PH-M9XCINT POKYNY PRO HODNOTITELE TESTU Z MATEMATIKY PRO UCHAZEČE O STUDIUM 4LETÝCH OBORŮ SŠ 1) Obecná pravidla hodnocení úloh 2) Specifické pokyny pro hodnocení otevřených úloh tohoto testu 1 1 OBECNÁ PRAVIDLA POSUZOVÁNÍ A HODNOCENÍ ÚLOH 1.1 KLÍČ SPRÁVNÝCH ŘEŠENÍ Základním vodítkem pro hodnocení testu a jeho úloh je klíč správných řešení. V klíči správných řešení je uvedeno u každé úlohy: Maximální dosažitelný počet bodů za úlohu i jednotlivé její podúlohy Povolené bodové hodnoty hodnocení úlohy, resp. podúlohy; z tohoto údaje je zřejmé, zda je daná úloha hodnocena: a) pouze mezními hodnotami minimálního (nula) a maximálního bodového zisku odpovídajícího nesprávnému, resp. správnému řešení (např. 0-3) b) stupňovitě, tj. umožňuje hodnotiteli využít rovněž dílčího bodového hodnocení (např. 0-1-2-3); v takovém případě jsou pravidla pro dílčí hodnocení úlohy/podúlohy uvedena v pokynech pro hodnotitele. Agregační algoritmus pro určení výsledného bodového hodnocení úlohy (označeno písmenem C) na základě bodových hodnocení jejích podúloh (označena písmenem D); zde mohou nastat v zásadně dvě možnosti: a) nejčastěji je bodové hodnocení úlohy (C) prostým součtem bodového hodnocení jejích podúloh (D); pak je u takové úlohy uvedeno C = suma D ; nebo b) se jedná o tzv. regresivní hodnocení, kde bodové hodnocení úlohy není prostým součtem bodového hodnocení jejích podúloh (jde většinou o hodnocení svazků dichotomických úloh); v takovém případě je zde popsáno, jakým způsobem se určí bodové hodnocení úlohy dle počtu správně řešených podúloh; viz příklad POVOLENÉ MAX POČET BODŮ ID TYP AGREGAČNÍ SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ BODOVÉ úroveň agregace ÚLOHY ÚLOHY ALGORITMUS UZAVŘENÝCH ÚLOH HODNOTY C - D 5 SDCU 0-1-2 2 4 správně = 2 5.1 DCU 0-1 1 3 správně = 1 N 2 5.2 DCU 0-1 1 2 správně = 0 A 1 5.3 DCU 0-1 1 1 správně = 0 A 1 5.4 DCU 0-1 1 0 správně = 0 N 2
Správná řešení uzavřených úloh; správná řešení jsou označena: a) symbolem shodným se symbolem označení variant řešení v záznamovém archu (nejčastěji označení A-B-C ) b) pořadovým číslem správné varianty řešení. Správná řešení otevřených úloh; z technických důvodů jsou zde u široce otevřených úloh uvedena pouze správná řešení. Dílčí řešení, postupy a výsledná řešení konstrukčních geometrických úloh jsou pak uvedena v pokynech pro hodnotitele. Úlohy a podúlohy jsou v klíči správných řešení identifikovány jejich pořadovými čísly v příslušném testovém sešitě. Vedle identifikace je u každé úlohy uvedena zkratka typu (formátu) úlohy. 2 1.2 DOPORUČENÝ POSTUP PRO HODNOCENÍ UZAVŘENÝCH ÚLOH Hodnotitel posoudí, zda žák za řešení úlohy získá body a BODOVOU HODNOTU ZAPÍŠE PŘÍMO DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU ŽÁKA, a to do příslušného kruhového pole vpravo u každé úlohy. 1. Hodnoceny jsou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu. 2. Za uvedenou odpověď se považuje zřetelně zakřížkované pole. Jiný způsob zápisu není přípustný. A B C D 4 3. Žák má u každé úlohy / podúlohy možnost pouze jedné opravy. V takovém případě zabarví původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačí křížkem do nového pole. A B C D 4 4. Jakýkoli jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav je považován za nesprávnou odpověď, a je tedy hodnocen 0 body. 5. Za neuvedenou odpověď se přiděluje 0 bodů. 6. V drtivé většině je správným řešením úloh pouze volba jedné z nabízených variant. V takovém případě je zakřížkování více než jednoho pole považováno za nesprávnou odpověď. 7. Pokud je správným řešením úlohy volba více než jedné z nabízených variant (např. A, C, D), pak je správnou odpovědí zakřížkování všech správných variant. Chybí-li zakřížkování jedné z nich (např. je zakřížkováno pouze A a D), jde o nesprávnou odpověď a je hodnocena 0 body. Specifickým případem uzavřené úlohy je úloha složená ze dvou, popř. tří dílčích řešení (v klíči správných řešení je označena zkratkou 2MCH nebo 3MCH). I zde platí, že správná odpověď je podmíněna správnou volbou obou dvou, resp. všech tří správných dílčích řešení. Je-li tedy jedno z dílčích řešení chybné, popř. chybí, jde o nesprávnou odpověď a je hodnocena 0 body.
