INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY
|
|
|
- Dušan Pešan
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Robert Mařík 2. října 2009
2 Obsah z = x 4 +y 4 4xy z = x 2 y 2 x 2 y z = y ln(x 2 +y)
3 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1]
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669884/images/page_3.jpg "z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min.")
4 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] Vypočteme H(S 3 ) = 12 4 parciální derivace. Při derivování 4 12 podle 122 x 16 považujeme > 0, lok. min. y zav konstantu bodě [ 1, 1] a naopak.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2.](/docs-images/47/21669884/images/page_4.jpg "H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min.")
5 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Hledáme stacionární body.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669884/images/page_5.jpg "z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min.")
6 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Toto je soustava, kterou řešíme.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669884/images/page_6.jpg "z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min.")
7 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Osamostatníme y z první rovnice.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669884/images/page_7.jpg "z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min.")
8 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Dosadíme za y do druhé rovnice.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669884/images/page_8.jpg "z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min.")
9 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Upravíme.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669884/images/page_9.jpg "z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min.")
10 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Rozložíme na součin.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669884/images/page_10.jpg "z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min.")
11 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] Buď H(S 2 ) = x = 4 0, nebo (x 8 1) = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] Druhý případ H(S 3 ) = 12 4 dává x 8 = 1 a x = ±1. Uvažujme 4 12tedy = tři 122 různé 16 případy > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1]
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2.](/docs-images/47/21669884/images/page_11.jpg "H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] Buď H(S 2 ) = x = 4 0, nebo (x 8 1) = 0. 4 12 16 > 0, lok. min.")
12 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 Najdeme odpovídající 4 12 y ke každému 16 > 0, lok. x (y min. = xv 3 bodě ). Dostáváme [ 1, 1] tři stacionární body.
![Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1].](/docs-images/47/21669884/images/page_12.jpg "z xx, z xy yy = 12y2. H(S 1 ) = 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 4 12 16 > 0, lok. min.")
13 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Funkce má tři stacionární body. Kvalitu těchto stacionárních bodů vyšetříme pomocí druhé derivace a Hessiánu.
![H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min.](/docs-images/47/21669884/images/page_13.jpg "v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Funkce má tři stacionární body.")
14 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Vypočteme Hessián ve stacionárním bodě S 1. Hessián je záporný a funkce v tomto bodě nemá lokální extrém.
![H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min.](/docs-images/47/21669884/images/page_14.jpg "v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min.")
15 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] V bodě S 2 je Hessián kladný a funkce zde má lokální extrém. Protože z xx = 16 > 0, funkce má v bodě S 2 lokální minimum.
![H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min.](/docs-images/47/21669884/images/page_15.jpg "v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min.")
16 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Hessián je kladný v bodě S 3 a funkce zde tedy má lokální extrém. Protože z xx = 16 > 0, má funkce v bodě S 3 lokální minimum.
![H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min.](/docs-images/47/21669884/images/page_16.jpg "v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min.")
17 Najděte lokální extrémy funkce z = x 4 +y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = = > 0, lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = = > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Hotovo!
![H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0, sedlo v bodě [0, 0] H(S 2 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0,](/docs-images/47/21669884/images/page_17.jpg "lok. min. v bodě [1, 1] H(S 3 ) = 12 4 4 12 = 122 16 > 0, lok. min. v bodě [ 1, 1] Hotovo!")
18 xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1]
19 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Budeme hledat parciální derivace. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
![1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3](/docs-images/47/21669884/images/page_19.jpg "= [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Budeme hledat parciální derivace.")
20 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Derivujeme nejprve podle x. Derivujeme podle pravidla pro derivaci součtu a konstantního násobku. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
![2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1]](/docs-images/47/21669884/images/page_20.jpg "Derivujeme nejprve podle x. Derivujeme podle pravidla pro derivaci součtu a konstantního násobku.")
