1 Využití rezonance v silnoproudé elektrotechnice Ing. Ladislav Kopecký, 24.11.13 Tento článek předpokládá znalost teorie obvodů a základů vyšší matematiky, ale většině textu se dá porozumět i bez těchto znalostí. 1. Úvod Fyzikální jev rezonance je ve vědě a technice již dlouho dobře znám a podrobně prostudován. Technici se jí většinou vyhýbají, neboť jim způsobuje mnohdy nečekané problémy. V radiotechnice je potom základním principem, bez něhož bychom si nemohli naladit ani oblíbenou stanici na rádiu, o televizi, mobilech a dalších komunikačních zařízeních nemluvě. My se však na rezonanci podíváme z nového, pro mnohé nečekaného úhlu pohledu a budeme se snažit najít její uplatnění v netradičních oblastech, kde stejně jako v komunikační technice má rovněž obrovský potenciál. 2. Teorie rezonance V této práci se budeme zabývat výhradně elektrickou sériovou rezonancí. Sériový rezonanční obvod najdete na obr. 1. Obr. 1 V článku http://free-energy.xf.cz/teorie/free-energy.pdf byla provedena analýza tohoto obvodu a odvozen napěťový přenos v rezonanci Au(jω r ) = U2 / U1 = j (L/C) / R (1) Pokud zaměníme pozici cívky L1 a kondenzátoru C1 (obr. 2), můžeme analogicky sestavit rovnici pro obrazový Laplaceův přenos: Když Laplaceův operátor p nahradíme operátorem frekvenčního přenosu Au(p) = 1 / (p 2 LC + prc + 1) (2) p = jω (3) kde j je imaginární jednotka a ω je úhlový kmitočet, dostaneme vztah pro napěťový přenos jako funkci úhlového kmitočtu ω:
2 Au(jω) = 1 / ((1 - ω 2 LC) + jωrc) (4) Ve vztahu (4) máme ve jmenovateli komplexní číslo s reálnou a imaginární částí. Abychom se jej zbavili a mohli vztah převést na reálnou a imaginární část v čitateli, čitatele a jmenovatele zlomku vynásobíme komplexním číslem (1 - ω 2 LC) - jωrc a dostaneme: A když položíme Au(jω) = ((1 - ω 2 LC) - jωrc) / ((1 - ω 2 LC) 2 + (ωrc) 2 1 ω 2 LC =0 (5) a dosadíme za ω = 1 / (LC), získáme výsledný vztah pro napěťový přenos v rezonanci: Au(jω r ) = U2/U1 = -j (L/C)/R (6) Obr. 2 Porovnáme-li vztahy (1) a (6), zjistíme, že se liší pouze ve znaménku pře písmenem j. Co to znamená? Znamená to, že proti harmonickému napětí zdroje U1(t) = Usin(ωt) (7) je U2 zpožděno o úhel π/2 (90ᵒ), zatímco v předchozím případě napětí na cívce napětí zdroje o úhel π/2 (90ᵒ) předbíhá. Z toho dále plyne, že napětí na cívce a napětí na kondenzátoru jsou v protifázi (posunuty o úhel π, tj. 180 ) a mají stejně velkou amplitudu. Ze vztahu (5) odvodíme vzorec pro rezonanční kmitočet: což je známý Thompsonův vzorec. ω 2 = (2πf) 2 = 1 / LC f = 1 / (2π (LC)) (8) Ve výše zmíněném článku je také odvozen vztah pro impedanci v rezonanci. Zde provedeme odvození jednodušším způsobem. Obrazová impedance sériového rezonančního obvodu je Z(p) = R + pl + 1/pC Opět dosadíme za operátor p operátor frekvenčního přenosu jω: Z(jω) = R + jωl + 1/jωC