POVOLENÉ MAX POČET BODŮ ID TYP AGREGAČNÍ SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ BODOVÉ úroveň agregace ÚLOHY ÚLOHY ALGORITMUS UZAVŘENÝCH ÚLOH HODNOTY C - D 4 SMCH3 0-1-2-3 3 4.1 3MCH3 0-1 1 <>= 132 C = suma D 4.2 3MCH3 0-1 1 <>= 132 4.3 3MCH3 0-1 1 >=< 321 Za nejrychlejší postup hodnocení uzavřených úloh považujeme využití transparentní šablony, kterou přiloží hodnotitel na záznamový arch. Šablona: a) určuje správné řešení uzavřených úloh formou grafického zvýraznění polí správných řešení; b) obsahuje maximální bodovou hodnotu, kterou uchazeč získá správným řešení jedné každé úlohy, resp. podúlohy c) obsahuje algoritmus výpočtu bodového výsledku svazků dichotomických úloh (agregační algoritmus), v případě úloh, jejichž výsledek není prostým součtem dílčích bodových hodnocení podúloh. 3 Druhým možným způsobem vyhodnocení uzavřených úloh je využití excelové aplikace. Vyžaduje však pořízení záznamu řešení všech úloh a podúloh testu do této aplikace. 1.3 OBECNÉ POKYNY PRO HODNOCENÍ OTEVŘENÝCH ÚLOH 1.3.1 ÚZCE OTEVŘENÉ ÚLOHY (v klíči správných řešení jsou označeny zkratkou UOU) Správné řešení úzce otevřených úloh je vyznačeno v klíči správných řešení i v pokynech pro hodnotitele. Úlohy jsou vždy hodnoceny mezními bodovými hodnotami, tj. buď 0 = špatně, nebo maximálním počtem bodů = správně. Klíč správných řešení i pokyny pro hodnotitele obsahují nejobvyklejší vyjádření správného řešení. V případě, že uchazeč vyjádří správné řešení neobvyklým, tj. v klíči či pokynech neuvedeným způsobem, doporučujeme hodnotiteli neobvykle vyjádřené správné řešení uznat jako správné a udělit za řešení úlohy plný počet bodů. 1.3.2 ŠIROCE OTEVŘENÉ ÚLOHY (v klíči správných řešení jsou označeny zkratkou ŠOU) Správné komplexní řešení široce otevřených úloh je obsaženo zde, tj. v pokynech pro hodnotitele; klíč správných řešení obsahuje pouze extrakt správného řešení a v případě konstrukčních geometrických úloh odkaz na pokyny pro hodnotitele. Pokyny pro hodnotitele obsahují pouze nejobvyklejší řešení a nejobvyklejší postup řešení úlohy (pokud je zadáním úlohy stanoven jako součást jejího řešení). V případě, že uchazeč zvolil jiný než uvedený postup a tento je správný, považujte jej za správný. Totéž platí také o vlastním vyjádření výsledku úlohy, pokud není uvedeno jinak. V případě, že široce otevřená úloha nabízí možnost dílčího bodování (tj. nikoli pouze 0 maximum), pokyny pro hodnotitele obsahují doporučení, jak využít dílčího bodování. Jsou
zde popsány varianty řešení s uvedením počtu bodů, na které je vhodné maximální bodové hodnocení úlohy snížit. Pokud úloha explicitně v zadání vyžaduje kromě výsledku uvést v záznamovém archu i postup řešení úlohy, jeho absence v záznamovém archu znamená nesprávné řešení úlohy a hodnotí se 0 body. Zásadně doporučujeme nezahrnovat do hodnocení široce otevřených úloh hodnocení jevů, které nejsou prokazatelně předmětem, který úloha ověřuje (například pravopisné chyby ve slovním zápisu výsledku matematické úlohy). 1.3.3 POSTUP PŘI HODNOCENÍ OTEVŘENÝCH ÚLOH 4 1. Hodnocení výsledků otevřených a zejména široce otevřených úloh doporučujeme svěřit vždy příslušně aprobovanému učiteli. Pokyny pro hodnotitele s tímto počítají. Proto nejsou při popisu komplexního řešení explicitně detailní, ani neobsahují úplný výčet všech myslitelných variant zápisu správných řešení či variant správných postupů. 2. Hodnoceny jsou pouze zápisy řešení uvedené v příslušném poli záznamového archu. Předmětem hodnocení nejsou pomocné výpočty či řešení nanečisto uvedené v testovém sešitě či na volném listu papíru. 3. Výsledné bodové hodnocení otevřených úloh zapisujte do záznamového archu (do kroužku určeného pro zápis bodového hodnocení hodnotitelem viz výše).