21 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Vypočteme derivace. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
22 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Upravíme. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
23 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Podobně derivujeme podle y. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
24 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Vypočteme jednotlivé derivace. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
25 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Upravíme. z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1
26 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Máme první derivace, které použijeme pro hledání stacionárních bodů. H(S ) = = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
27 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Položíme H(S ) = 2 derivace 0 rovny nule. 0 4 = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
28 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy Řešíme soustavu z yy = 2(x2 nelineárních 1)(y) y = 2(x2 rovnic 1) 1 z xx = Začneme s první rovnicí. 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Tato rovnice je ve tvaru součin rovná se nule. H(S ) = = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
29 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy Jeden ze z yy součinitelů = na levé 2(x2 1)(y) y = straně první rovnice musí být nula. 2(x2 1) 1 z xx Budeme 2(y2 1); zpracovávat z xy odděleně z yy případy, = 2(x2 kdy 1) (y 2 1) = 0, t.j., y = ±1. x = 0 a H(S ) = 2 0 = 4 > 0 0 H(S ) = 4 = 16 < 0
30 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = Případ 1. 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Dosadíme x H(S ) = 2 0 = 0 do druhé rovnice. 0 4 = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
31 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Najdeme H(S ) = 2 y. Dostáváme 0 stacionární bod S = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
32 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = Podobně pro Případ 2(y2 1); z xy = 2. 4xy; z yy = 2(x2 1) Dosadíme y = 1 do druhé rovnice. H(S ) = = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
33 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = Vyřešíme vzhledem 2(y2 1); z xy = k x. 4xy; z yy = 2(x2 1) Dostáváme dvě řešení a tedy i dva stacionární body. H(S ) = = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
34 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = Podobně Případ 3. 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) Dosadíme y = 1 do druhé rovnice. H(S ) = = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
35 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ 1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ 2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ 3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = Řešíme kvadratickou 2(y2 1); z xy = rovnici 4xy; pro x. z yy = 2(x2 1) Máme dvě řešení a dva další stacionární body. H(S ) = = 4 > 0 H(S ) = = 16 < 0
36 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 Celkem má funkce H(S 2 ) = 0 4 pět stacionárních bodů. Nyní budeme 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 vyšetřovat tyto body pomocí druhé derivace = 16 < 0
37 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 Derivujeme z x podle x a upravíme. 4 0 = 16 < 0
38 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 Derivujeme z x podle y a upravíme. 4 0 = 16 < 0
39 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 xx = 2(y2 1); xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 Derivujeme z y podle y a upravíme. 4 0 = 16 < 0
40 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 Použijeme H(S 2 ) = 0druhé = derivace 16 < 0 pro testování H(S 5 ) = stacionárních = 16 bodů < na existenci a kvalitu lokáního extrému. Začneme bodem S 0 1 a vypočteme Hessián H(S 3 ) = 0 4 H(S 1 ) = 4 0 z = xx 16 xy z xy z yy < 0 = 2 0 [x,y]=[0,0] 0 2 = 4 > 0. V bodě S 1 má funkce lokální maximum.
41 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 4 2 ) = 0 = z xx 16 z xy < 0 = 0 4 [x,y]=[1,1] 4 0 = 16 < 0 xy z yy V bodě S 2 není lokální extrém.
42 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 4 3 ) = 0 z xx = 16 z xy < 0 = 0 4 [x,y]=[ 1,1] 4 0 = 16 < 0 xy z yy V bodě S 3 není lokální extrém.
43 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 4 4 ) = 0 z = xx 16 z xy < 0 = 0 4 [x,y]=[1, 1] 4 0 = 16 < 0 xy z yy V bodě S 4 není lokální extrém.
44 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 4 5 ) = 0 z xx = 16 z xy < 0 = 0 4 [x,y]=[ 1, 1] 4 0 = 16 < 0 xy z yy V bodě S 5 není lokální extrém.
45 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 Jediný lokální H(S 3 ) = 0 4 extrém je v bodě S 1 = [0, 0]. Jedná se o lokální maximum. 4 0 = 16 < 0 Ostatní stacionární body jsou sedlové body.
46 Najděte lokální extrémy funkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = = 4 > 0 H(S 2 ) = = 16 < 0 H(S 4 ) = = 16 < 0 H(S 5 ) = = 16 < 0 H(S 3 ) = = 16 < 0 Hotovo!
