Kapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.

Transkript

1 Kapitola I - Množiny bodů daných vlastností I.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od daných dvou různých bodů stejnou vzdálenost? I.b Co je množinou středů všech kružnic v rovině, které prochází dvěma danými různými body? II.a Co je množinou všech bodů v rovině, které jsou stejně vzdáleny od daného bodu? II.b Co je množinou středů všech kružnic (v rovině) téhož poloměru, které prochází daným bodem? III.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od dané přímky stejnou vzdálenost? III.b Co je množinou středů všech kružnic (v rovině) téhož poloměru, které se dotýkají dané přímky? IV.a Co je množinou všech bodů v rovině, které jsou stejně vzdálené od daných dvou rovnoběžek? IV.b Co je množinou středů všech kružnic v rovině, které se dotýkají daných dvou rovnoběžek? V.a Co je množinou všech bodů v rovině, které jsou stejně vzdáleny od daných dvou různoběžek? V.b Co je množinou středů všech kružnic v rovině, které se dotýkají daných dvou různoběžek? VI. Je dána kružnice a na ní bod. Co je množinou středů všech kružnic v rovině, které se dané kružnice v daném bodě dotýkají? VII. Je dána přímka a na ní bod. Co je množinou středů všech kružnic v rovině, které se dané přímky v daném bodě dotýkají? VIII.a Co je množinou všech bodů v rovině, které mají od dané kružnice o poloměru r stejnou vzdálenost q? VIII.b Co je množinou středů všech kružnic (v rovině) téhož poloměru q, které se dotýkají dané kružnice o poloměru r? IX. Co je množinou vrcholů pravých úhlů všech pravoúhlých trojúhelníků v rovině sestrojených nad danou společnou přeponou?

2 Kapitola 2 - Úlohy, ve kterých hledáme množiny bodů daných vlastností 1. Je dána úsečka AB. Co je množinou vrcholů C rovnoramenných trojúhelníků ABC, jejichž základnou je úsečka AB? 2. Je dána úsečka KL délky 7 cm. Co je množinou všech bodů X, pro které platí KX LX? 3. Já dána úsečka KL délky 7 cm. Co je množinou všech bodů X, pro které platí KX < LX? 4. Je dána úsečka KL. Co je množinou středů S všech obdélníků KLMN? 5. V trojúhelníku ABC je dána strana AB = 5 cm. Co je množinou všech vrcholů C trojúhelníků ABC, je-li t c = 3 cm? 6. Je dána strana AB = 5 cm trojúhelníku ABC. Co je množinou všech těžišť trojúhelníků ABC, je-li těžnice t c = 3 cm? 7. Je dána kružnice k(s; r = 3 cm) a bod X, který se po ní pohybuje. Co je množinou středů všech úseček SX? 8. Kružnice k má střed S a poloměr 2,5 cm. Co je množinou všech bodů S souměrně sdružených s bodem S podle všech tečen kružnice k? 9. Co je množinou středů všech těžnic t c trojúhelníků ABC, ve kterých je AB = 7 cm a t c = 7 cm? 32. V rovině jsou dány dva různé body A a B. Co je množinou pat všech kolmic spuštěných z daného bodu A na přímky procházející bodem B? Kapitola 3 - Úlohy, ve kterých používáme množiny bodů daných vlastností 48. Jsou dány body A, B, jejichž vzdálenost je 30 mm. Sestrojte bod X, jenž má od bodu A i od bodu B vzdálenost 25 mm. 49. Je dána úsečka AB délky 3 cm. Sestrojte bod Y, aby AY = 2 cm, BY = 4 cm. 50. Tři chataři (chaty X1, X2, X3) se rozhodli vykopat společnou studnu. Jak mají určit její polohu, jestliže k ní chtějí mít všichni stejně daleko? 51. NE V kamenolomu L se pracuje s třaskavinou. Ve vzdálenosti 420 m od lomu vede přímá cesta c. Z bezpečnostních důvodů má být uzavřen prostor do vzdálenosti 500 m od lomu. Jak velká část cesty c bude nepřístupná? Úlohu řešte konstruktivně v měřítku 1: Je dána kružnice k(s; r = 2 cm) a bod M. Vzdálenost bodu S od M je 5 cm. Sestrojte bod X tak, aby byl od bodů S a M stejně vzdálen a zároveň ležel na kružnici k. Sestrojte všechna řešení. 53. Je dána úsečka KL délky 6 cm a přímka p. Sestrojte bod X tak, aby ležel na přímce p a byl stejně vzdálen od bodů K, L. Jakou polohu musí mít přímka p vzhledem k přímce KL, aby úlohy měla: a) jediné řešení, b) žádné řešení, c) nekonečně mnoho řešení.