3 U posledního členu na pravé straně s j ve jmenovateli rozšíříme zlomek vynásobením čitatele a jmenovatele imaginární jednotkou -j a dostaneme: Když má impedance kapacitní charakter, když má impedance induktivní charakter a když Z(jω) = R + j(ωl 1/ωC) (9) ωl 1/ωC < 0, ωl 1/ωC > 0, je obvod v rezonanci a impedance má činný charakter a platí ωl 1/ωC = 0 (10) Z(jω r ) = R (11) Jinými slovy: když je kmitočet nižší než rezonanční, impadance má kapacitní charakter a když je kmitočet vyšší než rezonanční, má impedance Z induktivní charakter. Přemýšlivému čtenáři je již jasné, že rovnice (10) je jen jiný tvar rovnice (5). Na závěr teoretické části si pro ilustraci spočítáme jednoduchý příklad. Máme sériový rezonanční obvod podle obr. 2, kde R = 12Ω, L = 1mH a C = F. Obvod je připojen k ideálnímu zdroji harmonického napětí o amplitudě 12V. U zdroje lze plynule měnit frekvenci. Naším úkolem bude spočítat, při jakém kmitočtu bude obvod v rezonanci, jak velký bude při rezonančním kmitočtu protékat obvodem proud a jak velká bude amplituda napětí na výstupu. Řešení: Pro určení rezonančního kmitočtu použijeme vzorec (8): Perioda je f = 1 / (2π (LC)) = 1 / (2π (10-3.10-7 )) = 15915,5Hz T = 1/f = 62,832μs Amplitudu proudu vypočítáme jednoduše pomocí Ohmova zákona: I = U/R = 12V / 12Ω = 1A Amplitudu výstupního napětí U2 vypočítáme ze vztahu pro přenos (6) Au(jω r ) =/U1 = -j (L/C)/R U2 = U1. Au(jω r ) = U1. (L/C)/R (12) Au(jω r ) = (L/C)/R = (10-3.10 7 )/12 = 100/12 U2 = U1. Au(jω r ) = 100V
4 3. Simulace Nyní je čas teoretické závěry ověřit v praxi. Abychom se vyhnuli potřebě laboratorních přístrojů, elektronických součástek a dalšího vybavení, vystačíme si simulací. Na obr. 3 je schéma z obr. 2 překresleno pomocí simulačního programu LT Spice. R1 L1 V1 12 1m.tran 1m startup C1 SINE(0 12 15915.5) Obr. 3 Na obr. 3 se můžeme přesvědčit, že jako hodnoty součástek jsme použili výsledky z předchozího příkladu, včetně amplitudy a kmitočtu zdroje. Nyní se podíváme na výsledek simulace: 100V V(n003) V( n001) I ( L1) 1. 0A 80V 0. 8A 60V 0. 6A 40V 0. 4A V 0. 2A 0V 0. 0A - V - 0. 2A - 40V - 0. 4A - 60V - 0. 6A - 80V - 0. 8A - 100V - 1. 0A 0. 0ms 0. 1ms 0. 2ms 0. 3ms 0. 4ms 0. 5ms 0. 6ms 0. 7ms 0. 8ms 0. 9ms 1. 0ms Obr. 4
5 Na obr. 4 se můžeme přesvědčit, že amplituda proudu je skutečně 1A, amplituda napětí na výstupu je 100V, že průběh napětí na výstupu (modrá) je proti vstupu (červená) posunut o 90 stupňů a že proud (zelená) je s napětím zdroje ve fázi. Poslední poznatek svědčí o tom, že zátěž se ze zdroje jeví jako činná. To má pro naše další úvahy mimořádný význam. Zaprvé nám umožní automaticky naladit a udržovat rezonanci a také zkostruovat stroje s velmi zajímavými vlastnostmi. Pro realizaci zdroje sinusového napětí bychom potřebovali točivý generátor připojený na motor, u něhož bychom mohli plynule měnit otáčky. To by bylo velmi drahé a nepraktické, proto najdeme jiný, jednodušší způsob: rezonanční obvod budeme budit obdélníkovými impulzy. Nahradíme tedy zdroj na obr. 3 zdrojem obdélníkového průběhu. Abychom mohli snadno porovnávat, Bude mít tento zdroj stejnou amplitudu, tj. 12V, i kmitočet, a bude nabývat jak kladných, tak záporných hodnot napětí. Pro výsledek se podívejme dolů na obr. 5: 150V V( n003) V(n001) I ( L1) 1. 5A 1V 1. 2A 90V 0. 9A 60V 0. 6A 30V 0. 3A 0V 0. 0A - 30V - 0. 3A - 60V - 0. 6A - 90V - 0. 9A - 1V - 1. 2A - 150V - 1. 5A 0. 0ms 0. 1ms 0. 2ms 0. 3ms 0. 4ms 0. 5ms 0. 6ms 0. 7ms 0. 8ms 0. 9ms 1. 0ms Obr. 5 Vidíme, že amplitudy proudu i napětí vzrostly více než o čtvrtinu (cca o 27%). Je to způsobeno působením vyšších harmonických, které jsou v obdélníkovém průběhu obsaženy. Tento poznatek využijeme ke konstrukci oscilátoru, buzeného obdélníkovým průběhem. Jednu z možných variant najdete na obr. 6:
