-DDVCC, který lze interpretovat jako vícevýstupový proudový konvejor s třemi napěťovými vstupy. K realizaci studovaných dynamických systémů postačí varianta se dvěma proudovými výstupy obecné orientace. Tato je v ideální podobě popsána rovnicemi U ± X = UY1 + UY 2 UY 3 IZ1 = ± I X IZ 2 = I X, (3) přičemž x-tý vstup je přes lineární rezistor propojen se zemí. Hodnota tohoto rezistoru stanovuje transadmitanci aktivního prvku. Dvou proudových výstupů docílíme snadno paralelním spojením vstupních svorek dvou zdrojů G. Z hlediska syntézy je dalším zajímavým prvkem vícevýstupový OTA (MOTA) I = ± g U U I = ± g U U. (4) ( ) ( ) Z1 m Y1 Y 2 Z 2 m Y1 Y 2 Jedná se přitom o speciální případ MO-DDVCC. 4 Příklady matematických modelů systémů Jak se ukázalo během studia chaotických jevů v nelineárních dynamických soustavách, není toto chování svázáno pouze se silně nelineárními systémy velké algebraické složitosti. Článek [8] například poukazuje na celou řadu dynamických systémů s chaotickým řešením, které jsou popsány soustavou tří diferenciálních rovnic prvního řádu se šesti výrazy včetně nelineární funkce. Společným rysem všech je jejich náročná matematická analýza, přesněji absence analytického řešení v uzavřeném tvaru. V praxi to znamená, že jsme odkázání výhradně na numerické metody. Právě mezi těmito matematickými modely lze však nalézt několik, jejichž obvodová realizace představuje kanonický chaotický oscilátor ve smyslu minimálního počtu použitých aktivních a pasivních obvodových prvků. Obecně lze všechny zmiňované autonomní deterministické dynamické systémy zapsat v následujícím maticovém tvaru &, (5) x = A x + f ( x) kde x R 3 je stavový vektor a f je sloupcový vektor, který obsahuje všechny nelineární funkce. Prvním z těchto systémů je Lorenzův systém [8], jehož typickým chaotickým řešením je známý atraktor ve tvaru motýla. Matematický model je σ x = 1 0 σ 0 0 0 x + x b 0 ( 1 r + z) &, (6) kde σ, b, r jsou parametry systému. Typické chaotické řešení můžeme očekávat při hodnotách σ=10, b=8/3 a r=28. Dalším zajímavým systémem je konzervativní případ [8], který je zadán velice jednoduchým popisem ve tvaru 0 = 1 0 0 0 0 xz 0 x + 0 0 1 x x&. (7) Tento systém nemá žádné variabilní parametry, přesto existuje způsob sledování bifurkační sekvence od periodického řešení k chaosu například změnou konstanty v nelineárním výrazu. Zajímavě z hlediska budoucí realizace vypadá i systém, který označíme Rossler I [8] a zapíšeme maticově jako 0 = 1 0 2 0 a 0 x + 0 0 0 z x&. (8) xy ( ) x c + b K evoluci typického chaotického atraktoru vede nastavení parametrů systému na hodnoty a=b=0.2 a c=6.2. Obdobnou obvodovou reprezentaci lineární části bude mít i dynamický systém Rossler II [8], konkrétně 0 0 x& = 1 0 0 x + 0. (9) 0 0 b ay( 1 y) V matematických modelech (4) a (5) představují symboly a, b, c konstanty, jejichž nominální hodnoty jsou a=0.386 a b=0.2. Algebraicky jednoduché s podobným stavovým popisem jsou rovněž následující dva dynamické systémy. 157
První budeme nazývat Thomas I [8] a maticově vyjádříme 0 0 x& = 1 a 0 x + 0, (10) 2 0 0 c x s nominálními hodnotami parametrů a=0.385 a c=2. Druhým obdobný systém označíme jako Thomas II [8] a zapíšeme a 0 x& = 1 0 0 x + 0. (11) 2 0 0 c x Numerické hodnoty pro generaci chaotických atraktorů jsou a=0.25 a c=2. Pro porovnání teoretických předpokladů a simulací (případně měření) je potřeba získat referenční trajektorie. K tomuto účelu využijeme numerickou integraci, konkrétně Mathcad a Runge-Kuttovu metodu čtvrtého řádu. Výsledky pro všechny výše uvedené dynamické systémy, konečný čas výpočtu 400 a krok 0.01 jsou uvedeny na obrázku 1. Ukázalo se, že lineární transformací souřadnic výše uvedených systémů podle [9] nezískáme z hlediska praktické realizace formou elektronického obvodu žádnou výhodu. 