6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího předmětu Cílem předmětu Matematika je připravit žáky pro plnohodnotný život, ve kterém se budou s matematikou setkávat v mnoha oblastech lidské činnosti. Matematika nachází uplatnění v ekonomii, technice, v přírodních vědách atd.. Pomáhá rozvíjet logické myšlení, vytváření úsudků, schopnost abstrakce, geometrickou a prostorovou představivost, analyzovat text úloh,učí hledat cestu k samostatnému řešení problémů. Cílem je také připravit žáky tak, aby uměli získané poznatky aplikovat nejen ve svém dalším studiu na vysoké škole, ale i v reálných životních situacích. b) Charakteristika učiva Matematika na střední škole navazuje na znalosti získané na základní škole. je rozděleno do čtyř ročníků a je řazeno podle požadavků odborných předmětů. V rámci tématických celků, které na sebe navazují, se žáci učí: - provádět početní operace - upravovat matematické výrazy - řešit různé typy rovnic, nerovnic, jejich soustav - sestrojovat grafy funkcí - odvozovat a používat vlastnosti funkcí - početně i konstrukčně řešit geometrické úlohy - pochopit základy finanční matematiky - interpretovat statistické údaje je tvořeno těmito tématickými celky: Operace s čísly a výrazy Funkce a její průběh. Řešení rovnic a nerovnic Planimetrie Stereometrie Analytická geometrie v rovině Posloupnosti a jejich užití Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika v praktických úlohách c) Výukové strategie (pojetí výuky) Předmět se vyučuje v 1. ročníku 4 hodiny, v 2. a 4. ročníku 3 hodiny a ve 3. ročníku 2 hodiny týdně. Výuka předmětu probíhá klasicky v kmenových učebnách formou výkladu, odvozování a procvičování učiva. Podle typu učiva volí učitel další vyučovací metody (samostatná práce, práce ve skupinách). Učitel pravidelně zadává domácí úkoly, vede tím žáky k systematické práci. Součástí výuky jsou poměrně časté krátké prověrky, předem hlášené písemné práce na opakování tématického celku a pravidelné čtvrtletní práce. d) Hodnocení výsledků žáků Hodnocení výsledků je v souladu s platným klasifikačním řádem. Stěžejními známkami jsou známky ze čtvrtletních prací (v 1. až 3. ročníku jsou 4, ve 4. ročníku jsou v prvním pololetí dvě, ve druhém pololetí je závěrečná práce společná pro všechny maturitní ročníky); - ústní zkoušení, kdy učitel hodnotí schopnost žáka ústně obhájit a vysvětlit řešení úloh; - známky z písemných prací zahrnujících celé tématické celky; - krátké desetiminutovky hodnotící pravidelnou přípravu; - aktivní účast v hodinách; - plnění domácích úkolů; - grafická úprava sešitů. e) Přínos předmětu k rozvoji klíčových kompetencí a aplikaci průřezových témat Vyučovací předmět se podílí na rozvoji všech klíčových kompetencí, zejména však: - kompetencí k učení (vede žáky k práci s učebnicí, učí je chápat strukturu učebnice, klade důraz na čtení s porozuměním) - kompetencí k řešení problémů (navozuje problémové situace, při kterých žáci formulují problémy, analyzují je a hledají cesty k jejich řešení; vede žáky ke správné volbě známého algoritmu, příp. k vytvoření nového algoritmu řešení; připouští práci s chybou a na jejím základě vede žáky k jiným postupům a poučením se z chyb; vede žáky k předvídání a odhadům výsledku úlohy, k provádění zkoušky správnosti řešení; zadává 52
úlohy, které vedou k zobecňování provedení syntézy, vyslovení hypotézy a vede žáky k ověřování těchto hypotéz) - komunikativních kompetencí (učí žáky formulovat myšlenky, obhajovat vlastní názor, vyžaduje přesnost při formulaci definic a vět; učí žáky argumentovat, používat různé typy tvrzení, rozlišovat definici a větu, zdůvodnit nebo vyvrátit hypotézu; vede žáky ke klasifikaci informací z různých zdrojů, učí žáky rozpoznat jejich důvěryhodnost, vyhodnotit informace kvantitativního i kvalitativního charakteru, které jsou obsaženy v grafech, diagramech, tabulkách; učí žáky prezentovat výsledky řešení