3 54. Narýsujte dvě různé úsečky MN = 3 cm, PQ = 5 cm. Sestrojte bod X tak, aby trojúhelníky MNX a PQX byly rovnoramenné s hlavním vrcholem X. Kdy má úloha řešení a kdy má nekonečně mnoho řešení? 55. Je dána přímka p a bod B vzdálený od p 2,5 cm. Sestrojte bod Q, který má od přímky p i od bodu B vzdálenost 2 cm. 56. Narýsujte kružnici k se středem S o poloměru 2,5 cm a libovolnou přímku p. Sestrojte tečnu ke kružnici k rovnoběžnou s přímkou p. 57. Narýsujte kružnici k(s; 2,5 cm) a libovolnou přímku p. Sestrojte tečnu t kružnice k kolmou k přímce p. 58. Je dána přímka d procházející středem kružnice m(m; 3 cm). Sestrojte kružnici k o poloměru 2 cm, která se dotýká přímky d a má střed na kružnici m. 59. Je dána přímka p a bod A vzdálený 4 cm od p. Sestrojte kružnici k o poloměru 3 cm tak, aby se dotýkala přímky p a procházela bodem A. 60. Jsou dány různoběžné přímky KL, LM. Sestrojte bod X, který má od přímky KL vzdálenost 3 cm a od přímky LM vzdálenost 2 cm. 61 Je dána přímka p a dva různé body A a B, které neleží na přímce p. Sestrojte bod X, který je stejně vzdálen od bodů A a B a od přímky p má vzdálenost 2,5 cm. 62. Je dána kružnice k(s, 2 cm), její sečna s vzdálená od bodu S 1,5 cm a s ní rovnoběžná přímka v vzdálená od bodu S 3,5 cm a od sečny s 2 cm. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou rovnoběžek i dané kružnice.

4 63. Je dán úhel KLM. Sestrojte kružnici, která prochází bodem M a dotýká se obou ramen LK a LM. 64. Je dána kružnice k(s; 3 cm) a na ní bod T. Dále je dána přímka p, která protíná kružnici k. Sestrojte kružnici l, která se dotýká přímky p a kružnice k v bodě T. 65. Je dána kružnice k(s; 2 cm) a na ní bod T. Dále je dána přímka p, která neprotíná kružnici. Sestrojte kružnici l, která se dotýká přímky p a kružnice k v bodě T. 66. Různoběžky a, b svírají úhel velikosti 60. Sestrojte kružnici o poloměru r = 1,5 cm, která se dotýká obou daných různoběžek. 67. Jsou dány dva různé body A, B tak, že AB = 5 cm. Sestrojte kružnici, která prochází body A, B a má poloměr 3 cm. Kolik takových kružnic můžete sestrojit? 68. Jsou dány body A, B a přímka p. Sestrojte kružnici, která prochází body A, B a má střed na přímce p. Kolik má úloha řešení a v jakých případech? 69. Je dána přímka p a na ní bod A. Sestrojte kružnici o poloměru 2,3 cm, která prochází bodem A a má střed na přímce p. Kolik má úloha řešení? 70. Narýsujte přímku t, zvolte na ní bod T a mimo ni bod A. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímky t v bodě T a prochází bodem A. 71. Jsou dány různoběžky m, n a dva různé body P a Q, které neleží na různoběžkách. Sestrojte kružnici, která prochází danými body P a Q a jejíž střed má stejnou vzdálenost od přímek m i n. Kolik má úloha řešení. 72. Je dána přímka p a mimo ni bod A. Sestrojte kružnici o poloměru 2,5 cm, která prochází bodem A a má střed na přímce p. Kolik má úloha řešení? 73. Zvolte tři různé body A, B, C a sestrojte kružnici, která jimi prochází. Při jaké poloze bodů A, B, C nelze kružnici sestrojit? 74. Pro body A, B platí, že AB = 7 cm. Bodem B veďte přímku tak, aby měla od bodu A vzdálenost: a) 3 cm b) 7 cm c) 8,5 cm. 75. Narýsujte kružnici, která je vepsaná do pásu rovnoběžek p, q a prochází daným bodem M, ležícím uvnitř pásu. 76. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a s nimi různoběžná přímka c. Sestrojte kružnici, která se dotýká současně všech tří přímek a, b, c. Kolik má úloha řešení? 77. Kružnice k 1 (S 1 ; 2 cm) a kružnice k 2 (S 2, 2 cm) mají střednou S 1 S 2 = 5 cm. Na kružnici k 1 je dán bod T. Sestrojte kružnici q, která se vně dotýká kružnice k 1 v bodě T a s kružnici k 2 má také vnější dotyk. 78. Je dána kružnice k(s, 4 cm) a bod A uvnitř kružnice, různý od bodu S. Sestrojte kružnici l o poloměru 2,5 cm, tak aby procházela bodem A a dotýkala se kružnice k. 79. Je dána kružnice l(l; 2 cm) a bod K tak, že KL = 4 cm. Sestrojte kružnici q s poloměrem 2,5 cm, která se dotýká kružnice l a prochází bodem K. 80. Uvnitř mezikruží ohraničeného kružnicemi k 1 (S; 6 cm) a k 2 (S; 2 cm) leží bod M tak, že SM = 4,5 cm. Sestrojte kružnici, která prochází bodem M a dotýká se kružnice k 1 uvnitř a kružnice k 2 vně.

