BETONOVÉ KONSTRUKCE I

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ DOC. ING. ZDENĚK BAŽANT, CSC. BETONOVÉ KONSTRUKCE I MODUL CS 3 BETONOVÉ KONSTRUKCE PLOŠNÉ ČÁST 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Betonové konstrukce I Modul CS 3 Zdeněk Bažant, Brno 005 - (56) -

Obsah OBSAH 1 Úvod... 5 1.1 Cíle... 5 1. Požadované znalosti... 5 1.3 Doba potřebná ke studiu... 5 1.4 Klíčová slova... 5 1.5 Metodický návod na práci s textem... 5 Plošné betonové konstrukce... 7 3 Zásady statického řešení... 9 4 Desky... 11 4.1 Základní pojmy a vztahy technické teorie desek... 11 4. Deska působící v jednom směru... 1 4.3 Deska působící ve dvou směrech... 13 4.4 Deskové stropní konstrukce... 14 4.5 Výpočet odezvy desek působících ve dvou směrech... 16 4.6 Poddajnost podepření desek... 16 4.7 Desky podepřené po obvodě... 18 4.7.1 Poddajně podepřené desky metoda náhradních nosníků... 18 4.7. Vertikálně nepoddajné podepření desek po obvodě... 1 4.7.3 Spojité křížem vyztužené desky... 7 4.7.4 Konstrukční doporučení... 30 5 Stěnové nosníky... 35 5.1 Prosté a spojité stěnové nosníky... 35 5. Statické působení stěnových nosníků... 37 5.3 Dimenzování a vyztužování stěnových nosníků... 41 6 Opěrné zdi... 49 6.1 Druhy a použití opěrných stěn... 49 6. Zemní tlak... 51 6.3 Příklady vyztužování... 51 7 Závěr... 55 7.1 Shrnutí... 55 7. Studijní prameny... 55 7..1 Seznam použité literatury... 55 7.. Seznam doplňkové studijní literatury... 55 7..3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny... 56-3 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3-4 (56) -

Úvod 1 Úvod 1.1 Cíle Ve třetím modulu (CS 3) Betonových konstrukcí I je uvedeno řešení betonových plošných konstrukcí. Vyloženy jsou způsoby výpočtů obousměrně vyztužených desek o jednom a více polích, stěn a stěnových nosníků a opěrných zdí. Výklad je doplněn příklady řešení těchto konstrukcí 1. Požadované znalosti Modul CS 3 studia betonových konstrukcí navazuje na Prvky betonových konstrukcí, moduly CM 1 až CM 4, dále pak na Betonové konstrukce I, moduly CS 1 až CS. Pokud student nemá dostatečné znalosti předchozí látky, bude se jen těžko orientovat ve vyložené problematice. Vzhledem k tomu, že při výpočtech betonových konstrukcí jsou zapotřebí i znalosti stavební mechaniky, pružnosti a pevnosti, je nutné se orientovat i těchto předmětech. Při výpočtech opěrných stěn se použijí znalosti z geotechniky (zemní a horninový tlak na stavební konstrukce). Z matematiky, deskriptivní geometrie, fyziky apod. jsou zapotřebí běžné znalosti, získané studiem na střední škole. 1.3 Doba potřebná ke studiu Modul obsahuje látku zhruba za čtyři týdny semestru. Doba pro nastudování jednotlivých oddílů je různá, závisí především na průpravě studenta v předchozím studiu na této fakultě. Všeobecně řečeno, potřebná doba pro nastudování obnáší cca 0 30 hodin. 1.4 Klíčová slova Deska, deska nosná ve dvou směrech, spojité podepření desky, mezní stav únosnosti v ohybu, stěna, stěnový nosník, opěrná zeď. 1.5 Metodický návod na práci s textem Text modulu je třeba studovat postupně, vždy počítat příklady tedy aplikovat teoretické znalosti na praktické řešení konstrukce. Pokud není příslušná část jasná, je třeba začít studovat znovu a prozatím nepokračovat ve studiu nové látky. - 5 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3-6 (56) -

Plošné betonové konstrukce Plošné betonové konstrukce Beton představuje stavivo, jehož výrobní technologie poskytuje značnou volnost pokud jde o volbu tvaru nosné konstrukce nebo jejích prvků, takže se není třeba omezovat na tyčové prvky, tj. trámy, průvlaky, sloupy apod. Proto se v betonovém stavitelství používají v širokém měřítku plošné konstrukce jako jsou desky, nosné stěny, skořepiny aj., které mají řadu výhod z hlediska statického, výrobního i funkčního. Z hlediska geometrického tvaru pokládáme za plošné konstrukce taková tělesa, jejichž jeden rozměr tloušťka je podstatně menší než ostatní charakteristické rozměry. Souhrn bodů půlících tloušťku konstrukce vytváří tzv. střednicovou plochu, resp. rovinu. Tvar plošné konstrukce je tedy geometricky jednoznačně určen, je-li definována její střednicová plocha a tloušťka v libovolném místě (často je konstantní). V případě zakřivené (oblé) střednicové plochy hovoříme o skořepinách, jež představují moderní (a značně subtilnější) obdobu zděných kleneb, užívaných ve stavitelství řadu století. Železobetonové skořepinové konstrukce vytvářejí báně (kopule), zastřešující rozlehlé prostory kruhového půdorysu, válcové skořepinové střechy průmyslových a jiných objektů obr..1a, resp. další typy střešních konstrukcí a dílců. Plošné konstrukce s rovinnou střednicovou plochou představují deskové a stěnové konstrukce. Rozdíl mezi deskami a stěnami nespočívá v jejich tvaru, nýbrž v jejich zatížení a statickém působení. Obr..1: Typy betonových plošných konstrukcí Desky jsou zatíženy převážně kolmo ke své rovině (obr..1b) a vznikají v nich ohybové účinky. Obvykle jsou to stropní nebo střešní desky situované ve vodorovné rovině a zatížené svislými účinky od tíhy konstrukce, užitného zatížení a jiných vlivů (tíha sněhu atp.). Do kategorie desek též patří základové desky, letištní a silniční vozovky, průmyslové podlahy, prvky mostních staveb apod. - 7 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 Nosné stěny jsou zatíženy převážně ve své střednicové rovině nebo rovnoběžně s ní a nejsou vystaveny ohybu v příčném směru. Svou důležitost mají především stěnové nosníky (obr..1c), což jsou nosné prvky obdélníkového průřezu, které svými rozměry nesplňují kritéria pro výpočet nosníků podle elementární teorie štíhlých prutů (mají povahu vysokých nosníků). Naproti tomu stěnové pilíře, zatížené v hlavě a podepřené průběžně i patě (obr..1d) můžeme vyšetřovat jako tlačené pruty běžnými postupy. Rozlišení mezi deskami a stěnami nelze považovat za absolutní, neboť na týž prvek mohou působit účinky obojí povahy. Tak např. stropní desky výškových budov, ačkoli jsou především určeny k přenesení svislých zatížení, jsou často vystaveny stěnovým účinkům vlivem tlaku a sání větru a stropní tabule jako celek působí jako stěnový nosník. Deskové a stěnové nosné prvky často nepůsobí odděleně, ale společně vytvářejí deskostěnové konstrukce. Příkladem mohou být opěrné zdi, sdružené zásobníky s obdélníkovými buňkami, nebo tzv. krabicové konstrukce bytových staveb ať již v provedení monolitickém nebo montovaném (panelové objekty), ztužující věže výškových staveb, základové skříně, komůrkové mostní konstrukce, lomenicové střechy a jiné. Možnosti vytvářet nejrůznější kombinace plošných železobetonových konstrukcí nejsou již v současné době limitovány náročností jejich statického (a dynamického) výpočtu, ale obtížností nebo ekonomickou nevýhodností jejich realizace. - 8 (56) -

