CVIČNÝ TEST 29. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 29 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Smrk má vysokou klíčivost, jen 5 % semen nevyklíčí. Klíčením semen vznikají semenáčky, které na stanovišti musí obstát v boji s klimatickými podmínkami a se škůdci, a proto jen 2 % z nich vyrostou ve stromky. 1 Kolik semen smrku je třeba nechat vyklíčit, aby po jejich vyklíčení a vysázení vyrostl na stanovišti les čítající 250 kusů stromků? Výsledek zaokrouhlete na stovky kusů. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 2 2 Vypočítejte velikost úhlu φ. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Žlab pro napájení domácího skotu má tvar poloviny válce s délkou 3 metry a šířkou 75 cm. 3 Kolik litrů vody se do zcela naplněného žlabu vejde? Zaokrouhlete na desítky litrů. 2 Maturita z matematiky 04

3 4 V oboru R řešte: a 1 = b 3b = 3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body A[ 3; 1] a B[1; 2]. 5.1 Najděte souřadnice bodu X, který leží na polopřímce AB, tak, aby platilo: AX = 3 AB. 5.2 Najděte souřadnice bodu C tak, aby s body A, B tvořil trojúhelník ABC, jehož těžištěm je počátek souřadnicového systému, tj. T[0; 0]. 6 Pro z R { 1 2 } určete všechna přirozená čísla z, která jsou nulovými body výrazu: 1 bod 1 bod z V(z)= z z 1 2 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Státní závěrečná zkouška na ekonomické fakultě se skládá ze tří předmětů: účetnictví, ekonomie a management. V každém předmětu si student losuje jednu ze třiceti otázek. Anna se z každého předmětu naučila pouze deset otázek. 2 body 7 Jaká je pravděpodobnost, že Anna úspěšně složí státní závěrečnou zkoušku ze všech tří předmětů? A) B) 9 1 C) 3 D) 1 E) jiná pravděpodobnost Maturita z matematiky 04 3

4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dána rovnice: 1 1 x = x 1 x 2 + x. 8 V množině reálných čísel má rovnice právě: A) dva kořeny, a to x 1 = 1 x 2 = 0 B) dva kořeny, a to x 1 = 0 x 2 = 1 2 body C) jeden kořen, a to x = 1 2 D) jeden kořen, a to x = 1 E) jeden kořen, a to x = 3 2 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Je dán pravidelný šestiúhelník A F s délkou strany a. 9 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Nejkratší úhlopříčka má délku a Nejdelší úhlopříčka má délku 2a. 9.3 Celkový počet úhlopříček je Úhlopříčky AC a AD svírají úhel 30. ANO NE 4 Maturita z matematiky 04

5 max. 4 body 10 Přiřaďte každé z geometrických posloupností ( ) jeden z kvocientů q (A F) a n 3 = 3, a n = a k + 3 = 8a k 10.3 a m 1 am + 2 = s n = n a 1 A) 2 B) 1 C) D) 2 E) 1 F) 2 KONEC TESTU Maturita z matematiky 04 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Smrk má vysokou klíčivost, jen 5 % semen nevyklíčí. Klíčením semen vznikají semenáčky, které na stanovišti musí obstát v boji s klimatickými podmínkami a se škůdci, a proto jen 2 % z nich vyrostou ve stromky. 1 Kolik semen smrku je třeba nechat vyklíčit, aby po jejich vyklíčení a vysázení vyrostl na stanovišti les čítající 250 kusů stromků? Výsledek zaokrouhlete na stovky kusů. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Ve stromky vyrostou 2 % semenáčků, tj. 250 kusů stromků jsou 2 %. Potřebný počet semenáčků je 100 %, tj = V semenáčky vyklíčí 95 % semen, tj kusů stromků je 95 %. Potřebný počet semen je 100 %, tj = Je třeba nechat vyklíčit cca kusů semen smrku. Řešení: kusů VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 2 2 Vypočítejte velikost úhlu φ. 1 bod 6 Maturita z matematiky 04

7 Označíme si vrcholy trojúhelníků (viz obrázek) a využijeme znalosti o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku. Obecný Δ ABD: BDA = 180 ABD DAB = 135. Rovnoramenný Δ BCD: BCD = DBC = 25. Obecný Δ ABC: ABC = ABD + DBC = 45 ; CAB = CAD + DAB = 75 ; BCA = = 180 ABC CAB = 60. φ = DCA = BCA BCD = 35 Řešení: 35 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Žlab pro napájení domácího skotu má tvar poloviny válce s délkou 3 metry a šířkou 75 cm. 3 Kolik litrů vody se do zcela naplněného žlabu vejde? Zaokrouhlete na desítky litrů. Žlab je 3 m dlouhý, tj. v = 3 m = 30 dm. Žlab je 75 cm široký, tj. d = 75 cm. Poloměr žlabu je r = d 2 = 37,5 cm = 3,75 dm. Do žlabu se vejde tolik litrů vody, kolik udává objem poloviny válce: V = πr 2 v 2 = π (3,75 dm) 2 30 dm 2 = ( π) dm 3 = 660 l Do žlabu se vejde cca 660 litrů vody. Řešení: 660 litrů Maturita z matematiky 04 7