6 R1 L1.include LM2903.5_1 11 1m.tran 1m startup C1 R2 1 D1 1N5819 R3 U1 10k LM2903 V3 12 SW-Hi S1 SW-Lo S2.model SW-Hi SW(Ron=.1 Roff=10Meg Vt=5 Vh=-.4).model SW-Lo SW(Ron=10Meg Roff=.1 Vt=5 Vh=-.4) 12 V1 Obr. 6 Nyní si obvod na obr. 6 popíšeme. Vidíme, že v obvodu přibyl odpor R2, který je jedním koncem připojen na vstup komparátoru U1, a že k výstupu tohoto komparátoru je připojena dvojice spínačů S1, S2, jež nahrazuje střídavý zdroj napětí. Když si uvědomíme, jaké jsou průběhy napětí a proudů v rezonančním obvodu (obr. 5), funkce zařízení na obr. 6 je zcela zřejmá a není k tomu třeba cokoli vysvětlovat. Na obr. 7 se můžete podívat na výsledky simulace, které jsou téměř shodné s obr. 5: 150V V( n004) V(n001) I ( L1) 1. 5A 1V 1. 2A 90V 0. 9A 60V 0. 6A 30V 0. 3A 0V 0. 0A - 30V - 0. 3A - 60V - 0. 6A - 90V - 0. 9A - 1V - 1. 2A - 150V - 1. 5A 0. 0ms 0. 1ms 0. 2ms 0. 3ms 0. 4ms 0. 5ms 0. 6ms 0. 7ms 0. 8ms 0. 9ms 1. 0ms Obr. 7 V tomto případě však obě amplitudy vzrostly dokonce téměř o 29%. Je to způsobeno tím, že jsme se předtím při zadávání frekvence generátoru dopustili zaokrouhlovací chyby. Na závěr této části dokumentu uvedeme reálnější simulaci s modely skutečných součástek a kde je místo dvou zdrojů a půlmůstku použit zdroj jeden a úplný H-můstek se čtyřmi elektronickými spínači:
7 * IR2104 Behav ioral Model by analog@ieee.org.subckt IR2104 V cc In S D Com V B HO V S LO C1 Com In 10p Rpar=1e6 D2 Com In Dd D1 In V cc Dd A1 In Com 0 0 0 2 1 0 SCHMITT Vt=1.9 Vh=1 + Trise=1110n Tfall= Tripdt=50n A2 V B VS 0 0 0 0 3 0 SCHMITT Vt=8.9 Vh=.35 A3 3 1 0 6 7 5 4 0 AND Trise= Tripdt=n S1 HO VB 4 0 SH C2 HO VB 22p D3 HO VB Dd S2 HO VS 5 0 SL C3 HO VS 22p Rpar=100k D4 V S HO Dd D5 V S VB 25V D6 Com V B 625V C4 Com S D 10p Rpar=1e6 D8 Com S D Dd D7 S D Vcc Dd A4 S D Com 0 0 0 0 6 0 S CHMITT V t=1.9 V h=1 + Trise=1n Tripdt=25n A5 V cc Com 0 0 0 0 7 0 S CHMITT Vt=8.9 Vh=.35 A6 7 6 0 2 0 9 8 0 AND Trise= Tripdt=n S3 LO V cc 8 0 S H C5 LO V cc 22p D9 LO V cc Dd S4 LO Com 9 0 S L V 1 12 Rser=50m Half Bridge IR2104 Test Circuit Helmut Sennewald V1.0 modified for better conv ergence - analogspiceman.include ir2104.sub.tran 0 300m 1u 1u startup uic.include.spi.include LM2903.5_1 D2 1N5819 R6 U1 M1 C1 3k3 1 V CC VB 8 U2 R1 2 IN HO 7 3 S D VS 6 LM2903 R2 4 COM LO 5 M2 IR2104 Rser=10 L1 1 V4 100 Rser=50m K1 L2 L3.5 C2 R4.1 L2 10m L3 10m M3 M4 R3 R5 C3 D1 1N5819 U3 8 VB VCC 1 7 HO IN 2 6 VS S D 3 5 LO COM 4 IR2104 R8 10k U4 LM2903 R9 10k R10 10k C6 LO Com 22p Rpar=100k D10 Com LO Dd D11 Com Vcc 25V.model Dd D(Ron=.5 Vfwd=.5).model 25V D(Ron=.5 Vfwd=.5 Vrev =25.2 Roff=25e4).model 625V D(Ron=.5 Vfwd=.5 Vrev =625 Roff=12e6).model SH SW (Vt=.5 Vh=-.5 Ron=42 Ilimit=.21).model SL SW (Vt=.5 Vh=-.5 Ron= Ilimit=.36).ends IR2104 Obr. 8 30KV V( n014) V( n007) I (L1) 10A - 3KV - 1A - 36KV 282ms 284ms 