Zásady statického řešení 3 Zásady statického řešení Účinky působící na plošné betonové konstrukce, tj. silové účinky zatížení, vynucené deformace, objemové změny, seismické účinky aj., se ve standardních případech zavádějí podle předpisů platných pro příslušný typ stavby (pozemní objekty, mostní stavby, nádrže a zásobníky apod.) v zemi, kde je stavba situována, nebo podle obecnějších norem např. Evropské unie. Při stanovení účinků se přihlíží k požadavkům objednatele stavby (např. k požadované zatížitelnosti stropů), k lokalitě stavby, na níž závisí klimatické nebo seismické účinky a k dalším faktorům, jak je předmětem výkladu v teorii spolehlivosti stavebních konstrukcí. V ojedinělých případech nestandardní povahy se některé účinky vyšetřují experimentálně na modelech (např. účinky větru v aerodynamických tunelech apod.). Určení odezvy konstrukce, tj. vyvozených vnitřních sil a deformací, na vnější účinky není vždy jednoznačně předepsáno, takže pro různé návrhové situace je někdy možné užít některého z alternativních postupů. Výpočet podle teorie lineární pružnosti je teoreticky propracován nejpodrobněji a v současné době je díky výpočetní technice, využívající především programů založených na metodě konečných prvků, proveditelný prakticky pro jakýkoli typ plošné konstrukce, též konstrukce složené z plošných a prutových prvků. Přitom lineárně pružně určená odezva konstrukce vystihuje vcelku dosti dobře skutečné chování reálné železobetonové konstrukce při nižší úrovni působícího zatížení. Při vyšších hladinách zatěžovacích účinků dochází sice vlivem nelinearity pracovního diagramu betonu i oceli a v důsledku vzniku trhlin v betonu k určitým odchylkám skutečného působení konstrukce od teoretického lineárně pružného, rozdíly však většinou nejsou natolik výrazné, aby při posouzení spolehlivosti nosné konstrukce nemohl být po případných korekcích lineárně pružný výpočet vzat za základ. Jeho předností je též, že zaručuje plnění podmínek rovnováhy i kompatibility přetvoření. Proto se všeobecně přijímá (a v národních i evropských normách výslovně připouští), že z lineárně pružného výpočtu lze vycházet při posouzení konstrukce jak pro mezní stav únosnosti, tak i mezní stav použitelnosti (vyjma mezního stavu přetvoření konstrukcí).. Podrobnější a výstižnější sledování odezvy betonové konstrukce umožňuje výpočet podle teorie fyzikální nelinearity. V současné době již existují programy, které umožňují metodami numerické mechaniky postupně analyzovat jednotlivé fáze odezvy železobetonové konstrukce při nárůstu zatížení, avšak jejich náročnost je předurčuje spíše k řešení vědecko-výzkumných a studijních úloh než ke standardním výpočtům ve statické praxi. Je tomu tak též proto, že vyžadují detailní znalosti o vyztužení, takže jsou použitelné až po podrobném návrhu konstrukce. Výpočet podle teorie plasticity lze použít např. pro posouzení desek pozemních staveb na mezní stav únosnosti. Mezní plastická únosnost desek se vyšetřuje buď tzv. tuhoplastickou analýzou, tedy podle kinematické věty (přiblížení shora) nebo statické věty (přiblížení zdola). Při projektování betonových plošných konstrukcí se kromě numerických statických řešení vychází též z empirických poznatků, získaných četnými labora- - 9 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 torními zkouškami a pozorováním realizovaných staveb. Tyto zkušenosti bývají často formulovány v normách v podobě instrukcí pro projektování nebo zjednodušených návrhových metod, příp. empirických doporučení. Využití těchto empirických postupů je vhodné zejména při předběžném koncepčním návrhu konstrukce. Nejefektivnější metodou teorie pružnosti pro řešení desek je metoda konečných prvků (MKP), která dovoluje bez obtíží modelovat libovolný půdorysný tvar desky, způsob podepření, proměnnou tuhost desky (včetně otvorů s nulovou tuhostí) a její zatížení. - 10 (56) -

Desky 4 Desky Desky jsou nejrozšířenějším typem železobetonových plošných konstrukcí a tvoří především nosné stropní a střešní konstrukce budov. 4.1 Základní pojmy a vztahy technické teorie desek Jak bylo uvedeno v oddíle CS, při jejich statické analýze postupujeme obvykle podle zásad lineární teorie pružnosti, nejčastěji podle technické teorie tenkých pružných desek (Kirchhoffovy). Připomeneme některé základní pojmy a závislosti potřebné k dalšímu výkladu. K vyjádření napjatosti desky užíváme při pravoúhlém systému souřadnic těchto složek vnitřních sil: m x, m y m xy (=m yx ) q x, q y... ohybové momenty,... krouticí momenty,... posouvající síly. Kladný smysl působení těchto složek je schématicky znázorněn na obr. 4.1a. Všechny tyto silové veličiny vztahujeme na jednotku délky řezu jsou to tzv. měrné vnitřní síly; tomu odpovídají jejich fyzikální rozměry a vyjádření v jednotkách: u momentů m x, m y, m xy je to kupř. kn m/m = kn, u posouvajících sil kn/m = kn m -1. I když označení měrný obvykle pro stručnost vynecháváme, musíme mít tuto okolnost na paměti, což platí obecně u plošných konstrukcí. U homogenní desky jsou složky vnitřních sil dány integrací spojitě probíhajících normálových a smykových napětí po výšce řezu. U železobetonových desek jsou ohybové momenty (po vzniku trhlin) dány tahovými silami ve výztuži a tlakovými v tlačené oblasti betonu. Obr. 4.1: Vnitřní síly v desce, průhyby desky Krouticí a posouvající síly se přenášejí smykovými napětími v betonu, event. v trhlinách třením a hmoždinkovým účinkem zrn kameniva, resp. též výztuží. Z podmínek rovnováhy deskového prvku lze odvodit vztahy mezi posouvajícími silami a momenty v desce ve tvaru - 11 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 q x m mxy m y m x xy =, q y = (4.1) x y y x a odtud statickou podmínku rovnováhy vyjádřenou v momentech m x x + m m x y y + x y y = p, kde p = p(x,y) je plošné zatížení desky [kn/m apod.]. (4.) Pro názornější pohled na statické působení desky poslouží tato úvaha: Zavedeme-li pomocná označení p dostaneme po úpravě x m mxy m x y =, p, p, xy = y = (4.3) x x y y p = p x + p y + p xy (4.4) Tento vztah můžeme interpretovat tak, že plošné zatížení, působící na desku, můžeme rozložit na složky přenášené ohybem ve směru x (p x ) a y (p y ) a na složku přenášenou krouticími momenty (p xy ). Podíl mezi těmito složkami závisí na půdorysném tvaru desky a na uložení okrajů, jak bude ukázáno v dalších oddílech textu. S užitím těchto pojmů můžeme obecně rozlišovat: a) desky působící v jednom směru (viz obr. 4.), např. ve směru x, pak p y = p xy = 0), b) desky působící v obou směrech (obr. 4.3) obecný případ. Závěrem poznamenejme, že technická teorie pružných desek (Kirchhoffova) platí přijatelně za předpokladu, že deska není příliš tlustá (tloušťka nepřekračuje zhruba desetinu rozhodujícího rozpětí) a že průhyby nepřekročí určitou mez (přibližně pětinu tloušťky desky). Zpřesnění řešení pro tlusté desky navrhla řada autorů (E. Reissner, A. Green, R. Mindlin aj.), u nás se označuje jako Mindlinova teorie a je užívána v řadě programů pro řešení desek metodou konečných prvků. Při velkých průhybech desky vznikají kromě ohybových účinků též normálové síly deska působí do jisté míry jako plochá skořepina. 4. Deska působící v jednom směru Deska působící v jednom směru vzniká nad obdélníkovým nebo lichoběžníkovým půdorysem, kde jsou splněny dvě charakteristické podmínky : a) jedno z obou rozpětí (např. l x ) je výrazně větší než druhé (l y ); obdélníkové desky podepřené stejným způsobem na všech čtyřech stranách je to případ, kdy l x l y, b) zatížení je funkcí pouze nezávisle proměnné y, ve směru osy x je toto zatížení konstantní. - 1 (56) -

