Průmyslová střední škola Letohrad. Ing. Soňa Chládková. Sbírka příkladů. ze stavební mechaniky

Transkript

1 Průmyslová střední škola Letohrad Ing. Soňa Chládková Sbírka příkladů ze stavební mechaniky 2014 Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního rozpočtu ČR. 3

2 Ú V O D Návod k použití Sbírka je doplňkovým studijním materiálem, který obsahuje ve zkratce nejzákladnější poznatky z teorie, nabízí vzorové příklady a příklady k samostatnému řešení. Na vypracovaných úlohách lze zkontrolovat, jak jste dané látce porozuměli. Stačí si opsat zadání, danou úlohu vypracovat samostatně a zkontrolovat s výsledkem ve sbírce. Pokud si nejste jisti postupem řešení nebo vám výsledek nevyšel, projděte si postup ve skriptech a pokuste se vyřešit další úlohy.. Přeji vám dostatek píle a trpělivosti. Určitě se vaše úsilí zúročí. 4

3 O B S A H 1. P Ř E H L E D S O U S T A V S I L A J E J I C H Ř E Š E N Í 5 výslednice soustavy sil, rovnováha soustavy sil - teorie ve zkratce síly na jednom paprsku stejnosměrné různosměrné síly rovnoběžné dvě síly stejnosměrné dvě síly různosměrné akce a reakce soustava více rovnoběžných sil různosměrné síly dvě síly navzájem kolmé dvě síly se společným působištěm (svírají ostrý úhel) dvě síly nemají společné působiště svazek sil obecná soustava sil 2. S T A T I C K Y U R Č I TÉ N O S N Í K Y 10 VÝPOČET REAKCÍ (10) rovnováha soustavy sil podepření tuhé desky staticky určitý nosník zatížení nosníků přímý nosník lomený nosník šikmý nosník konzola PRŮBĚH VNITŘNÍCH SIL (24) přímý nosník lomený nosník šikmý nosník konzola 3. S T A T I C K Y N E U R Č I T É N O S N Í KY 54 výpočet podporových momentů výpočet vnitřních sil 4. P R Ů Ř E Z O V É V E L I Č I N Y 62 těžiště plochy moment setrvačnosti modul průřezu poloměr setrvačnosti složené průřezy ze základních ploch svařované průřezy z válcovaných profilů tabulky válcovaných průřezů 5. PROSTÝ TAH, PROSTÝ TLAK 79 5

4 6. PROSTÝ SMYK PROSTÝ OHYB 83 normálové napětí tangenciální napětí 8. MIMOSTŘEDNÝ TLAK 92 normálové napětí jádro průřezu mimostředný tlak za vyloučeného tahu 9. VZPĚRNÝ TLAK 98 štíhlé pruty součinitel vzpěru 10. PRUTOVÉ SOUSTAVY 104 prutová soustava řešení osových sil 11. DEFORMACE 119 ohybová čára a její parametry průhyb na převislém konci PŘÍLOHA 125 Z D R O J E Statické tabulky pro stavební praxi - Otakar Novák, Jiří Hořejší, Nakladatelství technické literatury, druhé vydání 1978 Stavební mechanika pro 2. a 3. ročník SPŠ stavebních Jiří Dvořák, Sobotáles, první vydání

5 1. P Ř E H L E D S O U S T A V S I L A J E J I C H Ř E Š E N Í T E O R I E Rovinná soustava sil = množina sil, působících v jedné rovině V y š e t ř u j e m e : velikost výslednice, její poloha a směr podmínky za kterých je soustava sil v rovnováze Rovnováha soustavy sil soustava sil je v rovnováze, pokud nemá výslednici a momentový účinek soustavy sil je také nulový tři podmínky rovnováhy síly v rovině rozložíme do dvou složek ve směru osy x a y P ix = 0 P iy = 0 M i = 0 Statický moment síly charakterizuje otáčivý účinek síly kolem středu otáčení O určíme jej jako součin velikosti síly a ramene (kolmá vzdálenost paprsku síly od středu otáčení) M = P * r Statický moment výslednice = Varignonova věta(momentová věta) statický moment výslednice soustavy sil k danému středu otáčení je roven algebraickému součtu statických momentů všech sil dané soustavy ke stejnému středu otáčení R * r = Σ P i * r i Momentová podmínka rovnováhy algebraický součet statických momentů všech sil dané soustavy k danému středu otáčení se rovná nule Σ P i * r i = 0 T y p y s o u s t a v charakteristika : dvě síly na jedné přímce s t e j n o s m ě r n é síly leží na jedné přímce a mají stejný směr velikost výslednice sil se rovná jejich součtu R = P 1 + P 2 orientace je stejná jako orientace složek p r o t i s m ě r n é síly leží na jedné přímce a mají různý směr velikost výslednice sil se rovná jejich algebraickému součtu ( s ohledem na znaménka) R = P 1 + P 2 orientace je stejná jako orientace větší z nich a k c e a r e a k c e (akce vyvolává reakci síly leží na jedné přímce, jsou protisměrné a stejně velké velikost výslednice sil se rovná jejich součtu R = P 1 + P 2 = 0 7