úlohy, prezentovat získané informace formou grafů, diagramů a tabulek apod.) - kompetencí sociálních a personálních (vytváří příležitosti k činnosti ve dvojicích, ve skupinách, vede žáky k organizaci práce ve skupinách, k zodpovědnosti za práci skupiny; umožňuje střídat role žáků ve skupině, učí je hodnotit podíl na řešení úlohy svůj i jiných; vede žáky k úctě k práci jiných, nechává žáky hodnotit práci druhých, vede je k odhadu důsledků svého jednání a schopnosti nést následky) - kompetencí občanských (vede žáky k zodpovědnému plnění povinností a úkolů se soustavnou kontrolou; vybírá vhodné úlohy s ekologickou tematikou, vede žáky k poznání, že je třeba přírodu a životní prostředí chránit; učí žáky při zdůvodňování stanovisek a postupů uplatňovat základy logiky a rozlišovat seriózní a demagogickou argumentaci) - kompetencí matematických (rozvíjí logické myšlení, učí uvědoměle využívat matematických vědomostí a dovedností při řešení běžných situací vyžadujících efektivní způsoby výpočtů a poznatků, matematizovat reálné situace a vyhodnotit výsledek vzhledem k realitě, správně používat fyzikální jednotky, aplikovat základní matematické poznatky a postupy v odborné složce vzdělávání) Matematika integruje tato průřezová témata: Občan v demokratické společnosti (žáci jsou vedeni k tomu, aby vyjadřovali své názory a respektovali názory jiných, hledali kompromisy a byli kriticky tolerantní k ostatním) Člověk a svět práce (učitel pomáhá žákům reálně posuzovat jejich schopnosti, možnosti dalšího studia na vysoké škole a pracovního uplatnění, aby si uvědomovali rozvoj vědy a techniky v současném světě a z toho plynoucí nutnost celoživotního vzdělávání ). Člověk a životní prostředí (např. v tématickém celku statistika využívání údajů z různých statistických výzkumů, které mají vztah k životnímu prostředí a pomáhají tak utvářet kladný vztah k životnímu prostředí a pocitu nutnosti jeho ochrany). Informační a komunikační technologie (žák využívá v matematice prostředky IKT k získávání informací a k prezentaci vlastní práce). 2) a kompetence 1. ročník, 4 hodiny týdně, 34 týdnů, celkem 136 hodin - utřídí si a doplní znalosti ze základní školy - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - užívá základní množinové pojmy - používá absolutní hodnotu - zapíše a znázorní interval, provádí operace s intervaly (sjednocení, průnik) - řeší praktické úlohy s využitím procentového počtu, trojčlenky - dosadí do výrazu a určí hodnotu výrazu - určuje definiční obor lomeného výrazu - provádí operace s mnohočleny, lomenými výrazy, výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny - provádí operace s mocninami a odmocninami - zapíše číslo ve tvaru a. 10 n a používá ho při výpočtech 1. Opakování a rozšíření učiva základní školy Množiny Přirozená, racionální a iracionální čísla Zaokrouhlování čísel Reálná čísla, jejich vlastnosti a operace s reálnými čísly Absolutní hodnota reálného čísla Intervaly Úměry, trojčlenka Procentový a úrokový počet 2. Algebraické výrazy Hodnota výrazu, nulový bod výrazu Početní operace s mnohočleny Rozklady mnohočlenů na součin vytýkáním a pomocí vzorců Početní operace s lomenými výrazy Definiční obor lomeného výrazu 3. Mocniny a odmocniny Mocniny s celočíselným mocnitelem Zápis čísla ve tvaru a.10 n, řád čísel n-tá odmocnina, věty pro počítání s odmocninami Mocniny s racionálním mocnitelem Operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny 53
