MĚŘENÍ RYCHLOSTI SVĚTL Měřií potřeby 1) Základní jednotka se zdrojem a detektorem světla 2) Měřií dráha s délkovou stupnií 3) Měřič frekvene (čítač) 4) Dvojité zradlo, dvě spojné čočky 5) Osiloskop, spojovaí kabely 6) Blok syntetiké pryskyřie 7) Trubie s vodou Obená část Uspořádání experimentu Jako zdroj světla Z je použita červená dioda LED modulovaná harmonikou frekvení 50,0 MHz. Spojná čočka L 1 (nastavená tak, aby zdroj byl v jejím předmětovém ohnisku) vytvoří rovnoběžný svazek světla ( paprsek ), pohybujíí se podél základny přístroje ve směru měřií dráhy. Po odrazu na dvojitém zradle M se vraí svazek podél základny zpět a dopadá na detektor D umístěný v ohnisku druhé spojné čočky L 2. Obr. 1 Uspořádání experimentu Přijímaný signál má stejnou frekveni jako signál vysílaný zdrojem, ale jinou fázi, jako důsledek časového zpoždění na proběhnuté dráze. Mezi oběma signály tedy vzniká určitý fázový rozdíl. Pro zobrazení na osiloskopu je jejih frekvene redukována na 50 khz ve směšovačíh S 1 a S 2 (je do nih přiveden kmitočet 50,05 MHz z pomoného generátoru G), přitom však nedohází ke změně fázového rozdílu signálů. Vysílaný a přijímaný signál jsou přivedeny na vodorovné a svislé vyhylovaí destičky osiloskopu (X a Y vstup). Na obrazove vzniká Lissajoussův obraze elipsa. Fázi přijímaného signálu lze ručně upravit fázovaím článkem ϕ a tím ovlivnit počáteční tvar elipsy.
Teoretiké základy Rovinné elektromagnetiké vlnění (ve vakuu nebo ve vzduhu), vysílané ze zdroje ve směru osy x lze popsat rovnií (předpokládáme nulovou fázovou konstantu): u =. sin( ω t kx) Pro parametry vlnění úhlovou frekveni ω, úhlový vlnočet k, fázovou ryhlost, frekveni f a vlnovou délku λ platí známé vztahy: ω 2π f 2π ω = 2π f, k = = =, = λ f. λ Po proběhnutí dráhy délky l (ve směru osy x) má přijímaná vlna tvar: u = B sin( ω t k( x + l)) = B sin( ωt kx kl) mplituda přijímaného vlnění může být menší v důsledku jeho absorpe a rozptylu, pro nás je však důležitější vzniklé fázové zpoždění (fázový rozdíl) ϕ mezi vlnou sledovanou v místě x a vlnou sledovanou v místě x + l : 2π f 2π ϕ = k. l = = l λ Fázový rozdíl φ mezi oběma vlněními je tedy způsoben dráhou l, kterou nazýváme také dráhovým rozdílem dvou vlnění. Pokud zavedeme na vstup X vodorovného vyhylování osiloskopu vysílaný signál, bude výhylka stopy: x = sin( ωt) Výhylka ve svislém směru Y bude úměrná naopak signálu z detektoru: y = B sin( ω t +ϕ1) pro polohu zradla x 1 y = B sin( ω t +ϕ2 ) pro polohu zradla x 2 Fázové konstanty ϕ 1, ϕ 2 jsou dány zpožděním signálu ve vysílači, dráhou vlny, zpožděním signálu v detektoru, elektronikýh obvodeh a také nastavením fázovaího článku. Díky přiváděným signálům vznikne na obrazove y osiloskopu, jako výsledek skládání dvou kolmýh kmitů B stejné frekvene, obená elipsa popsaná rovnií (odvození viz např. učební texty základního kurzu fyziky FY1): 2 2 x y xy 2 + 2 osϕ = sin ϕ B B Je vidět, že tvar elipsy závisí zejména na fázovém rozdílu kmitů ϕ a že hodnotu této veličiny lze z rovnie vypočítat Obr. 2 Elipsa po dosazení souřadni libovolného bodu a amplitud. Nejpřesněji lze ale stanovit hodnoty fázového rozdílu rovné libovolnému elistvému násobku čísla π, tedy vyhovujíí rovnii: ϕ = K 3 π, 2π, π,0, + π, + 2π, + 3π, K = mπ, kde m je elé číslo. To je případ, kdy signály jsou buď ve fázi, nebo v protifázi a elipsa přehází v úsečku (jak se lze snadno přesvědčit dosazením za ϕ = 0 nebo π). Pro sudé m prohází úsečka kvadranty I. a III. a pro lihé m kvadranty II. a IV. (viz obr. 3). x