2 SPECIFICKÉ POKYNY PRO HODNOCENÍ OTEVŘENÝCH ÚLOH TOHOTO TESTU ÚLOHA 1 Místo symbolu doplňte chybějící číslo (a zapište je do záznamového archu). 1.1 1 = 40 Správné řešení: Bodové hodnocení: 0-2 0,5625 5 1.2 27 0,5=9 12 9 Správné řešení: 12 Bodové hodnocení: 0-2 ÚLOHA 2 Vypočtěte: 2.1 = 4 Správné řešení: 2 3 2 = 4 6 3 = 5 6 6 Bodové hodnocení: 0-2 2.2!2"+1% & +3 4!"+" "%= 4 Správné řešení: 4!2"+1% & +3 4!"+" "%=4" & +4"+1+3 4" 4" & =4 4 Bodové hodnocení: 0-2 ÚLOHA 3 Řešte rovnice a proveďte zkoušku. Do záznamového archu zaznamenejte celý postup řešení včetně zkoušky. 3.1 ' & 2" = (') Správné řešení: " =2 x=2. 2,5-4 = -9/6-3/2 = -3/2
' & 2" = (') 15 12" =1 5" x=2. 2,5-4 = -9/6-3/2 = -3/2 14=7" " =2 Zkouška: ' & 2 2=(' & 1,5= 1,5 6 Bodové hodnocení: 0-1-2 Správný postup i výsledek, ale neprovedení zkoušky 1 bod Provedení zkoušky dosazením výsledku ne do původní rovnice 1 bod Správný postup, chybný výsledek 1 bod Správný výsledek, ale chybný postup 0 bodů 3.2 & ' & "+2= * +0,6 x=35 4*35/25 + 2 = 7 + 0,6 7,6 = 7,6 ' Správné řešení: +=, 2 & 5 - "+2= " 5 +0,6.) &' +2=)/0 ' 4"+50=5"+15 " =35 35 4*35/25 + 2 = 7 + 0,6 7,6 = 7,6 Zkouška: & ' & 35+2= 0' ' +0,6 4 35 25 +2=7,6 140 25 =5,6 Bodové hodnocení: 0-1-2 Správný postup i výsledek ale neprovedení zkoušky 1 bod Provedení zkoušky dosazením výsledku, ne do původní rovnice 1 bod Správný postup, chybný výsledek 1 bod Správný výsledek, ale chybný postup 0 bodů
ÚLOHA 6 Do velkoobchodního skladu přivezli celkem 7 tun brambor. Z toho 14 metrických centů je určeno desítce malých prodejen a zbývající část třem velkoodběratelům v poměru 1 : 3 : 4. 6.2 Jestliže dvě malé prodejny odeberou každá po 60 kilogramech brambor, kolik zbyde v průměru na každou ze zbývajících osmi malých prodejen? Do záznamového archu zapište vedle výsledku i celý postup řešení. 160 kg, Správné řešení: 160!1400 2 60% 8=1280 8=160 7 Bodové hodnocení: 0-1-2 Správný postup s numerickou chybou při výpočtu Správný postup s chybou při převodu měrných jednotek Chybný, nebo chybějící postup a správný výsledek 1 bod 0 bodů 0 bodů ÚLOHA 15 V litrové nádobě máme připraveno 6 dcl vody. Do této nádoby hodláme přidat 80% roztok kyseliny chlorovodíkové tak, abychom ve výsledku docílili jeho 50% koncentrace. Rozhodněte, jak budeme postupovat, abychom v uvedené nádobě měli 1 litr roztoku kyseliny chlorovodíkové o 50% koncentraci. Popište postup a v záznamovém archu vše odůvodněte výpočtem. Příklad správného řešení: 1. Vypočítat mísící poměr 3 4567 0%+ 3 9:;<= 80%= >3 4567 +3 9:;<=? 50% 2. Z toho plyne, že mísící poměr vody a 80% kyseliny chlorovodíkové = 3 : 5, 3. Z toho plyne, že 1litr dělíme na 3 díly vody a 5 dílů 80%HCl, 1 díl = 0,125l = 1,25 dcl 4. Pokud je v nádobě již 0,6 litru (6 dcl) vody, muselo by se do ní přilít 1 litr 80% kyseliny 5. To se do litrové nádoby nevejde; řešení musíme odlít z nádoby vodu 6. Kolik? V nádobě musí zbýt 3 x 1,25 = 3,75 dcl, proto musíme odlít 6,0 3,75 = 2,25 dcl 7. Do uprázdněné nádoby dolijeme zbývající objem nádoby, tj. 6,25 dcl 80% kyselinou chlorovodíkovou. Bodové hodnocení: 0-1-2-3-4 Jakýkoli jiný správný postup vedoucí ke správnému výsledku 4 body Správný postup s početní chybou a chybným výsledkem 3 body Formálně matematicky zapsaný správný postup bez výpočtu 3 body Správný slovně vyjádřený popis postupu bez výpočtu 2 body Pouze dílčí řešení správné určení mísícího poměru 2 body Pouze dílčí řešení naznačený postup pro výpočet poměru 1 bod Správný výsledek s chybným, nebo dílčím postupem 0 bodů Správný výsledek bez naznačeného postupu 0 bodů