47 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0], c Robert Mařík, 2009 xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2
48 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Díky přitomnosti funkce ln( ) máme jistá omezení na definiční obor funkce. xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2, c Robert Mařík, 2009
49 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 lny + y y = 0, ln(x 2 ) = 0 Vypočteme parciální lny = 1, derivace. Při derivování podle x 2 = x e 0 použijeme = 1 vzorec pro derivaci konstantního x = ±1 y = e 1 násobku, protože v součinu y ln(x 2 +y) považujeme součinitel y za konstantu. Používáme vzorec pro derivaci složené funkce, S 2 protože = [1, 0] funkce a S 3 = ln(x [ 1, 2 +y) 0]. je složená S 1 = [0,e s 1 vnitřní ] složkou (x 2 +y). S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] (y ln(x 2 +y)) x = y(ln(x2 +y)) x = y 1 (2x + 0) x 2 +y z xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2, c Robert Mařík, 2009
50 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Při derivování podle y použijeme vzorec pro derivaci součinu, protože oba xx = 2y(x2 součinitele, +y) 2xy2x y i ln(x 2 +y) jsou funkce, z xx = 2y2 proměnné 2yx 2 y., c Robert Mařík, 2009
51 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Pro nalezení xx = 2y(x2 stacionárních +y) 2xy2x bodů položíme derivace, z xx = 2y2 2yx rovny 2 nule., c Robert Mařík, 2009
52 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e Začneme 1 ], řešit od S 2 první = [1, 0], rovnice (jesjednodušší). 3 = [ 1, 0] Zlomek je roven nule, pokud je jeho čitatel nulový. xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2, c Robert Mařík, 2009
53 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e Aby 1 byl ] součin roven nule, je nutné a stačí, aby byl nule roven S 1 = [0,e kterýkoliv 1 ], součinitel. S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Rozdělíme výpočet na dvě větve., c Robert Mařík, 2009 xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2
54 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Dosadíme xx = 2y(x2 x = 0+y) 2xy2x do druhé rovnice a upravíme., z xx = 2y2 2yx 2, c Robert Mařík, 2009
55 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Inverzní funkce k logaritmu je funkce exponenciální. Použijeme tuto inverzní funkci xx = 2y(x2 k+y) 2xy2x osamostatnění y., z xx = 2y2 2yx 2, c Robert Mařík, 2009
56 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Obdrželi jsme stacionární bod S 1 = [0,e 1 ]. Zkontrolujeme přitom, že S xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2 1 Dom(f )., c Robert Mařík, 2009
57 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e Nyní 1 se ], budemes 2 věnovat = [1, 0], Případu 2. S 3 = [ 1, 0] Dosadíme y = 0 do červené rovnice. xx = 2y(x2 +y) 2xy2x, z xx = 2y2 2yx 2, c Robert Mařík, 2009
58 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Osamostatníme xx = 2y(x2 +y) 2xy2x x 2 a vyřešíme vzhledem k x., z xx = 2y2 2yx 2, c Robert Mařík, 2009
59 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). Dom(f ) = {(x,y) R 2 : x 2 +y > 0} z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 2xy = 0 Případ 1: x = 0 Případ 2: y = 0 S 1 = [0,e 1 ] lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 2 = [1, 0] a S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Obdrželi jsme dva stacionární body. Nezapomeneme zkontrolovat, že skutečně xx = 2y(x2 leží+y) 2xy2x v definičním oboru funkce., z xx = 2y2 2yx 2, c Robert Mařík, 2009
60 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), H(S 1 ) = 2 Toto jsou naše dosavadní 2x 3 mezivýsledky. =, H(S 2 ) = xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) e > 0, = 4 < 0,
61 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), H(S 1 ) = e Použijeme druhé derivace ke zjištění, zda ve stacionárním > 0, 2x 3 =, H(S 2 ) = 0 2 bodě je lokální extrém. 2 2 = 4 < 0,
62 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), 2 Derivujeme z x podle 2x 3 x. =, xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) 2. H(S 1 ) = e > 0, H(S 2 ) = = 4 < 0,
63 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), 2 Derivujeme z x podle 2x 3 y. =, xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) 2. H(S 1 ) = e > 0, H(S 2 ) = = 4 < 0,
64 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), Derivujeme z 2 yy 2x 3 podle y. =, xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) 2. H(S 1 ) = e > 0, H(S 2 ) = = 4 < 0,
65 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y(x2 +y) 2xy2x (x 2 +y) 2, xy = 2x(x2 +y) 2xy (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x2 +y y (x 2 +y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y), 2 Upravíme. 2x 3 =, xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, yy = 1 x 2 +y + x 2 (x 2 +y) 2. H(S 1 ) = e > 0, H(S 2 ) = = 4 < 0,
66 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, H(S 1 ) = e > 0, z xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, H(S 2 ) = = 4 < 0, z yy = 1 x 2 +y + x 2 H(S 3 ) = (x 2 +y) = 4 < 0. Lokální minimum v bodě [0,e 1 ]. Žádný další lokální extrém. Vypočteme Hessián v každém ze stacionárních bodů.