Obr. 3 Tvar elipsy pro různý fázový posun ϕ Fázovaí článek při měření nastavujeme tak, aby bylo ϕ 1 = 0. Pak je přijímaný signál Y pro zradlo v poloze x 1 ve fázi se signálem na vstupu X osiloskopu a na obrazove máme úsečku proházejíí I. a III. kvadrantem. Při posunutí zradla z polohy x 1 do polohy x 2 se prodlouží dráha vlny o hodnotu 2( x2 x1) = 2 x. Všehny faktory, ovlivňujíí velikost ϕ 1 a ϕ 2 zůstávají s výjimkou dráhy vlny nezměněny. Proto musí být fázový rozdíl ϕ 2 ϕ 1 dán pouze dráhovým rozdílem vlny l = 2 x: ω 2π ϕ = ϕ2 ϕ1 = l = 2 x. λ Mezi dvěma sousedními polohami přímek je vždy fázový rozdíl rovný číslu π. Tomu odpovídá příslušný dráhový rozdíl: λ λ λ 2 x = ϕ = π = 2π 2π 2 Prodloužíme-li tedy dráhu prijímané vlny tak, aby úsečka na obrazove změnila sklon (přešla z jedné dvojie protilehlýh kvadrantů do dvojie sousední), bude tato změna délky dráhy právě rovna polovině vlnové délky. Vlnová délka pak bude dvojnásobkem změny délky dráhy: λ = 2l = 4 x. Změnu elipsy v přímku lze na obrazove osiloskopu velmi dobře optiky detekovat, proto je možno uvedeným způsobem dosti přesně stanovit vlnovou délku elektromagnetikého vlnění (v prinipu jakéhokoliv vlnění). Ideální uspořádání experimentu by mělo umožnit proměření řady například dvaeti po sobě jdouíh výše popsanýh poloh elipsy, abyhom mohli výsledky zpraovat postupnou metodou (vytvořit deset dvoji měření, aritmetiký průměr a směrodatnou hybu). Při použité frekveni 50,0 MHz však vlnová délka činí: 8 3 10 λ = = & = 6 m 6 f 50 10 Potřebovali byhom tedy měřií dráhu délky asi 30 metrů. V našem experimentálním uspořádání s dvaetkrát menší drahou můžeme proto změřit jen dvě takové polohy a pro stanovení přesnosti měření lze provést pouze prosté opakování tohoto měření. Jestliže současně změříme elektronikým čítačem frekveni použitého vlnění, můžeme jednoduše určit fázovou ryhlost světla: = λ. f = 4 x. f (1)
Pro stanovení nepřesnosti (hyby) výsledku musíme standardním způsobem zjistit hyby měření obou jednotlivýh veličin (jako vždy jde o součet nepřesnosti vlastního měřidla a hyby vzniklé z metody jeho používání) při měření frekvene by nám měl poradit manuál čítače, při měření vlnové délky si všimneme přesnosti délkové stupnie a pro odhad hyby metody měření posunu x můžeme pouze opakovat víekrát měření. Chybu metody zde výrazně ovlivňuje kvalita a ostrost zobrazení elipsy na osiloskopu. Fázová ryhlost světla (a jakéhokoliv elektromagnetikého vlnění) je vždy menší v hmotném prostředí (voda, sklo, pryskyřie, i vzduh) než ve vakuu. Pro vzduh je tato odhylka zanedbatelná, řádu 0,02 %. Platí ale vždy, že. Protože frekvene vlnění zůstává zahována (je to základní parametr periodikýh změn fyzikálníh veličin, které popisují vlnění), musí se zmenšit vlnová délka (a poklesnout úhlový vlnočet). Všehny rovnie ovšem stále platí, to znamená, že zůstává v platnosti také výše uvedený vztah pro fázovou ryhlost: f = 4 x. f = λ. 1 (indexem označujeme fázovou ryhlost a vlnovou délku v prostředí ). Vidíme jasně lineární vztah mezi vlnovou délkou a fázovou ryhlostí (a fázovým i dráhovým rozdílem), pokles všeh těhto veličin ve hmotném prostředí je proto vždy proporionální. Měření fázové ryhlosti v hmotném prostředí by prinipiálně mohlo probíhat naprosto stejně jako ve vzduhu, je tu ovšem tehniká potíž vyplývajíí z tehnologie měření: odrazná zradla