Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Transkript

1 Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O existenci -té odmocniny). Buď a,.. Pro a sudé existuje jediné takové, že.. Pro liché existuje jediné takové, že. Definice ( -tá odmocnina). Číslo z předchozího tvrzení se nazývá -tá odmocnina čísla. Značíme ho. Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak:. je-li a sudé, (nebo). je-li liché, klademe Takto definovaná racionální mocnina má následující vlastnosti: Věta (Vlastnosti racionální mocniny). Pro každé a každé platí. a), b),. a), b), 3., 4. a) pro a, b) pro a, 5. a) pro a, b) pro. Důkaz. Důkaz je jednoduchým důsledkem definice. Později se dozvíme, že pro každé a každé existuje právě jedno reálné číslo (označíme ho a nazveme obecná mocnina) takové, že je-li, odpovídá definici racionální mocniny, a má všechny vlastnosti -5 z předchozího odstavce. Exponenciála V ZS se dozvíme, že mezi exponenciálními funkcemi má význačné postavení exp. funkce se základem (Eulerovo číslo, konstanta). je iracionální a platí Exponenciální funkce Je-li základ exponenciální funkce větší než, je exp. funkce ostře rostoucí. Je-li, je funkce ostře klesající. Pouze pro je konstantní.

2 Funkce, kde,, je prostá na celém. Proto můžeme sestrojit funkci inverzní. Definice (Logaritmus). Buď,. Funkce inverzní k se jmenuje logaritmus při základu, značíme. Je-li, index vynecháváme. Je-li, místo píšeme a logaritmu říkáme přirozený logaritmus. Je tedy pro všechna,,, Je-li základ logaritmu větší než, je logaritmus ostře rostoucí. Je-li základ, je logaritmus ostře klesající. Z pravidel pro počítání s obecnou mocninou plynou pravidla pro počítání s logaritmy. Věta (Vlastnosti logaritmu). Pro všechna,,,, pro všechna a platí.,., 3., Pro platí, 6. Pro platí Goniometrické funkce Přirozený logaritmus sin α z α (0,0) cos α Středoškolské zavedení goniometrických funkcí je obvykle uskutečněno pomocí jednotkové kružnice, na kterou je vynesen orientovaný oblouk o délce (viz obrázek). Oblouk začíná v bodě, končí v bodě. Hodnotu funkce kosinus v bodě pak definujeme jako hodnotu, hodnotu funkce sinus v bodě jako. Toto zavedení není korektní proto, že je v něm užito předtím nedefinovaných pojmů (především pojmu oblouk a délka oblouku). Z obrázku pomocí Pythagorovy věty dostaneme okamžitě pro všechna vztah Rovněž z něj plyne, že funkce a jsou periodické (délku oblouku, který obkrouží kružnici právě jednou, definujeme jako hodnotu ) a platí vztahy Je také zřejmé, že funkce je lichá, sudá, takže platí Složitější je už z obrázku odvodit tzv. součtové vzorce: pro všechna, platí

3 Z obrázku je zřejmé, že řešení rovnice jsou všechna čísla. Řešení rovnice jsou všechna čísla. Proto lze na množinách resp. pomocí funkcí, definovat funkce tangens resp. kotangens: Dosazením do vzorců resp. dostaneme vzorce pro dvojnásobný úhel: Napišme pod sebe vztahy a : Sečtěme-li a odečteme-li tyto dvě rovnosti, dostaneme vztahy Substituujeme-li do těchto vztahů místo výraz, dostaneme Protože obě pravé strany jsou nezáporné, odmocněním obdržíme vztahy pro poloviční úhel: Ze součtových vzorců a dosazením za dostaneme dvojici vztahů Vynásobíme-li vztahy a, dostaneme Odtud pak plyne záměnou za a za vzorec pro součet dvou sinů: Podobným způsobem odvodíme další tři podobné vztahy: Ze vztahu získáme snadno vyjádření funkcí pomocí a naopak: platí Podělením a a rozšířením získáme pro, splňující podmínku součtový vzorec pro funkci tangens: Podobně získáme pro, splňující podmínku součtový vzorec pro kotangens:

4 Ze vztahu získáme podělením resp. důležité vztahy mezi funkcemi a resp. mezi a : platí Konečně, podělíme-li rovnosti a, dostaneme odkud lze vyjádřit kosinus pomocí funkce, který je důležitý v integrálním počtu: Podobný vzorec pro sinus lze dostat pomocí vzorce a podělením : Poznámka (Hodnoty sinu a kosinu). Hodnoty sinu a kosinu v důležitých bodech jsou uvedeny v následující tabulce. Grafy funkcí,, a vypadají následovně

5