Evropský polytechnický institut, s.r.o. 1. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY prof. Ing. Petr Dostál, CSc. Mgr. Věra Matuštíková Mgr. Iva Jevčaková 2011
Název: Ekonomicko-matematické metody 2. aktualizované vydání Autoři: prof. Ing. Petr Dostál, CSc. Mgr. Věra Matuštíková Mgr. Iva Jevčaková Recenzenti: Prof. Ing. Karel Rais, CSc., MBA, dr.h.c. H. Prof. Ing. Oldřich Kratochvíl, Ph.D., MBA, dr.h.c. Prof. Ing. Pavel Ošmera, CSc. Vydavatel: Evropský polytechnický institut, s.r.o. Kunovice, 2011 Neprošlo jazykovou úpravou ISBN: 978-80-7314-242-1
Obsah ÚVOD... 7 1 ÚVOD DO LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ... 9 1.1 Cílové znalosti a dovednosti... 9 1.2 Klíčová slova... 9 1.3 Operační analýza... 10 1.4 Základní pojmy teorie systémů... 11 1.5 Ekonomický systém a jeho zobrazení matematickým modelem... 12 1.6 Základní pojmy lineárního programování... 13 1.7 Kontrolní otázky... 17 1.8 Shrnutí... 17 2 ŘEŠENÍ ÚLOH LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ... 19 2.1 Cílové znalosti a dovednosti... 20 2.2 Klíčová slova... 20 2.3 Typické úlohy lineárního programování... 20 2.3.1 Úlohy výrobního plánování... 20 2.3.2 Úlohy směšovací... 26 2.3.3 Úlohy o minimalizaci odpadu při řezání... 28 2.3.4 Distribuční úlohy... 29 2.4 Cvičení... 31 2.5 Grafické řešení úloh lineárního programování... 34 2.5.1 Grafické vyjádření přímky a poloroviny... 35 2.5.2 Vyjádření omezení plynoucí z úlohy v grafu... 37 2.5.3 Popis přípustných řešení a grafické vyjádření účelové funkce... 39 2.5.4 Shrnutí... 41 2.5.5 Kontrolní otázky... 43 2.5.6 Cvičení... 43 2.6 Simplexová metoda...44 2.6.1 Matematické základy... 44 2.6.2 Kontrolní otázky... 48 2.6.3 Shrnutí... 49 2.6.4 Jednofázová simplexová metoda... 49 2.6.5 Dvoufázová metoda... 58 2.6.6 Shrnutí... 61 2.6.7 Kontrolní otázky... 61 2.6.8 Cvičení... 62 2.7 Řešení úloh lineárního programování pomocí Řešitele... 63 2.7.1 Cílové vlastnosti a dovednosti... 63 2.7.2 Klíčová slova... 63 2.7.3 Práce s příkazem Řešitel... 63 2.7.4 Kontrolní otázky... 67 2.7.5 Shrnutí... 67 2.7.6 Cvičení... 67 2.8 Dopravní úlohy... 68 2.8.1 Cílové vlastnosti a dovednosti... 68 2.8.2 Klíčová slova... 68 2.8.3 Formulace úlohy... 68 2.8.4 Nalezení výchozího řešení... 70 2.8.5 Výpočet optimálního řešení... 72 2.8.6 Nevyrovnaná dopravní úloha... 74 2.8.7 Kontrolní otázky... 84 2.8.8 Shrnutí... 84
2.8.9 Cvičení... 85 3 METODY SÍŤOVÉ ANALÝZY... 87 3.1 Cílové znalosti a dovednosti... 87 3.2 Klíčová slova... 87 3.3 Základní pojmy z oblasti síťové analýzy... 88 3.3.1 Ohodnocení síťového grafu... 89 3.3.2 Třídění síťových grafů... 89 3.3.3 Znázornění síťových grafů... 90 3.4 Časová analýza hranově definovaného SG metodou kritické cesty (CPM)... 92 3.4.1 Základní principy metody CPM... 92 3.4.2 Vlastní časová analýza hranově definovaného SG metodou CPM... 95 3.4.3 Časová analýza hranově definovaného SG typu CPM v tabulce... 101 3.5 Základní principy metody PERT... 105 3.6 Časová analýza uzlově definovaného síťového grafu... 107 3.7 Kontrolní otázky:... 109 3.8 Shrnutí... 110 3.8.1 Cvičení... 110 4 ZÁKLADY FINANČNÍ MATEMATIKY... 113 4.1 Cílové znalosti a dovednosti... 113 4.2 Klíčová slova... 113 4.3 Jednoduché úročení a diskontování... 114 4.3.1 Základní pojmy... 114 4.3.2 Základní rovnice pro jednoduché úročení... 116 4.3.3 Diskontování... 118 4.4 Cvičení... 120 4.5 Složené úročení... 121 4.5.1 Základní rovnice složeného úročení... 121 4.5.2 Současná a budoucí hodnota při složeném úročení... 122 4.5.3 Výpočet doby splatnosti... 122 4.5.4 Výpočet úrokové sazby... 122 4.5.5 Výpočet úroku... 123 4.5.6 Kombinace složeného a jednoduchého úročení... 123 4.5.7 Nominální úroková míra... 124 4.5.8 Efektivní úroková míra... 124 4.5.9 Reálná úroková míra... 125 4.5.10 Úroková intenzita a spojité úročení... 125 4.6 Cvičení... 126 4.7 Spoření... 126 4.7.1 Spoření předlhůtní krátkodobé... 127 4.7.2 Spoření polhůtní krátkodobé... 128 4.7.3 Dlouhodobé spoření... 130 4.7.4 Cvičení... 132 4.8 Důchody... 133 4.9 Cvičení... 141 4.10 Umořování dluhu... 142 4.11 Cvičení... 145 4.12 Kontrolní otázky... 145 4.13 Shrnutí... 146 ZÁVĚR... 147 LITERATURA... 149
Úvod Studijní text ekonomicko-matematické metody je určen studentům soukromé vysoké školy EPI, s.r.o. jako podklad pro studium. Studenti poznají základní druhy problémů při řízení hospodářství, naučí se převádět ekonomické úlohy na matematický model. Na praktických příkladech si ověří způsob sestavení matematického modelu a jeho řešení. Těchto poznatků mohou studenti využít při vypracování bakalářské práce a po svém absolvování na svém pracovišti. Pro studenty kombinované formy studia může být studijní text pomocníkem v běžných rozhodovacích situacích. Studenti kombinované formy studia mohou informace z tohoto textu průběžně aplikovat ve své práci u svého zaměstnavatele. Studijní text je rozdělen do 4 kapitol. V první kapitole se čtenář seznámí s pojmem operační analýza. S ohledem na ekonomické úlohy je veškerá problematika věnována lineárnímu programování. Seznámí se s postupem získávání základních informací ekonomických úloh, jejich třídění, nalezení vztahů mezi jednotlivými činiteli a základními pojmy lineárního programování. V druhé kapitole se čtenář seznámí s typickými úlohami lineárního programování na praktických příkladech, u nichž je sestaven matematický model. Na tuto část navazuje cvičení soubor zadání ekonomických úloh, které budou studenti řešit postupně, jak se budou seznamovat s jednotlivými metodami řešení. Na tuto část navazují způsoby řešení, jednak grafické řešení nejjednodušších ekonomických úloh, na to navazuje obecné řešení úloh simplexovou metodou jednofázovou a dvoufázovou. Pomocí programu Řešitel si ověří způsob řešení úloh na počítači. Na závěr se čtenář seznámí s řešením dopravních úloh tabulkovou formou. Třetí kapitola je věnována metodám síťové analýzy. Pomocí síťových grafů metodou CPM a PERT se seznámí s postupem rozhodování při plánování řešení určitého problému a to grafem i tabulkovou metodou. Úkolem bude zjistit tzv. kritickou cestu a u jednotlivých činností možnost rezervy. Čtvrtá kapitola je věnována základům finanční matematiky. Čtenář se seznámí nejdříve se základními pojmy, kterých využije v celé kapitole. Postupně se seznámí s praktickými příklady jednoduchého úročení, diskontem a pomocí odvozených vzorců bude řešit konkrétní úlohy. V další části pochopí princip složeného úročení a jeho využití v praxi. V teoretické části spoření, důchody a umořování dluhu poznají princip pravidelného spoření nebo pravidelného vyplácení určité smluvené částky. Umořovací plán podá informaci o výši splaceného dluhu. U všech kapitol jsou odvozeny jednotlivé vzorce, které se používají při řešení praktických příkladů. Vzorové příklady jsou vypočítány a na závěr jsou uvedeny příklady na procvičení. Pro ověření teoretických znalostí jsou za každou kapitolou kontrolní otázky. Studijní text je součástí ucelené technologie (teorie, cvičení, studijní texty, podpůrné materiály studenta, praxe, řešení bakalářské práce), cílem této technologie je u studenta vybudovat následující znalosti, dovednosti a kompetence: - 7 -
