CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka CE úhel ACB na polovinu. Rovnoběžka k přímce CE vedoucí z bodu B protíná přímku procházející body A, C v bodě D Který úhel je úhlem střídavým k úhlu ECB? 1.2 Určete velikost úsečky BC, je-li CD = v. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Je dán výraz V = 3a a. 2a Pro jaké hodnoty a nemá výraz V smysl? 2.2 Výraz V zjednodušte. 2.3 Určete, pro které hodnoty proměnné a je hodnota výrazu V záporná. max. 5 bodů VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Počet studentů gymnázia je větší než 600 a menší než 650. Vytvoříme-li z nich skupiny po čtrnácti studentech nebo po dvaadvaceti studentech nebo po dvaceti osmi studentech, bude vždy 1 student přebývat. 3 Kolik studentů studuje na gymnáziu? 2 Maturita z matematiky 01

3 4 Určete všechna reálná čísla, která jsou řešením rovnice x 3 + 2x 3 = 0. 5 Kolik třítónových akordů je možné zahrát z osmi různých tónů? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Je dán výraz V = sin x 2 sin x cos x, kde x π; π Rozložte výraz V na součin. 6.2 Určete všechny hodnoty proměnné x, pro kterou je výraz V roven nule. max. 3 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, součet délek všech hran kvádru je 84 cm. 7 Vypočtěte délky hran kvádru, je-li jeho objem 64 cm 3. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Na obrázku je kruhová výseč, která je částí kruhu o poloměru 5 cm. Její oblouk má délku 6π cm. 8 Jak velký objem má kužel, jehož pláštěm je daná kruhová výseč? (Výsledek nezaokrouhlujte, vyjádřete v násobcích π.) Maturita z matematiky 01 3

4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Na obrázku je graf funkce f: y = 2x Zapište obor hodnot H(f) funkce f. 9.2 Určete všechna reálná x, která jsou řešením nerovnice f(x) < 5. max. 3 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Pro lineární funkci y = f(x) platí: f( 2) = 14, f(5) = Určete, pro jakou hodnotu proměnné x nabývá funkce f funkční hodnotu 28. A) x = 12 B) x = 8,5 C) x = 14 D) x = 12 E) x = 8,5 11 Rozhodněte o každé z následujících vět o tělesech, zda je pravdivá (ANO), nebo nepravdivá (NE): ANO NE 11.1 Pravidelný čtyřboký jehlan má výšku vždy stejně dlouhou jako podstavnou hranu Podstavou pravidelného čtyřstěnu je rovnostranný trojúhelník Osovým řezem válce je vždy obdélník Tělesa stejného objemu mají stejný povrch. 4 Maturita z matematiky 01

5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 12 V sedmi regálech je srovnáno 259 knih tak, že v každém regálu počínaje druhým je o 4 knihy více než v předchozím. 12 Kolik je celkem složeno knih v regálu s největším počtem knih? A) 51 knih B) 49 knih C) 47 knih D) 45 knih E) jiný počet 2 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 13 Jsou dány přímky: p : { x = 2 + 4t, t R y = 6 12t q : { x = 3 s, s R y = 3 + 3s Přímky p, q jsou: A) kolmé různoběžky B) různoběžky svírající ostrý úhel C) totožné rovnoběžky D) různé rovnoběžky max. 6 bodů 13.2 Na přímce p leží bod o souřadnicích: A) [14; 30] B) [ 14; 30] C) [14; 30] D) žádný z nich 13.3 Přímka q je dána i parametrickými rovnicemi: A) { x = 9 2s, s R y = 21 6s B) { x = 3 + s, s R y = 21 3s C) { x = 9 + 2s, s R y = 21 6s D) žádnými z uvedených KONEC TESTU Maturita z matematiky 01 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka CE úhel ACB na polovinu. Rovnoběžka k přímce CE vedoucí z bodu B protíná přímku procházející body A, C v bodě D Který úhel je úhlem střídavým k úhlu ECB? Úhly ECB a ECA jsou shodné podle zadání. Rovnoběžky EC, BD s příčkou AD určují shodné úhly ACE, CDB (úhly souhlasné), tyto rovnoběžky s příčkou BC určují shodné úhly ECB, CBD (úhly střídavé). Řešení: Střídavým k úhlu ECB je úhel CBD. 1.2 Určete velikost úsečky BC, je-li CD = v. Protože úhly CBD a CDB jsou shodné, je trojúhelník CBD rovnoramenný s rameny BC, CD. Úsečky BC a CD jsou stejné délky. Řešení: BC = v VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Je dán výraz V = 3a a. 2a Maturita z matematiky 01