Desky Rozeznáváme desky nosníkové (obr. 4.a), uložené na dvou protilehlých, zpravidla rovnoběžných stranách a desky konzolové (obr. 4.b), které jsou po jedné straně svého obvodu souvisle vetknuta nebo tvoří převislý konec sousedního deskového pole. Zbývající strany obvodu jsou nepodepřené. Obr. 4.: Deska působící v jednom směru a) - nosníková, b )- konzolová; (1 střednicová rovina po přetvoření) Dimenzování a zásady vyztužování těchto desek byly probrány v Modulu CM 4 - Navrhování jednoduchých prvků. 4.3 Deska působící ve dvou směrech je deska podepřená způsobem, který vyvolává obecné přetvoření desky. Působením zatížení kolmo ke střednicové rovině tak vzniká podle obr. 4.3 průhybová plocha s dvojí křivostí. Pro dimenzování desky působící ve dvou směrech jsou pak rozhodující účinky zatížení v obou hlavních směrech. Podle charakteristického tvaru průhybové plochy třídíme desky s pravoúhlým systémem podporujících prvků na: a) desky souvisle podepřené po obvodě, b) desky lokálně podepřené. Obr. 4.3: Deska působící ve dvou směrech, a podepřená po obvodě, b lokálně podepřená; 1 souvislé podepření, lokální podpora - 13 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 Deska podepřená po obvodě (obr. 4.3a) je spojitě (souvisle) podepřená alespoň podél dvou navzájem kolmých stran svého půdorysu. Přitom může jít buď o podepření prosté (kloubové, přímkové) nebo o vetknutí. Desky podepřené po obvodě mohou být též spojité v jednom nebo obou hlavních směrech. Způsob podepření předurčuje okrajové podmínky při výpočtu vnitřních sil a přetvoření desek. Např. na obr. 4.3a je znázorněno přetvoření desky při prostém podepření podél podpor ve směru x a při vetknutí v podporách ve směru y. Deska lokálně podepřená (obr. 4.3b) je uložena na podporách, kterénelze považovat za souvislé. Obvykle jsou zde lokálními podporami sloupy nebo úseky stěn tvořící více či méně pravidelnou půdorysnou osnovu. Mezi lokálně podepřené desky počítáme i desky podporované mezi lokálními podporami nebo po obvodě poddajnějšími ztužujícími trámy, jejichž tuhost však nezajišťuje podmínky chování desek podepřených po obvodě. 4.4 Deskové stropní konstrukce Z uvedených typů desek se vytvářejí monolitické nebo montované stropní, střešní, popř. základové konstrukce nejrůznějších druhů stavebních objektů. Desky těchto konstrukcí lze navrhovat z obyčejného nebo lehkého betonu, železobetonové, popř. předpjaté. Výběr optimálního typu deskových konstrukcí závisí především na druhu a vzdálenosti prvků a intenzitě zatížení; v řadě případů je třeba přihlédnout též k místním podmínkám a zavedeným technologiím. U náročných objektů má být optimální koncepce výsledkem technickoekonomického porovnání variantních řešení. Významnou možnost racionalizace návrhu deskových stropních konstrukcí nabízí podporujících jejich vylehčení. Desky plného průřezu mají sice výhodně jednoduché bednění a rovný podhled, s rostoucím rozpětím se však nepříznivě projevuje velká vlastní tíha. Vylehčení deskových konstrukcí se navrhuje tak, aby zůstala co nejméně dotčena staticky nejcennější účinná výška a tlačená oblast průřezu; dutiny se proto umisťují blízko středu výšky desky. U desek se vytvářejí pomocí zabetonovaných nebo odnímatelných bednicích dílců kazety (viz obr. 4.4). Obr. 4.4: Vylehčení desek bednicími dílci Při souvislé tlačené části betonového průřezu se vkládá hlavní nosná výztuž do spodní části křížové soustavy žebírek. Při návrhu vylehčení se dbá na to, aby si konstrukce co nejvíce uchovala charakteristické znaky kontinuálního chování plných desek. - 14 (56) -

Desky Na obr. 4.5 jsou schematicky znázorněny některé typy monolitických deskových stropních konstrukcí. Nosníková a konzolová deska vyztužená v jednom směru podle obr. 4.5a může být souvisle podporována zdí s monolitickým věncem nebo trámem (průvlakem) a sloupy. Obr.4.5: Monolitické deskové a střešní konstrukce; a,b vyztužené v jednom směru; c až g vyztužené ve dvou směrech, Obdobně mohou být podporovány jednosměrně vyztužené trámové nebo žebírkové monolitické stropní konstrukce podle obr. 4.5b. Deska působící ve dvou směrech podle obr. 4.5c je po obvodě souvisle podepřena buď na zdivu (pozedními věnci) nebo na dostatečně tuhém trámu (průvlaku), podporovaném sloupy. Lokálně podepřená deska působící ve dvou směrech podle obr. 4.5d je výhodná jednoduchým tvarem a bedněním. Obtíže s dimenzováním desky v oblasti lokálních podpor (sloupů) lze řešit pomocí (plně vyznačené) zesilující desky. Při velkém rozpětí nebo zatížení lokálně podepřených desek je možné - 15 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 použít buď ocelových skrytých hlavic (bezhřibové deskové stropy) nebo viditelných hlavic (hřibové deskové stropy), které rozšiřují lokální podpory a mohou být ještě doplněny zesilující deskou (obr. 4.5e). Desková konstrukce podle obr. 4.5f může být zesílena ve více namáhaných sloupových pruzích širšími nízkými (poddajnými) průvlaky v obou hlavních směrech. Desková konstrukce vylehčená kazetami s výjimkou oblastí lokálních podpor nebo souvislých podporových pruhů je znázorněna na obr.4.5g. 4.5 Výpočet odezvy desek působících ve dvou směrech Způsob výpočtu silových nebo deformačních účinků zatížení není normativně předepsán. Výstižnost výpočtu má být přiměřená významu konstrukce, přičemž jsou přípustná taková zjednodušení výpočtu, při kterých jsou dodrženy alespoň: a) silové a momentové podmínky rovnováhy, b) podmínky spojitosti (kompatibility) přetvoření, c) podmínky skutečného uložení (podepření) konstrukce. Přestože rychlý rozvoj metod stavební mechaniky a výpočetní techniky zdánlivě zpochybňuje význam zjednodušených řešení, podrží si tato řešení svou nezastupitelnou roli při rychlé a účinné kontrole výsledků náročnějších výpočtů a při navrhování běžných konstrukcí díky omezenému množství vstupních údajů i nezbytných výsledků. U staticky neurčitých konstrukci, ke kterým patří všechny typy desek působících ve dvou směrech, lze použít pro výpočet odezvy konstrukce na účinky zatížení: teorii lineární pružnosti, teorii plasticity, teorii fyzikální nelinearity. Křížem vyztužené desky čtvercového nebo obdélníkového půdorysu se prohýbají podle obr. 4.3a,b účinkem zatížení ve směru obou rozpětí. Postupem známým ze stavební mechaniky [1, ] obdržíme momentovou rovnici desky, ze které lze získat ohybovou rovnici desky (4.). Obecné řešení rovnice desky pro obdélníkovou desku prostě podepřenou po obvodě nalezl Navier pomocí dvojitých Fourierových řad. Řešení pro vybrané druhy zatížení uvádí např. K. Girkmann [1], V. Kolář, J. Beneš a Z. Sobotka [], případně Svazek 3 Technického průvodce. 4.6 Poddajnost podepření desek Výstižnost dále uvedených zjednodušených metod výpočtu odezvy desek působících ve dvou směrech závisí na správně určeném způsobu jejich podepření. Z obr. 4.3a,b je dobře patrný rozdíl v přetvoření - tvaru průhybové plochy w (x,y) - desky spojitě podepřené po obvodě a desky lokálně podepřené. Mezi těmito krajními případy se navrhují deskové stropní a střešní konstrukce se - 16 (56) -