Znalosti: Pojem programování, lineární programování, vstupní a výstupní veličiny, omezující podmínky, účelová funkce, transformační proces, matematické vyjádření ekonomického problému, metody řešení, grafické řešení úloh, simplexová metoda, tabulková metoda, řešení dopravních úloh, síťová analýza, rozdělení úkolu na jednotlivé činnosti, vzájemné navazování činností při sestavení síťového grafu určitého projektu, grafický postup při hledání kritické cesty metodou CPM, tabulková forma určování kritické cesty, určení kritické cesty metodou PERT, základní pojmy finanční matematiky, jednoduché úročení, diskont, druhy úrokových mír, standardy, složené úročení, kombinované úročení, spojité úročení, spoření krátkodobé, dlouhodobé a kombinované, stavební spoření, důchod bezprostřední, odložený, věčný, umořování dluhu stejnými anuitami, stejným úmorem, umořovací plán. Cílové kompetence: Řídit procesy rozhodování řešením úloh lineárního programování. Vést malý tým při řešení hospodářských situací v podniku. Vypracovat projekt na řešení výrobních a provozních situací. Zdůvodnit postup realizace na základě sestaveného a vypočteného matematického modelu. Navrhnout a zdůvodnit nový způsob řešení. Zvolit nejvhodnější způsob zhodnocení finančního kapitálu. Efektivně a účinně komunikovat se svým týmem, na základě matematických výpočtů obhajovat své názory, projekty a výsledky práce týmu. Získávat sekundární informace, třídit je a využívat v rozhodovacích procesech. Dovednosti: Studiem získá znalost správné formulace ekonomických úloh na základě získaných vytříděných informací. Dovede určit vzájemné vztahy mezi jednotlivými veličinami a převést tento problém na matematický model. Pochopí význam jednotlivých proměnných v matematickém modelu. Dovede zvolit správnou metodu řešení daného matematického modelu, provést interpretaci výsledků a navržení nového způsobu řešení. Před realizací určitého projektu bude umět celý projekt rozdělit na jednotlivé činnosti, nalezne vztahy mezi těmito činnostmi, určí kritickou cestu a časové rezervy mezi návazností na jednotlivé činnosti. Na základě získaných znalostí z finanční matematiky bude umět rozhodnout o nejlepším způsobu zhodnocení svěřeného kapitálu, porovnat výhodnost nabízených finančních služeb. Za dodržení cílových znalostí, dovedností a kompetencí odpovídá student, za kontrolu odpovídá vysoká škola. Součástí technologie jsou také cvičení, která budou navazovat na probíranou látku procvičováním na praktických příkladech. - 8 -
1 Úvod do lineárního programování Obsah kapitoly 1.1. Cílové znalosti a dovednosti 1.2. Klíčová slova 1.3. Operační analýza 1.4. Základní pojmy teorie systémů 1.5. Ekonomický systém a jeho zobrazení matematickým modelem 1.6. Základní pojmy lineárního programování 1.7. Kontrolní otázky 1.8. Shrnutí 1.1 Cílové znalosti a dovednosti Cílové znalosti: Cílem kapitoly je seznámení se s nutností účinného řízení hospodářství. S rozvojem výrobních sil a rozmachem hospodářské činnosti je nutné tyto situace řešit nejen jako ojedinělý případ, ale vytvořit tzv. systémový přístup, který se chápe komplexně. S ohledem na různost ekonomické problematiky vznikají jednotlivé systémové disciplíny, s jejichž nejdůležitějšími druhy se seznámíte. Důležitou částí bude používání základních pojmů ekonomických systémů a uvědomování si celého transformačního procesu. V další části se seznámíte s pojmem matematický model a jeho druhy s ohledem na typické ekonomické úlohy. Ve třetí kapitole poznáte postup při užití úloh lineárního programování a obecný matematický model lineárního programování s předvedením na praktickém příkladu sestavením matematického modelu. Cílové dovednosti: 1. Pochopit nutnost rozhodování při řízení hospodářské činnosti. 2. Rozlišit různé druhy rozhodování. 3. Definovat pojem lineární programování. 4. Znát matematický model úloh lineárního programování. 1.2 Klíčová slova Hospodářské rozhodování, systémový přístup, systémové disciplíny, operační výzkum, ekonomický systém, vstupy, výstupy, uzavřený systém, otevřený systém, matematický model, metody ekonomického rozhodování, obecná úloha, lineární programování, omezující podmínky, účelová funkce. - 9 -
Hospodářské rozhodnutí 1.3 Operační analýza Při řízení hospodářství je nutné, aby se hospodářství vyvíjelo určitým směrem, účinně řídit hospodářství předpokládá řadu náročných činností. Jednou z nejdůležitějších činností je rozhodování, kterým rozumíme výběr takového možného řešení určité situace, která bude z určitého hlediska nejvýhodnější. Úspěšné a účinné řízení hospodářství na všech stupních je spojeno s volbou takových možných řešení, která nejlépe odpovídají všem okolnostem podmiňující řešení a také cílům. Výběru těchto nejvýhodnějších řešení rozhodovacích situací říkáme hospodářské rozhodování. Složitost a náročnost hospodářského rozhodování je výrazně ovlivněna stupněm rozvoje společnosti. S rozvojem výrobních sil a růstem rozsahu hospodářské činnosti se hospodářské rozhodování stává stále složitější a odpovědnější: 1. S vývojem výrobních sil roste počet možností jak danou situaci řešit. Rozvoj výrobních sil přináší mnohem větší rozmanitost do technologie výroby. 2. S rozvojem výrobních sil se rozvíjí dělba práce na výrobě složitějších zařízení se často podílí více podniků je třeba koordinovat jejich činnost tak, aby díly docházely ve správném časovém sledu a potřebném množství. 3. Dochází k prohlubování dělby práce v řídících funkcích. Z toho plyne, že každý vedoucí pracovník svého úseku má své stanovisko a ta se musí na základě všech potřebných informací sjednotit. 