7.. Sčítání ektorů Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Stdenti ětšino necítí potřeb postpoat při definici sčítání ektorů (obecně při zaádění jakékoli operace) tak striktně, jak yžadje matematika. Upozorňji je tedy na začátk hodiny, že se jim bde opatrnost matematiků zdát přehnaná, ale že tímto způsobem se matematice zkrátka pracje. Máme ž zaedeno množin ektorů, teď potřebjeme nějaké operace. (stejně jsme si prním ročníků zaedli množin racionálních čísel a pak si pro ni zadefinoali sčítání zlomků) Sčítání ektorů známe z fyziky, pomocí ronoběžník sil nebo skládáním ektorů za sebe Př. : Jso dány ektory = ( 3;) a = ( ;3 ). Zakresli oba ektory a rči graficky jejich sočet (ektor + ). Najdi ztah, který by možnil rčit jejich sočet početně pomocí sořadnic. y - G + x - Sořadnice ektor + : ( ;5 ) Zdá se, že platí: + = ( ; ) + ( ; ) = ( + ; + ) Oěříme ztah pro naše ektory: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) + = 3; + ;3 = 3 + ; + 3 = ;5 Pedagogická poznámka: Zápisy ( ; ) ( ; ) ( ; ) Troch exaktněji: + = + + požíám schálně. Snažím se tím posiloat nímání ektorů jako spořádaných dojic čísel., slabší stdenti mají tendenci obě složky separoat a nímat zlášť.
Sočet ektorů = B A a = C B je ektor + = C A. C + B A Tato definice ( podstatě skládání ektorů za sebe) platí ždy, neboť pro každý ektor můžeme zolit takoé místění, aby konečný bod ektor byl počátečním bodem ektor. Pro každé da ektory = ( ; ) a = ( ; ) platí + = ( ; ) + ( ; ) = ( + ; + ). Pro každé da ektory = ( ; ; 3 ) a = ( ; ; 3 ) + = ( ; ; ) + ( ; ; ) = ( + ; + ; + ) platí. 3 3 3 3 Př. : (BONUS) Dokaž pomocí sořadnic bodů předchozí trzení pro sořadnice sočt ektorů. Stačí pro jedn ze sořadnic: = B A = b a C B c b = = = + = C A = c a = c b + b a = + Jaké má sčítání ektorů lastnosti? je komtatiní pro každé da ektory, platí + = +. + + = + +. je asociatiní pro každé tři ektory,, platí ( ) ( ) Obojí je možné dokázat ze sořadnic i obrázkem. Sčítání ektorů je komtatiní Sčítání ektorů je asociatiní + + ++ +
Vektor rčený nloo orientoano úsečko se nazýá nloý ektor a označje se o. Jeli = B A, nazýá se ektor A B opačný ektor k ektor a označje se. Př. 3: Doplň následjící ěty: a) Pro každý ektor platí + o = + = b) Pro každý ektor platí ( ) a) Pro každý ektor platí + o = + = o b) Pro každý ektor platí ( ) Př. : Urči roině sořadnice ektorů: a) o b) (pokd platí = ( ; ) ) a) o = ( 0;0) b) = ( ; ) (pokd platí = ( ; ) Podobně prostor: o = 0;0;0 ) ( ) ( ; ; ) (pokd platí = ( ; ; ) = 3 ) 3 Stejně jako při sčítání čísel platí: + ( ) =. Př. 5: Jso dány ektory = ( ; ;3) a = ( 3; ;) ( ; ;3) ( 3; ; ) ( 3; [ ];3 ) ( ;0;5) ( ;;3 ) ( 3; ;) ( 3; [ ];3 ) ( ;;) ( 3; ; ) ( ; ;3) ( 3 [ ]; ; 3) ( ; ; ) + = + = + + + = = = = = = = Podle očekáání jso ektory a nazájem opačné.. Vypočti jejich sočet a rozdíly. Pedagogická poznámka: Pokd se stdenti snaží zkrátit zápis doporčji jim opět = 3; ; ; ;3 = ; ;. Odečítání jednotliých složek zládno ( ) ( ) ( ) snadno z paměti a bdo mít lepší přehled o tom, jak k sobě sořadnice patří. 3
Př. 6: Na obrázk jso nakresleny ektory a. Nakresli do obrázk ektor. - - Př. 7: Vyjádři pomocí ektorů a ektor. Výsledek zdůodni. Poronáním s předchozím obrázkem idíme, že platí =. Důody: ektory a toří ronoběžník sil s ýslednicí. ýraz = můžeme prait na = +. z obrázk je idět, že ektor má i ýznam změny ektor na ektor. Pedagogická poznámka: Někteří stdenti nakreslí ektor ihned způsobem požitým příkladě 7, pro ně nemá tento příklad alný ýznam. Je jich šak minimm. Předchozí da příklady poažji za žitečné. Stdenti se s nimi často setkáají, ale mnohdy jim nejso příliš jasné.
Př. 8: Je dán praidelný šestiúhelník ABCDEF. Označ = C A, = B D a = F B. Urči ektor + +. E F A D C B Z obrázk je zřejmé, že jiným možným místěním ektor je orientoaná úsečka FD + + = o Pedagogická poznámka: Nejětší problém dělá stdentům při řešení příklad spráné yznačení směr ektorů (kreslí šipky obráceně). Př. 9: Petákoá: strana 00/cičení 3 strana 0/cičení Shrntí: Sořadnice sočt ektorů získáme jako sočet sořadnic sčítaných ektorů. 5