- řeší úlohy na polohové i metrické vlastnosti rovinných útvarů, používá správné značení - aplikuje Pythagorovu větu, Euklidovy věty a Thaletovu větu při konstrukci odmocniny čísla - užívá věty o shodnosti a podobnosti v početních i konstrukčních úlohách - používá Pythagorovu větu a goniometrické funkce při řešení neznámého prvku v pravoúhlém trojúhelníku - rozlišuje základní druhy rovinných obrazců, určí jejich obvod a obsah - používá získané znalosti při řešení úloh z praxe. - zavede souřadnicový systém, sestrojí body pomocí souřadnic - sestrojí graf funkce - z parametrů funkce určí její vlastnosti - rozlišuje lineární rovnice a nerovnice - provádí ekvivalentní a neekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic - posuzuje vhodnost pořadí matematických operací, diskutuje o počtu řešení a kontroluje výsledky zkouškou - řeší soustavy rovnic, zvolí nejvhodnější metodu - u nerovnic vyznačí řešení na číselné ose a řešení zapíše intervalem - užívá definici absolutní hodnoty při řešení rovnic a nerovnic - sestrojí graf lineární funkce s absolutní hodnotou - posoudí výběr vhodné metody řešení soustavy rovnic a soustavu vyřeší, určí počet řešení. 4. Planimetrie Základní pojmy, jejich vztahy Trojúhelníky a mnohoúhelníky, základní pojmy a vlastnosti Množiny všech bodů dané vlastnosti Věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků v početních i konstrukčních úlohách Věty Euklidovy a věta Pythagorova Definice goniometrických funkcí ostrého úhlu, řešení pravoúhlého trojúhelníku Obsahy a obvody rovinných obrazců, řešení úloh z technické praxe a běžného života 5. Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární a konstantní funkce, jejich grafy Přímá úměrnost, graf Lineární rovnice o jedné neznámé Vyjádření neznámé z technického vzorce Užití rovnic při řešení slovních úloh Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, jejich početní i grafické řešení Lineární nerovnice o jedné neznámé a jejich soustavy Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Lineární funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 2. ročník, 3 hodiny týdně, 34 týdnů, celkem 102 hodin - sestrojí graf funkce - z parametrů funkce určí její vlastnosti - vypočítá souřadnice vrcholu paraboly - prokáže znalost vzorce pro řešení kvadratické rovnice - podle hodnoty diskriminantu rozhodne o počtu řešení - vhodně používá Viètovy vzorce při řešení jednoduchých kvadratických rovnic - rozloží kvadratický trojčlen v součin - používá algoritmus řešení rovnic a nerovnic v součinovém tvaru - vyřeší kvadratickou nerovnici početně i graficky, výsledek zapíše intervalem - třídí úpravy rovnic na ekvivalentní a neekvivalentní - definuje goniometrické funkce obecného úhlu na základě jednotkové kružnice - sestrojí grafy goniometrických funkcí - používá jejich vlastností a vztahů při řešení jednoduchých goniometrických rovnic - uvede základní goniometrické vzorce - používá sinovou a kosinovou větu k řešení úloh z praxe 1. Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice Kvadratická funkce a její graf Řešení neúplné a úplné kvadratické rovnice, diskriminant Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Rozklad kvadratického trojčlenu Užití kvadratických rovnic při řešení slovních úloh Soustava lineární a kvadratické rovnice o dvou neznámých Kvadratická nerovnice, její početní a grafické řešení Iracionální rovnice 2. Goniometrie a trigonometrie Orientovaný úhel a jeho hodnoty v míře obloukové a stupňové Goniometrické funkce v oboru reálných čísel, jejich základní vlastnosti a grafy Některé goniometrické vzorce, úpravy goniometrických výrazů Základní goniometrické rovnice Věta sinová a kosinová Řešení obecného trojúhelníku 54
- rozlišuje jednotlivé druhy funkcí, načrtne jejich grafy a určí jejich vlastnosti; - definuje logaritmus a užívá ho při výpočtech - uplatňuje získané znalosti k řešení jednoduchých exponenciálních a logaritmických rovnic - určuje vzájemnou polohu dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin, odchylku dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin, vzdálenost bodu od roviny - ve volném rovnoběžném promítání určí jednoduchý řez hranolu a jehlanu - určuje povrch a objem základních těles s využitím funkčních vztahů a trigonometrie 3. Funkce Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot, hodnota funkce v bodě, graf funkce Některé vlastnosti