by se musela pohybovat v měřeném prostředí, tj. v kapalině (to by ještě šlo), nebo v pevné láte (neproveditelné). Změníme proto mírně metodu měření: hmotné prostředí omezené délky l pouze přidáme do původní dráhy paprsku ve vzduhu. Úvahou pak dospějeme ke stanovení dvou konkrétníh možnosí, dvou metod: 1. metoda V poloze x 1 zradla (poblíž základní jednotky), když prohází paprsek pouze 1. měření vzduhem, se nastaví fázovaím článkem na obrazove (libovolná) přímka. Fázový rozdíl mezi vysílaným a přijímaným signálem tak bude roven nule: ϕ 1 = 0. Pak posuneme zradlo víe vpravo, 2. měření l do dráhy paprsku vsuneme měřené prostředí, a dále pokračujeme v posunu zradla do konečné polohy x 2, ve které se Obr. 4 První metoda elipsa na obrazove změní na opačně orientovanou přímku, tj. fázové zpoždění přijímaného signálu vzniklé na elkové dráze 2 x bude rovno hodnotě π. Část této dráhy prohází světlo vzduhem, část měřenou látkou. Celkové fázové zpoždění vlny je proto součtem fázového zpoždění ϕ, vzniklého na dráze vlny
vzduhem, a zpoždění ϕ, které vzniklo na dráze vlny měřenou látkou. Platí tedy rovnie: 2π π ϕ = ϕ + ϕ = f f elk (2 x l ) + 2 l = π Po úpravě pak dostaneme fázovou ryhlost světla v měřeném prostředí: 2 f l 2 f l = = 2 f (2 x l ) 2 f (2) 1 (2 x l ) Dále stanovíme index lomu světla měřeného prostředí, který udává, kolikrát je ryhlost světla v daném hmotném prostředí menší než ve vakuu (vzduhu): n = (3) Index lomu je bezrozměrná veličiny a je vždy větší než jedna. Vztah (2) také můžeme s pomoí indexu lomu upravit na jednodušší tvar: n 2 f (2 x l ) 4 f x = = = 1+ 2 f l 2 f l (4) Vztah (4) můžeme použít primárně pro zpraování výsledků, ze získaného indexu lomu pak vypočteme ryhlost v daném prostředí. 2. metoda V této metodě neháme nejprve vlnu na části elkové dráhy proházet zkoumaným prostředím délky l a na zbylé dráze vzduhem. Zradlo se tedy nastaví do 1. měření l polohy x 1 tak, aby bylo možno vložit x zkoumané prostředí. Fázovaím článkem dorovnáme fázi vysílaného a přijímaného signálu tak, aby byla 0 nebo π, tj. 2. měření nastavíme (libovolnou) přímku. Celkové fázové zpoždění vlny můžeme zapsat jako: Obr. 5 Druhá metoda ϕ 1 = k. l + k(2x1 l ) + C, kde do konstanty C můžeme zahrnout všehna zpoždění v obvodeh vysílače a přijímače (a také zpoždění na dráze mezi zradly). Pak vyjmeme zkoumané prostředí, čímž jej vlastně nahradíme stejně dlouhým úsekem vzduhu, takže první člen v rovnii se změní na k.l. Celková fáze se změní, přímka na obrazove přejde na obenou elipsu. Nyní posuneme zradlo do polohy x 2, abyhom tuto změnu fáze opět vrátili (vykompenzovali) na původní hodnotu tj. nastavíme původní polohu přímky. Fáze v této nové poloze bude: ϕ k x + C. 2 = 2 2
Obě fázová zpoždění jsou si rovna, ϕ 1 = ϕ 2, takže: k. l + k(2x1 l ) + C = k2x2 + C Po úpravě a dosazení za úhlové vlnočty dostaneme: 2 π f 2 f l = π (2 x + l ). Z rovnie pak můžeme získat vztah pro index lomu zkoumaného prostředí: n = l = + 2 x 2 x = 1+ l l Hledanou ryhlost světla ve zkoumaném prostředí určíme z indexu lomu. Na rozdíl od první metody nepotřebujeme ke stanovení indexu lomu znát ani ryhlost světla ve vakuu, ani frekveni. Při měření zjistíme, že x je kladné je potřeba delší dráhy abyhom vykompenzovali změnu fáze po vyjmutí zkoumaného prostředí. Je to důsledek větší fázové ryhlosti světla ve vzduhu. Ze vztahu vidíme přímo, že index lomu je vždy větší než 1 ( x je kladné). Toto měření