7 2 2.1 Pro jaké hodnoty a nemá výraz V smysl? max. 5 bodů Výraz V nemá smysl, je-li jmenovatel zlomku roven nule. Jmenovatel 2a 2 50 lze rozložit na součin 2(a 5)(a + 5). Řešení: Výraz nemá smysl pro a = 5 a = Výraz V zjednodušte. 3(a 5) 2 Po rozložení čitatele a jmenovatele na součin je V =, což můžeme krátit dvojčlenem a 2(a 5)(a + 5) 5. 3(a 5) Řešení: Výraz zjednodušíme na tvar V =. 2(a + 5) 2.3 Určete, pro které hodnoty proměnné a je hodnota výrazu V záporná. O tom, pro které hodnoty a je výraz V kladný nebo záporný, rozhoduje jeho jmenovatel, neboť čitatel je pro všechna a nezáporný (druhá mocnina). Metodou nulových bodů nebo úvahou určíme, že jmenovatel 2(a 5)(a + 5) je záporný, jestliže x ( 5; 5). Řešení: Výraz V je záporný, jestliže x ( 5; 5). VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Počet studentů gymnázia je větší než 600 a menší než 650. Vytvoříme-li z nich skupiny po čtrnácti studentech nebo po dvaadvaceti studentech nebo po dvaceti osmi studentech, bude vždy 1 student přebývat. 3 Kolik studentů studuje na gymnáziu? Nejprve určíme nejmenší společný násobek čísel 14, 22 a 28. Tím je číslo = 308. Jeho dvojnásobkem je číslo 616. Hledané číslo dává při dělení čísly 14, 22 a 28 zbytek 1. Řešení: Na gymnáziu studuje 617 studentů. Maturita z matematiky 01 7

8 4 Určete všechna reálná čísla, která jsou řešením rovnice x 3 + 2x 3 = 0. Pro všechna x 3 má rovnice tvar x 3 + 2x 3 = 0. Její řešení je číslo 2, které ale podmínce x 3 nevyhovuje. Pro všechna x < 3 má rovnice tvar x x 3 = 0. Její řešení x = 0 podmínce x < 3 vyhovuje. Řešení: Rovnice má jediné řešení: x = 0 5 Kolik třítónových akordů je možné zahrát z osmi různých tónů? Akord je tvořen několika různými současně znějícími tóny. Určit počet akordů tvořených třemi z osmi tónů znamená určit C 3 (8). Počet tříčlenných kombinací z osmi prvků je dán kombinačním číslem ( 8 3 ). Řešení: Hledaný počet akordů je 56. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Je dán výraz V = sin x 2 sin x cos x, kde x π; π Rozložte výraz V na součin. max. 3 body Výraz rozložíme na součin vytknutím V = sin x(1 2 cos x). Řešení: V = sin x(1 2 cos x) 6.2 Určete všechny hodnoty proměnné x, pro kterou je výraz V roven nule. Budeme řešit rovnici 0 = sin x(1 2 cos x). Ta je splněna, jestliže sin x = 0 nebo cos x = 1. Řešením rovnice budou jen úhly z intervalu π; π. 2 Řešení: V = 0 pouze pro x { π; 1 3 π; 0; 1 3 π; π} 8 Maturita z matematiky 01

9 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, součet délek všech hran kvádru je 84 cm. 7 Vypočtěte délky hran kvádru, je-li jeho objem 64 cm 3. Protože délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, můžeme je označit x q ; x; xq. Ze vztahu pro objem kvádru V = x q x xq = 64 cm 2 vypočteme x = 4 cm, vztahu pro součet délek hran kvádru 4( q) = 84 q vyhovuje q = 4 nebo q = 1. Hledané délky hran kvádru jsou v obou případech 4 stejné. Řešení: Kvádr má délky hran 1 cm, 4 cm a 16 cm. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Na obrázku je kruhová výseč, která je částí kruhu o poloměru 5 cm. Její oblouk má délku 6π cm. 8 Jak velký objem má kužel, jehož pláštěm je daná kruhová výseč? (Výsledek nezaokrouhlujte, vyjádřete v násobcích π.) Kužel, jehož pláštěm je daná výseč, má obvod kruhové podstavy stejně dlouhý, jako je délka oblouku výseče. Po dosazení do vztahu pro obvod kruhu 6π = 2πr určíme poloměr podstavy kužele r = 3 cm. Poloměr kruhu, jehož částí je daná kruhová výseč, je stranou kužele s = 5 cm. V osovém řezu kužele (viz obrázek) tvoří poloměr podstavy r, strana s a výška kužele v pravoúhlý trojúhelník. Užitím Pythagorovy věty vypočteme výšku kužele Maturita z matematiky 01 9

10 v = s 2 r 2 = cm = 4 cm. Objem kužele vypočítáme dosazením do vztahu V = 1 3 πr 2 v. Řešení: Objem kužele V je 12π cm 3. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Na obrázku je graf funkce f: y = 2x Zapište obor hodnot H(f) funkce f. max. 3 body Obor hodnot přečteme z grafu na ose y. Řešení: H(f) = 3; ) 9.2 Určete všechna reálná x, která jsou řešením nerovnice f(x) < 5. Řešíme nerovnici 2x 2 3 < 5. 2x 2 3 < 5 / +3 2x 2 < 8 x 2 < 4 x ( 2, 2) Řešení: x ( 2, 2) 10 Maturita z matematiky 01