8 4 V oboru R řešte: a 1 = 7 Při řešení této rovnice využijeme definici logaritmu: logaritmus čísla x R + při základu z R + {1} je takové reálné číslo l = log z x, pro které platí: z l = x. 3 a 1 = 7 a 1 = log 3 7 a = 1 + log 3 7 Řešení: a = 1 + log b = 108 3b 3 Tuto rovnici převedeme užitím ekvivalentních úprav na exponenciální rovnici, kterou vyřešíme převedením na společný základ. 3 b = 108 3b / b = b / + 3 b 4 3 b = 108 / :4 3 b = 27 3 b = 3 3 b = 3 Řešení: b = 3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body A[ 3; 1] a B[1; 2]. 5.1 Najděte souřadnice bodu X, který leží na polopřímce AB, tak, aby platilo: AX = 3 AB. Protože bod X leží na polopřímce AB, můžeme využít toho, že vektory AX a AB jsou kolineární (rovnoběžné). tj. AX = k AB, k R +. Poněvadž navíc platí: AX = 3 AB, je vektor AX trojnásobkem vektoru AB, tj. AX = 3 AB. X A = 3 (B A) X [ 3; 1] = 3 (4; 3) X = (12; 9) + [ 3; 1] X = [9; 8] Řešení: X = [9; 8] 8 Maturita z matematiky 04

9 5.2 Najděte souřadnice bodu C tak, aby s body A, B tvořil trojúhelník ABC, jehož těžištěm je počátek souřadnicového systému, tj. T[0; 0]. Pro těžiště trojúhelníku ABC platí: T = A + B + C. 3 Je-li A[ 3; 1], B[1; 2], C[c 1 ;c 2 ], T[0; 0], pak pro x-ové souřadnice platí: 0 = c 1 a pro y-ové sou- 3 řadnice platí: 0 = 1 + ( 2) + c 2. 3 Vyřešením obou rovnic získáme: c 1 = 2 c 2 = 1 C[2; 1] Řešení: C[2; 1] 6 Pro z R { 1 2 } určete všechna přirozená čísla z, která jsou nulovými body výrazu: z V(z)= z z bod Výraz nejprve upravíme. V(z) = z z + 2 z = z = z z + 4 = z 1 z(2z 1) (z + 4) = 2z2 z z 4 = 2z 1 2z 1 2z 1 2z = 2z 2 2z 4 = 2(z2 z 2) = 2z 1 2z 1 2(z 2)(z + 1) 2z 1 Nulovým bodem výrazu je reálné číslo, pro které je hodnota výrazu rovna nule. Hodnota lomeného výrazu je rovna nule, je-li nule rovna hodnota čitatele lomeného výrazu, tj. pro z = 2 nebo pro z = 1. Protože číslo 1 není přirozené, je jediným přirozeným nulovým bodem výrazu V(z) číslo 2. Řešení: z = 2 Maturita z matematiky 04 9

10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Státní závěrečná zkouška na ekonomické fakultě se skládá ze tří předmětů: účetnictví, ekonomie a management. V každém předmětu si student losuje jednu ze třiceti otázek. Anna se z každého předmětu naučila pouze deset otázek. 2 body 7 Jaká je pravděpodobnost, že Anna úspěšně složí státní závěrečnou zkoušku ze všech tří předmětů? A) B) 9 1 C) 3 D) 1 E) jiná pravděpodobnost Pravděpodobností jevu A rozumíme číslo P(A) = m n, kde n je počet všech výsledků náhodného pokusu a m je počet výsledků příznivých jevu A. Pravděpodobnost, že Anna složí zkoušku z účetnictví, jestliže umí 10 otázek ze 30, je P(U) = = 1 3. Stejně tak je pravděpodobnost, že Anna složí zkoušku z ekonomie a z managementu po řadě P(E) = 1 3, P(M) = 1 3. Pravděpodobnost, že Anna složí státní závěrečnou zkoušku ze všech tří předmětů, je: P(SZZ) = P(U) P(E) P(M) = = ( 1 3 ) 3 = Správná možnost je A. Řešení: A VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dána rovnice: 1 1 x = x 1 x 2 + x. 8 V množině reálných čísel má rovnice právě: A) dva kořeny, a to x 1 = 1 x 2 = 0 B) dva kořeny, a to x 1 = 0 x 2 = 1 2 body C) jeden kořen, a to x = 1 2 D) jeden kořen, a to x = 1 E) jeden kořen, a to x = Maturita z matematiky 04