67 Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x 2 +y). z x = 2xy x 2 +y = 0, z y = y ln(x2 +y)+ x 2 +y = 0 S 1 = [0,e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] xx = 2y2 2yx 2 (x 2 +y) 2, H(S 1 ) = e > 0, z xy = 2x 3 (x 2 +y) 2, H(S 2 ) = = 4 < 0, z yy = 1 x 2 +y + x 2 H(S 3 ) = (x 2 +y) = 4 < 0. Lokální minimum v bodě [0,e 1 ]. Žádný další lokální extrém. Podle hodnoty Hessiánu a podle čísel v hlavní diagonále Hessovy matice učiníme příslušný závěr.
68 Konec
Inženýrská matematika Lokální extrémy funkcí dvou proměnných
Inženýrská matematika Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Robert Mařík 12. září 2006 Obsah z = x 4 + y 4 4xy + 30... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2... 18 z = yln(x 2 + y)..... 47 Najdětelokálníextrémyfunkce
(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n
Obsah. x y = 1 + x 2... 3 y = 3x + 1... 49. y = 2(x2 x + 1) (x 1) 2 101. x 3. y = x2 + 1 x 2 1... 191. y =... 149
Průběh funkce Robert Mařík 26. září 28 Obsah y = 1 2............................. y = 1............................. 49 y = 2(2 1).......................... ( 1) 2 11 y =............................. 149
Definice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.
Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v
Kvadratické rovnice pro učební obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
Učební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.
Učební dokument FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ.roč. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Vyš etř ová ní přů be hů fůnkce á šeštřojení její ho gřáfů Určování
Matematická analýza III.
4. Extrémy funkcí více proměnných Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Tato kapitola nás seznámí s metodami určování lokálních extrémů funkcí více proměnných a ukáže využití těchto metod v praxi.
= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83
Sbírka úloh z matematik 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 8 7 Definiční oblasti 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Parciální derivace 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Tečná rovina a normála 8
( ) 2.5.7 Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady: 020501
..7 Neúplné kvadratické rovnice Předpoklady: Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vzácné výjimky, kdy naprostá většina studentů skončí více než pět minut před zvoněním. Nechávám je dělat něco jiného
Funkce více proměnných
Funkce více proměnných Funkce více proměnných Euklidův prostor Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu
Kvadratické rovnice pro studijní obory
Variace 1 Kvadratické rovnice pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické
1 Průběh funkce. Pomůcka pro cvičení: 1. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet
Pomůcka pro cvičení:. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet Průběh funkce balíček: plots Při vyšetřování průběhu funkce využijte dosavadních příkazů z Maple, které znáte. Nové příkazy budou postupně
ax + b = 0, kde a, b R, přímky y = ax + b s osou x (jeden, nekonečně mnoho, žádný viz obr. 1.1 a, b, c). Obr. 1.1 a Obr. 1.1 b Obr. 1.