11 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Pro lineární funkci y = f(x) platí: f( 2) = 14, f(5) = Určete, pro jakou hodnotu proměnné x nabývá funkce f funkční hodnotu 28. A) x = 12 B) x = 8,5 C) x = 14 D) x = 12 E) x = 8,5 Lineární funkce má obecně rovnici y = ax + b. Dosazením uspořádaných dvojic [ 2; 14], [5; 14] pro funkci f odvodíme rovnici y = 4x 6. Hledanou hodnotu proměnné vypočteme z rovnice 28 = 4x 6. Řešení: x = 8,5 11 Rozhodněte o každé z následujících vět o tělesech, zda je pravdivá (ANO), nebo nepravdivá (NE): ANO NE 11.1 Pravidelný čtyřboký jehlan má výšku vždy stejně dlouhou jako podstavnou hranu Podstavou pravidelného čtyřstěnu je rovnostranný trojúhelník Osovým řezem válce je vždy obdélník Tělesa stejného objemu mají stejný povrch. Pravidelný čtyřboký jehlan má podstavu čtverec, může být ale libovolně vysoký. Tvrzení 11.4 je nepravdivé. Ano, podstavou pravidelných těles jsou konvexní mnohoúhelníky, jejichž strany jsou stejně dlouhé. V případě trojbokého hranolu (čtyřstěn) to je rovnostranný trojúhelník. Tvrzení 11.2 je pravdivé. Ne, může jím být i čtverec. Tvrzení 11.3 je nepravdivé. Maturita z matematiky 01 11

12 Porovnáme-li např. krychli o hraně délky 10 a válec o výšce 10, které mají stejný objem V =1 000, potom: Krychle má povrch: P k = = 60 Válec má povrch: = 10πr 2 r = 10 1 π Tvrzení 11.4 je nepravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, NE P v = 2π 100 π + 20π 1 π P k VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 12 V sedmi regálech je srovnáno 259 knih tak, že v každém regálu počínaje druhým je o 4 knihy více než v předchozím. 12 Kolik je celkem složeno knih v regálu s největším počtem knih? A) 51 knih B) 49 knih C) 47 knih D) 45 knih E) jiný počet 2 body Počty knih v regálech tvoří sedmičlennou aritmetickou posloupnost s diferencí d = 4. Užitím vztahů pro výpočet sedmého členu a součet prvních sedmi členů této posloupnosti 259 = (a 1 + a 7 ) 7, a 2 7 = a vypočteme největší počet knih v regálu jako sedmý člen posloupnosti. Řešení: 49 knih 12 Maturita z matematiky 01

13 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 13 Jsou dány přímky: p : { x = 2 + 4t, t R y = 6 12t q : { x = 3 s, s R y = 3 + 3s Přímky p, q jsou: A) kolmé různoběžky B) různoběžky svírající ostrý úhel C) totožné rovnoběžky D) různé rovnoběžky max. 6 bodů Směrové vektory dvou rovnoběžných přímek jsou lineárně závislé. Pokud bod leží na přímce, jeho souřadnice vyhovují rovnicím přímky. Mají-li rovnoběžky společný jeden bod, mají společné všechny body. O směrových vektorech obou přímek platí u p = 4 u q, souřadnice bodu [2; 6] přímky p vyhovují také rovnicím přímky q. Přímky p, q jsou totožné. Řešení: C 13.2 Na přímce p leží bod o souřadnicích: A) [14; 30] B) [ 14; 30] C) [14; 30] D) žádný z nich Body z možností A C dosadíme do rovnic přímky p a ověříme, zda je splňuje. Parametrické rovnice přímky p splňuje bod [14; 30]. Řešení: A Maturita z matematiky 01 13

14 13.3 Přímka q je dána i parametrickými rovnicemi: A) { x = 9 2s, s R y = 21 6s B) { x = 3 + s, s R y = 21 3s C) { x = 9 + 2s, s R y = 21 6s D) žádnými z uvedených Protože směr přímky q je dán vektorem ( 1; 3), přicházely by v úvahu možnosti B a C. Ověříme, zda body [-3; 21] a [9, 21] leží na přímce q. Na přímce leží pouze bod [ 3; 21]. Řešení: B KONEC TESTU 14 Maturita z matematiky 01

15 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 9 jsou otevřené. 3) Úlohy jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů CBD 1 bod 1.2 BC = v 1 bod a = 5 a = 5 1 bod 2.2 3(a 5) 2(a + 5) 2 body 2.3 x ( 5; 5) 2 body studentů 4 x = akordů V = sin x(1 2 cos x) 1 bod 6.2 x { π; 1 3 π; 0; 1 3 π; π} 2 body 7 1 cm, 4 cm a 16 cm 8 12π cm H(f) = 3; ) 1 bod 9.2 x ( 2, 2) 2 body 10 B 2 body NE 11.2 ANO 11.3 NE 11.4 NE 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky 01 15

16 12 49 knih 2 body C 2 body 13.2 A 2 body 13.3 B 2 body 16 Maturita z matematiky 01

17 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1 9 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod bod body body bod body bod body 10 2 body podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky 01 17

18 12 2 body body body body 18 Maturita z matematiky 01