4. Čím je větší rozsah výroby a širší dělba práce, tím jsou důsledky chybného rozhodování citelnější. Na základě těchto úvah vidíme, že se setkáváme s různými typy rozhodovacích situací: a) Nalezení nejvhodnějšího způsobu jak splnit určitý úkol b) Najít nejvhodnější způsob jak využít svěřené prostředky. Uvedené požadavky může plnit jen exaktní, formalizovaný komplexní přístup ke zkoumání věcí a jevů tzn. systémový přístup, který jevy chápe komplexně v jejich vnitřních i vnějších souvislostech. Při pronikání systémového přístupu do nejrůznějších oborů, vzniká potřeba uplatnění tohoto přístupu. Vznikají postupně tzv. systémové disciplíny, které umožňují podle předem zadaných hledisek analyzovat a následně syntetizovat definované objekty. Analýza předpokládá rozčlenění objektu na jednotlivé části, zkoumání jejich vlastností a vzájemných vazeb. Syntéza získaných poznatků pak umožňuje vytvoření představy o vlastnostech celku. Systémové disciplíny, které souhrnně nazýváme systémová věda, rozdělujeme na disciplíny tvořící teoretický základ a na disciplíny aplikační, které vycházejí z tohoto teoretického základu. Mezi disciplíny systémové aplikace řadíme operační výzkum, systémovou analýzu a systémové inženýrství. Ekvivalentními názvy pro operační výzkum jsou: operační analýza a ekonomicko-matematické metody. Disciplíny systémové aplikace předpokládají systémový přístup, vyžadují týmovou - 10 -
spolupráci odborníků různého zaměření a aplikačně zasahují do nejrůznějších oblastí praxe. Neustále se vyvíjejí, což je příčinou různého stupně jejich teoretické a aplikační rozpracovanosti. Nelze je považovat za samostatné vědní obory. Používají sice vlastní metody zkoumání, ale nemají vlastní předmět zkoumání. Ten přebírají z ekonomických, společenských, technických i přírodních věd. Operační výzkum lze chápat jako soubor přístupů a metod, které slouží k řešení složitých, zejména rozhodovacích problémů. Operační výzkum spolu s využitím výpočetní techniky patří mezi metodologické základy managementu, marketingu, logistiky apod. Podnětem pro rozvoj operačního výzkumu se stala potřeba činit rozhodnutí při omezených zdrojích za druhé světové války. Název operační výzkum je odvozen právě od této oblasti použití. Pro vyhledávání vhodných řešení byly použity metody založené na přesném mechanismu logiky matematických postupů, na vzniku a rozvoji moderní výpočetní techniky. Ukázalo se, že tyto metody jsou schopné přispět především ke zlepšení řízení výroby. Bouřlivý rozvoj metod operačního výzkumu a jejich aplikací nastal především v ekonomické oblasti. Proto se vžil i název ekonomicko-matematické metody, který vystihuje právě tuto oblast aplikace a použité prostředky. 1.4 Základní pojmy teorie systémů Systém je účelově definovaná množina prvků a množina vazeb mezi nimi, které společně určují vlastnosti celku. Ekonomický systém je takový systém, jehož vazby obsahují ekonomické informace. Popis ekonomického systému Vazba systému je spojení mezi prvky systému nebo jejich množinami. Může být hmotná, nehmotná nebo informační. Zpětná vazba je vazba mezi výstupem a vstupem téhož prvku nebo systému, která způsobuje, že je vstup závislý na výstupu. Struktura systému je množina prvků a vazeb daného systému. Systém, jehož strukturu neznáme nebo jej z určitého hlediska zanedbáváme, nazýváme černou schránkou. Okolí systému je účelově definovaná množina prvků, které nejsou prvky daného systému, avšak vykazují k němu vazby, které jsou pro daný účel významné. Z hlediska vztahu systému k jeho okolí jsou významné pojmy: a) vstup množina vazeb nebo proměnných, jejichž prostřednictvím je prvek nebo systém ovlivňován b) výstup je množina vazeb nebo proměnných, jejichž prostřednictvím prvek nebo systém projevuje své vnější působení c) Uzavřený systém je systém, který nemá vstup ani výstup d) Otevřený systém je systém, který má alespoň jeden vstup nebo výstup. - 11 -
1.5 Ekonomický systém a jeho zobrazení matematickým modelem Modelování je základním znakem operačního výzkumu jde o postup, při němž jeden systém originál zobrazujeme jiným, jednodušším systémem modelem. Při modelování musíme znát nejprve cíl, tj. musíme vědět, které poznatky chceme z modelových situací odvodit. Praktickým ověřováním výsledků získaných pomocí modelování pak model dodatečně upravujeme. Může se stát, že při prvotním návrhu modelu je zjednodušení skutečnosti příliš velké a zanedbali jsme důležité parametry, nebo naopak jsme uvažovali některé nedůležité vlastnosti. Okruh metod operačního výzkumu (ekonomicko-matematických metod) není zatím zcela uzavřený. Potřeba řešit jednotlivé ekonomické problémy si vyžaduje vznik stále nových metod. V návaznosti na teorii systémů a ekonomicko-matematické modelování lze rozdělit ekonomicko-matematické metody podle hledisek: 1. podle tvaru matematického modelu 2. podle povahy modelovaného systému. Druhy matematických modelů Do první skupiny zařazujeme metody, které k řešení dané problematiky používají standartní matematické modely. Tyto metody dělíme na: a) matematické programování umožňují nalézt optimální řešení problému za předpokladu, že existuje více než jedno možné řešení, že existuje konečný počet omezujících podmínek, které vyjadřují splnění určitých požadavků, a je zadáno určité optimalizační kritérium, podle kterého můžeme jednotlivé řešení hodnotit. Matematické programování se tedy zabývá zkoumáním a rozpracováním metod řešení úloh, které lze formulovat jako úlohy o vyhledávání extrémní hodnoty funkce n proměnných. Podle toho, zda veličiny v modelech mají lineární, nebo nelineární charakter, zda jsou zadány jako známé konstanty nebo náhodné veličiny, nebo zda se při řešení problému přihlíží k času, rozlišujeme lineární programování, nelineární programování, stochastické programování, dynamické programování apod. b) strukturní analýzu je to bilanční metoda, která pomocí matematického modelu charakterizuje reprodukční proces určitého ekonomického systému z hlediska kvantitativních vztahů mezi jednotlivými odvětvími. Zkoumá pouze podmínky rovnováhy v rámci omezeného systému (národní hospodářství, oboru, podniku.). c) graficko analytické metody- zahrnují teorii grafů a metody analýzy sítí. Tyto metody jsou určené pro analýzu složitých návazných procesů zkoumaných z hlediska jejich časového průběhu. Odhalují kritické úseky, které rozhodují o včasném ukončení plánovaných procesů a umožňují stanovit časové rezervy u těch činností, které bezprostředně neovlivňují termín ukončení celého procesu. Jsou vhodné pro plánování, řídící a kontrolní činnost. d) teorii her zabývá se řešením konfliktních situací, ve kterých vystupují proti sobě dva nebo více účastníků hry s protichůdnými zájmy. e) Teorie hromadné obsluhy matematicky modeluje systémy, které vznikají při hledání takového způsobu obsluhy, při kterém jsou časové ztráty vzniklé prostoji obslužných zařízení minimální. f) Teorie zásob - soustava matematických modelů, které popisují a umožňují řešit situace vzniklé hromaděním surovin, materiálu. Hledá optimální velikost a - 12 -