1 Rovnice, nerovnice a soustavy 11 Lineární rovnice Rovnice f(x) = g(x) o jedné neznámé x R, kde f, g jsou reálné funkce, se nazývá lineární rovnice, jestliže ekvivalentními úpravami dostaneme tvar ax
2.4.11 Nerovnice s absolutní hodnotou
.. Nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 06, 09, 0 Pedagogická poznámka: Hlavním záměrem hodiny je, aby si studenti uvědomili, že se neučí nic nového. Pouze používají věci, které dávno znají, na
2.8.10 Rovnice s neznámou pod odmocninou a parametrem
.8.10 Rovnie s neznámou pod odmoninou a parametrem Předpoklady: 806, 808 Budeme postupovat stejně jako v předhozíh hodináh. Nejdříve si zopakujeme obený postup při řešení rovni s neznámou pod odmoninou
Rozklad na parciální zlomky
Rozklad na parciální zlomky Lenka Přibylová 23. června 2009 Obsah + 3 2.... 3 + 2 2 + 4 2.... 13 + 2 + 1 ( 1)( 2.... 24 + 2) + 3 2 + 2 + 3 2 + 2 = + 3 ( 1)( + 2) = A 1 + B + 2 + 3 = A( + 2) + B( 1) = 1
M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Spojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
x y +30x, 12x+30 18y 18y 18x+54
MA Řešené příklady 3 c phabala 00 MA: Řešené příklady Funkce více proměnných: Extrémy.Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y)=x 3 +9xy +5x +7y..Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y,z)=x
Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )
![Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )](/thumbs/39/20455694.jpg "Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )")
. Vyjádřete koeficienty vektoru (, 8, 9) vzhledem k následující bázi vektorového prostoru V : (,, 5), (,, ), (5,, ). [,, ].. Určete všechny hodnoty parametru u, pro které vektor a patří do vektorového
EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÉ
JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT11 1. Je dána funkce f(x,y,z) x 2 + y + 2z 2. Potom pro funkční hodnoty f(1,0,0), f(0,-1,0) a
Lokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné
Lokální etrémy Globální etrémy Použití Lokální a globální etrémy funkcí jedné reálné proměnné Nezbytnou teorii naleznete Breviáři vyšší matematiky (odstavec 1.). Postup při hledání lokálních etrémů: Lokální
2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 0,, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli jednotlivé kroky postupu při řešení rovnic (nerovnic)
M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková
VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7
1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
Matematika 1 pro PEF PaE
Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2
Lineární rovnice o jedné neznámé O rovnicích obecně Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( ) 8 ; 6 ; a podobně. ; Na rozdíl od rovností obsahuje rovnice kromě čísel
= musíme dát pozor na: jmenovatel 2a, zda je a = 0 výraz pod odmocninou, zda je > 0, < 0, = 0 (pak je jediný kořen)
.8.7 Kvadratické rovnice s parametrem Předpoklady: 507, 803 Pedagogická poznámka: Na první pohled asi každého zarazí, že takřka celá hodina je psána jako příklady a studenti by ji měli vypracovat samostatně.
Dopravní úloha. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 9 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Distribuční úlohy Budeme se zabývat 2 typy distribučních úloh dopravní úloha přiřazovací problém Dopravní úloha V dopravním problému se v typickém případě
Zvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
derivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x
11+12 přednáška Některé aplikace derivací 1Věta o aproximaci unkce Nechť je libovolná unkce,která má v nějakém okolí bodu x derivace až do řádu n včetně Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého
Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y.
VII. Transformace náhodné veličiny. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Ex(; ) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ).
KIV/ZI Základy informatiky. MS Excel maticové funkce a souhrny
KIV/ZI Základy informatiky MS Excel maticové funkce a souhrny cvičící: Michal Nykl zimní semestr 2012 MS Excel matice (úvod) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)
VI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
10.1.13 Asymptoty grafu funkce
.. Asmptot grafu funkce Předpoklad:, Asmptot grafu už známe kreslili jsme si je jako přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asmptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hperbol
2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem
.7. Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem Předpoklady: 70 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem: znamená? 3 y = = = = 3 y y y 3 = ; = ; = ;.... Co to Pedagogická poznámka: Nechávám studenty,
MONOTÓNNOST FUNKCE. Nechť je funkce f spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace f ( x)
11.+12. přednáška S výjimkou velmi jednoduchých unkcí (lineární, parabolické) potřebujeme k vytvoření názorné představy o unkci a k načrtnutí jejího grau znát další inormace o unkci (intervaly monotónnosti,
Dualita v úlohách LP Ekonomická interpretace duální úlohy. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 6 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Uvažujme obecnou úlohu lineárního programování, tj. úlohu nalezení takového řešení vlastních omezujících podmínek a 11 x 1 + a 1 x +... + a 1n x n = b 1 a
Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola
![Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola](/thumbs/39/19231280.jpg "Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola")
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n
http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY
Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny
4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}
![4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}](/thumbs/41/22269260.jpg "4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}")
1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis:
M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou
Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.: x + 5 = 7x - M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou Písmeno zapsané v rovnici nazýváme
5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Derivace a průběh funkce.
Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme
( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2.7.16 Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715
.7.6 Rovnice s neznámou pod odmocninou II Předpoklady: 75 Př. : Vyřeš rovnici y + + y = 4 y + + y = 4 / ( y + + y ) = ( 4) y + + 4 y + y + 4 y = 6 5y + 4 y + y = 8 5y + 4 y + y = 8 - v tomto stavu nemůžeme
INTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL,
INTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL, URČITÝ INTEGRÁL Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve
Funkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
10. Polynomy a racionálně lomenné funkce
10 Polynomy a racionálně lomenné funkce A Polynomy Definice 101 Reálný polynom stupně n (neboli mnohočlen) je funkce tvaru p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0, kde a 1,, a n R, a n 0, která každému komplexnímu
Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady
Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady Příklad: Základem pro analýzu je časová řada živě narozených mezi lety 1970 a 2005. Prvním úkolem je vybrat vhodnou trendovou funkci pro vystižení
1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I
.. Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I Předpoklady: základní početní operace Rovnicí se nazývá vztah rovnosti mezi dvěma výrazy obsahujícími jednu nebo více neznámých. V této kapitole se budeme
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
( ) 2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208
.. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla
6 Extrémy funkcí dvou proměnných
Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....
Kapitola 7: Integrál. 1/14
Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Globální extrémy (na kompaktní množině)
Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě
Funkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.
Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.
Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například
UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo
STEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113
STEREOMETRIE Vzdálenost bodu od přímky Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0113 VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY V PROSTORU Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu
Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0
Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici
Euklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(8) Funkce více proměnných Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 1 / 19 Parciální derivace Definice Derivaci funkce f : R R v bodě a definujeme jako limitu f f (a +
MATEMATIKA 1. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova:
4 Algebraické rovnice a nerovnice
Algebraické rovnice a nerovnice Matematika je stenografie abstraktního myšlení. Je-li používána správně, nenechává prostor žádné neurčitosti ani nepřesné interpretaci. (Louis de Broglie). Základní pojmy
2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic
.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Číslo a
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Funkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Matematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální
65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B 1. Nejprve zjistíme, jak lze zapsat číslo 14 jako součet čtyř z daných čísel. Protože 4 + 3 3 < 14 < 4 4, musí takový
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
1 Funkce více proměnných
1 Funkce více proměnných Je-li n + 1 proměnných veličin obsaženo v nějaké rovnici, můžeme kteroukoliv z nich pokládat za funkci ostatních n nezávisle proměnných. Takové funkce mají podobné vlastnosti jako
diferenciální rovnice verze 1.1
Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování
MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 8 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 01 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE
Nové formy výuky s podporou ICT ve školách Libereckého kraje IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE Podrobný návod Autor: Mgr. Michal Stehlík IMPORT A EXPORT MODULŮ V PROSTŘEDÍ MOODLE 1 Úvodem Tento
Kirchhoffovy zákony. Kirchhoffovy zákony
Kirchhoffovy zákony 1. Kirchhoffův zákon zákon o zachování elektrických nábojů uzel, větev obvodu... Algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule Kirchhoffovy zákony 2. Kirchhoffův zákon zákon
Obsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:
IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné
Matematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
ú ň ň ů ý ů ů ů ň Í ů ý ů ý ý ý ň ú ý ů ú ň ý ú ý ů ú ů ý ý ů ď ď ň ú ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ý ý ó ť ý ů ý ů ý ý ý ý ý ď ý ý ý ý ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ů Í ů ď ý ý ů Ť ý ý ý ý ý ý ý ú ý ů ú ú Í Ť ú ú
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1
Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen
Doba rozběhu asynchronního motoru.
1 Doba rozběhu asychroího motoru. 1. Doba rozběhu. Pro prví orietaci ke staoveí doby rozběhu asychroího motoru stačí provést přibližý výpočet ze středího urychlovacího mometu a a daých setrvačých hmot
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1