Desky ztužujícími trámy na spojnicích lokálních podpor (viz obr. 4.3c,f). Je-li ztužující trám v rovině ohybu dostatečně tuhý, lze použít zjednodušených metod výpočtu pro desky podepřené po obvodu (viz dále odd. 4.7). Účinek podepření poddajnějším ztužujícím trámem dovolují vyjádřit zjednodušené metody pro výpočet lokálně podepřených desek. Dříve se považovala za rozhraní obou případů výška ztužujícího trámu h = h s, kde h s je tloušťka desky. Podepření desky lze považovat za nepoddajné, splňují-li geometrické parametry ztužujícího trámu a desky podmínky: nebo α1l L 1 α L 1 (4.5), (4.6) L kde charakteristikou spolupůsobení ztužujícího obvodového trámu s deskou je součinitel ztužení α podle vztahu: Ve vztahu (4.7) je: I c E cb I s E bs E cb c α = (4.7) E bs I I s moment setrvačnosti účinného průřezu ztužujícího trámu ležícího v rovině předpokládaného ohybu (viz obr. 4.6), modul pružnosti ztužujícího trámu, moment setrvačnosti desky o šířce b, tj. pásu desky, ohraničené po obou stranách střednicemi pásů deskových polí přilehlých ke ztužujícímu trámu; u okrajových pásů je šířka desky ohraničena střednicí krajního pásu deskových polí přilehlých ke ztužujícímu trámu a okrajem desky, modul pružnosti desky. ) Obr. 4.6: Příklady určení účinného průřezu ztužujícího trámu Hodnoty α 1, α, popř. rozpětí L 1 (při značení délek velkým písmenem L se zmenší nebezpečí záměny s jedničkou), L ve vztazích (4.5) a (4.6) charakterizují pravoúhlé deskové pole ve směrech 1 a. Pro stanovení účinného průřezu ztužujícího trámu (šrafované plochy na obr. 4.6) je rozhodující šířka b s, rovnající se větší z vyčnívajících výšek ztužujícího trámu h w, nejvýše však čtyřnásobku tloušťky desky h s. - 17 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 Kriteria poddajnosti podepření desky (4.5) a (4.6) jsou obvykle přísnější než starší rozhraní h = h s. V závažnějších případech dá spolehlivé výsledky přesnější řešení např. MKP. 4.7 Desky podepřené po obvodě Po obvodě podepřené desky obdélníkového půdorysu o jednom deskovém poli (panelu) nebo spojité podle obr. 4.5c se vyskytují velmi často jako prvky stropních, střešních nebo základových konstrukcí všech druhů stavebních objektů. Souvislé podepření okrajů desky (resp. deskového pole) může být buď vertikálně zcela nepoddajné, tvoří-li je nosné stěny nebo dostatečně tuhé trámy (průvlaky), splňující podmínku (4.5) nebo (4.6) uvedené v oddíle 4.6, nebo poddajné, je-li realizováno méně tuhými trámy nebo zesilujícími nosníky. Důležitou součástí deskových konstrukcí, podepřených po obvodu, jsou desky vyráběné v dílnách (prefabrikáty). Tyto desky, obvykle nazývané panely, jsou buď plné, nebo vylehčené (s dutinami, povětšině s otvory kruhového průřezu) vylehčením se dosahuje snížení vlastní hmotnosti o 45 50%.. Mohou být podepřeny na dvou stranách a staticky působit jako prostý deskový nosník, nebo třech či čtyřech stranách jejich hlavní použití pak bylo při výstavbě panelových objektů. 4.7.1 Poddajně podepřené desky metoda náhradních nosníků Nejjednodušší statické působení desky obdélníkového půdorysu nastane při takovém poddajném podepření okrajů, při němž se okrajové nosníky prohnou do stejného tvaru jako samotná deska v tomtéž směru. Průhybová plocha je tedy translační plochou, tj. w (x,y) = w x (x) + w y (y), a všechny její smíšené derivace jsou pak rovny nule. Z toho pak vyplývá, že v desce nevznikají téměř žádné krouticí momenty (m x y = 0) a ohybové momenty v obou směrech souřadnicových os x, y představují přímo hlavní momenty m 1 = m x a m = m y. Trajektorie hlavních momentů jsou patrné z obr. 4.7. Obr. 4.7: Trajektorie hlavních momentů při m xy =0; m 1 =m x ; m =m y Podobný stav nastane v desce tehdy, není-li zabráněno jejímu nadzvedávání v rozích. Tento případ vzniká např. u střešních desek o jednom deskovém poli, které jsou prostě uloženy na obvodovém zdivu a nejsou dostatečně přitíženy tíhou střešní konstrukce. V takovém případě pak poklesnou hodnoty krouticích momentů v blízkosti rohů i v celé desce do té míry, že je můžeme prakticky zanedbat podobně jako ve výše uvedeném případě poddajného podepření. V obou případech, kdy je vliv krouticích momentů na silový a defor- - 18 (56) -

