Variace 1 Kinematika pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.
1. Kinematika pro učební obory Rovnoměrný přímočarý pohyb Dráha - je čára, po níž se těleso pohybovalo (značka s, zákl. jednotka metr) Rychlost - je číselně rovna velikosti dráhy, kterou těleso vykoná za časovou jednotku (značka v, základní jednotka je metr za sekundu) Čas - značka t, základní jednotka je sekunda Pozn.: Rozdělení pohybů Rovnoměrný přímočarý pohyb je takový pohyb, při němž těleso ve stejných, ale libovolných intervalech vykoná stejně velkou dráhu. Při tomto pohybu je dráha přímo úměrná času. Grafem je přímka (nebo její část), procházející počátkem. Řešení příkladů: Příklad 1: Jakou dráhu (v kilometrech) urazí při rovnoměrném pohybu zvuk ve vzduchu za 1 minutu, je-li rychlost zvuku ve vzduchu 330 m/s? Řešení: t = 1 min = 60 s v = 330 m/s s =? [m] ------------------------------ s = v. t s = 330. 60 s = 19 800 m = 19,8 km Zvuk urazí dráhu asi 19,8 km. Příklad 2: Sprintér uběhl dráhu 300 m za 34 s. Jakou rychlostí běžel? Řešení: s = 300 m t = 34 s v =? [m/s] ------------------------------ v = s/t v = 300/34 v = 8,82 m/s = 31,2 km/h (po zaokrouhlení) Sprintér běžel rychlostí přibližně 31,2 km/h. Příklad 3: Letadlo letí z Prahy do Košic (vzdálenost 510 km) rychlostí 340 km/h. Kolik minut trvá let? Řešení: s = 510 km v = 340 km/h t =? [h] -------------------------------- 2
t = s/v t = 510/340 t = 1,5 h = 90 min Let z Prahy do Košic trvá 90 minut. Příklad 4: Jedete rychlíkem rychlostí 20 m/s a předjíždíte nákladní vlak. Víte, že vagón nákladního vlaku je dlouhý 15 m a že ho předjedete za 2 s. Jakou rychlostí (v m/s) jede nákladní vlak? Řešení: v 1 = 20 m/s s = 15 m t = 2 s v 2 =? [m/s] ---------------------------------- v = s/t v = 15/2 v = 7,5 m/s v 2 = v 1 - v v 2 = 20-7,5 v 2 = 12,5 m/s Nákladní vlak jede rychlostí 12,5 m/s. Pohyb rovnoměrně zrychlený Patří mezi pohyby nerovnoměrné, s nimiž se v praxi setkáváme podstatně častěji než s pohyby rovnoměrnými. I u nerovnoměrného pohybu však můžeme určit průměrnou rychlost, a to tak, že ho jakoby převedeme na pohyb rovnoměrný. Průměrná rychlost nerovnoměrného pohybu je rovna rychlosti takového pohybu rovnoměrného, pro níž platí, že kdyby se jím těleso pohybovalo, urazilo by tutéž dráhu za tentýž čas, jako při pohybu nerovnoměrném. Přesný popis pohybu udává okamžitá rychlost. Okamžitá rychlost nerovnoměrného pohybu je rovna rychlosti takového rovnoměrného pohybu, kterou by to těleso mělo, kdyby se od daného okamžiku pohybovalo pohybem rovnoměrným. Průměrná rychlost: kde s je celková dráha, kterou těleso urazilo, a t je celkový čas, po který se těleso pohybovalo U rovnoměrně zrychleného pohybu platí, že rychlost je přímo úměrná času. Tedy v ~ t neboli v = a. t Grafickým znázorněním závislosti rychlosti na čase je přímka (nebo její část) procházející počátkem. Číslo a je konstanta (neměnné číslo) a nazýváme ji zrychlení. Zrychlení je číselně rovno přírůstku rychlosti za časovou jednotku. Rovnoměrně zrychlený pohyb je takový pohyb, v němž přírůstky rychlosti ve stejných, ale libovolných časových intervalech, jsou stejné. Základní jednotkou zrychlení je jeden metr za sekundu na druhou [m/s 2 ] 3
Pro výpočet dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu platí vzorec Řešení příkladů Příklad 5: Vlak vyjíždí ze stanice se stálým zrychlením 6 cm/s 2. Za jakou dobu dosáhne rychlosti 32,4 km/h? Jakou dráhu při tom ujel? a = 6 cm/s 2 = 0,06 m/s 2 v = 32,4 km/h = 9 m/s t =? s =? ------------------------------------------ v = a.t t = v/a t = 9/0,06 t = 150 s s = at 2 /2 s = 0,06.150 2 /2 s = 675 m Vlak ujel 675 m a danou rychlost dosáhl za 150 s. Příklad 6: Jaký čas uplyne, rozjíždí-li se letadlo po dráze 250 m se zrychlením 5 m/s 2? Jaké rychlosti dosáhne? s = 250 m a = 5 m/s 2 t =? v =? ------------------------------------------- s = at 2 /2 v = a.t t = 10 s v = 50 m/s Letadlo se rozjíždělo 10 sekund a dosáhlo rychlosti 50 m/s. Příklad 7: Letadlo se rozjíždí 12 s a dosáhne rychlosti 108 km/h. Jak velkou dráhu přitom ujede? t = 12 s v = 108 km/h = 30 m/s s =? --------------------------------------------- s = at 2 /2 a = v/t 4