11 Určíme podmínky, za kterých je rovnice v množině reálných čísel řešitelná, a pomocí ekvivalentních úprav rovnici upravíme. 1 1 x = x 1 x(x + 1) / x(x + 1); x 0 x 1 x(x + 1) (x + 1) = x 1 x 2 + x x 1 = x 1 / x + 1 x 2 x = 0 Neúplnou kvadratickou rovnici upravíme na součinový tvar. x(x 1) = 0 Řešením rovnice jsou nulové body výrazu, pro které je rovnice definována. x 1 0 x 2 = 1 Správná možnost je tedy D. Řešení: D VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Je dán pravidelný šestiúhelník A F s délkou strany a. 9 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Nejkratší úhlopříčka má délku a Nejdelší úhlopříčka má délku 2a. 9.3 Celkový počet úhlopříček je Úhlopříčky AC a AD svírají úhel 30. ANO NE Maturita z matematiky 04 11

12 9.1 Nejkratší úhlopříčkou je např. úsečka AC, označíme ji u 1. Úhlopříčka u 1 tvoří s vrcholem B rovnoramenný trojúhelník, jehož ramena mají délku a a úhel, která spolu ramena svírají, je vnitřní úhel pravidelného šestiúhelníku. Vnitřní úhel φ pravidelného n-úhelníku vypočteme dle vzorce: φ = 180 n 2. Vnitřní úhel pravidelného šestiúhelníku (n = 6) má tedy velikost 120. n Pro výpočet délky úhlopříčky můžeme použít kosinovu větu: u 1 = a 2 + a 2 2 a a cos120 = a 2 + a 2 2a 2 ( 1 2 ) = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 = a 3. Alternativa: Rovnoramenný trojúhelník půlí výška na základnu na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky, takže můžeme využít znalostí o goniometrických funkcích v pravoúhlém trojúhelníku: u 1 2 sin 60 = u a 1 Tvrzení je pravdivé. = 2 a sin 60 = 2 a 3 2 = a Nejdelší úhlopříčku si označíme u 2. Nejdelší úhlopříčkou pravidelného šestiúhelníku je průměr kružnice opsané tomuto šestiúhelníku, a protože se pravidelný šestiúhelník skládá ze šesti shodných rovnostranných trojúhelníků, platí: u 2 = d =2a. Tvrzení je pravdivé. 9.3 Počet úhlopříček k pravidelného n-úhelníku vypočteme dle vzorce: k = n (n 3). Pravidelný šestiúhelník (n = 6) má tedy 9 úhlopříček. 2 Tvrzení je nepravdivé. 9.4 Úhlopříčky AC a AD svírají úhel, který můžeme označit jako obvodový úhel kružnice opsané danému šestiúhelníku. Tento obvodový úhel přísluší kružnicovému oblouku o velikosti 1 celé kružnice, a pro- 6 to je jeho velikost 1 6 ze 180, tj. 30. Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO, ANO, NE, ANO 12 Maturita z matematiky 04

13 max. 4 body 10 Přiřaďte každé z geometrických posloupností ( ) jeden z kvocientů q (A F) a n 3 = 3, a n = a k + 3 = 8a k 10.3 a m 1 am + 2 = s n = n a 1 A) 2 B) 1 C) D) 2 E) 1 F) Jestliže platí: a n 3 = 3, a n = 24, pak: a n an = 24 = Kvocient můžeme vypočítat ze vztahu mezi dvěma členy: q r s = a r. as Platí tedy: q n (n 3) = a n an q 3 = 8 q = 2. 3 Správná možnost je A Jestliže platí: a k + 3 = 8a k, pak: a k + 3 ak = 8. Platí tedy: q k + 3 k = a k + 3 q 3 = 8 q = 2. ak Správná možnost je F Jestliže platí: a m 1 am + 2 = 8, pak: a m + 2 am 1 = 1 8. Platí tedy: q m + 2 (m 1) = a m + 2 q 3 = 1 q = 1. am Správná možnost je D Pro součet s n geometrické posloupnosti platí: s n = n a 1, jestliže se jedná o geometrickou posloupnost konstantní, tj. s n = a 1 + a 1 + a a 1, tj. a n = a 1, tedy kvocient je q = 1. Správná možnost je E. Řešení: A, F, D, E Maturita z matematiky 04 13

14 14 Maturita z matematiky 04

15 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 Ve stromky vyrostou 2 % semenáčků, tj. 250 kusů stromků jsou 2 %. Potřebný počet semenáčků je 100 %, tj = V semenáčky vyklíčí 95 % semen, tj kusů stromků je 95 %. Potřebný počet semen je 100 %, tj = Je třeba nechat vyklíčit cca kusů semen smrku. Řešení: kusů bod litrů a = 1 + log bod 4.2 b = 3 1 bod X[9; 8] 1 bod 5.2 C[2; 1] 1 bod 6 z = 2 1 bod 7 A 2 body 8 D 2 body Maturita z matematiky 04 15

16 9 4 podúlohy 2 b. 9.1 ANO 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 9.2 ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 9.3 NE 9.4 ANO 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 9.1 A 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 9.2 F 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 9.3 D 9.4 E 16 Maturita z matematiky 04

17 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 1 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod bod bod bod 6 1 bod 7 2 body 8 2 body Maturita z matematiky 04 17

18 9 4 podúlohy 2 b podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 04