Desky mační stav desky nulový nebo zanedbatelný, můžeme obdélníkovou desku řešit přibližně pomocí tzv. metody náhradních nosníků. Tehdy desku nahradíme dvěma vzájemně kolmými osnovami nosníků (myšlených proužků jednotkové šířky vyťatých z desky) a ty pak řešíme na účinky příslušné části zatížení přenášené v odpovídajícím směru (tj. p x nebo p y ) srov. obr. 4.8. Připomeňme, že podle rovnic (4.3) jsou složky plošného zatížení přenášené ohybem ve směru x, resp. y rovny p x a p y ; pak tedy tyto rovnice platí i pro náhradní nosníky a silová podmínka rovnováhy (4.4) má pak při nulových krouticích momentech m xy = 0 (a tedy i p xy = 0) tvar p = p + p, (4.8) x což lze jednoduše formulovat tak, že součet zatížení přiložených k oběma osnovám náhradních nosníků musí být v každém bodě desky roven skutečně působícímu plošnému zatížení desky p. Omezíme-li se na nejčastější případ plného rovnoměrného zatížení desky p = konst., pak složky p x a p y můžeme zavádět jako plné rovnoměrné zatížení náhradních nosníků v obou směrech, jak je znázorněno na obr. 4.8. Takový postup neplyne z podmínky nulových krouticích momentů a přesně platí jen v případě translační průhybové plochy; v ostatních případech představuje určitý zjednodušující předpoklad, který nevede k nepřesnostem ve výsledném řešení. K určení velikosti složek zatížení p x a p y pak stačí využít jedinou deformační podmínku. Obvykle vycházíme z podmínky, že ve středu desky musí být průhyby obou vzájemně se křížících náhradních nosnících shodné wx ( x ) = w = 0.5L y( = 0. 5L y ) (4.9) kde w x a w y označují průhyby náhradních nosníků orientovaných ve směru x, resp. y. Při prostém uložení desky podle obr. 4.8 můžeme s užitím vzorce pro průhyb středu prostého nosníku, známého z teorie pružnosti (srov. též obr. 4.9), vyjádřit předešlou rovnici takto : 4 4 5 p L 5 p L x x y y =. (4.10) 384 Eb I 384 EbI kde I = I x = I y = h 3 s /1 je moment setrvačnosti pruhu o šířce b = 1m betonové desky konstantní tloušťky h s. y Vyjádříme-li zatížení p x jako C x -násobek celkového zatížení p, pak s užitím rovnice (4.8) můžeme psát p = x C x p, (4.11) p = ( 1 C p (4.1) y x ) Dosazením obou těchto vztahů do deformační podmínky (4.10) a po malé úpravě odvodíme C x 4 x 4 y L =, (4.13) L + L 4 y Obr. 4.8: Náhradní nosníky 4 Lx což lze zavedením parametru λ = za- 4 L y - 19 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 psat takto : 1 C x =. (4.14) λ + 1 Známe-li tedy C x a tedy i p x a p y, je tím převeden výpočet vnitřních sil obdélníkové desky působící ve dvou směrech na oddělené řešení náhradních nosníků podle obr. 4.8. Např. pro ohybové momenty podél středů deskového pole platí 1 1 m x,max = px Lx = C x plx, (4.15) 8 8 m 1 1 = ( C x ) ply, (4.16) 8 8 y, max p y Ly = 1 a pro posouvající síly (podporové reakce) na 1 m obvodu desky: q 1 1 = C x plx, (4.17) x, max p xlx = 1 q y, max = p y Ly = () ply. (4.18) Z těchto vztahů je zřejmé, že zjednodušené řešení metodou náhradních nosníků vede k rovnoměrnému rozložení podporových reakcí (tlaků na poddajné obvodové trámy). Rovněž tak ohybové momenty jsou u všech náhradních nosníků jedné osnovy shodné. 5 px Lx 4 w m,x = 384 Eb I 1 8 w L m,x = 384 4 px x Eb I 8 3 1 8 9 18 w m,x = px L 4 x Eb I Obr. 4.9: Průhyb a ohybové momenty náhradního nosníku pro základní způsoby uložení desky 1 384 1 1 4 1 Uvažujeme-li kromě případu prostého podepření okrajů desky také jejich vetknutí, zabraňující pootočení okraje, pak různými vzájemnými kombinacemi uložení jednotlivých okrajů obdélníkové desky můžeme rozlišit šest základních případů znázorněných na obr. 4.10. Pro tyto případy i = 1,,..,6 získáme součinitel C x,i, který určuje rozdělení zatížení p do jednotlivých osnov (p x, p y ), opět z deformační podmínky vyjadřující shodu průhybů vzájemně se křížících náhradních nosníků ve středu desky. Vzorce pro průhyb středu nosníku w m při různých způsobech uložení jsou přehledně uvedeny na obr. 4.9. Jejich dosazením do podmínky (4.10) obdržíme analogickým postupem jako pro prosté uložení vztahy pro C x,i uvedené na obr. 4.10 u jednotlivých typů uložení desky. Tak např. při kombinaci prostého a jednostranně vetknutého náhradního nosníku dle obr. 4.9, při použití parametru λ a rovnic (4.11) a (4.1) získáme C x, (obr. 4.10) z rovnice rovnosti průhybů uprostřed nosníků viz (4.10) - 0 (56) -

Desky 384 p x E L b 4 x I = 5 384 Po úpravě obdržíme součinitel rozdělení zatížení C x, ve tvaru C x, 4 5Ly = 4 4 L + 5L x y p y E L b 4 y I 1 = λ + 1 5 Někdy se můžeme setkat se vztahy bez použití λ; pouze s rozpětím L 4 [5]. 1 C,1 =, 1 x C λ +, =, 1 1 1 x C,3 =, C x x,4 =, C 1 1 λ +,5 =, x C 1 1 λ + 1 λ + 1 λ + 1 5 5 jednoduchá čára - prostý okraj (prosté podepření) dvojitá čára - vetknutý okraj (spojitost) Obr. 4.10: Součinitel rozdělení zatížení C x,i, pro základní způsoby uložení jednoho deskového pole Ze struktury vzorců pro C x,i je zřejmé, že s růstem poměru L y, /L x, klesá hodnota p y, tedy že u protáhlých desek je podíl ohybu v podélném směru velmi malý. Za mezní hodnotu se považuje poměr L y, /L x, =, kdy např. C x,1 = 0,941, takže p y činí jen necelých 6% zatížení, doporučený mezní poměr je však 1,5. Záleží to však také na uložení, např. pro případ 3 při poměru L y, /L x, = 1,5 přenáší se zatížení přibližně shodně v obou směrech. 4.7. Vertikálně nepoddajné podepření desek po obvodě 1 = λ + 1 S vertikálně poddajným podepřením desek po obvodě se setkáme v praxi jen výjimečně, proto je třeba chápat řešení v odst. 4.7 spíše jako teoretický základ zjednodušených metod výpočtu desek s vertikálně nepoddajným podepřením po obvodě. Desky jsou obvykle monoliticky spojeny s pozedními věnci, s deskami sousedních deskových polí nebo s vertikálně tuhými trámy, popř. průvlaky (viz odst. 4.6). Za dostatečné zajištění desky proti nadzvedávání vnějších rohů se považuje i stálé zatížení rohové části desky, rovné nejméně 1/16 veškerého zatížení desky - viz obr. 4.11. Průhybová plocha desky s vertikálně nepoddajným podepřením po obvodě je nakreslena na obr. 4.3a; u této desky lze docílit uvedeného tvaru průhybové plochy (uvedeného na obr. 4.3a) zatížením rohů desky myšlenými svislými silami. Lze si dobře představit, že účinkem rohových reakcí dochází ke zmenšení průhybu ve střední části desky. V deskovém elementu na obr. 4.1.a vznikají vodorovně působící tangenciální napětí, jejichž výslednicí jsou krouticí momenty m xy = m yx. x,6-1 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 ν Obr. 4.11: Čtvercová prostě podepřená deska s upnutými rohy, rovnoměrně zatížená Při výpočtu desek tedy můžeme použít: 1. Univerzální řešení desek MKP; používá se zejména u desek složitého půdorysného tvaru, proměnné tloušťky, dále u desek oslabených velkými otvory a u desek zatížených takovým způsobem, který nelze dostatečně spolehlivě vyjádřit náhradním plošným zatížením.. U obdélníkových desek konstantní tloušťky bez větších otvorů a při rovnoměrné intenzitě plošného zatížení p lze nalézt přibližné řešení deskové rovnice v základním tvaru pomocí rozkladu zatížení do obou hlavních směrů pomocí vztahů (4.11) a (4.1), při kterém respektujeme způsob podepření desky. Takto stanovené složky zatížení p x, p y použijeme pro výpočet podporových a mezipodporových momentů náhradního nosníku. Při výpočtu mezipodporových momentů a při výpočtu pružného průhybu desek lze pak přihlédnout k příznivému vlivu krouticích momentů m xy. Možností zmenšení mezipodporových momentů existuje celá řada - obvykle se však setkáváme s úpravou momentů v poli pomocí součinitele κ (podle H. Marcuse nebo K. Hrubana [5]) ve tvaru kde L x a L y jsou teoretická rozpětí ve směru x a y. 5 Lx Ly κ =, (4.19) 6 L + L 4 x 4 y - (56) -