optimální rozložení zásob a to jak z místního, tak i z časového hlediska. g) Teorie obnovy zabývá se stanovením optimálního způsobu oprav, obměn a doplňování tak, aby se počet objektů nebo výrobních zařízení neměnil, nebo se vyvíjel požadovaným směrem. h) Simulace slouží pro analýzu složitých systémů. Napodobuje chování systému na počítači zpravidla ve zrychleném čase. 1.6 Základní pojmy lineárního programování Matematické metody využívají při rozhodování matematických výrazových prostředků a výpočetních postupů. Praktické rozhodovací problémy mají obrovské množství variant řešení. Určit je všechny, popsat je a vybrat z nich optimální variantu běžnými prostředky je prakticky neúnosné. Navíc je slovní popis nepřesný, nejednoznačný a zdlouhavý. Postup sestavení matematického modelu Proto se rozhodovací situace popisují pouze zjednodušeně, pomocí vybraných charakteristik. Mluvíme o sestavení ekonomického modelu. Použitím matematiky můžeme tyto složité situace výstižně a přesně popsat. Říkáme tomu také matematické modelování. Sestavit matematický model nějakého jevu nebo situace znamená právě popsat příslušný jev pomocí matematických prostředků. Při řešení určitého problému je potřeba: a) sběr informací týkajícího se daného problému b) třídění informací vyloučit ty, které daný problém neovlivňují c) hledání vztahů mezi jednotlivými údaji d) na základě vzájemných vztahů vytvořit matematický model e) podle typu matematického modelu zvolit metodu řešení f) určení optimálního řešení g) interpretace výsledků a formulace rozhodnutí h) na základě výsledků hledání nových možností řešení daného problému. Nejjednodušší a nejrozšířenější matematickou metodou užívanou při hospodářském rozhodování je lineární programování. Jde při něm o hledání optimálního řešení na množině přípustných řešení v těch případech, kdy množina přípustných řešení je matematicky jednoznačně vyjádřena soustavou lineárních nerovnic nebo soustavou lineárních rovnic a kritérium pro výběr nejvýhodnějšího řešení je vyjádřeno lineární funkcí. Obecnou úlohu lineárního programování můžeme definovat takto: Je třeba nalézt maximální, resp. minimální hodnotu lineární funkce n proměnných (x 1, x 2,, x n ) Z=c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n při omezeních Obecný matematický model a 11 x 1 + a 12 x 2 +.+a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +.+a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +.+a mn x n b m x 1,x 2,,x n 0-13 -
Tento zápis budeme nazývat obecnou úlohou lineárního programování v rozepsaném tvaru. V této úloze jsou c j, a ij, b i konstanty a x j strukturní proměnné (i= 1, 2,..., m; j= 1, 2.., n) Lineární funkci Z nazýváme účelovou funkcí, nerovnice nazýváme soustavou omezujících podmínek úlohy lineárního programování. Soustava je tvořena vlastními omezeními, a podmínkami nezápornosti. Jestliže je třeba v úloze vybrat taková x 1, x 2,, x a, při kterých dosahuje účelová funkce maximální hodnotu, potom budeme tuto úlohu nazývat maximalizační úlohou, jestliže hledáme minimální hodnotu účelové funkce, nazýváme úlohu minimalizační úlohou. Mezi maximalizační a minimalizační úlohou lineárního programování existuje velmi úzký vztah. Libovolnou maximalizační úlohu lze převést na minimalizační úlohu a naopak. Stačí vynásobit koeficienty účelové funkce číslem -1. Optimální hodnoty obou účelových funkcí budou čísla opačná, tj. Z max = -Z min, resp. Z min = -Z max. Uvedeme obecnou úlohu lineárního programovaní: n Z max(min) j 1 n a j 1 ij x j b i c j x j (i = 1,2,.,m) x 0 (j = 1, 2,.., n) j Postup při matematické formulaci ekonomických úloh si ukážeme nejdříve na jednoduché úloze výrobního plánování: Příklad Máme navrhnout takový výrobní program, který zabezpečí nejvyšší zisk z výroby a prodeje výrobků A a B při omezeném využitelném disponibilním množství suroviny S (24 000 kg, při omezeném využitelném časovém fondu zařízení K (32 000 hodin) a při omezeném počtu pracovníků P (disponibilní časový fond je 12 000 hodin). Norma spotřeby surovin S činí 6 kg na jeden výrobek A, 4 kg na jeden výrobek B. Na zařízení K je jeden výrobek A opracováván 4 hodiny, jeden výrobek B 8 hodin. Souhrnná norma času pracovníků P na zhotovení jednoho výrobku A je 2 hodiny, stejně jako na zhotovení jednoho výrobku B. Zisk z jednoho výrobku A je 8,--Kč, z jednoho výrobku B je 10,-- Kč. Ostatních činitelů potřebných k výrobě má podnik dostatečné množství. Předpokládáme, že všechny výrobky prodáme. Vidíme, že tento ekonomický problém z hlediska matematického řešení je dosti nepřehledný. Proto je vhodné sestavit si tyto údaje do tabulky: Výrobní činitel Výrobek A Výrobek B Disponibilní množství Surovina kg 6 4 24000 Zařízení K hod. 4 8 32000 Pracovníci P hod 2 2 12000 Zisk Kč 8 10 Maximální - 14 -
Tím se stává daný problém přehlednější. Aniž bychom znali matematický model lze se pokusit najít některá přípustná řešení a zjistit velikost zisku. Úkol: a) Určete tři přípustné výrobní programy, vypočtěte při nich dosažený zisk b) Určete velikost zisku, bude-li podnik vyrábět jen výrobky B c) Určete velikost zisku, bude-li vyrábět je výrobky A. Z hlediska cíle úlohy jde v úloze o přeměnu disponibilního množství suroviny S, kapacity zařízení K a fondu pracovníků P na maximální zisk. Celkový proces lze schematicky popsat takto: Spotřeba surovin tržby Využití kapacity Výroba: výroba Skladování skladování Prodej - náklady Vynaložená práce = zisk Vstupy a výstupy Dochází k transformačnímu procesu, kdy činitelé suroviny, zařízení a pracovníci jsou v procesu přeměny vstupy procesu, zatímco zisk je výsledkem sledovaného procesu jeho výstupem. Transformační proces lze schematicky v obecné podobě znázornit takto: Vstupy Transformační proces Výstupy Transformační proces Tímto způsobem lze vyjádřit všechny procesy lineárního programování. V našem případě proces přeměny činitelů S,K,P na zisk Z při výrobě a prodeji jednoho výrobku A bude 6 kg suroviny S 4 hodiny K 8 Kč zisku. 2 hodiny P Úkol: Popište obdobným způsobem proces přeměny činitelů S,K,P na Z při výrobě a prodeji výrobku B. Popište stejným způsobem celkový transformační proces. Toto grafické znázornění je zdlouhavé. Názornější a z hlediska vytvoření matematického modelu je vhodnější záznam pomocí vektorů. Abychom i formálně odlišili vstupy od výstupů, budeme vstupy označovat kladně a výstupy záporně. To znamená, že: Výrobek A můžeme popsat vektorem a = (6, 4, 2, -8) Výrobek B b = ( 4, 8, 2, -10 ) Disponibilní množství c = (24 000,32 000,12 00,-Z) Popisujeme-li výrobky, říkáme, že jsme popsali jejich jednotkovou úroveň. - 15 -
