TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.

Transkript

1 TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně uspořádanou podmnožinu Q. Níže použijeme Zornovo lemma v následujícím tvaru: Zornovo lemma. Buď Q neprázdná množina podmnožin množiny P uzpořádaná inkluzí taková, že pro každý neprázdný řetězec L v Q je L Q. Potom má Q maximální prvek. Zornovo lemma je ekvivalentní s axiomem výběru a je nezávislé na ostatních axiomech teorie množin. Lemma 4.1. Buď (X, τ) topologický prostor a S sub-báze topologie τ. Topologický prostor X je kvazikompaktní právě když lze z každého jeho pokrytí množinami sub-báze S vybrat konečné podpokrytí. Důkaz. ( ) Tato implikace je zřejmá z definice. ( ) Symbolem P označme množinu všech pokrytí prostoru X ze kterých nelze vybrat konečné podpokrytí. Na množině P uvažme uspořádání inkluzí. Pro spor předpokládejme, že prostor X není kvazikompaktní, tj., že je množina P neprázdná. Buď L řetězec v P a předpokládejme, že L / P. To znamená, že z pokrytí L lze vybrat konečné podpokrytí F. Protože je množina L lineárně uspořádaná inkluzí a pokrytí F L konečné, existuje pokrytí Q L takové, že F Q. To je ve sporu s tím, že Q P, neboť z Q stejně jako z L lze vybrat konečné podpokrytí F. Podle Zornova lemmatu existuje maximální pokrytí M P vzhledem k inkluzi. Polžme T = S M. Množina T je obsažena v M a proto z ní nelze vybrat konečné podpokrytí. Současně množina T sestává z množin subbáze S. Vzhledem k našemu předpokladu, že každé pokrytí prostoru X množinami sub-báze S obsahuje konečné podpokrytí, existuje y X \ T. Protože M pokrývá X, existuje Y M obsahující bod y. Protože S je zub-báze, existují S 1,..., S n S tak, že y n i=1 S i Y. Protože Date: 20. března

2 2 PAVEL RŮŽIČKA y / M, S i / M, pro všechna i = 1,..., n. Vzhledem k maximalitě M v množině P, lze z každé z množin M {S i }, i = 1,..., n, vybrat konečné pokrytí. Proto existují množiny Z 1,..., Z m M takové, že m X = S i Z j, pro všechna i = 1,..., n. Odtud plyne, že ( ) ( n m n ) ( m ) ( m ) X = S i Z j = S i Z j Y Z j. i=1 i=1 To je ve sporu s předpokladem, že z množiny M nelze vybrat konečné pokrytí X, neboť {Y, Z 1,..., Z m } M. Důsledek 4.2. Buď (X, τ) Hausdorffův topologický prostor a S subbáze topologie τ. Topologický prostor X je kompaktní právě když lze z každého jeho pokrytí množinami sub-báze S vybrat konečné podpokrytí Součin topologických prostorů. Nechť τ, υ jsou topologie na množině X. Řekneme, že topologie τ je jemnější než topologie υ, je-li υ τ. Ekvivalentně řekneme, že topologie υ je hrubší než topologie τ. Všimněme si, že topologie τ je jemnější než topologie υ právě když je identické zobrazení (X, τ) (X, υ) spojité. Definice. Nechť Y je množina, (Y i, τ i ) i I soubor topologických prostorů a F := f i : Y Y i i I soubor zobrazení. Topologii τ jejíž sub-báze je tvořena množinou {f 1 i (A) i I a A τ i } nazveme topologií generovanou souborem zobrazení F 1. Z definice je zřejmé, že topologie generovaná souborem zobrazení F je nejhrubší topologií na množině Y takovou, že jsou zobrazení f i : (Y, τ) (Y i, τ i ), i I, spojitá. Lemma 4.3. Buď Y i i I soubor topologických prostorů, Y prostor s topologií generovanou souborem zobrazení f i : Y Y i i I a X topologický prostor. Potom je zobrazení f : X Y spojité právě když jsou spojitá všechna složení f i f, i I. Důkaz. ( ) Je-li zobrazení f : X Y spojité, jsou spojitá i složení f i f, i I. ( ) Předpokládejme, že jsou všechna složení f i f, i I, spojitá. Potom pro každé i I a každou otevřenou podmnožinu A Y i platí, že je množina (f i f) 1 (A) = f 1 (f 1 i (A)) spojitá. Podle definice je množina {f 1 i (A) i I a A Y i otevřená} sub-bázi prostoru Y. Vzhledem k Lemmatu 2.4 je zobrazení f : X Y spojité. 1 Předpokládáme, že prostory (Y i, τ i ) jsou dány z kontextu.