5 81. Narýsujte kružnice k 1 (S 1 ; 2 cm) a k 2 (S 2 ; 1,5 cm), aby S 1 S 2 = 5 cm. Sestrojte kružnici o poloměru 1 cm, která se vně dotýká obou kružnic k 1, k Jsou dány kružnice k 1 (S 1 ; 1,5 cm) a k 2 (S 2, 2,5 cm), S 1 S 2 = 5 cm. Sestrojte kružnici l(l; 2,5 cm), která se dotýká vně obou daných kružnic k 1, k Jsou dány kružnice k 1 (S 1 ; 4 cm) a k 2 (S 2 ; 2 cm), S 1 S 2 = 8 cm. Sestrojte kružnici, která má střed na přímce S 1 S 2 a dotýká se kružnic k 1 a k Narýsujte dvě různé rovnoběžky a, b vzdálené od sebe 5 cm. Na přímce a zvolte bod A. Sestrojte kružnici k tak, aby se přímky a dotýkala v bodě A a na přímce b vytínala tětivu délky 4 cm. 85. Je dána přímka s, mimo ni bod A. Sestrojte kružnici o poloměru 5 cm, která prochází bodem A a na přímce s vytíná tětivu délky 3 cm. 86. Narýsujte úhel α = 30. Sestrojte kružnici, která má poloměr 2,5 cm a na ramenech úhlu α vytíná shodné tětivy délek 3,5 cm. 87. Je dána kružnice k(s; 2 cm) a přímka t, jejíž vzdálenost od bodu S je 4 cm. Sestrojte kružnici l, která má poloměr 1,5 cm, dotýká se přímky t a má vnější dotyk s kružnicí k. 88. Je dána kružnice k(s; 4 cm) a sečna p, vzdálená 1 cm od bodu S. Sestrojte kružnici l o poloměru 3 cm, která se dotýká kružnice k i přímky p. 89. Narýsujte kružnici k(s; 4 cm) a přímku p, která neprochází středem kružnice a protíná kružnici k ve dvou bodech. Sestrojte všechny kružnice o poloměrech 2 cm, které se dotýkají kružnice k i přímky p. 90. Je dána kružnice k(s; 4 cm) a přímka p vzdálená 1 cm od bodu S. Sestrojte kružnici l s poloměrem 1,5 cm, která se dotýká dané kružnice i dané přímky. 91. Je dána kružnice k(s; 4 cm) a přímka p procházející středem S. Sestrojte kružnici l o poloměru 1,5 cm, která se dotýká dané kružnice i dané přímky. 92. Je dána kružnice k a vnější přímka p. Sestrojte tečny kružnice k, které svírají s přímkou p úhel 60. Kolik má úloha řešení? 93. Je dána kružnice k a vnější přímka p. Sestrojte tečny kružnice k, které svírají s přímkou p úhel Je dána kružnice k(s; 3 cm) a vnější přímka p. Sestrojte tečny kružnice k, které svírají s přímkou p úhel Sestrojte kružnice, které se dotýkají zároveň všech tří daných různých různoběžek a, b, c, neprocházející jedním bodem. 96. Narýsujte kružnici k(s; 2 cm) a zvolte na ní bod M. Opište kružnici k čtverec ABCD tak, aby bod M byl bodem strany BC. 97. Narýsujte kružnici k(s; 2 cm) a zvolte na ní bod M. Kružnici k opište kosočtverec ABCD, jehož úhel při vrcholu A je 60 a jehož strana AB se dotýká kružnice k v bodě M. Kolik je možností? 98. Narýsujte kružnici k(s; 1,7 cm) a zvolte na ní bod T. Opište kružnici k rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby se strana AB dotýkala kružnice k v bodě T.