Předpokládáme-li že výrobků A vyrobíme x 1 a výrobků B vyrobíme x 2 můžeme danou úlohu zapsat pomocí vektorové nerovnice ve tvaru: ax 1 + bx 2 < c. Matematická model vektorové nerovnice Vytvoříme-li z omezujících podmínek matici 6 4 24000 A = 4 8 x1, X = 2 2 32000, C= x 2 12000 8 10 Z Můžeme matematicky zapsat v maticovém zápisu problém ve tvaru: AX C. Po provedení dané operace můžeme vyjádřit tuto úlohu jako soustavu lineárních nerovnic ve tvaru: 6x 1 + 4x 2 24 000 4x 1 + 8x 2 32 000 2x 1 + 2x 2 12 000-8x 1 10x 2 = -Z (max). Postup formulace úlohy Přitom poslední rovnice nám vyjadřuje účelovou funkci. Je třeba si uvědomit, že matematický model není úplný, protože neznámé x 1, x 2, že musí být buď kladná čísla nebo čísla přirozená nebo rovna nule. Celý postup při matematické formulaci úloh lineárního programování můžeme shrnout do několika kroků: 1. rozebereme obsah úlohy a popíšeme procesy úlohy při vhodně zvolené jednotkové úrovni 2. zavedeme neznámé a vymezíme jejich vlastnosti 3. matematicky zformulujeme omezení plynoucí z daného disponibilního množství činitelů 4. shrneme dosavadní výsledky a popíšeme tak množinu přípustných řešení 5. matematicky zformulujeme účelovou funkci 6. přistoupíme k celkové matematické formulaci úlohy. Omezení plynoucí z daného disponibilního množství činitelů jsme formulovali soustavou nerovnic. To není možnost jediná a z hlediska řešení úlohy ani možnost nejvýhodnější, protože pro matematické řešení by bylo výhodnější, kdybychom získali soustavu rovnic. Z hlediska ekonomického dané nerovnice vyjadřují, že všechny omezující činitelé nejsou využiti. Množství, které není u jednotlivých činitelů využito, označíme jako fiktivní (pomyslné) proměnné, budeme je označovat x i, a nazveme je přídatné proměnné Úloha Vysvětlete ekonomický obsah fiktivních (přídatných) neznámých v naší úloze. Celková matematická formulace úlohy se zavedením přídatných proměnných lze napsat takto: - 16 -
Vypočtěte celá kladná čísla x 1, x 2 a čísla x 1, x 2, x 3 kladná nebo rovna nule a přitom byly splněny rovnice: 6x 1 +4x 2 + x 1 = 24 000 4x 1 + 8x 2 + x 2 = 32 000 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 12 000 a aby účelová funkce 8x 1 + 10x 2 = Z dosáhla maximálně možné hodnoty Z. Z naší jednoduché úlohy vidíme, že výsledkem prvního i druhého procesu je zisk a přitom je zřejmé, že zisk z výrobků A lze sčítat se ziskem z výrobků B. Mluvíme pak o aditivitě neboli sčitatelnosti výsledků jednotlivých procesů. 1.7 Kontrolní otázky 1. Co je podstatou rozhodování při řízení hospodářství? 2. Co způsobuje rostoucí složitost a náročnost hospodářského rozhodování? 3. Uveďte hlavní typy hospodářských rozhodovacích situací v podniku. 4. Uveďte základní rysy rozhodovacího procesu. 5. V čem je význam matematiky pro rozhodování? 6. Vyjmenujte a charakterizujte etapy, kterými probíhá užití matematických metod při rozhodování. 7. Co je podstatou lineárního programování? 8. Co je společné všem procesům v úlohách lineárního programování? 9. znázorněte schematicky transformační proces. 10. Uveďte hlavní předpoklady užití lineárního programování. 11. Vysvětlete, v čem je podstata linearity. 12. Co rozumíme pod pojmem aditivita v úlohách lineárního programování. 13. Co je to tzv. jednotková úroveň procesu? 14. Kterou vlastnost mají neznámé v úlohách lineárního programování? 15. Jak je matematicky popsána množina přípustných řešení? 16. Jak je matematicky vyjádřeno kritérium úlohy? 17. Co jsou fiktivní procesy a jaký je význam přídatných proměnných? 18. Jaký je základní postup při matematické formulaci úloh lineárního programování? 1.8 Shrnutí V této části jste se seznámili se základními pojmy programování, uvědomili jste si které úkoly budete řešit, jak probíhá výrobní proces. Víte, že při řešení konkrétního úkolu je třeba se nejdříve podrobně seznámit s celým procesem výroby, určit veličiny ovlivňující výrobu a vyloučit veličiny, které nám výrobu neovlivní a teprve je možné hledat vzájemné vztahy mezi veličinami a nahradit celý problém matematickým modelem. - 17 -
- 18 -
2 Řešení úloh lineárního programování Obsah kapitoly 2.1. Cílové znalosti a dovednosti 2.2. Klíčová slova 2.3. Typické úlohy lineárního programování 2.3.1. Úlohy výrobního plánování 2.3.2. Úlohy směšovací 2.3.3. Úlohy o minimalizaci odpadu při řezání 2.3.4. Distribuční úlohy 2.4. Cvičení 2.5. Grafické řešení úloh lineárního programování 2.5.1. Grafické vyjádření přímky a poloroviny 2.5.2. Vyjádření omezení plynoucí z úlohy v grafu 2.5.3. Popis přípustných řešení a grafické vyjádření účelové funkce 2.5.4. Shrnutí 2.5.5. Kontrolní otázky 2.6. Simplexová metoda 2.6.1. Matematické základy 2.6.1.1. Řešení soustavy lineárních rovnic 2.6.1.2. Řešení soustavy lineárních nerovnic 2.6.2. Kontrolní otázky 2.6.3. Shrnutí 2.6.4. Jednofázová simplexová metoda 2.6.4.1. Test optimality pro maximalizační úlohy 2.6.4.2. Zlepšování výchozího řešení 2.6.4.3. Řešení úloh lineárního programování v simplexové tabulce 2.6.5. Dvoufázová metoda 2.6.6. Shrnutí 2.6.7. Kontrolní otázky 2.7. Řešení úloh lineárního programování pomocí Řešitele 2.7.1. Cílové vlastnosti a dovednosti 2.7.2. Klíčová slova 2.7.3. Práce s příkazem Řešitel 2.7.4. Kontrolní otázky 2.7.5. Shrnutí 2.8. Dopravní úlohy 2.8.1. Cílové vlastnosti a dovednosti 2.8.2. Klíčová slova 2.8.3. Formulace úlohy 2.8.4. Nalezení výchozího řešení 2.8.5. Výpočet optimálního řešení 2.8.6. Nevyrovnaná dopravní úloha 2.8.7. Kontrolní otázky 2.8.8. Shrnutí - 19 -