3 Definice. Buď (X i, τ i ) i I soubor topologických prostorů. Uvažme množinu X i := { x i i I i I : x i X i }. i I Pro každé i I dále uvažme projekci p i : i I X i X i danou předpisem x i i I x i. Na množině i I X i uvažme topologii τ = i I τ i generovanou souborem zobrazení p i i I. Potom nazveme topologický prostor ( i I X i, τ) součinem prostorů X i, i I. Topologii τ nazveme součinovou topologií tohoto prostoru. Z definic je ihned vidět, že sub-báze topologie τ sestává z množin j (A) = { x i i I x j A}, kde j I a A τ j. Je zřejmé, že podmínku A τ j můžeme nahradit podmínkou A S j, kde S j jsou sub-báze topologií τ j, j I. Protože konečné průniky množin nějaké sub-báze daného topologického prostoru tvoří jeho bázi platí, že Tvrzení 4.4. Množiny tvaru i I A i, kde A i τ i a A i = X i pro skoro všechna 2 i I tvoří bázi topologie i I τ i. Podmínku A i τ i lze nahradit podmínkou A i B i, kde B i jsou báze prostorů X i, i I. Je-li indexová množina I konečná, pro jednoduchost předpokládejme I = {1,..., n}, je báze součinu n i=1 X i tvořena množinami tvaru n i=1 A i, kde A i je otevřená podmnožina X i pro všechna i = 1,..., n. Z Lemmatu 4.3 a z definice kartézského součinu ihned plyne, že Věta 4.5. Buď Y i i I soubor topologických prostorů a X topologický prostor. Zobrazení f : X i I Y i je spojité právě když jsou spojitá všechna složení p i f, i I, tohoto zobrazení s projekcemi na jednotlivé složky kartézského součinu. Lemma 4.6. Nechť je dán soubor topologických prostorů X i i I a pro každé i I podmnožina Y i X i. Potom platí, že Y i = Y i. i I i I Důkaz. Předpokládejme, že x i i I ( i I X ) ( i \ i I Y i). Potom existuje i I takové, že x i / Y i. Podle definice kartézského součinu je (X i \ Y i ) okolím x i i I, které je disjunktní s i I \Y i. Proto je množina i I Y i uzavřená, odkud je vidět, že i I Y i i I Y i. i 2 Existuje konečná F I taková, že A i = X i pro všechna i I \ F. 3

4 4 PAVEL RŮŽIČKA Nechť naopak x i i I i I Y i. Buď U okolí x i i I. Potom U obsahuje podmnožinu tvaru i I U i, kde U i je okolí x i v X i pro každé i I (a U i = X i pro skoro všechna i I). Z toho, že x i i I i I Y i plyne, že x i Y i pro všechna i I. Odtud dostaneme, že U i Y i pro všechna i I a tedy U i I Y i. Proto platí, že x i i I i I Y i. Ukázali jsme tak, že i I Y i i I Y i. Důsledek 4.7. Nechť je dán soubor topologických prostorů X i i I a pro každé i I podmnožina = G i X i. Potom je součin i I G i uzavřený v i I X i, právě když jsou podmnožiny G i uzavřené v X i pro všechna i I. Připomeňme, že symbolem I značíme podprostor 0, 1 reálné přímky. Lemma 4.8. Nechť X je topologický prostor, J konečná množina a f j : X I j = J soubor spojitých zobrazení. Potom je zobrazení f : X I definované předpisem x max j J f j (x) spojité. Důkaz. Intervaly (a, 1 a 0, a), kde 0 < a < 1, tvoří sub-bázi prostoru I. Vzhledem k Lemmatu 2.4 stačí ukázat, že jsou vzory těchto intervalů otevřené. Nechť a (0, 1) a nechť x X je takové, že a < f(x) = max j J f j (x). Potom existuje j J takové, že a < f j (x). Podle předpokladu je zobrazení f j spojité, a proto existuje okolí U bodu x takové, že a < f j (y) pro každé y U. Vzhledem k tomu, že f j (y) f(y), je také a < f(y) pro každé y U. Proto je f 1 ((a, 1 ) otevřená podmnožina X. Buď nyní x X takové, že f(x) < a. Potom pro každé j J platí nerovnost f j (x) < a. Ze spojitosti zobrazení f j plyne, že existuje okolí U j bodu x takové, že f j (y) < a pro každé y U j. Potom je x U = j J U j, množina U je okolím bodu x a je-li y U, je f j (y) < a pro všechna j J. Odtud plyne, že f(y) < a pro všechna y U. Vidíme, že je množina f 1 ( 0, a)) otevřená. Tvrzení 4.9. Buď j {0, 1, 2, 3, }. Je-li X i i I soubor T j prostorů, potom je součin i I X i také T j prostorem. Důkaz. Tvrzení ukážeme pro j = 2 a j = 3 1. Zbylé případy ponecháme 2 jako cvičení. Předpokládejme, že X i, i I, jsou T 2 prostory. Nechť x i i I a y i i I jsou dva různé prvky součinu i I X i. Existuje i I tak, že x i y i. Protože je prostor X i Hausdorffův, existují disjunktní otevřené A, B X i takové, že x i A a y i B. Potom jsou i (A) a i (B) disjunktní otevřené podmnožiny kartézského součinu i I X i takové, že x i i I i (A) a y i i I i (B). Proto je součin i I X i Hausdorffův. Předpokládejme, že X i, i I, jsou T 3 1 prostory. Potom jsou všechny 2 Hausdorffovy a tedy jejich součin je Hausdorffův, speciálně je T 1. Nechť