286ms 288ms 290ms 292ms 294ms 296ms 298ms Obr. 9-12A 4. Využití rezonance v elektrotechnice Využití sériové rezonance v této oblasti vidím především u motorů na střídavý proud, které lze pomocí výše popsaného rezonančního oscilátoru napájet ze stejnosměrného zdroje. U jednofázových a dvoufázových indukčních motorů lze použít velmi jednoduchou elektroniku. U třífázových strojů je situace trochu komplikovanější, neboť vytvořit fázový posun 1 pro širší rozsah rezonančních kmitočtů není úplně jednoduché. Vytvořit fázový posun 90 pro dvoufázové rezonanční řízení je naproti tomu velmi snadné, jak si ukážeme dále. Rezonančně řídit trojfázový motor však lze snadno pomocí mikroprocesoru. Také jsem experimentoval s využitím fázového závěsu, ale proti mikroprocesorovému řízení je toto řešení komplikovanější a méně spolehlivé. Obecně platí, že pro konstrukci rezonančně řízeného motoru použijeme takové materiály a principy, které zachovají vysoký činitel jakosti rezonančního obvodu. To znamená, že například pro magnetický obvod použijeme materály, které mají nízké ztráty vířivými proudy. Dále použijeme jakostní konzátory s nízkým ESR (ekvivalentní sériový odpor). 4.1. Asynchronní motor Řídit rezonančně jednofázový a dvoufázový asynchronní motor je velmi snadné. Jedinou nevýhodou je jeho kotva nakrátko, která při mechanickém zatížení hřídele v důsledku zvětšeného skluzu snižuje činitel jakosti rezonančního obvodu. Takže tady nám příliš nepomůže, použijeme-li pro magnetický obvod speciální
materiál potlačující vířivé proudy. Na obr. 10 můžete vidět schéma zapojení elektroniky pro rezonanční řízení dvoufázového motoru: 8 * IR2104 Behav ioral Model by analog@ieee.org.subckt IR2104 V cc In S D Com V B HO V S LO C1 Com In 10p Rpar=1e6 D2 Com In Dd D1 In V cc Dd A1 In Com 0 0 0 2 1 0 S CHMITT Vt=1.9 V h=1 + Trise=1110n Tfall= Tripdt=50n A2 V B VS 0 0 0 0 3 0 SCHMITT Vt=8.9 Vh=.35 A3 3 1 0 6 7 5 4 0 AND Trise= Tripdt=n S1 HO VB 4 0 SH C2 HO VB 22p D3 HO VB Dd S2 HO VS 5 0 SL C3 HO VS 22p Rpar=100k D4 V S HO Dd D5 V S VB 25V D6 Com V B 625V C4 Com S D 10p Rpar=1e6 D8 Com S D Dd D7 S D Vcc Dd A4 S D Com 0 0 0 0 6 0 S CHMITT V t=1.9 V h=1 + Trise=1n Tripdt=25n A5 V cc Com 0 0 0 0 7 0 S CHMITT Vt=8.9 Vh=.35 A6 7 6 0 2 0 9 8 0 AND Trise= Tripdt=n S3 LO V cc 8 0 S H C5 LO V cc 22p D9 LO V cc Dd S4 LO Com 9 0 S L C6 LO Com 22p Rpar=100k Half Bridge IR2104 Test Circuit Helmut Sennewald V1.0 modified for better conv ergence - analogspiceman.include ir2104.sub.tran 0 300m 1u 1u startup uic.include.spi.include LM2903.5_1 D2 V1 1N5819 12 R6 U1 M1 Rser=50m C1 3k3 1 VCC VB 8 U2 R1 2 IN HO 7 Rser=10 L1 3 SD VS 6 LM2903 1 R2 4 COM LO 5 M2 IR2104 C2 4.7µ R9 8k V4 24 Rser=50m R4.1 M3 Rser=10 L2 1 C4 4.7µ M4 R3 R5 C3 D1 1N5819 U3 8 V B V CC 1 7 HO IN 2 6 V S SD 3 5 LO COM 4 IR2104 R8 10k LM2903 U4 R7 D3 4k7 BZX84C6V2L D10 Com LO Dd D11 Com Vcc 25V.model Dd D(Ron=.5 Vfwd=.5).model 25V D(Ron=.5 Vfwd=.5 Vrev =25.2 Roff=25e4).model 625V D(Ron=.5 Vfwd=.5 Vrev =625 Roff=12e6).model SH SW (Vt=.5 Vh=-.5 Ron=42 Ilimit=.21).model SL SW (Vt=.5 Vh=-.5 Ron= Ilimit=.36).ends IR2104 Obr. 10 Funkce zapojení na obr. 10 je velmi