je příkladem kompenzační metody změnu fáze vlnění neznámé fázové ryhlosti vykompenzujeme stejnou změnou fáze vlnění o známé fázové ryhlosti. Měření Zapněte základní jednotku, osiloskop a měřič frekvene (čítač). Propojte čítač s konektorem T základní jednotky a odečtěte frekveni vlnění (vezměte v úvahu dělič kmitočtu R 1:1000 na shématu přístroje). Spojte vstupy X a Y osiloskopu s příslušnými konektory základní jednotky (zdroj a detektor světla). Dvojité zradlo umístěte poblíž počátku délkové stupnie. Spojné čočky postavte asi 3 až 5 m před zdroj a detektor do jejih osy. Malými změnami polohy čoček (ve všeh směreh) je potřeba nastavit maximální intenzitu přijímaného signálu, tj. výhylku paprsku v ose Y na osiloskopu. To v prinipu znamená, že je potřeba zajistit o nejmenší ztráty světla na jeho dráze od zdroje až po detektor, tj. o nejmenší rozbíhavost vysílaného svazku, jeho dopad do entrálníh částí zradel, symetriký dopad svazku v ose detektoru a jeho zaostření do minimální plošky a přesně do středu detektoru. Jde vlastně o seřízení optiké soustavy složené ze dvou spojnýh čoček a dvou zradel, aby vznikl o nejintenzivnější a nejmenší obraz předmětu zdroje světla a aby tento obraz dopadl přesně na detektor. Zdroj světla má vysokou svítivost, proto lze hod vysílaného světelného svazku dobře sledovat pomoí například listu papíru. Na dvoupaprskovém osiloskopu v normálním časovém režimu můžete přitom zobrazit současně vysílaný i přijímaný signál, porovnávat jejih intenzity, i fázový posuv, případně působení fázovaího článku ϕ. Pro vznik Lissajoussova obraze je pak nutné přepnout osiloskop do režimu XY (na přepínači časové základny).
I při nastavení maxima přijímaného signálu se při posunu zradla dál od zdroje bude intenzita signálu výrazně zmenšovat (neboť divergujíí svazek půjde částečně mimo zradel), elipsa se bude zplošťovat ve svislém směru, a proto bude nutno zvýšit itlivost osiloskopu ve vertikálním směru, v nouzi i poopravit dopad světla na detektor. Při měření použijte poznatky získané v kapitole Obená část s přihlédnutím k těmto bodům: - u měření ryhlosti světla ve vzduhu a u 1. metody volte polohu x 1 na počátku délkové stupnie - u druhé metody vložte měřené prostředí do dráhy paprsku tak, aby dvojité zradlo bylo přibližně ve dvou třetináh stupnie (poloha x 1 ) - zradlo posunujte pomalu a nezapomeňte upravovat podle potřeby itlivost osiloskopu ve vertikálním směru - měření opakujte pokaždé desetkrát s mírně odlišnou počáteční polohou zradla, abyste mohli spočítat směrodatnou hybu - nezapomeňte stanovit přesnost čítače - u měření v hmotném prostředí nezapomeňte změřit délku prostředí l a určit její hybu - jestliže hmotné prostředí (blok pryskyřie) vložíte do dráhy obou paprsků, potom délka dráhy v něm je rovna dvojnásobku délky bloku! Praovní úkol 1) Proveďte měření ryhlosti světla ve vzduhu 2) Stanovte směrodatnou hybu veličiny x. Tu dále použijte spolu s hybou měření frekvene ke stanovení výsledné hyby ryhlosti světla (viz. kapitola Chyby měření skript Fyzikální praktikum) a proveďte standardní zápis výsledku měření. 3) Stanovte ryhlost světla v kapalině a pryskyřii. Podle pokynu vyučujíího použijte buď 1. nebo 2. metodu měření. 4) Opět stanovte elkovou směrodatnou hybu měření podobně jako v bodu 2). 5) Standardně zapište výsledky (viz str. 19, kapitola E. Konečný tvar výsledku měření ), porovnejte s tabulkovými hodnotami a zhodnoťte měření.