5 x i i I je prvek a G je uzavřená podmnožina součinu i I X i a předpokládejme, že x i i I / G. Buď B báze součinu i I X i popsaná v Tvrzení 4.4. Protože je množina G uzavřená, existuje A = i I A i B obsahující x a disjunktní s G. Navíc existuje konečná podmnožina J indexové množiny I, taková, že A i = X i pro každé i I \ J. Protože prostory X i, i I, jsou všchny T 3, existuje pro každé j J spojité zobrazení f j : X j I takové, že f j (x j ) = 0 a f j (X j \ A j ) = {1}. Položme f = max j J (f j p j ) (kde p j : i I X i X j jsou kanonické projekce). Vzhledem k Lemmatu 4.8 je zobrazení f spojité. Pro každé j J platí, že (f j p j )( x i i I ) = f j (x j ) = 0, odkud je vidět, že f( x i i I ) = 0. Buď y i i I G. Protože jsou množiny A a G disjunktní, existuje j J takové, že y j / A j. Potom je (f j p j )( y i i I ) = f j (y j ) = 1, odkud plyne, že f( y i i I ) = 1.. Poznámka. Poznamenejme, že kartézský součin dvou normálních prostorů nemusí být normální (Kvazi)kompaktnost a součin. Nechť (X i, τ i ) i I je soubor topologických prostorů. Sub-báze topologie jejich součinu i I X i je podle definice množina S := { i (A) A τ i }. Pro každou množinu S S zvolme i S I tak, že S = i S (A) pro nějakou A τ is a položme A S := A. Věta 4.10 (Tichonovova). Nechť X i i I je soubor kvazikompaktních prostorů. Potom je součin i I X i kvazikompaktní. Důkaz. Buď S := { i (A) A τ i } sub-báze součinu X i i I a definujme i S pro každé S S jako v úvodu podkapitoly. Podle Lemmatu 4.1 stačí ukázat, že z každého pokrytí T prostoru X i i I množinami sub-báze S lze vybrat konečné podpokrytí. Pro každé i I T i := {T T i T = i}. Ukážeme, že existuje k I takové, že X k = T T k A T. Pro spor předpokládejme opak. Potom pro každé i I existuje x i X i \ T T i A T. Protože i I X i = T, existuje S T tak, že x i i I S. Potom ale x is A S, což je ve sporu s volbou x is X is \ T T is A T neboť S T is. Protože je prostor X k kvazikompaktní, existuje konečná podmnožina J T k taková, že X k = j J A T j. Potom je ale i I X i = j J T j a proto je {T j j J} konečné podpokrytí vybrané z T. Z Tvrzení 4.9 a Věty 4.10 ihned plyne, že Důsledek Součin kompaktních prostorů je kompaktní. 5