Výroková logika dokazatelnost



Podobné dokumenty
Matematická logika. Miroslav Kolařík

Základy logiky a teorie množin

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

Hilbertovský axiomatický systém

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Formální systém výrokové logiky

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky

Systém přirozené dedukce výrokové logiky

Predik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16

Predikátová logika. Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu. 2. term a formule. 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

Výroková a predikátová logika - IX

Základy matematické logiky

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Výroková a predikátová logika - IV

Výroková a predikátová logika - V

Výroková logika - opakování

Výroková a predikátová logika - IX

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4.

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Výroková a predikátová logika - IX

Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Výroková a predikátová logika - III

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

Úvod do výrokové a predikátové logiky

verze 29/9/09 textu o logice, aritmetice a M. Bizzarrimu.

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Výroková a predikátová logika - III

Logický důsledek. Petr Kuchyňka

Aplikace: Znalostní báze

Množiny, relace, zobrazení

Modely Herbrandovské interpretace

Nepřijde a nedám 100 Kč měl jsem pravdu, o této

Pravděpodobnost a statistika

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - VIII

Výroková a predikátová logika - X

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.

Premisa Premisa Závěr

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Výroková a predikátová logika - VIII

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Výroková logika. p, q, r...

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

Logika, výroky, množiny

1 Úvod do matematické logiky

Výroková a predikátová logika - VII

6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Výroková a predikátová logika - VII

Základní pojmy matematické logiky

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Matematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky

Logika Libor Barto. Výroková logika

Výroková a predikátová logika - XI

Základy teorie množin

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

Logické programy Deklarativní interpretace

Sylogistika. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 16

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - XII

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA

Zobecněný Riemannův integrál

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Kongruence na množině celých čísel

Predikátová logika: Axiomatizace, sémantické stromy, identita. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 13

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů

1. Matematická logika

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Výroková a predikátová logika - II

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.

Výroková a predikátová logika - VI

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Lineární algebra : Lineární prostor

Úvod do logiky (VL): 12. Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu

doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je

Matice. a m1 a m2... a mn

Transkript:

Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových symbolů ve formuli. Již pro relativně malý počet výrokových symbolů je tedy tabulková metoda neúnosná. Nabízí se otázka, jestli není možné o sémantickém vyplývání rozhodnout i jinak. Dokazatelnost (syntaktické vyplývání) Dokazatelnost formalizuje intuitivně chápané pojetí důkazu a je založena na manipulaci s formulemi na syntaktické úrovni. Na rozdíl od sémantického vyplývání nijak nepracuje s pojmem pravdivost formulí. Základní pojmy: axiomová schémata, která formalizují základní vlastnosti a vzájemný vztah logických spojek: ϕ (ψ ϕ) (A1) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (A2) ( ψ ϕ) (ϕ ψ) (A3) Jakákoli formule, která je ve tvaru (A1) (A3), se nazývá axiom VL. Jinými slovy, nahrazením symbolů ϕ, ψ a χ v axiomových schématech libovolnými formulemi získáme axiom VL. Je však nutné nahrazovat konzistentně tedy každý výskyt ϕ nahradíme stejnou formulí atd. pravidlo odloučení (modus ponens, MP): ϕ, ϕ ψ ψ Tedy z formulí ϕ a ϕ ψ můžeme odvodit (odloučit) ψ. důkaz formule ϕ z teorie (množiny formulí) T je konečná posloupnost formulí ϕ 1,..., ϕ n, kde ϕ n = ϕ a každá ϕ i (1 i n) je axiomem VL, nebo je formule z T, nebo vznikla z předchozích formulí použitím pravidla odloučení, tedy existují indexy j, k < i tak, že ϕ k je ve tvaru ϕ j ϕ i. 1

Příklad použití pravidla odloučení: Uvažujme posloupnost formulí ϕ 1,..., ϕ j ϕ } {{ } i,..., ϕ j,..., ϕ m ϕ k Tuto posloupnost můžeme rozšířit o formuli ϕ i, jelikož existují formule ϕ j, ϕ k, pro které platí j, k < i a ϕ k je ve tvaru ϕ j ϕ i. Použitím pravidla odloučení tedy dostaneme posloupnost ϕ 1,..., ϕ j ϕ i,..., ϕ j,..., ϕ m, ϕ i Formule ϕ je dokazatelná z T (T ϕ), pokud existuje důkaz ϕ z T. Pokud platí ϕ, potom říkáme, že ϕ je dokazatelná (z prázdného systému předpokladů). Základní principy Při dokazování lze využít následující vlastnosti dokazatelnosti (důkazy viz přednáška): Pro každou teorii T a libovolné formule ϕ, ψ platí: Jestliže T ϕ a T ϕ ψ, potom T ψ. Pro libovolnou formuli ϕ platí: ϕ ϕ (Monotonie dokazatelnosti, MD) Necht jsou T, S libovolné teorie a ϕ, ψ jsou formule. Potom platí: Pokud T ϕ a pro každou ψ T platí S ψ, potom S ϕ. Jednoduchý příklad užití: Předpokládejme, že pro nějakou teorii T a nějakou formuli ϕ máme T ϕ, potom z monotonie dokazatelnosti ihned dostáváme, že T, χ ϕ pro libovolnou formuli χ. Zdůvodnění: teorie S je v tomto případě S = T {χ} a evidentně pro libovolnou ψ T existuje důkaz z T, tím spíše bude existovat důkaz z S = T {χ}, tedy máme S ψ. Předpoklady věty jsou splněny, proto můžeme usoudit S ϕ. 2

