Slovní úlohy o pohybu I

Transkript

1 .2. Slovní úlohy o pohybu I Předpoklady: 0024 Př. : Běžec na lyžích se pohybuje na celodenním výletu průměrnou rychlostí km/h. Jakou vzdálenost ujede za hodinu? Za hodiny? Za hodin? Za t hodin? Najdi vzorec, který umožňuje vypočítat dráhu, kterou ujede, z času, jak dlouho už běží. hodina km 2 hodiny 2 = 26 km hodiny = 9 km hodin = 6 km t hodin t = t km Poslední výsledek je vlastně vzorec pro dráhu, kterou běžec urazí. Stačí do něj dosadit čas a získáme hledanou dráhu s = t. Př. 2: Za jakého předpokladu platí pro dráhu pohybu vzorec s = vt? Odvoď ze vzorce vztahy pro rychlost a čas. Zkontroluj, zda dávají smysl. Vzorec s = vt platí za předpokladu, že se předmět pohybu pořád stejnou rychlostí. Vzorec pro rychlost: s = vt / : t s v =, rozumný výsledek: t velkou rychlostí se pohybujeme, když do čitatele zlomku dosadíme velké číslo (velká dráha), a do jmenovatele malé číslo (krátký čas) například se za minutu dostaneme ze Země na Měsíc, malou rychlostí se pohybujeme, když do čitatele zlomku dosadíme malé číslo (krátká dráha), a do jmenovatele velké číslo (dlouhý čas) například za rok přelezeme z jedné strany třídy na druhou. Vzorec pro čas: s = vt / : v s t =, rozumný výsledek: v dlouho se budeme pohybovat, když do čitatele zlomku dosadíme velké číslo (velká dráha), a do jmenovatele malé číslo (malá rychlost) například, když budeme čekat, než se slimák doplazí z Třeboně do Prahy, krátký čas se budeme pohybovat, když do čitatele zlomku dosadíme malé číslo (malá dráha), a do jmenovatele velké číslo (velká rychlost) například, když budeme čekat, než světlo přeletí z jedné strany třídy na druhou. Př. : Při cestě po dálnici dosahuje Petr průměrné rychlosti 0 km/h. Za jak dlouho dojede z Lince do Splitu? Vzdálenost obou míst urči pomocí mapového serveru. Jakou průměrnou rychlost předpokládá vyhledávač spojení, který si použil? Podle serveru ze dne : trasa 79 km, 7:6 hod.

2 Doba na ujetí cesty rychlostí 0 km/h s = vt / : v s 79 t = = h = 7,9 h = 7 h min v 0 Průměrná rychlost předpokládaná vyhledávačem 6 7 h 6 min = 7 + h = 7,9 h 60 s = vt / : t s 79 v = = km/h = 99,7 km/h t 7,9 Rychlostí 0 km/h bychom z Lince do Splitu dorazili za 7 hodin a minut. Vyhledávač spojení na serveru předpokládá průměrnou rychlost 99,7 km/h. Př. 4: Nejrychlejší čas při Vasově běhu na lyžích drží Švéd J. Brink od roku 202, kdy 90 km dlouhou trasu uběhl za :8:4. Jakou průměrnou rychlostí se při závodu pohyboval? 4 8, 68 h 8 min 4s = h 8 + min = h 8,68 min = + h =,64 h s = vt / : t s 90 v = = km/h = 24,7 km/h t,64 Švéd J. Brink běžel roku 202 při Vasově běhu průměrnou rychlostí 24,7 km/h. Př. : Převeď na jednotku v závorce. a) km/h [ m/s ] b) 4m/s [ km/h ] c) 7,9km/s[ km/h ] km 000 m 000 a) km/h = = = m/s = 4,7 m/s h 600 s 600 b) c) 4 km 4 m km m/s = = = = km/h = 200 km/h s h 000 h ,9 km 7,9km 7,9 600 km 7,9 km/s = = = = 7,9 600 km/h = km/h s h h 600 Prostřední příklad si můžeme upravit takto: 2

3 4 km 4 m km 4 m/s = = = 4 = 4, 6 km/h = 200 km/h s h 000 h 600 Vidíme, že při převádění z m/s na km/h musíme násobit číslem,6 při převodu z km/h na m/s budeme číslem,6 dělit. Př. 6: Urči rychlost v km/h a m/s pokud, a) šnek uleze za pět minut cm, b) chodec ujde 700 m za 6 minut, c) auto ujede km za 4 minuty, a) šnek uleze za pět minut cm t = min = 00 s, s = cm = 0, m s 0, v = = m/s = 0,007 m/s = 0,0042 km/h t 00 b) chodec ujde 700 m za 6 minut t = 6 min = 60 s, s = 700 m s 700 v = = m/s =,94 m/s = 7 km/h t 60 c) auto ujede km za 4 minuty t = 4 min = 240 s, s = km = 000 m s 000 v = = m/s = 20,8 m/s = 7 km/h t 240 Př. 7: Martin ujde cestu na zahradu dlouhou, km většinou za 0 minut. Jak dlouho by touto rychlostí jel na třešně vzdálené km? Pro výpočet doby nutné pro jízdu na třešně potřebujeme znát rychlost pohybu, kterou můžeme určit z údajů o cestě na zahradu. Vzhledem k zadání je výhodnější počítat s rychlostí v km/h. 0 t = 0 min = h = h, s = km 60 6 s = vt / : t s v = = km/h = 6 km/h = 0 km/h t 6 v = 0 km/h, s = km s = vt / : v s t = = h = 0, 4 h = 26 min v 0 Martin dorazí na třesně za 26 minut. Př. 8: Veličiny, které popisují pohyb dama, označuj indexem, veličiny, které popisují pohyb vy, indexem. Zachyť pomocí rovnic vztahy popsané v zadání. a) dam jede rychlostí o 7 km/h vyšší než va.