Desky Momenty pak budou a) u pole podepřeného na okrajích prostě ( κ ) / m = 1, x m x ( κ ) / m = 1, (4.0) y m y b) u pole podepřeného na jednom okraji prostě a na druhém okraji vetknutého c) u pole oboustranně vetknutého = / m x m x 1 κ, 3 = / m y m y 1 κ, (4.1) 3 = / 1 m x m x 1 κ, 3 = / 1 m y m y 1 κ, ( 4.) 3 kde m x a m y jsou největší ohybové momenty v poli podle způsobu podepření ve směru x a y, počítané bez vlivu kroucení. Tak např. u čtvercové desky, kde L x = L y = L, po obvodu nepoddajně podepřené, s rovnoměrným zatížením p dle 1) na obr. 4.10 se po dosazení rovná 4 L 5 C x,1 = = 0, 5, κ = 4 4 ; L + L 1 ohybový moment ve směru x uprostřed desky bude což odpovídá vztahu (4.6). 1 5 7 m x = 16 1 19 = pl (1 ) pl, 5 U desky dle 6) na obr. 4.10 se rovná C x,6 = C x,1, také κ =. 1 Ohybový moment ve směru x uprostřed desky bude 1 48 (1 1 5 ) 3 1 m x = pl = 31 178 Obdobně, podle druhu podepření, by se pomocí součinitele κ mohl vypočítat průhyb w. 3. V různé odborné literatuře lze nalézt tabulky, uvádějící velikosti koeficientů pro výpočet již redukovaných momentů v polích. Tak např. u desky oboustranně prostě podepřené tuhými podporami (se zamezením zvedání rohů) lze psát pl - 3 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 kde potom m x 1 1 = px Lx ( 1 κ ) = C1 plx ( 1 κ ) = plx, (4.3) 8 8 a 1 ( 1 κ ) Pro L x = L y (tedy pro poměr L y /L x = 1) je což znamená, že a 1 = 7,4. 1 8 a 1 = (4.4) C x y ( ) = 1 = 1 =, 1 5 L L 5 7 κ (4.5) 4 6 L L 1 1 1 4 x y 1 1 7 7 1 mx = pl x = plx = plx, (4.6) 8 1 19 7, 4 Takto jsme obdrželi přibližnou hodnotu součinitele a 1. Počítali-li bychom součinitel a 1 např. pomocí dvojitých nekonečných goniometrických řad, bude roven a 1 = 7,17. Nepatrné rozdíly ve výpočtu MKP proti přesným tabulkovým hodnotám jsou dány hustotou sítě konečných prvků. Přibližné řešení nevystihuje bodové maximum podporových momentů u desky vetknuté po celém obvodu; jako průměrná hodnota na délce L - 0,5L x (viz dále) je však vyhovující. Shoda ostatních výsledků přibližného řešení s výstižnějšími metodami je dobrá. Řešení bylo provedeno za předpokladu, že ν b = 0, protože nad mezí vzniku trhlin účinek příčného přetvoření vymizí. Na obr. 4.1a je znázorněno pro obdélníkovou prostě podepřenou desku rozdělení momentů m x, popř. m y ve směru kolmém na směr těchto momentů. U desky s upnutými rohy proti zvedání ubývá velikosti těchto momentů směrem k okrajům desky. Proto jsme uložili výztuž pro zachycení krouticích momentů pouze v rozích desky a vně této oblasti lze stanovit dimenzační momenty v hlavních směrech desky pomocí vztahů = + sgn( ),,dim sgn( ) m m m m x,dim x x xy m = m + m m, (4.7) y y y xy kde sgn(m x ), popř. sgn(m y ) značí znaménko momentu m x, popř. m y. Pak se ukládá dolní výztuž a sx stanovená pro m x,dim, popř. výztuž a sy stanovená pro m y,dim ve vnitřních částech desky rovnoměrně, jen v délce 0,5L x (L x <L y ) od okrajů desky se zeslabí na 0,5a sx, popř. 0,5a sy. Při vyztužení desek pomocí svařovaných sítí (viz obr. 4.1c) se z praktických důvodů hlavní spodní výztuž a sx (popř. a sy ) směrem k okrajům desky zpravidla neubírá. Slabší výztuž a sy je třeba v rozích doplnit příložkami o průřezové ploše a y = a sx - a sy pro zachycení popsaných krouticích momentů. Obr. 4.1 a 4.13 ukazují, jak je dovoleno idealizovat rozdělení vnitřních sil. Lze se snadno přesvědčit o tom, že u desek uložených po obvodě je rozhodující pro dimenzování ohyb či průhyb a deska většinou vyhoví podle mezního stavu porušení posouvající silou bez smykové výztuže. Je možné též výztuž desky navrhnout ze svařovaných sítí při dodržení všech konstrukčních ustanovení. - 4 (56) -

Desky Obr. 4.1: Uspořádání výztuže obdélníkové, rovnoměrně zatížené desky, při prostém podepření a upnutí v rozích, je-li L x L y ; a - silové účinky zatížení; b - upořádání výztuže; c - vyztužení pomocí svařovaných sítí - 5 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 Obr. 4.13: Uspořádání výztuže obdélníkové, rovnoměrně zatížené desky, po obvodě vetknuté; a - zjednodušený průběh ohybových momentů; b - rozdělení vázané výztuže; c - svařované sítě - 6 (56) -

Desky 4.7.3 Spojité křížem vyztužené desky Vyšetřování vnitřních sil spojitých, po obvodě podepřených desek se přesnprovádí pomocí programů MKP. Vzhledem k poměrně rozsáhlým souborům potřebných vstupních hodnot i výstupů se dodnes zejména při kontrole získaných výsledků z počítače - uplatňují zjednodušené metody vyšetřování spojitých rovnoměrně zatížených desek působících ve dvou směrech. Přitom je rozhodující geometrické uspořádání soustavy desek: a) Jsou-li rozpětí desek jak ve směru x, tak ve směru y stejná nebo se navzájem liší nejvýše o 0% největšího z rozpětí v daném směru, lze zjednodušený výpočet provést pomocí součinitelů rozdělení zatížení C x,i na obr. 4.10 v odst. 4.7.1. Stanovíme je podle způsobu podepření jednotlivých polí desky. Přitom se považuje podepření spojité desky na vnitřních podporách za vetknutí a na obvodových podporách za prosté uložení, pokud není deska monoliticky spojena s masivním obvodovým věncem, průvlakem nebo stěnou. Očíslování polí spojité desky podle typu podepření na obr. 4.10 ukazuje obr. 4.14. Obr. 4.14: Zatřídění desek podle obr. 4.10 a součinitelé podporových momentů Podporové momenty spojité desky se stanoví za předpokladu plného zatížení obou přilehlých deskových polí, tj. pro veškeré zatížení stálé a proměnné p = g + q, rozdělené pomocí součinitelů C x,i na složky p x a p y. Podle obr. 4.14 se určí podporové momenty m xp - nad vnitřní podporou desky o dvou polích: 1 1 = C ; ( 1 ) x, i p Lx myp = Cx, i p Ly ; (4.8) 8 8 - nad první vnitřní podporou desky o třech a více polích: 1 1 mxp = Cx i p Lx myp = ( Cx i ) p Ly 10 10 1, ;, ; (4.9) - nad zbývajícími vnitřními podporami desky o čtyřech a více polích: m xp 1 1 = C ; ( 1 ) x, i p Lx m yp = C x, i p Ly. (4.30) 1 1-7 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 Koeficientu jedné dvanáctiny se použije i při vetknutí desky do obvodové podpory. Při odlišném rozpětí nebo zatížení sousedních polí se počítá s jejich průměry. Rozdíly však přitom nemají přesáhnout 0%. Při výpočtu kladných momentů v polích spojité desky je třeba přihlédnout k šachovnicovému rozdělí proměnného zatížení. Proto se veškeré zatížení p = g + q rozdělí podle obr. 4.15 na rovnoměrnou složku g + 0,5q a střídavou složku ±0,5q. Pro rovnoměrnou složku se deska přetvoří jako při plném zatížení, tj. podle příslušných schémat na obr. 4.10. Při střídavém zatížení dochází v podporách v obou hlavních směrech x, y k pootočení o úhel α jako při prostém podepření desky, což odpovídá ve schématech na obr. 4.10 případu 1). Pak bude platit např. pro kladné momenty pole 5 na obr. 4.15 s použitím hodnot na obr. 4.9 a s uvážením vlivu krouticích momentů podle vztahů 4.19 až 4.: m m b) U spojitých desek, jejichž sousední pole se liší rozpětím o více než 0% (buď ve směru x nebo y) lze doporučit metodu náhradních nosníků. Výstižnost této metody je limitována obtížně splnitelnými podmínkami stejného průhybu při rozdělování zatížení do hlavních směrů x, y při kombinaci stálého a šachovnicově rozmisťovaného proměnného zatížení. Proto se obvykle stanoví složky g x, g y, q x, q y za "primárního" stavu, tj. za předpokladu vetknutí deskových polí do společných podpor. Pak lze použít k určení uvedených složek stálého a proměnného zatížení opět součinitelů rozdělení zatížení C x,i podle obr. 4.10 nebo vhodných tabulek. Výpočet náhradních spojitých nosníků pro pruhy desky jednotkové šířky ve směru x i y se provádí odděleně pro složky stálého a šachovnicově rozděleného proměnného zatíα α α Obr. 4.15: Momenty v polích spojité desky C κ C = 1 κ 4 3 8 1 ( g + 0,5q) + ( 1 ) 0,5q 5 5 x 1 L x ( C ) α 9 1 κ 1+ C = 1 κ 18 3 8 1 ( g + 0,5q) + ( 1 ) 0,5q 5 5 y 1 L y, (4.31) Pro přibližný způsob výpočtu považujeme za přijatelné sečítání maximálních ohybových momentů v rozdílných průřezech náhradního nosníku na obr. 4.9. Obdobně bychom postupovali při použití tabulkových hodnot desek podepřených po obvodě. - 8 (56) -