ÚLOHA 16 Pravidelná válcová skleněná nádoba o vnitřním průměru 8 cm a výšce 32 cm je naplněna do výše 20 cm vodou. Do této nádoby postupně vkládáme kovové kostky tvaru krychle, jejichž stěnové úhlopříčky jsou rovny vnitřnímu průměru nádoby. Určete, do jaké výše stoupne hladina vody v nádobě poté, co do ní vložíme 4 kostky. Výsledek doložte v záznamovém archu výpočtem. Správné řešení: Postup řešení: 32 cm 8 1. Nejprve vypočítejme objem krychle. Víme, že stěnová úhlopříčka je rovna 8 cm. K výpočtu využijme Pythagorovy věty: @ & =2 & 64=2 & a & =32 3 AB7<C=D = & =32 32 kde d = vnitřní průměr nádoby a a = délka hrany krychle 2. Nyní vypočítáme, o kolik stoupne výška hladiny vody po vložení krychle: 3 AB7<C=D =F 6 & & h kde h = zvýšení hladiny vody po vložení krychle 32 32 =F 16 h a h =3,6 IJ 3. Po vložení 4 krychlí by měla hladina vody v nádobě dosáhnout výšky: h & =h +4 h kde h = je původní výška hladiny vody a h & = je výsledná výška hladiny h & =20+4 3,6=34,4 IJ Vzhledem k tomu, že je však nádoba vysoká pouze 32 cm, je výška hladiny vody v nádobě po vložení 4 krychlí rovna výšce nádoby, tedy 32 cm. 4. Nakonec ověříme, zda výška nádoby je dostačující k tomu, aby všechny 4 krychle do ní vložené byly ponořené pod hladinu vody. 4 =4 32=22,6 IJ tj. méně než výška nádoby i výška hladiny. Bodové hodnocení: 0-1-2-3-4 Jakkoli jinak popsaný správný postup se správným výsledkem 4 body Správný postup s početní chybou a chybným výsledkem 3 body Formálně matematicky zapsaný správný postup bez výpočtu 3 body Správný slovně vyjádřený popis postupu bez výpočtu 2 body Pouze dílčí řešení správně určená změna výšky hladiny 2 body Pouze dílčí řešení správně určený objem krychle 1 bod Správný výsledek s chybným, nejasným nebo dílčím postupem 0 bodů Správný výsledek bez naznačeného postupu 0 bodů
ÚLOHA 17 V rovině je umístěna úsečka BD, která tvoří jednu úhlopříčku obdélníku ABCD. Úhlopříčka obdélníku je o 2 cm delší než strana AB. Doplňte obdélník ABCD. Při konstrukci použijte pravítko a kružítko a pomocné čáry negumujte! 9 Správné řešení: KROKY 1 A 2 KROKY 3 A 4 KROK 5/1 KROK 5/2 Z výsledku musí být zřejmé, že jde o aplikaci Thaletovy kružnice se středem ve středu úsečky BD a poloměrem rovným polovině délky úsečky BD. Kružnice je opsaná pravoúhlému trojúhelníku ABD a jemu středově souměrnému trojúhelníku BCD. Tyto trojúhelníky tvoří požadovaný obdélník ABCD s úhlopříčkami BD a AC.
Konstrukční kroky: 1. Sestrojit střed úsečky BD 2. Sestrojit kružnici se středem ve středu úsečky BD, procházející body B a D 3. Sestrojit bod A ležící na kružnici, přičemž jeho vzdálenost od bodu B je rovna délce úsečky BD zmenšené o 2 cm 4. Sestrojit bod C, středově souměrný podle středu kružnice k bodu A 5. Doplnit obdélník ABCD o strany AB, DA, DC a BC. Bodové hodnocení: 0-3 Není-li zřetelný postup a aplikace Thaletovy kružnice, pak 0 bodů 10