funkcí Shrnutí poznatků o dosud probraných funkcích Funkce lineární lomená, nepřímá úměrnost Funkce mocninné Funkce inverzní Funkce exponenciální a funkce logaritmická Vlastnosti logaritmů, věty o počítání s logaritmy Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice 4. Stereometrie Polohové a metrické vlastnosti bodů, přímek a rovin Konstrukce rovinných řezů hranolu a jehlanu Povrchy a objemy těles: základních a komolých, koule a jejích částí Řešení úloh z praxe 3. ročník, 2 hodiny týdně, 34 týdnů, celkem 68 hodin - používá pravidlo součinu při řešení jednoduchých úloh - v úlohách vhodně vybírá variace, permutace či kombinace - užívá vztahy pro počet variací, permutací a kombinací bez opakování - počítá s faktoriály a kombinačními čísly - pomocí binomické věty rozepíše libovolnou mocninu dvojčlenu - rozlišuje náhodný jev a náhodný pokus - používá znalosti z kombinatoriky při výpočtu pravděpodobnosti náhodného jevu - užívá pojmy statistický soubor, absolutní a relativní četnost, variační rozpětí, aritmetický průměr - čte, vyhodnotí a sestaví tabulky, diagramy a grafy se statistickými údaji - vysvětlí posloupnost jako zvláštní případ funkce - určí posloupnost: vzorcem pro n-tý člen, výčtem prvků, graficky - rozliší aritmetickou a geometrickou posloupnost - používá aritmetickou a geometrickou posloupnost pro příklady z praxe - provádí výpočty jednoduchých finančních záležitostí a orientuje se v základních pojmech finanční matematiky - orientuje se v kartézské soustavě souřadnic, znázorní bod, vektor - provádí početní i grafické operace s vektory (součet a rozdíl vektorů), násobí vektory reálným číslem, skalární součin vektorů 1. Kombinatorika a pravděpodobnost Variace, permutace a kombinace Počítání s faktoriály a kombinačními čísly Pascalův trojúhelník, binomická věta Náhodný jev, jev opačný Pravděpodobnost náhodného jevu, průniku a sjednocení 2. Statistika Pravděpodobnost náhodného jevu, průniku a sjednocení Statistický soubor, jednotka, znak Absolutní a relativní četnost Charakteristiky polohy a variability průměry, modus, medián, rozptyl, směrodatná odchylka Vyhledávání a vyhodnocování statistických dat v grafech a tabulkách 3. Posloupnosti a finanční matematika Definice posloupnosti, její vlastnosti, graf Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Základy finanční matematiky; jednoduché a složené úrokování 4. Vektorová algebra Soustava souřadnic na přímce, v rovině a v prostoru Vzdálenost dvou bodů, střed úsečky Vektor a jeho velikost Operace s vektory: součet a rozdíl vektorů, vektor opačný, násobení vektoru reálným číslem 55
- aplikuje znalosti z odborných předmětů při skládání vektorů - užívá různá analytická vyjádření přímky - řeší analyticky polohové a metrické vztahy bodů a přímek; Skalární součin vektorů, úhel dvou vektorů 5. Analytická geometrie lineárních útvarů Vyjádření přímky v rovině (rovnice parametrická, obecná, směrnicový tvar) Dvě přímky v rovině (vzájemná poloha, odchylka, kolmost) Vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost dvou rovnoběžných přímek 4. ročník, 3 hodiny týdně, 30 týdnů, celkem 90 hodin 1. Analytická geometrie kvadratických útvarů - definuje jednotlivé kuželosečky, uvede jejich v rovině základní parametry Kružnice - z vypsaných parametrů kuželosečku načrtne Vzájemná poloha kružnice a přímky - sestaví a užije obecnou i středovou (vrcholovou) Elipsa rovnici kuželosečky Vzájemná poloha elipsy a přímky - řeší úlohy o vzájemné poloze přímky a kuželosečky Hyperbola Vzájemná poloha hyperboly a přímky Parabola - objasní základní pojmy matematiky - používá základní vztahy pro zjednodušení a urychlení výpočtů - z navrhovaných způsobů řešení vybírá nejvhodnější a svou volbu dokáže obhájit na úlohách z praxe, používá poznatků z různých oblastí matematiky - efektivně používá kalkulátor. Vzájemná poloha hyperboly a přímky 2. Shrnutí, doplnění a systematizace poznatků 56