Desky žení deskových polí. Přitom se obvykle neupravují mezipodporové momenty o účinek krouticích momentů podle vztahů 4.19 až 4. v odst. 4.7.. Tím se ovšem dále sníží výstižnost a hospodárnost této přibližné metody řešení. Výztuž vnitřních polí spojitých desek lze uspořádat podle zásad, které jsou pro vázanou výztuž znázorněny na obr. 4.13b a pro svařované sítě na obr. 4.13c. Přitom se doporučuje dodržet všechny konstrukční požadavky týkající se zejména vzdálenosti vložek a jejich kotvení. Horní nosnou výztuž je třeba ukončit v sousedním poli nejméně ve vzdálenosti rovné čtvrtině jeho menší světlosti. Stejným způsobem se uspořádá i výztuž okrajových a rohových polí spojitých desek, pokud jsou vetknuty do tuhých obvodových průvlaků nebo stěn, ve kterých se horní výztuž desky pečlivě ukotví. Obr. 4.16: Přídavná výztuž okrajových polí spojitých desek Prostě podepřená okrajová pole spojitých desek je třeba doplnit podle obr. 4.16 o výztuž nutnou pro zachycení krouticích momentů m xy. V prostě podepřených rozích se přidá ve čtverci 0,3L x 0,3L x (při L x L y ) u horního i dolního povrchu křížová výztuž o průřezové ploše rovné nejméně větší z obou hlavních výztuží krajního pole. V místech, kde se stýká prosté a vetknuté (spojité) podepření obvodových polí se u horního povrchu desky přidá ve čtverci 0,3L x 0,3L x výztuž rovnoběžná s vetknutým nebo spojitým podepřením o průřezové ploše nejméně 0,5a sx ( a sy ). Obr. 4.17: Zatěžovací plochy podporových reakcí Nelineární rozdělení podporových reakcí po obvodu podepřených desek (viz obr. 4.11a) na podporující trámy a průvlaky lze zjednodušit podle schémat na obr. 4.17. Zatěžovací obrazce podporujících prvků (trámů, průvlaků) mají trojúhelníkový nebo lichoběžníkový tvar a velikost - 9 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 zatížení se stanoví z návrhových hodnot stálého i proměnného zatížení desky na plochách sestrojených z rohů deskového pole podle těchto zásad: stýkají-li se v rohu desky dvě strany stejně podepřené (prosté podepření, popř. vetknutí nebo spojité podepření), vede se dělicí přímka pod úhlem 45 ; stýkají-li se v rohu desky dvě strany odlišně podepřené (průsečík prostého podepření s vetknutým nebo spojitým podepřením), vede se dělicí přímka pod úhlem 60 vzhledem k vetknutému nebo spojitě podepřenému okraji deskového pole; od místa průsečíku rohových dělicích přímek pokračuje dělicí přímka rovnoběžně s delší stranou půdorysu desky. 4.7.4 Konstrukční doporučení Tloušťka desky není normativně předepsána. Podle intenzity proměnného zatížení se doporučuje volit tloušťku desky, která je po obvodě: 1 1 prostě uložená: v rozmezí ( x + y ) až ( x y ) kratšího rozpětí, 75 L L 55 L + L nebo 1 1 vetknutá nebo spojitá: v rozmezí ( x + y ) až ( x y ) 105 L L 1 35 až 1 5 75 L + L nebo 1 45 až 1 35 kratšího rozpětí. Desky plného průřezu jsou s ohledem na jednoduché bednění a vyztužování hospodárné nejvýše do rozpětí 7,50 m a při velikosti užitného zatížení do 15 knm-. Při větším rozpětí nebo zatížení se navrhují desky vylehčené, ale s větší statickou výškou - viz např. obr. 4.4. Obvyklé doporučení, aby z hlediska hospodárnosti nebyl poměr délek stran obdélníkové desky podepřené po obvodě větší než 1,5:1 je správný i pro po obvodě stejným způsobem uložené desky. Desky v kratším směru prostě podepřené a v delším směru vetknuté lze provést hospodárný návrh i při jejich vyšším poměru. Ve stropních deskách je obvykle požadována řada otvorů pro vnitřní rozvody. Je-li půdorysná velikost prostupu menší než 0% kratšího rozpětí desky, popř. než 4násobek tloušťky desky, lze provádět výpočet vnitřních sil a přetvoření jako u desky bez otvorů. Výztuž, která by při rovnoměrném rozdělení procházela otvorem se přidá po obou stranách otvoru. Volné, popř. nepodepřené okraje desek mají mít příčnou a podélnou výztuž uspořádanou podle zásad znázorněných na obr. 4.18. Spony je vhodné navázat na hlavní výztuž desky; φ spon dle hlavní výztuže desky. Účelnější je využít pro vyznačené vyztužení volného okraje již navrženou hlavní výztuž desky. Pro návrh desky oslabené většími půdorysnými otvory je zapotřebí použít výstižnějšího řešení pomocí vhodného programu MKP. - 30 (56) -