2.1 Cílové znalosti a dovednosti Cílem kapitoly je seznámit se s typy úloh lineárního programování a sestavení matematického modelu. V další části budou řešeny nejjednodušší úlohy graficky. Nejdříve budou zopakovány matematické základy grafického znázornění přímky, její vlastnosti, znázornění poloroviny, průnik polorovin a grafické řešení soustavy lineárních nerovnic. Ve třetí části bude vysvětlen princip jednofázové simplexové metody pro maximalizační úlohy a dvoufázové simplexové metody pro maximalizační i minimalizační úlohy. Poslední část bude zaměřena na řešení dopravních úloh a to sestavením matematického modelu, určením základního řešení metodou severozápadního rohu, indexní metodou, metodou Vogelovou aproximační metodou (VAM) a provedením optimalizace distribuční metodou. 2.2 Klíčová slova Omezující podmínky, disponibilní množství, účelová funkce, přídatné proměnné, řezný plán, úlohy výrobního plánování, úlohy o polotovarech, směšovací úlohy, distribuční úlohy, kanonický tvar, základní neznámé, volné neznámé, klíčový řádek, klíčový sloupec, klíčový prvek. 2.3 Typické úlohy lineárního programování V této kapitole si všimneme typických úloh z jednotlivých oborů řízení hospodářství a poukážeme na rozdíly při sestavování matematických modelů. S ohledem na rychlé sestavení matematického modelu jsou již potřebné informace setříděny a sestaveny do tabulek. 2.3.1 Úlohy výrobního plánování Příklad Závod, který vyrábí tři druhy výrobků, jež zpracovává postupně ve dvou hospodářských střediscích, má minimalizovat spotřebu energie při pevně stanoveném zisku 40 000 Kč. Využitelný časový fond prvního hospodářského střediska je 72 000 hodin a druhého střediska 122 000 hodin. Pracnost výrobků je patrna z tabulky: Potřeba hodin na výrobek A B C Disp. množ. 1.hospodářské středisko 6 8 12 72 000h 2.hospodářské středisko 10 14 16 122 000h Zisk 6 4 8 40 000kč Spotřeba energie na ks. 11 10 16 Minimum Postup formulace této úlohy bude stejný jako u vzorové úlohy. Je zde však rozdíl v cíli úlohy. Podstatou procesu je sice opět přeměna činitelů na zisk ale s cílem - 20 -
dosáhnout nejnižší možné spotřeby energie. Kritériem není velikost výstupu, ale velikost vstupu úlohy. Sestavit matematický model není těžké. Máme nalézt minimum funkce z = 11x 1 +10x 2 + 16x 3 na množině řešení soustavy rovnic 6x 1 + 8x 2 + 12x 3 72 000 10x 1 + 14x 2 + 16x 3 122 000 6x 1 + 4x 2 + 8x 3 40 000 za předpokladu, že x 1, x 2, x 3 budou nezáporné. V tomto příkladu není třeba naznačovat transformační proces, vektorový, maticový ani matematický model pomocí soustavy nerovnic. Určitě je zvládnete sami. Proveďte. Příklad Podnik vyrábí tři výrobky. Rozsah plánované výroby je omezen nedostatkem kvalifikovaných pracovníků a surovin. Potřeba činitelů na 1 výrobek A B C Disp. množ. Pracovní čas 6 4 8 40 000h Suroviny 8 5 10 80 000kg Zisk 25 15 30 maximum Podnik má možnost využít práce přesčas v rozsahu 5 000 hodin. Jsou s ní však spojeny větší náklady. Zisk z jednoho výrobku se proto sníží a bude činit z jednoho výrobku A 20 Kč, z jednoho výrobku B 12 Kč a z jednoho výrobku C 27 Kč. Sestavit matematický model původní úlohy není složitý a sami si ho vytvoříte. Chceme-li při výrobě využít práce přesčas, můžeme se na přesčasovou výrobu výrobků dívat jako na další, samostatné procesy, o které rozšíříme základní úlohu Práci přesčas považujeme za samostatného činitele a výrobu při využití práce přesčas považujeme za samostatné procesy. Rozšíříme-li původní tabulku při využívání práce přesčas bude mít matematický model tvar: Nalézt maximum funkce z = 25x 1 + 15x 2 + 30x 3 +20x 4 + 12x 5 + 27x 6 Na množině řešení soustavy nerovnic 6x 1 + 4x 2 + 8x 3 40 000 6x 4 +4x 5 + 8x 6 5 000 8x 1 + 5x 2 + 10x 3 +8x 4 +5x 5 +10x 6 80 000 při splnění podmínek nezápornosti x i 0. Při interpretaci nesmíme zapomenout, že plánovaná výroba výrobku A je x 1 + x 4, výroba výrobku B je x 2 + x 5 a výroba výrobku C je x 3 + x 6. - 21 -
Příklad Zelinářská skupina zemědělské farmy má rozhodnout o využití 8 ha půdy, která zbývá po zajištění plánovaných úkolů. Má se rozhodnout o tom, zda pěstovat zelí nebo květák. Skupina má ve druhém čtvrtletí roku k dispozici 6 000 pracovních hodin, ve třetím čtvrtletí 8 000 pracovních hodin. Požaduje se, aby skupina vyprodukovala plodiny v hodnotě nejméně 96 000 Kč, při minimálních celkových nákladech. Činitel Zelí Květák Disponibilní nebo požadované množství Pracovní hodiny na 1ha ve druhém 1 200 600 6 000 hodin čtvrtletí Pracovní hodiny na 1ha ve třetím 500 1 000 8 000 hodin čtvrtletí Plánovaná hrubá produkce z 1ha 12 000 15 000 96 000 Kč Plánované náklady na 1ha 8 000 8 000 minimum Je třeba si uvědomit, že problémem v rostlinné výrobě je požadavek optimálního využití půdy. Ve skutečnosti tyto úlohy jsou značně rozsáhlé, protože omezujících činitelů je podstatně více a počet druhů, které můžeme pěstovat také větší. Při sestavování transformačního procesu na jeden hektar vypěstovaného zelí je třeba si uvědomit, že vstupními veličinami jsou: 1 ha půdy hodiny ve 2. čtvrtletí hodiny ve 3. čtvrtletí plánované náklady v Kč. Výstupní veličinou je hrubá produkce v Kč. Naznačte si tento transformační proces jednak pro zelí a jednak pro květák. Matematicky tedy jde o určení nezáporných čísel x 1, x 2, takových, aby byla splněna soustava nerovnic: x 1 + x 2 8 1 200x 1 + 600x 2 6 000 500x 1 + 1 000x 2 8 000 12 000x 1 + 15 000x 2 96 000 8 000x 1 + 8 000 x 2 = z a aby neznámá Z nabyla nejmenší hodnoty. Úkol: Převeďte soustavu nerovnic na soustavu rovnic zavedením přídatných proměnných. Jaké jsou pro ně podmínky? Příklad Máme stanovit výrobní program, který zabezpečí maximální odbyt v závodě vyrábějícím ve dvou provozech výrobky A a B. Výrobek A může být finálním výrobkem nebo polotovarem pro výrobu výrobku B. Máme-li k dispozici 12 000-22 -
jednotek nedostatkové suroviny S. Ostatních potřebných činitelů, máme-li dostatek. Podle smluv s odběrateli musíme vyrobit a dodat nejméně 400 kusů výrobku A Činitel úlohy Výrobek A Výrobek B Dispon. množství Surovina 3 kg 2 kg 12 000 kg Polotovar 2 ks Cena 1 kusu 8 Kč 20 Kč maximum Omezení ve spotřebě suroviny můžeme bez problémů matematicky vyjádřit: 3x 1 + 2x 2 12 000. K výrobě jednoho výrobku B musíme mít dva polotovary, na které spotřebujeme také surovinu. Protože nemáme žádné zásoby polotovarů, a máme smlouvu na dodávku 400 výrobků A, musí výroba výrobků A pokrýt jak spotřebu pro výrobu výrobků B, tak i smluvní dodávku. Proto musí platit, že x 1 2x 2 + 400. Při formulaci účelové funkce si musíme uvědomit, že výrobků A budeme prodávat jen x 1-2x 2. Účelová funkce se pak rovná: Z = 8(x 1-2x 2 ) + 20x 2 Po úpravě z = 8x 1 + 4x 2. Úlohu vyřešíme nalezením maximální hodnoty z pro nezáporné x 1,x 2 z této soustavy 8x 1 + 4x 2 = z 3x 1 + 2x 2 12 000 x 1-2x 2 400. Úloha Převeďte soustavu nerovnic na soustavu rovnic a určete opět podmínky pro přídatné proměnné Příklad Motocyklový závod vyrábí tři typy motocyklů A, B, C. Výroba jednoho typu může být po malých úpravách vystřídána výrobou jiného typu. Při stanovení výrobního programu se musí vzít v úvahu kapacita šesti provozů, jež je omezena. Ostatní zdroje potřebné k výrobě jsou v dostatečném množství. Kapacita různých provozů je udána počtem kusů každého typu, který by provoz mohl vyrobit, kdyby vyráběl motocykly toho jediného typu - 23 -