(Věta o dedukci, VoD) Pro každou teorii T a libovolné formule ϕ, ψ platí: T ϕ ψ právě když T, ϕ ψ (Tranzitivita implikace, TI) Pro každou teorii T a libovolné formule ϕ, ψ, χ platí: Jestliže T ϕ ψ a T ψ χ, potom T ϕ χ. Důkazy tvrzení (a ), (b ) a (c ) Tvrzení (a ) Pro libovolné formule ϕ, ψ platí: ϕ (ϕ ψ) Důkaz (a ) Necht jsou ϕ, ψ libovolné formule. Potom 1. ϕ ( ψ ϕ) (A1) 2. ( ψ ϕ) (ϕ ψ) (A3) 3. ϕ (ϕ ψ) (TI) z kroků 1. a 2. Vysvětlení důkazu (a ) Jelikož jsme předpokládali, že ϕ a ψ jsou formule, potom z definice jsou formulemi i ϕ a ψ. Evidentně i ϕ ( ψ ϕ) je formule. Navíc je tato formule ve tvaru axiomového schématu (A1), jedná se tedy o axiom VL. Obdobně pak pro formuli z druhého kroku, jež je ve tvaru axiomového schématu (A3). Nenechte se zmást, že se v definici axiomových schémat vyskytují symboly ϕ, ψ atd. Jedná se o zástupné symboly, které pomáhají znázornit strukturu axiomového schématu. Namísto těchto symbolů si můžete představit např. symboly A, B, atd. Pokud za každý takový symbol dosadíme libovolnou formuli (za stejný symbol stejnou formuli), dostaneme axiom VL. 3

Následující diagram znázorňuje, jak byl vytvořen axiom, který se vyskytuje v prvním kroku důkazu. Axiomové schéma 1 A (B A) Axiom VL ϕ ( ψ ϕ) Všimněte si, že za symbol A byla na obou místech dosazena stejná formule ϕ, za symbol B potom ψ. Stejným způsobem obdržíme axiom ve druhém kroku, pouze využijeme axiomové schéma 3: Axiomové schéma 3 ( B A) (A B) Axiom VL ( ψ ϕ) (ϕ ψ) Nyní jsme za symbol A dosadili formuli ϕ a za symbol B formuli ψ. Třetí krok důkazu kombinuje předchozí dva kroky užitím tranzitivity implikace. Tranzitivita implikace říká, že pro každou teorii T a libovolné formule ϕ, ψ, χ platí 1 : Jestliže T ϕ ψ a T ψ χ, potom T ϕ χ. V našem konkrétním případu máme T =, ϕ = ϕ, ψ = ( ψ ϕ), χ = (ϕ ψ) a tedy jestliže potom platí ϕ ( ψ ϕ) a ( ψ ϕ) (ϕ ψ) ϕ (ϕ ψ) Z kroků 1. a 2. ale vidíme, že platí jak ϕ ( ψ ϕ), tak i ( ψ ϕ) (ϕ ψ). Takže můžeme z tranzitivity implikace usoudit, že ϕ (ϕ ψ), což jsme chtěli dokázat. Navíc jsme předpokládali, že ϕ a ψ jsou libovolné formule, čehož vzápětí využijeme při důkazu tvrzení (b ). 1 Formule byly přeznačeny, aby nekolidovaly s formulemi, které se vyskytují v důkazu. 4

Tvrzení (b ) Pro libovolnou formuli ϕ platí: ϕ ϕ Důkaz (b ) Necht je ϕ libovolná formule. Potom 1. ϕ ( ϕ ϕ) (a ) 2. ϕ ϕ ϕ (VoD) z 1. kroku 3. ( ϕ ϕ) ( ϕ ϕ) (A3) 4. ϕ ( ϕ ϕ) ( ϕ ϕ) (MD) z 3. kroku 5. ϕ ϕ ϕ (MP) z 2. a 4. kroku 6. ϕ ϕ (VoD) z 5. kroku 7. ϕ ϕ (VoD) z 6. kroku Vysvětlení důkazu (b ) Jelikož je princip podobný, rozebereme jen některé kroky. K prvnímu kroku: Z (a ) víme, že pro libovolné formule ϕ, ψ platí ϕ (ϕ ψ ) Fakt z 1. kroku získáme, pokud položíme ϕ = ϕ a ψ = ϕ. V 5. kroku jsme zjistili, že ϕ ϕ ϕ. Jinými slovy, z teorie { ϕ} je dokazatelná formule ϕ ϕ. V 6. kroku využijeme větu o dedukci na 5. krok: obohatíme teorii z 5. kroku, tj. teorii { ϕ}, o formuli ϕ a z takto obohacené teorie je potom podle věty o dedukci dokazatelná formule ϕ. Nicméně teorie je množina formulí, obohacená teorie je tedy ve tvaru { ϕ} { ϕ} = { ϕ}. Odtud je již zřejmý 6. krok. 5

Tvrzení (c ) Pro libovolnou formuli ϕ platí: ϕ ϕ Důkaz (c ) Necht je ϕ libovolná formule. Potom 1. ϕ ϕ (b ) 2. ( ϕ ϕ) (ϕ ϕ) (A3) 3. ϕ ϕ (MP) z 1. a 2. kroku 6