φ φ φ φ φ φ Desky Obr. 4.18: Výztuž u volného okraje Výztuž běžných desek působících ve dvou směrech bývá obvykle menšího průměru. Proto je hospodárné použít pro vyztužování svařovaných sítí. Čas a náklady potřebné pro jejich ukládání se podstatně redukují ve srovnání s použitím ručně vázané výztuže, která se uplatní u silnějších vložek mohutných desek. Často se používají pro vyztužování desek svařované sítě a rohože obr. 4.1, 4.13. Zavádí se i úsporné kreslení výztuže desek, kdy zjednodušení výkresu výztuže není docíleno na úkor přehlednosti, spíše naopak. Na obr. 4.19 je přetištěna ukázka výkresu spodní výztuže desky podepřené po obvodě s vázanou výztuží a úsporným vyztužením okrajů desky. Šipky vymezují oblast, ve které se označená položka uloží. φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ Obr. 4.19: Automatizované vykreslení spodní výztuže po obvodě podepřené desky pomocí programu RECOC - nástavba AUTOCADU - 31 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 Příklad 4.1 Zadání Vypočítejte moment setrvačnosti účinného průřezu (šrafované plochy) ztužujícího trámu dle obr. 4.6b. Řešení Pro stanovení účinného průřezu ztužujícího trámu (šrafované plochy je rozhodující šířka b s, rovnající se větší z vyčnívajících výšek ztužujícího trámu h w, nejvýše však čtyřnásobku tloušťky desky h s. Lze se snadno přesvědčit o tom, že moment setrvačnosti ztužujícího trámu je možno určit pomocí vztahu: 1 A1 Ae Ib = ( A1 h + A hs ) +, 1 A1 + A kde A 1 = b w.h, A = b s.h s a e je vzdálenost těžišť ploch A 1 a A. Příklad 4. Zadání Spojitá deska o čtvercových polích s teoretickým rozpětím L 1 = L = 6 m, která má tloušťku h s = 0, m a rozměry ztužujících trámů podle obr.4.6 ve směru obou rozpětí h = h w + h s = 0,4 + 0, = 0,6 m; při šířce trámu b w = 0, m je h = 3h s. a) Zjistěte, zda pro vnitřní ztužující trámy (obr. 4.6a) vztahy (4.5) a (4.6) plní podmínku nepoddajného podepření desky. b) Přesvědčte se, jak je tomu u stejných krajních (obvodových) ztužujících trámů podle obr. 4.6b. Řešení a) A 1 = 0,1 m ; A = 0,16 m ; I b = 0,00688 m 4 a při b = 6,0 m je I s = 0,004 m 4. Podle podmínek (4.5) a (4.6) je při α 1 = α = 1,719 tuhost vnitřních ztužujících trámů nedostatečná a spojitou desku by bylo třeba řešit např. některou zjednodušenou metodou pro desky lokálně podepřené se ztužujícími trámy podle modulu CS 4, odd.. b) A 1 = 0,1 m ; A = 0,08m ; I b = 0,00579 m 4. Šířka b je ale jen b = 3,1 m, takže I s = 0,0007m 4 a α 1 = α =,80. Takto ztuženou čtvercovou desku bychom mohli řešit jako tuze (spojitě) podepřenou po obvodě podle odd. 4.7. Příklad 4.3 Zadání Postupem podle odd. 4.7.3 ad a) a b) vyřešte vnitřní síly souměrné spojité desky o třech shodných čtvercových polích podle následujícího obrázku,.. zatížených rovnoměrným stálým zatížením g = 6,19 knm - a proměnným zatížením v = 1,0 knm -. Výsledky srovnejte s řešením MKP pro plné podepření a pro poddajné obvodové trámy. - 3 (56) -

Desky Řešení Pro přibližnou metodu ad a) byly desky nejprve zatříděny podle způsobu podepření na obr. 4.10, kde typy a 3 slouží pro výpočet mezipodporových momentů od souměrné části zatížení g + 0,5v a typ 1 od střídavé části 0,5v. Podporový moment m xp byl vypočten podle vztahu (4.9) pro průměrné zatížení polí a 3 m xp = -0,5(C +C 3 )(g+v)l /10. Maximální a minimální hodnoty mezipodporových momentů byly určeny s vlivem krouticích momentů analogicky vztahům (4.31). K šachovnicovému rozdělení střídavé části nahodilého zatížení bylo přihlédnuto i při určení mezipodporových momentů m y. Zcela analogicky se postupovalo při použití tabulkových součinitelů. Pro výpočet ad b) metodou náhradních nosníků byly určeny složky g x, g y, v x a v y pomocí součinitelů C x,i na obr. 4.10 a spojitý nosník šířky 1 m byl řešen pro směr x deformační metodou. Podporový moment m xp je vypočten pro zatížení v x jen ve dvou přilehlých polích. Mezipodporové momenty jsou určeny s vlivem krouticích momentů i bez jejich vlivu. Stanovení minimálních hodnot m y metoda náhradních nosníků neumožňuje. Metoda konečných prvků (MKP) byla aplikována pomocí programu ANSYS 4.4A. Pro srovnatelnost výsledků bylo zavedeno alternativně plné přímkové podepření na vnitřních podporách nebo na poddajných vnitřních i obvodových trámech. Získané hodnoty rozhodujících ohybových momentů jsou uvedeny v následující tabulce. OHYBOVÉ MOMENTY SPOJITÉ DESKY O TŘECH POLÍCH Metoda výpočtu Ohybový MKP ad a) ad b) moment [knm.m -1 ] Plné podepření Poddajné trámy Obr. 4.10 Tabulky bez m xy s m xy m x,p -34,46-6,16-50,50-55,6 m x,max 5,33 3,64 4,91,49 43,14 33,51 m x,min 7,64 6,04 9,16 6,7 6,06 4,71 m x3,max 1,61 19,58 1,87 19,53 3,90 30,36 m x3,min 3,47 1,83 6,1 3,76-9,5-8,78 m y,max,81 18,97 19,99 19,78-3,33 18,3 m y,min 4,91 6,75 4,4 4,01 - - m y3,max 17,17 17,44 16,7 15,7 13,63 1,57 m y3,min -0,99 6,8 0,5-0,04 - - - 33 (56) -

Betonové konstrukce I Modul CS 3 Porovnání s přesnějším řešením MKP v tabulce ukazuje, že přibližné vyšetřování spojitých desek ad a) jak pomocí rozdělovacích čísel (obr. 4.10), tak tabulkových hodnot je daleko výstižnější a hospodárnější než metoda náhradních nosníků ad b), která jednak neumožňuje stanovit minimální momenty v kolmém směru při šachovnicovém zatížení polí u jednoho deskového pásu a kromě toho může některé dimenzovací veličiny výrazněji podhodnotit (viz např. m y3,max ). Zajímavé je i porovnání přesnějších a přibližných metod desek podporovaných trámy, kde kriteria v odst. 4.6 umožňují považovat desku za tuze podepřenou. Nadhodnocení se projeví nejvýrazněji u podporového momentu m xp. Příklad 4.4 Zadání Jak se vyztuží deska, vznikají-li v daném místě desky momenty: a) m x = 10 kn, m y = 0 kn, m xy = 5 kn. b) m x = 10 kn, m y = 0 kn, m xy = 5 kn. Řešení Použijeme vztahy 4.7: a) b) m udx m udx = m x,dim = 10 + 5 = 15 kn, mudy = m y, dim = 10 + 5 = 5 kn... 0, m udy = 0 + 15 = 35 kn, = 0 + 5 = 15 kn... 0. Deska se opatří pouze spodní výztuží, dimenzovanou ve směru x na moment 15 kn (= 15 kn m/m ), ve směru y na hodnotu 35 kn; horní výztuž není zapotřebí. K témuž výsledku bychom dospěli při záporném krouticím momentu m xy = -5 kn, neboť ve všech relacích figuruje jeho absolutní hodnota. m = m = + 5 = 35 kn, m = m = 0 + 5 = 45 kn, udx m udx x,dim 10 udy y, dim = 10 + 5 = 15 kn, m udy = 0 + 5 = 5 kn. V tomto případě jsou potřebné dvě osnovy výztuže při obou lících desky. Spodní výztuž se dimenzuje ve směru x na moment 35 kn, se směrem y na 45 kn, horní výztuž na hodnoty 15 kn a 5 kn. Z příkladu vysvítá, že výztuž při obou površích desky je nezbytná vždy tehdy, když krouticí moment je v absolutní hodnotě větší než ohybové momenty. V krajním případě, kdy jsou ohybové momenty nulové (pravoúhlý roh prostě podepřené desky), jsou všechny návrhové hodnoty shodně rovny m xy. - 34 (56) -