5 Obvodová realizace U syntézy nelineárních dynamických systémů lze poznamenat, že u všech vytvořených realizací existuje i jejich duální varianta pracující v proudovém režimu. Vhodným nástrojem pro ověření správné činnosti jednotlivých zapojení je časová analýza v rámci obvodového simulátoru Orcad Pspice. Dvě různé realizace dynamického systému (6) jsou demonstrovány na obrázku 2 a obrázku 3. Simulace prvního zapojení ukázala, že alternativní geometrie vektorového pole oddělující obě nestabilní spirály nebude narušena ani mírnou modifikací druhé rovnice (6) a odpovídající chaotický atraktor bude mít stejnou, i když prostorově redukovanou topologii. Tato skutečnost zajistila realizovatelnost autonomního systému (6) pouze se dvěma násobičkami bez použití exotických aktivních prvků. Druhá realizace dynamického systému (6) již zcela odpovídá předepsanému matematickému modelu, avšak za cenu využití ideálního násobení spojeným s převodem napětí na proud. Bifurkační parametr r realizovaného systému je do obvodu zavedený prostřednictvím pseudosoučástky PARAM. Systém (7), jehož konkrétní obvodové řešení je zobrazeno na obrázku 4, je příkladem na lineární část vektorového pole realizovanou formou paralelního rezonančního obvodu. Proud induktorem je druhou stavovou proměnnou, přičemž tato není argumentem ani jednoho nelineárního výrazu. Ztrátovost cívky modelovaná sériovým rezistorem vnáší do druhé popisujících diferenciální rovnice chybový výraz, který může způsobit deformaci nebo destrukci očekávaného stavového atraktoru. Tuto vlastnost je tedy třeba minimalizovat. Konstanta matematického modelu reprezentovaná zdrojem IDC má pro evoluci chaotického atraktoru zásadní význam, způsobuje pohyb jediného pevného bodu dynamického toku po přímce x=y=0. Ekvivalentní obvodová realizace uvedená na obrázku 5 využívá prvku MOTA, konkrétně případu, kdy mají výstupní proudy opačný směr. Obrázek 1: 3D zobrazení typických chaotických atraktorů a odpovídající rovinné projekce Obrázek 2: Schéma zapojení první realizace Lorenzova dynamického systému 158
Obrázek 3: Schéma zapojení druhé ekvivalentní realizace Lorenzova systému, aktivním prvkem MO-DDVCC Obrázek 4: Schéma zapojení Nose-Hooverova dynamického systému s rezonančním obvodem sice MAX436. Jedna z možných analogových obvodových realizací systému (9) je demonstrována na obrázku 6. Evoluci chaotického řešení lze sledovat spojitou změnou napětí zdroje V 25 v intervalu od 500mV až 2V. Jedná se o nejběžnější bifurkační scénář, tedy proces zdvojování periody. Dynamický systém (10) lze modelovat například obvodem na obrázku 7, který využívá dvou MO-DDVCC. U obou je přitom uzemněn záporný vstup a využito je pouze jednoho výstupu. Shodnou realizaci lineární části vektorového pole by měl také systém (8), ovšem chyběl by zde rezistor R 18. Systém Rossler I má také poněkud komplikovanější argument pro nelineární převodní charakteristiku. Přirozeným bifurkačním parametrem je konstanta a reprezentovaná rezistorem R 17. Analogicky na základě matematického popisu je realizován i systém (11), viz obrázek 8. Využívá jak aktivního prvku MO-DDVCC s jedním výstupem tak také jednovýstupový OTA. Lze si zde představit například integrovaný obvod MAX436, jehož strmost je řiditelná jedním rezistorem. Uzel označený y se při výpočtu pracovního bodu jeví jako plovoucí, je tedy nutné jej přes velmi malou vodivost R 24 spojit se zemí. Za povšimnutí stojí, že ve všech uvedených obvodových realizacích se vstupní rezistance a kapacitance aktivních prvků připojují paralelně ke kapacitorům pracovním. To je výhodné, protože jejich velikosti můžeme zohlednit