Provoz Denní kapacita provozů, vyrábí-li A B C Slévárna 100 125 75 Úpravna odlitků 150 125 100 Lisovna 125 100 100 Montáž typu A 75 Montáž typu B 80 Montáž typu C 80 Cena jednoho kusu typu A je 45 000 Kč typu B, 40 000 Kč, a typu C 60 000 Kč. Je třeba stanovit takový výrobní program, který by přinesl maximální hodnotu produkce v Kč. V tomto případě neznáme disponibilní množství omezujících podmínek, jenom množství vyrobených kusů jednotlivých druhů motocyklů za jednu směnu. Z toho můžeme zjistit pracnost jednotlivých druhů v porovnání s ostatními druhy. Abychom mohli snadno sestavit matematický model je nejvýhodnější zvolit si disponibilní množství jednotlivých omezujících činitelů a zpětně vypočítat množství hodin na výrobu jednoho kusu motocyklu určitého typu. Na příklad volíme-li, že slévárna má k dispozici na den 100 hodin, stejně tak i úpravna i lisovna, montáž A 75 hodin, montáž B 80 hodin, montáž C 80 hodin, bude mít tabulka tvar: Provoz Počet hodin na výrobu typu Disp. množství A B C Slévárna 100/100 100/125 100/75 100 Úpravna odlitků 100/150 100/125 100/100 100 Lisovna 100/125 100/100 100/100 100 Montáž typu A 1 75 Montáž typu B 1 80 Montáž typu C 1 80 Cena 45000 40000 60000 maximum V tomto případě sestavení matematického modelu je již snadné. Volíme-li, že x 1 je počet kusů typu A vyráběný za den x 2 je počet kusů typu B vyráběný za den x 3 je počet kusů typu C vyráběný za den, dostaneme matematický model: x 1 + 4/5x 2 + 4/3x 3 100 2/3x 1 + 4/5x 2 + x 3 100 4/5x 1 + x 2 + x 3 100 x 1 75 x 2 80 x 3 80. Účelová funkce z = 45 000x 1 + 40 000x 2 + 60 000x 3. Úkol: - 24 -
Převeďte soustavu nerovnic na soustavu rovnic a vysvětlete ekonomickou funkci přídatných proměnných. Jaká je v tomto případě podmínka pro základní neznámé? Příklad V podniku jsou vyráběny tři druhy výrobků pěti různými technologickými postupy. Údaje charakterizující jednotlivé procesy a udávající spotřebu surovin, polotovarů a množství vyrobených výrobků při každém z pěti možných technologických procesů, jsou uvedeny v tabulce, přitom vstupy jsou kladné, výstupní hodnoty jsou označovány záporně Činitelé I II III IV V Disp. množství Surovina_1 5 6 5 4 7 1000 Surovina_2 7 2 3 5 4 1250 Polotovar_1-1 -2 1 0-2 0 Polotovar 2-1 2-4 -2 0 0 Výrobek_1-5 -2-4 -2 0 0 Výrobek_2 0-3 -2 0-4 0 Výrobek_3-4 -4-4 -5-3 0 Výrobky 1, 2, 3 se dodávají pouze v souborech po třech kusech výrobku 1, dvou kusech výrobku 2 a pěti kusech výrobku 3. To znamená, že ty výrobky, které nelze do souborů o daném počtu výrobků zahrnout, jsou zbytečné. Podniku jde o to, aby maximalizoval výrobu kompletních souborů Z tabulky je zřejmé, že při prvním technologickém postupu vstupuje do transformačního procesu 5 jednotek Surovina_1, 7 jednotek Surovina_2 a z toho vyrobíme (výstup) 1 Polotovar_1, 1 Polotovar_2, 5 Výrobek_1 a 4 Výrobek_3. Při druhém technologickém postupu jsou vstupní veličiny Surovina_1 a Surovina_2 a Polotovar_2, výstupní veličiny jsou polotovar_1, výrobek_1, výrobek_2 a výrobek_3. Zvolíme-li za neznámé x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, kolikrát opakujeme jednotlivé technologické postupy, pak omezení v množství surovin se dá snadno vyjádřit: 5x 1 + 6x 2 + 5x 3 + 4x 4 + 7x 5 1 000 7x 1 + 2x 2 + 3x 3 +5x 4 +4x 5 1 250 Pokud jde o polotovary, nesmí jejich spotřeba překročit jejich výrobu. Vidíme, že Plotovar_1 se vyrábí v třetím technologickém procesu a spotřebovává se v 1., 2., a 5. technologickém procesu. Takže pro Polotovar_1 vyplývá omezení: x3 x 1 + 2x 2 + 2x 5 Pro Polotovar_2 musí platit 2x 2 x 1 + 4x 3 + 2x 4 První výrobek se vyrábí v množství 5x + 2x + 4x + 2x Protože v souboru jsou 3 kusy Výrobku_1, lze z vyrobených kusů vytvořit - 25 -
5x1 2x2 4x3 2x4 souborů. 3 Podobně výroba druhého výrobku stačí na 3x2 2x3 4x5 2 souborů a výroba třetího výrobku na 4x1 4x2 4x3 5x4 3x5 5 souborů. Po úpravě jednotlivých nerovnic dostáváme matematický model, že kterého určujeme nezáporná řešení soustavy nerovnic: 5x 1 +6x 2 + 5x 3 + 4x 4 +7x 5 1000 7x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 +4x 5 1250 -x 1-2x 2 + x 3-2x 5 0 -x 1 + 2x 2-4x 3-2x 4 0 5x 1-2x 2-4x 3-2x 4 + 3z 0-3x 2-2x 3-4x 5 + 2z 0-4x 1-4x 2-4x 3-5x 4-3x 5 +5z 0, takové, aby neznámá Z dosáhla maximální možné hodnoty. Z povahy úlohy ovšem vyplývá i další omezení, tj. že proměnné musí být celá čísla. 2.3.2 Úlohy směšovací Tyto úlohy jsou zaměřené na sestavení nejvhodnější kombinace různých složek, z kterých máme utvořit požadovanou směs Příklad Pro výkrm dobytka potřebujeme na kus 2,5 krmných jednotek denně a 240 g bílkovin jako základních nutričních složek. Pro výkrm používáme pouze dvou krmiv, pokrutin a kukuřice, jejichž nutriční hodnoty a ceny jsou obsaženy v tabulce: V 1 kg krmiva je obsaženo Krmivo krmných jednotek gramů bílkovin Cena v Kč/1 kg Pokrutiny 1 400 0,50 Kukuřice 1,25 80 0,40 Podstatou procesů je přeměna činitelů (složek směsi) na směs s požadovanými vlastnostmi podle daného hlediska, jímž je nejnižší cena směsi. - 26 -