s = vt/2 s = 30. 12/2 s = 180 m Letadlo ujede při rozjíždění dráhu 180 metrů. Volný pád Volný pád je rovnoměrně zrychleným pohybem na velmi krátké dráze. Při výpočtech budeme zanedbávat odpor vzduchu. Konstanta a = 9,81 m/s 2 = g... tíhové zrychlení Pozn.: Jedná se o tutéž konstantu, kterou jste na základní škole zapisovali velikostí 10 N/kg. Platí veškeré vzorce uvedené v rovnoměrně zrychleném pohybu. Příklad 8: Jak hluboká je propast, do které padá kámen 5 sekund? Jak velikou rychlostí dopadne na dno? g = 9,81 m/s 2 t = 5 s v =? s =? -------------------------------------------- v = g.t s = gt 2 /2 v = 9,81. 5 s = 9,81.5 2 /2 v = 49 m/s s = 122,6 m Propast je hluboká 122,6 metru; těleso dopadne rychlostí 49 m/s. 2. Kinematika - procvičovací příklady 1. Automobil dosáhne rychlosti o velikosti 72 km.h -1 745 za 1 minutu od startu. Jaká je průměrná velikost zrychlení automobilu? OK 0,33 m/s 2 736 2. Kolik minut bude trvat trénink vytrvalostnímu běžci, má-li v plánu uběhnout 36 km průměrnou rychlostí 5 m/s a 35 min věnuje rozcvičení. OK 155 min 3. Motocykl dosáhne z klidu pohybem rovnoměrně zrychleným za 20 s rychlosti o velikosti 72 km.h - 1. Jakou dráhu přitom ujede? OK 200 m 721 4. Vzhledem k břehu jede loď po proudu řeky rychlostí 50 km/h a proti proudu rychlostí 30 km/h. Jaká je rychlost vody (v km/h) vzhledem k břehu? OK 10 km/h 739 5. Dvě letadla startují v témže čase k cíli vzdálenému 400 km. Jedno letí rychlostí 800 km/h, druhé 1 000 km/h. O kolik minut později přiletí první letadlo za bezvětří k cíli? OK 6 min 6. Jakou nejmenší rychlostí může přejít chodec stanici metra délky 75 m tak, aby stihl nastoupit předními dveřmi do soupravy následující po té, která mu právě ujela? Interval mezi soupravami je 90 s. OK 0,83 m/s 747 731 5
724 7. Dopravní policie měřila radarem rychlost v obci. Určete, o kolik překročil řidič automobilu jedoucí rychlostí 18 m/s povolenou rychlost 60 km/h. OK 4,8 km/h 742 8. Přes železniční most o délce 200 m projížděl stálou rychlostí osobní vlak. Čelo lokomotivy projelo přes most za 10 s, celý vlak za 25 s. Určete délku celého vlaku (v metrech). OK 300 m 741 9. Cestující vidí z vlaku jedoucího rychlostí 40 km/h míjet opačným směrem jiný vlak, dlouhý 75 m, po dobu 3 s. Jakou rychlostí (v km/h) jede druhý vlak? OK 50 km/h 10. Člověk se volnou chůzí pohybuje rychlostí přibližně 1 m/s. Kolik kilometrů ujde za 1 hodinu? OK 3,6 km 717 728 11. V jaké nejmenší vzdálenosti (v metrech) od místa přechodu musí být automobil, který přijíždí rychlostí 54 km/h, abychom bezpečně přešli ulici, potřebujeme-li na přecházení 10 s? OK 150 m 737 12. Dopravní pás při vykládce zavazadel na letišti se pohybuje rychlostí 0,4 m/s. Za kolik minut se dostane zavazadlo z vozíku k cestujícímu, je-li jejich vzájemná vzdálenost 24 m? OK 1 min 13. Hloubka moře se zjišťuje tak, že se vyšle zvukový signál ke dnu moře. Jak hluboké je moře (v kilometrech), jestliže zvukový signál vyslaný z lodi se vrátil za 4 sekundy? Rychlost zvuku ve vodě je 1 500 m/s. OK 3 km 14. Po silnici jede tatra rychlostí 65 km/h a 30 m za ní jede škodovka rychlostí 90 km/h. Při předjíždění se musí škodovka dostat 50 m před tatru a pak teprve se může zařadit zpátky do pravého jízdního pruhu. Kolik sekund bude předjíždění trvat? Při výpočtu zanedbejte rozměry obou automobilů - představujte si je jako body. OK 11,6 s 15. Lyžař si vypočetl, že