přímo při návrhu hodnot pasivních součástek obvodu. V rámci matematického modelu si jejich efekt můžeme přiblížit tak, že každou rovnici násobíme číslem blížícím se zdola jedné (vliv parazitních kapacit) a v hlavní diagonále lineární stavové matice přičítáme k existujícím koeficientům velmi malá čísla (vliv parazitních rezistancí). Obdobnou úvahu nelze obecně využít i pro výstupní kapacity a rezistance, v řadě případů se totiž formálně modelují připojením mezi dva uzly obvodu. Přestože odpovídající studie nejsou doposud k dispozici, lze očekávat poměrně velké citlivosti chaotických atraktorů na změny nebo neurčitosti hodnot funkčních nebo parazitních pasivních prvků. Autor článku je přesvědčen, že tuto citlivost je možné kvantifikovat výpočtem numerické derivace největšího Lyapunovského exponentu v grafu, jehož osy jsou tvořeny hodnotami funkčních součástek (posouzení citlivosti systému na odchylky od nominálních hodnot) nebo parazitních prvků (posouzení citlivosti systému na neideální vlastnosti). Výsledky druhého typu citlivostní analýzy pak mohou pomoci k výběru vhodných typů všech aktivních prvků tak, aby jejich vlastnosti nenarušovali výsledný tvar chaotického atraktoru ve stavovém prostoru. Obrázek 5: Schéma zapojení Nose-Hooverova dynamického systému s aktivním prvkem MOTA se dvěma výstupy Tento aktivní element je komerčně dostupný pod označením MAX435, kde je jeho strmost řízena jedním rezistorem. K tomuto z hlediska obvodové syntézy slibnému integrovanému obvodu existuje alternativa s jedním proudovým výstupem, a Obrázek 6: Schéma zapojení systému Rossler II, realizace s aktivním prvkem BOTA a DDVCC s jedním výstupem 159
Zvolený časový rozsah simulace zabezpečuje dostatečnou rozlišovací schopnost pro zobrazení kmitočtového spektra, tedy analýzu FFT. Tato je přímo implementována v postprocesoru programu Orcad Pspice. Časový průběh chaotického signálu generovaného Lorenzovým dynamickým systémem včetně jeho kmitočtového spektra je zobrazen na obrázku 16. Je zřejmé, že většina energie spojitého signálu je soustředěna v kmitočtovém rozsahu do 30kHz. Obrázek 7: Schéma zapojení systému s označením Thomas I, využití dvou aktivních prvků DDVCC s jedním výstupem Obrázek 9: Obvodová simulace první realizace Lorenzova dynamického systému, rovinné projekce chaotického atraktoru Obrázek 8: Schéma zapojení systému s označením Thomas II, využití bloku DDVCC s jedním proudovým výstupem a OTA 6 Obvodová simulace Vhodným nástrojem pro ověření všech obvodových realizací chaotických systémů je program Orcad Pspice. Vzhledem ke zvoleným časovým konstantám všech obvodů byl konečný čas simulace nastaven na 100ms s maximálním krokem 10µs. Eliminaci přechodného děje potom provedeme přímo v simulačním profilu pomocí zpožděného ukládání dat. Vzájemné závislosti jednotlivých stavových proměnných pro všechny obvodové realizace z předchozí kapitoly jsou uvedeny na obrázku 9 až obrázku 15. U některých stavového portrétu byla pro lepší přehlednost použita dvojice vertikálních os. Hodnoty, kterých stavové proměnné nabývají, mohou být totiž značně odlišné. Horizontální osa na obrázku 13 je tvořena proudem induktoru, jinak se jedná vždy o napětí na uzemněných lineárních kapacitorech. Obrázek 10: Obvodová simulace druhé realizace Lorenzova dynamického systému, rovinné projekce chaotického atraktoru 160