4 b) dam ušel o třetinu menší vzdálenost než va. c) dam se vydal na cestu o půl hodiny později než va, musel jít proto o, km/h vyšší rychlostí, aby ji přesně v cíli dohonil. d) Vesnice, kde bydlí dam, je vzdálena od vina bydliště 6 km. Často si dávají schůzku tak, že oba vyrazí z domova a sejdou se někde po cestě. Dneska vyrazili ve stejný čas, ale dam jel na kole a tak se pohyboval čtyřikrát větší rychlostí. a) dam jede rychlostí o 7 km/h vyšší než va. v = v + 7 b) dam ušel o třetinu menší vzdálenost než va. 2 s = s c) dam se vydal na cestu o půl hodiny později než va, musel jít proto o, km/h vyšší rychlostí, aby ji přesně v cíli dohonil. t = t 0,, v = v +,, s = s (sešli se v cíli urazili stejnou vzdálenost) d) Vesnice, kde bydlí dam, je vzdálena od vina bydliště 6 km. Často si dávají schůzku tak, že oba vyrazí z domova a sejdou se někde po cestě. Dneska vyrazili ve stejný čas, ale dam jel na kole a tak se pohyboval čtyřikrát větší rychlostí. t = t, v = 4v, s + s = 6 Pedagogická poznámka: Nejčastěji se zapomíná na třetí (dráhovou) rovnici v bodě c). Při kontrole se píšeme rovnice na tabuli a na tomto místě čekáme, dokud ji někdo nevymyslí. Př. 9: dam a va bydlí 9 km od sebe. Občas si dávají romantické schůzky téměř na půl cesty. Oba vyjedou na kole ve stejný okamžik - dam rychlostí km/h, va rychlostí 2 km/h. Za jak dlouho a kde se potkají? Hledej řešení pomocí rovnice. Řešení bez rovnice: dam jede rychlostí km/h, va rychlostí 2 km/h přibližují se rychlostí + 2 km/h = 27 km/h. v = 27 km/h, s = 9 km s = vt / : v s 9 t = = h = h = 20 min v 27 s = vt = km = km Potkají se po 20 minutách ve vzdáleností km od místa, kde bydlí dam. Zkusíme řešení pomocí rovnice (rovnice umožňují řešit i daleko obtížnější příklady než je tento). dam a va musí dohromady urazit 9 km: s + sb = 9 (nejdůležitější rovnice, zachycuje základní vlastnost situace). Obě dráhy můžeme vyjádřit pomocí času a rychlosti: v t + v t = 9. 4

5 Oba vyrazili najednou oba časy jsou stejné, t = t B = t : vt + vt = 9. Dosadíme hodnoty rychlostí: t + 2t = 9. 27t = 9 / : 27 9 t = = 27 Dál už je řešení stejné. Př. 0: ája vyrazil s kamarády na kole na chatu. ousek před cílem, poté co ujeli km si vzpomněl, že doma zapomněl klíče. Zavolal domů sestře nežce a přesvědčil ji aby mu klíče dovezla, že ji vyjede naproti. ája vysvětlil kamarádům, aby na něj počkali a vyrazil hned zpátky domů rychlostí 24 km/h. nežka se ještě musela sbalit a vyndat kolo, takže vyrazila o pět minut později rychlostí 20 km/h. Za jak dlouho se setkali? de? Příklad nejde spočítat stejně jako předchozí, můžeme sice zjistit rychlost přibližování, ale nežka vyráží na cestu později, takže dohromady od chvíle, kdy vyrazí nežka, oba neurazí km (ale méně o to, co urazil ája než sestra vyrazila na cestu). Zkusíme sestavit postupně rovnici. Celkově oba urazí km: s + s =. Obě dráhy můžeme vyjádřit pomocí času a rychlosti: v t + v t =. nežka vyrazila o minut později její čas jízdy je o minut kratší, t = t = t Dosadíme za t : vt + v t =. 2 Dosadíme hodnoty rychlostí: 24t + 20 t =. 2 24t + 20t = 44t = / 2t = 9 / + 2t = 44 / :2 44 t = h = h = h = 20 min 2 t = 20 min = min = h 4 Uražené vzdálenosti: s = vkt = 24 km = 8 km s = vt = 20 km = km 4 ontrola: s + s = + 8 km = km. Pedagogická poznámka: Předchozí příklad samozřejmě pomocí rovnice naprostá většina žáků nevyřeší, řešíme tedy postupně na tabuli.

6 Dodatek: Předchozí příklad je možné vyřešit i bez rovnice. Za minut, po které jede ája sám, ujede: s = vt = 24 km = 2 km. 60 Ve chvíli, kdy nežka nasedá na kolo, jsou od sebe sourozenci vzdálení 2 km = km a přibližují se k sobě rychlostí: v = v + v = km = 44 km. s Sourozenci se potkají za: t = = h = h (stejný výsledek, protože jde o dobu, v 44 4 po kterou jela na kole nežka). Shrnutí: Dráhu rovnoměrného pohybu spočteme podle vzorce s = vt. 6