6 dvě síly rovnoběžné d v ě r o v n o b ě ž n é s í l y s o u s m ě r n é velikost výslednice R je rovna součtu velikostí obou sil. Výslednice leží mezi paprsky sil, blíže k větší z nich. Směr výslednice je souhlasný se směrem obou sil graficky je spojnici počátku a konce složková čáry. Směr výslednice je proti směru složkové čáry d v ě r o v n o b ě ž n é s í l y p r o t i s m ě r n é velikost výslednice R je rovna rozdílu velikostí obou sil. Výslednice leží vně paprsků sil ze strany větší z nich. Směr výslednice je ve směru větší z nich. polohu výslednice početně vyřešíme podle momentové (Varignonovy) věty graficky je spojnici počátku a konce složková čáry. Směr výslednice je proti směru složkové čáry r o z k l a d s í l y d o d v o u r o v n o b ě ž n ý c h p a p r s k ů vycházíme z již známých předpokladů o poloze, velikosti a směru výslednice sil d v o j i c e s i l specielní případ dvou rovnoběžných sil stejně velkých (P 1 = P 2 ) opačně orientovaných. R = 0 soustava sil nemá na těleso posuvný účinek, ale má momentový účinek - otáčecí ten je definován jako součin síly a ramene (kolmá vzdálenost obou paprsků) M = P * r v í c e r o v n o b ě ž n ý c h s i l různoběžné síly d v ě s í l y n a s e b e k o l m é R = ( F F 2 2 ) r o z k l a d s í l y d o d v o u s m ě r ů n a s e b e k o l m ý c h F x = R * cos α F y = R * sin α d v ě s í l y n e j s o u n a s e b e k o l m é mají společné působiště řešení obecného trojúhelníka : c o s i n o v a v ě t a : a 2 = b 2 + c 2 2*b*c*cos α s i n o v a v ě t a : = = 8

7 nemají společné působiště (na pracovní ploše) Pokud mají paprsky sil průsečík na pracovní ploše, posuneme určující úsečky sil P 1 a P 2 po paprsku do průsečíku paprsků obou sil a řešíme jako obecný trojúhelník. Pokud paprsky nemají průsečík na pracovní ploše, řešíme pomocí složkového obrazce přeneseme síly po ploše tak, aby se paprsky sil protnuly. Výslednice je spojnicí počátku a konce složkové čáry, směr výslednice je proti směru složkové čáry. obecná soustava sil soustava více různoběžných sil pro početní řešení nemáme dost informací a je poměrně složité museli bychom znát vzdálenost paprsků sil od zvoleného středu otáčení řešení provádíme graficky pomocí složkové a výslednicové čáry postup : Odvození postupu je vysvětleno v učebnici Stavební mechanika. pro potřeby řešení silových soustav je prezentován stručný postup : vytvoříme složkový obrazec dané soustavy sil a najdeme výslednici zvolíme tzv. pól O uprostřed složkové čáry ve vzdálenosti přibližně ½ délky složkové čáry spojíme počátky a konce skládaných sil s pólem a tím určíme tzv. pólové paprsky ( pro lepší orientaci si je můžeme označit římskými číslicemi) pro složkový obrazec a výslednicový obrazec platí : pólové paprsky, které svírají určující úsečku síly ve složkovém obrazci, se ve výslednicovém obrazci na dané síle protínají průsečík na prvním paprsku síly volíme libovolně v průsečíku prvního a posledního pólového paprsku umístíme paprsek výslednice rovnoběžný s výslednicí ve složkovém obrazci 9

8 výslednicový obrazec složkový obrazec 10

9 svazek sil = soustava více sil, které mají společné působiště grafické řešení : pomocí složkové čáry výslednice je spojnice počátku a konce složkové čáry a je orientována proti směru složkové čáry působiště výslednice leží v průsečíku všech sil svazku početní řešení : pro zjednodušení výpočtu vložíme do svazku systém dvou na sebe kolmých os (x,y) rozložíme všechny síly na složky ve směru osy x a y tím převedeme svazek sil do dvou soustav sil na jednom paprsku a spočítáme složky výslednice R x = P ix R y = P iy R = ( R 2 x + R 2 y ) polohu výslednice řešíme pomocí pravoúhlého trojúhelníku : tg α R = R y /R x α R při řešení úlohy musí být jednoznačně určený polohy sil vzhledem k osám x nebo y zadáno dvojím způsobem : 11

10 1. pomocí směrového úhlu α s velikost úhlu, který svírá paprsek síly s osou x + R x = P 1 *cosα 1 s + P 2 * cos α 2 s 2. pomocí úhlu α, který svírá síla s osou x (ostrý úhel) R x = P 1 *cosα 1 P 2 * cos α 2 jedná se o algebraický součet s ohledem na znaménka více rovnoběžných sil velikost výslednice soustavy sil se rovná jejich součtu. R = Σ P i polohu a směr výslednice řešíme početně pomocí Varignonovy věty. Graficky pomocí složkového a výslednicového obrazce 2. S T A T I C K Y U R Č I T É N O S N Í K Y A. VÝPOČET REAKCÍ T E O R I E Na nosník působí vnější síly vyvolané zatížením a reakce v podepření nosníku. Tato uzavřená soustava sil musí být v rovnováze, proto při výpočtu reakcí použijeme tři podmínky rovnováhy pro rovinné soustavy sil. Momentová podmínka Algebraický součet statických momentů všech sil nebo jejich složek k danému středu otáčení je roven nule. Σ M i = 0 Součtové podmínky v e s m ě r u o s y x : Algebraický součet všech sil dané soustavy nebo jejich složek rovnoběžných s osou x se rovná nule. Σ P ix = 0 v e s m ě r u o s y y : Algebraický součet všech sil dané soustavy nebo jejich složek rovnoběžných s osou y se rovná nule. Σ P iy = 0 Způsoby podepření : Tuhá deska v rovině má tři stupně volnosti. Dovolují posun ve směru osy x, y a pootočení. U staticky určitých konstrukcí musíme konstrukci způsobem podepření odebrat právě tři stupně volnosti, protože pro řešení máme jen tři podmínky rovnováhy. pevný kloub odebírá dva stupně volnosti tzn. zabrání pohybu ve dvou směrech (ve směru osy x a osy y) 12

11 Celý výukový materiál je možno zdarma získat na vyžádání na nebo na telefonu