Zvětšení hodnoty kmitočtové normy vede k posunu celého tohoto pásma směrem k vyšším kmitočtům. V kmitočtovém pásmu nad 1MHz je již potřeba brát v úvahu filtrační efekt aktivních prvků, které se obecně chovají jako dolní propusti prvního řádu. Pro zvolenou hodnotu základní harmonické složky chaotického signálu v okolí 1.6kHz hrají neideální vlastnosti aktivních funkčních bloků v kmitočtové oblasti (tranzitní kmitočty, roll-off efekt) zanedbatelnou roli. Ukázalo se, že modelování chování systémů vyznačující se velkým stavovým atraktorem (stačí v jedné dimenzi) může být poměrně problematické. V této souvislosti vyvstala otázka, zda je možné nějakou matematickou operací provést redukci stavového traktoru, tedy jakousi kompresi stavového prostoru. Zřejmě by se jednalo o formu lineární transformace souřadnic. Přestože tato operace nebyla v průběhu řešení problému nalezena, lze předpokládat, že v jistých případech existuje. Obrázek 11: Obvodová simulace první realizace konzervativního Nose-Hooverova dynamického systému Obrázek 13: Obvodová simulace dynamického systému s označením Rossler II, Obrázek 12: Obvodová simulace druhého možného zapojení konzervativního Nose-Hooverova dynamického systému Obrázek 14: Obvodová simulace realizace systému Thomas I, tzv. funnel atraktor 161
Detailnější informace k chaotickým systémům, odpovídajícímu chování, výskytu v reálném světě i potencionálnímu využití můžeme nalézt v řadě knižních titulů z posledních let, například [10]. Čtenář zde bude obeznámen se skutečností, že chaos je nejvyšším organizačním principem v přírodě. Poděkování Tato práce vznikla s finanční podporou projektu interního výzkumu VUT v Brně FEKT S-11-13 a operačního programu SIX pod označením CZ.1.05/2.1.00/03.0072. Literatura [1] ITOH, M. Spread spectrum communication via chaos. International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 9, no. 1, 1999, pp. 155-213. ISSN 0218-1274. Obrázek 15: Obvodová simulace realizace systému Thomas II, tzv. funnel atraktor [2] PETRZELA, J., HRUBOS, Z., GOTTHANS. T. Modeling deterministic chaos using electronic circuits. Radioengineering, vol. 20, no. 2, 2011, pp. 438-444. ISSN 1210-2512. [3] ITOH, M. Synthesis of electronic circuits for modeling nonlinear dynamics. International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 11, no. 2, 2001, pp. 605 653. ISSN 0218-1274. [4] BIOLEK, D., SENANI, R., BIOLKOVA, V., KOLKA, Z. Active elements for analog signal processing: classification, review and new proposals. Radioengineering, vol. 17, no. 4, 2008, pp. 15 32. ISSN 1210-2512. [5] LU, J., CHEN, G. Generating multi-scroll chaotic attractors: theories, methods and applications. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2006, vol. 16, no. 4, p. 775-858. ISSN ISSN 0218-1274. [6] PETRZELA, J., SLEZAK, J. Conservative chaos generators with CCII+ based on mathematical model of nonlinear oscillator. Radioengineering, vol. 17, no. 3, 2008, pp. 19-24. ISSN 1210-2512. [7] PETRZELA, J., VYSKOCIL, P., PROKOPEC, J. Fundamental oscillators based on diamond transistors. In Proc. of 20 th International Conference Radioelektronika, 2010, pp. 1-4. Obrázek 16: Chaotický signál v časové oblasti a odpovídající kmitočtové spektrum, Lorenzův dynamický systém 7 Závěr V tomto článku byla demonstrována a obvodovou simulací ověřena efektivní metoda syntézy nelineárních dynamických systémů vycházející ze znalosti jejich matematického popisu. Pro představenou metodu syntézy je nejvhodnějším aktivním prvkem MO-DVCC. Lze konstatovat, že byla prokázána velmi dobrá shoda mezi numerickou integrací a obvodovou simulací. [8] SPROTT, J. C., LINZ, S. J. Algebraically simple chaotic flows. International Journal of Chaos Theory and Applications, vol. 5, no. 2, 2000, pp. 1-20. ISSN 1453-1437. [9] PETRZELA, J., HRUBOS, Z., GOTTHANS, T. Canonization of dynamical system representation using trivial linear transformations. In Proc. of 22 th International Conference Radioelektronika, 2012, pp. 1-4. [10] ELHADJ, Z. Models and Applications of Chaos Theory in Modern Sciences. CRC Press, 2011. 162