poběží-li rychlostí 10 km/h, dorazí do chaty ve 13:00 h. Při rychlosti 15 km/h dorazí do chaty v 11:00 h. Jakou rychlostí (v km/h) musí běžet, aby doběhl k obědu ve 12:00 h? OK 12 km/h 720 16. Voda v řece teče rychlostí 8 km/h a parník jede v klidné vodě rychlostí 30 km/h. Kolik minut pluje parník po řece 10 km po proudu a zpět? OK 43 min 734 17. Průměrná rychlost pohybu Země kolem Slunce je 29,8 km/s. O kolik kilometrů se po své dráze posune Země za 1 den? OK 2 574 720 km 18. Auto zvýšilo svoji rychlost o velikosti 4 m.s -1 během 4 s na rychlost velikosti 20 m.s -1 744. Jaká byla průměrná velikost zrychlení automobilu? OK 4 m/s 2 19. Chlapec instaloval na jízdním kole tachometr. Při tréninku projel určitý úsek dráhy za 18 min stálou rychlostí 24 km/h, přičemž počítač ujetých kilometrů ukázal na konci pohybu hodnotu 641,5 km. Jaký údaj byl na počítadle na začátku jízdy? OK 634,3 km 20. Po hladině jezera se motorový člun pohybuje rychlostí 15 m/s. Když pluje po řece, pohybuje se člun rychlostí 15 m/s vzhledem k vodě. Voda v řece se pohybuje rychlostí 5 m/s vzhledem k břehu. Člun pluje po proudu. Jakou rychlostí (v m/s) se pohybuje vzhledem k břehu? OK 20 m/s 733 723 743 735 718 6
732 21. Zdviž se pohybuje rovnoměrným pohybem rychlostí 3,5 m/s. Za kolik sekund vystoupí do posledního patra věžového domu, které je ve výši 40 m? OK 11,4 s 22. Cyklistický závod jednotlivců (194,4 km) vyhrál na XXV. OH v Barceloně italský závodník Casartelli, který jel průměrnou rychlostí 42,36 km/h. Jakého času (v hodinách) dosáhl na této dráze? OK 4,59 h 729 23. Prvenství v plavání na OH v Barceloně získala Čuang Jung (z Číny) časem 54,64 s. Na jaké trati zvítězila, plavala-li průměrnou rychlostí 1,83 m/s? OK 100 m 24. Po hladině jezera se motorový člun pohybuje rychlostí 15 m/s. Když pluje po řece, pohybuje se člun rychlostí 15 m/s vzhledem k vodě. Voda v řece se pohybuje rychlostí 5 m/s vzhledem k břehu. Člun pluje proti proudu. Jakou rychlostí (v m/s) se pohybuje vzhledem k břehu? OK 10 m/s 25. Jakou nejmenší průměrnou rychlostí (v km/h) musí jet vůz záchranné služby k dopravní nehodě, jestliže lékařská pomoc musí být poskytnuta do 20 min? Nehoda je ve vzdálenosti 22 km od stanoviště sanitek a svědek telefonoval 5 min po nehodě. OK 88 km/h 738 719 740 26. Jaká je rychlost zvuku, když za 0,2 s urazí vzdálenost 68 m? OK 340 m/s 725 746 27. Těleso se pohybuje z klidu rovnoměrně zrychleně. Za první 2 s urazí dráhu 4 m. Kolik metrů urazí těleso během třetí sekundy? OK 5 m 722 28. Dům, který stojí na rovníku, "obejde" Zemi jednou za jeden den. Jakou rychlostí (v km/h) se pohybuje? (Poloměr Země je 6 378 km, je přibližně 3,14) OK 1 670 km/h 726 29. Na XXV. OH v Barceloně zvítězil britský atlet Linford Christie v běhu na 100 m časem 9,96 s. Jakou průměrnou rychlostí běžel? OK 10,04 m/s 30. Čeští vojáci za 1. světové války prý volávali na ozvěnu: "Jak je ti, Rakousko?" Volání se odrazilo od skály a ozvěna odpovídala: "... ouzko". Když se ozvěna zpožďuje za voláním o 2 slabiky, letí zvuk ke skále a zpátky asi půl sekundy. Kolik metrů byli vojáci od skály, je-li rychlost zvuku ve vzduchu 330 m/s. OK 82,5 m 730 31. Český rekord v překážkovém běhu na 400 m je 48,94 s. V Barceloně na OH na téže trati zvítězil Kevin Young (USA) časem 46,78 s. O kolik běžel rychleji než držitel českého rekordu? OK 0,38 m/s 715 32. Kolik kilometrů urazí při rovnoměrném pohybu světlo ve vakuu za 0,001 sekundy, je-li rychlost světla ve vakuu 300 000 km/s. OK 300 km 727 33. Rychlík Vihorlat vyjíždí z nádraží Prahy-Holešovic ve 20 h 40 min a do Košic přijíždí v 8 hod 16 min. Délka trati je 698 km. Vypočtěte průměrnou rychlost vlaku. OK 60,2 km/h 716 7
Obsah 1. Kinematika pro učební obory 2. Kinematika - procvičovací příklady 2 5 8