jednoduchá: fázového posunu o 90 je dozaženo tak, že druhý komparátor je řízen napětím na rezonančním kondenzátoru, které je proti proudu posunut právě o 90. Úroveň napětí pro komparátor je upravena pomocí odporového děliče. Dále je ke vstupu komparátoru připojena ochranná Zenerova dioda. Na dalším obrázku je zobrazen výstup simulace, kde jsou zobrazeny průběhy proudů obou rezonančních obvodů. Všimněte si, že fázový posun je cca 90 a amplituda proudu druhé cívky je o něco nižší. Je to způsobeno tím, že vlivem přechodového děje ještě nedošlo k ustálenému stavu. 600mA 500mA 400mA 300mA 0mA 100mA 0mA - 100mA - 0mA - 300mA - 400mA - 500mA I (L1) I (L2) - 600mA 0ms 10ms ms 30ms 40ms 50ms 60ms 70ms 80ms 90ms 4.2. Synchronní motor Obr. 11
9 Výše uvedenou nevýhodu odstraňuje synchronní motor, který v rotoru nemá kotvu nakrátko, ale permanentní magnety. Z principu by měl mít při použití vhodných materiálů vyšší účinnost. Jeho nevýhodou však je, že je nutné ho nějak roztočit na synchronní otáčky. 4.3. Stejnosměrný motor s elektronickou komutací Dále je možné rezonančně řídit stejnosměrný motor s elektronickou komutací, označovaný zkratkou EC (Electronic Commutation) nebo BLDC (BrushLess DC). Zde však z principu nelze LC oscilátor použít, protože elektronika řídí spínání proudu do jednotlivých vinutí v závislosti na poloze rotoru. Zde by rezonanční řízení probíhalo tak, že po dosažení rezonančních otáček by se do série s vinutím zařadil kondenzátor o vhodné kapacitě. Rezonance by se udržovala řízením otáček změnou zatížení motoru. Nejsnáze lze toto zařídit pomocí generátoru s řízenou zátěží. U EC motoru speciální konstrukce lze generátor zařadit přímo do motoru. Vhodnou konstrukcí EC motoru ve funkci motorgenerátoru je použití diskového rotoru s plochými permanentními magnety ve tvaru hranolu nebo válce. Lze použít například feritové nebo neodymové magnety. V prvním případě pro konstrrukci mag. obvodu použijeme ferit, v druhém případě mohou být cívky vzduchové nebo lze použít nějaký vhodný materiál se sycením kolem 1,5T. Takové materiály však bývají buď drahé (např. Metglass), nebo jsme nuceni improvizovat s nejistým výsledkem. 4.4. Výroba vysokého napětí Rezonančního LC oscilátoru lze také s úspěchem použít pro výrobu vysokého napětí pro nejrůznější účely. Zde se můžeme nechat inspirovat výzkumy Nikoly Tesly. Například Patrick Kelly popisuje na svém webu http://www.free-energy-info.co.uk/ zařízení (obr. 12), které údajně vynalezl právě Tesla. Není to však jisté, neboť si jej nikdy nedal patentovat. V podstatě se jedná o výrobu iontů pomocí vysokého napětí. Tyto ionty jsou potom vychylovány magnetickým polem a zachycovány dvojicí plochých elektrod. Vysokonapěťový ionizátor vzduchu lze nahradit zdrojem ionizujícího záření, jak ilustruje obrázek 13. Místo radia můžeme použít třeba thorium, o němž se uvažuje jako o náhradě za nebezpečný a snadno zneužitelný uran. Britské listy před dvěma lety psaly o potlačování vynálezu thoriové baterie zde: http://www.blisty.cz/art/59645.html. Domnívám se, že vynálezci, o nichž je v článku řeč, využili právě tohoto jednoduchého principu.
10 Obr. 12 Obr. 13
11