Pokrutiny 1 kg pokrutin 1 1 kg krmných jednotek 1 0,50 Kč 0,5 400 g bílkovin -400-1 -400 Stejným způsobem můžeme naznačit transformační proces u kukuřice. Zvolíme-li za neznámé x 1 množství pokrutin, x 2 množství kukuřice pro vytvoření dané směsi budou přípustná řešení popsána nezápornými neznámými x 1 a x 2, které vyhovují soustavě nerovnic x 1 + 1,25x 2 2,5 400x 1 + 80x 2 240. U těchto úloh se setkáváme s tím, že omezení úlohy nespočívají v daném disponibilním množství činitelů, ale jsou určena požadavky na složení směsi. To má vliv na tvar nerovnic, protože např. bílkovin má být alespoň 240 g denně. Tato skutečnost se projeví také na ekonomickém obsahu fiktivních procesů, které znamenají tentokrát nadbytečné množství činitelů. Účelová funkce 0,50x 1 + 0,40x 2 = Z, kde Z má být minimální. Příklad Denní jídelníček sestavený dle zásad racionální výživy je zapotřebí doplnit o 21 g tuků, nejvýše 57 g sacharidů a alespoň 35 g bílkovin a 2 mg vitamínu C. Jaké množství sójových bobů a nízko energetického jogurtu uspokojí tyto požadavky při minimálních výdajích? Podkladové údaje pro vyřešení tohoto problému jsou obsaženy v tabulce Bílkoviny (g) Tuky (g) Sacharidy (g) Vitamín C(mg) Sójové boby 35 14 28-3 Jogurt 5 2 7 0,4 4 Cena (Kč) Zvolíme-li x 1 množství sójových bobů (ve 100 g), x 2 množství jogurtu (ve 100g), pak matematickým modelem pro nezáporná x 1 a x 2 bude účelová funkce 3x 1 + 4x 2 = z má být minimální Omezující podmínky: 14x 1 + 2x 2 = 21 nutriční požadavek tuků 28x 1 + 7x 2 57 max. nutriční požadavek sacharidů 35x 1 +5x 2 35 minimální nutriční požadavek bílkovin 0,4x 2 2 minimální nutriční požadavek vitamínů - 27 -
2.3.3 Úlohy o minimalizaci odpadu při řezání Při přípravě výroby je nutno z normalizovaných polotovarů (tyčí, desek apod.) nařezat, nastříhat, nebo vykrajovat materiál. Při takových úpravách materiálu vzniká odpad. Ze zásady hospodárnosti vyplývá snaha šetřit materiál, tzn. Minimalizovat odpad. Příklad Ve skladu máme trubky dlouhé 6 m. Výroba požaduje pro příští týden: 30 kusů délky 2 metry 100 kusů délky 2,2 metru 20 kusů délky 3 metry Máme stanovit takový způsob řezání šestimetrových trubek (tzv. řezný plán), aby odpad byl co nejmenší. Požadavky výroby na délky trubek se nemění, takže můžeme nařezané trubky uskladnit pro příští období. Za odpad považujeme kusy trubek rovné jednomu metru a kratší. Máme-li stanovit optimální způsob řezání trubek, musíme zjistit, jaké máme možnosti řezání šestimetrových trubek na požadované kusy a jaký bude odpad. Transformační proces můžeme znázornit: Trubky dlouhé 2 m Trubky dlouhé 2,5 m 1 trubka 6 m Trubky dlouhé 3 m odpad m Abychom mohli rychle sestavit matematický model, je třeba vytvořit řezný plán Způsob řezání Trubky délky I II III IV Požadavky 6 metrů 1 1 1 1 Minimum 2 m 3 0 0 1 30 2,5 m 0 0 1 0 100 3 m 0 2 1 1 20 Odpad 0 0 0,5 1 minimum V tomto případě jsou dva požadavky na minimum. Ale tyto požadavky můžeme spojit dohromady, protože minimalizujeme-li odpad, zároveň minimalizujeme i spotřebu šesti metrových trubek. Zvolíme-li za neznámé počty šestimetrových trubek rozřezaných jednotlivými způsoby, pak omezující podmínky jsou: 3x 1 +x 4 30 x 3 100 2x 2 + x3 + x 4 20. Účelová funkce v případě minimalizace spotřebovaných trubek je x 1 + x 2 +x 3 + x 4 = z Účelová funkce v případě minimálního odpadu je 0,5x 3 + x 4 = z. - 28 -
Úloha. Danou soustavu nerovnic převeďte na soustavu rovnic. Co znamenají v tomto případě přídatné proměnné? Příklad Malovýrobce vyrábí květinové stěny, které se skládají z různého počtu dřevěných desek různé délky. Délka těchto desek a jejich potřeba na jednu stěnu: Délky desky (cm) 25 60 120 Počet desek 6 4 2 Na příští den počítá s výrobou 10 stěn. Jak má řezat prkna délky 3 metry, aby získal požadovaný počet desek a) s minimálním odpadem b) při minimálním počtu rozřezaných prken c) při minimálním počtu řezů. Řezný plán: Způsob řezání 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Délka 25 cm - 2-2 7-2 7 12 Délka 60 cm 1-3 2-5 4 2 - Délka 120 cm 2 2 1 1 1 - - - - Odpad (cm) 0 10 0 10 5 0 10 5 0 Počet řezů 2 4 3 5 8 4 6 9 11 Volíme-li za neznámé x počet třímetrových prken podle j-té varianty, pak omezující podmínky jsou: 2x 2 + 2x 4 + 7x 5 + 2x 7 + 7x 8 + 12x 9 60 x 1 + 3x 3 +2x 4 +5x 6 + 4x 7 + 2x 8 40 2x 4 + 2x 2 + x 3 +x 4 + x 5 20 x i 0 Účelové funkce v případě: a) A) 10x 2 + 10x 4 +5x 5 + 10x 7 + 5x 8 = z - minimální odpad v cm b) B) x 1 +x 2 + x 3 +x 4 +x 5 + x 6 +x 7 + x 8 + x 9 = z minimální počet rozřezaných prken c) C) 2x 1 + 4x 2 +3x 3 + 5x 4 + 8x 5 + 4x 6 + 6x 7 + 9x 8 +11x 9 = z min. počet řezů 2.3.4 Distribuční úlohy Tyto úlohy zahrnují úlohy dopravní, přiřazovací a další úlohy, které mají omezující podmínky typu dopravních úloh. Dopravní úlohy formulujeme za těchto předpokladů přepravujeme stejnorodý produkt od dodavatelů k odběratelům mezi každým dodavatelem a odběratelem je pouze jedna dopravní cesta Další typy úloh - 29 -
po každé dopravní cestě lze převážet libovolné množství produktu náklady spojené s přepravou jsou přímo úměrné přepravovanému množství produktu. Matematicky můžeme všechny uvedené požadavky formulovat takto: přepravujeme stejnorodý produkt od dodavatelů k odběratelům je uvažována mezi každým dodavatelem a odběratelem pouze jedna dopravní cesta po každé dopravní cestě lze převážet libovolné množství produktu náklady spojené s přepravou jsou přímo úměrné přepravovanému množství produktu. Předpokládáme, že je dáno m dodavatelů D 1, D 2,., D m, kteří mají k dispozici a 1, a 2,, a m jednotek produktu. Tento produkt je třeba přepravit k n odběratelům S 1, S 2,., S n jejichž požadavky jsou b 1, b 2,., b n jednotek produktu. Veličiny a i (i=1,2,,m) a b j (j=1,2,n) jsou vyjádřeny nezápornými reálnými čísly ve stejných měrných jednotkách. Dále jsou zadány náklady na přepravu jednotky produktu od i-tého dodavatele k j-tému odběrateli, které označíme symbolem c ij. Přepravované množství produktu od i-tého dodavatele k j-tému odběrateli označíme x ij. Veličiny c ij nejčastěji představují vzdálenost mezi dodavateli a odběrateli v km. Hledané proměnné x ij jsou vyjádřeny ve stejných měrných jednotkách jako veličiny a i a b j. Chceme organizovat přepravu produktu od dodavatelů k odběratelům tak, abychom plně uspokojili požadavky odběratelů na daný produkt a přitom aby celkové náklady na přepravu byly minimální. Matematicky můžeme všechny uvedené požadavky formulovat takto: Matematický model Máme nalézt taková čísla x ij při kterých bude Z min m i 1 n c j 1 ij x n a xij 1 (i= 1, 2,., m) j 1 m x ij i 1 b j ij (j= 1, 2,., n) x 0 (i= 1, 2,., m; j= 1, 2,., n). ij Účelová funkce (Z) vyjadřuje závislost mezi strukturou přepravy a celkovými náklady. Soustava omezujících podmínek říká, že součet přepravovaného množství jednotek produktu od i-tého dodavatele (i=1, 2,, m) ke všem odběratelům musí být menší nebo roven kapacitě tohoto i-tého dodavatele. Soustava omezujících podmínek udává, že součet přepravovaného množství jednotek produktu k j-tému odběrateli, přičemž x ij 0. Soustava omezujících podmínek 5.4 zaručuje nezápornost přepravovaného množství jednotek produktu od i-tého dodavatele (i = 1, 2,, m) k j-tému odběrateli (j = 1, 2,, n). - 30 -