CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí, že součty čísel v každém řádku a v každém sloupci jsou rovny témuž číslu. Uvnitř čtverce čtyři čísla chybí, čísla jsou označena písmeny a, b, c a d a b 5 3 c d Jakému číslu je roven součet čísel a, b, c, d? VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 1 bod Terč na střelbu je kruhový, tvořený soustřednými kruhy, s černě zbarvenou dvojicí mezikruží a středovým kruhem. Poloměry kruhů tvoří aritmetickou posloupnost, nejmenší z kruhů má průměr 1 dm. Větší ze dvou černě zvýrazněných mezikruží má obsah 17,25π dm Jak je široké větší ze dvou černě zvýrazněných mezikruží? 2.2 Jaký je obvod celého terče? (Výsledek zaokrouhlete na celé dm.) max. 3 body 2 Maturita z matematiky 07

3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dána úsečka AB, její osa o, úhel BAX o velikosti 30 a přímka p, která je rovnoběžná s úsečkou AB. max. 2 body 3 Narýsujte na přímce p všechny takové body C tak, aby platilo: ACB = 30. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. (Proveďte čitelně, přesně a náležitě pouze všechny nutné konstrukční kroky, postup konstrukce není nutné uvádět.) 1 bod 4 Jakou nejmenší velikost musí mít strana čtverce, přičteme-li k obsahu čtverce obsah obdélníka, který má jednu stranu dvakrát a druhou stranu o 6 větší než čtverec, aby výsledný obsah byl větší nebo roven dvanáctinásobku obsahu čtverce? (Výsledek uveďte ve tvaru zlomku v základním tvaru.) Maturita z matematiky 07 3

4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Je dána exponenciální funkce f: y = 3 x 2 n, kde n je neznámé reálné číslo. Graf této funkce f prochází body X[3, 5], Y[2, 7]. Přímka p: y = 8 je asymptotou grafu této funkce f. max. 2 body 5.1 Určete číslo n v předpisu funkce f. 5.2 Určete, kterým jediným z vyznačených bodů A[1; 6], B[4; 3], C[5; 0,5], D[4; 1], E[3; 3] graf funkce f prochází. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Z kostky hlíny o objemu 125 cm 3 vyrobili žáci v keramickém kroužku svícen tvaru krychle. Prostor, do níž se vkládá svíčka, má tvar válce o průměru 4 cm a výšce 1,5 cm. Při výrobě žáci žádnou hlínu neodebírali, ani nepřidávali. 1 bod 6 Kolik cm měří výška svícnu před vypálením v peci? Výsledek zaokrouhlete na setiny cm. (Případné další vlivy, které by mohly tvar a velikost svícnu ovlivnit, zanedbejte.) 4 Maturita z matematiky 07

5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jsou dány přímky p = {[2 t, 3 t], t R} a q = {[a + k, ak], k R}, kde a R. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Pro a = 1 jsou dané přímky totožné. 7.2 Pro a = 1 jsou dané přímky na sebe kolmé. 7.3 Pro a = 0 svírají dané přímky úhel Existuje kladné a takové, že přímka q prochází bodem [ 6, 8]. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Pro přirozená čísla x je dána rovnice ( x 98 ) + ( x 99 ) = ( ). 8 Která z možností A E určuje počet řešení dané rovnice? A) žádné B) právě jedno C) právě dvě D) alespoň dvě E) nejvýše tři 2 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán výraz ( 3) n = 3 n 2. 9 Která z možností určuje možná n, pro které je výraz platný? A) n {1, 2, 3} B) n je přirozené číslo C) n je kladné reálné číslo D) n je sudé celé číslo E) žádné takové n neexistuje 2 body Maturita z matematiky 07 5

6 max. 4 body 10 Přiřaďte každé nerovnici s neznámou x ( ) množinu všech jejích řešení (A F) x 3 < (x 3) 2 1 x > 0 x x 2 A) (+ ; 2) (4; + ) B) 2, 4 C) (2, 4) D) (+ ; 2 4; + ) E) (+ ; 2) 4; + ) F) (+ ; 2 KONEC TESTU 6 Maturita z matematiky 07

7 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí, že součty čísel v každém řádku a v každém sloupci jsou rovny témuž číslu. Uvnitř čtverce čtyři čísla chybí, čísla jsou označena písmeny a, b, c a d a b 5 3 c d Jakému číslu je roven součet čísel a, b, c, d? Z prvního řádku (případně jiných úplně vyplněných řádků a sloupců) určíme magický součet = 6. Součet všech čísel ve čtverci je tedy 4 6 = 24. Součet čísel na obvodu čtverce je = 10, součet čísel uvnitř čtverce je tedy = 14. Součet a + b + c + d je roven bod Řešení: 14 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Terč na střelbu je kruhový, tvořený soustřednými kruhy, s černě zbarvenou dvojicí mezikruží a středovým kruhem. Poloměry kruhů tvoří aritmetickou posloupnost, nejmenší z kruhů má průměr 1 dm. Větší ze dvou černě zvýrazněných mezikruží má obsah 17,25π dm Jak je široké větší ze dvou černě zvýrazněných mezikruží? max. 3 body Maturita z matematiky 07 7

8 Obě zvýrazněná mezikruží mají stejnou šířku, ta je rovna rozdílu jejich poloměrů. Označíme-li postupně poloměry jednotlivých kruhů r 1,, r 6 a diferenci aritmetické posloupnosti d, pak platí, že poloměry kruhů lze popsat rovněž takto: r 1, r 1 + d, r 1 + 2d, r 1 + 3d, r 1 + 4d, r 1 + 5d, d > 0. Obsah většího mezikruží je πr 5 2 πr 42. Nahradíme zápis poloměrů upraveným zápisem pomocí poloměru středového kruhu a diference posloupnosti. 2 2 πr 5 πr 4 = π(r 1 + 4d) 2 π(r 1 + 3d) 2 2 = π(r 1 + 8r 1 d + 16d 2 2 r 1 6r 1 d 9d 2 ) = π(2r 1 d + 7d 2 ) 17,25π = = π(2r 1 d + 7d 2 ) Dosadíme hodnotu poloměru r 1 = 1 = 0, ± ( 17,25) 17,25π = π[2 d + 7d 2 ] 7d 2 + d 17,25 = 0 d 1,2 = d 2 7 1,2 = 1 ± d 1 = 1 22 = 23 d = = 21 = 1, Protože diference musí být kladná, jedná se o posloupnost, kde poloměr středového kruhu je 0,5 dm a každý další kruh má poloměr o 1,5 dm širší. Označená mezikruží tak mají šířku 1,5 dm. Řešení: 1,5 dm 2.2 Jaký je obvod celého terče? (Výsledek zaokrouhlete na celé dm.) Obvod O terče je roven O = 2πr 6 = 2π(r 1 + 5d) = 2π(0,5 + 7,5) = 16π 50 Terč má obvod přibližně 50 dm. Řešení: 50 dm 8 Maturita z matematiky 07

9 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dána úsečka AB, její osa o, úhel BAX o velikosti 30 a přímka p, která je rovnoběžná s úsečkou AB. max. 2 body 3 Narýsujte na přímce p všechny takové body C tak, aby platilo: ACB = 30. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. (Proveďte čitelně, přesně a náležitě pouze všechny nutné konstrukční kroky, postup konstrukce není nutné uvádět.) Využijeme vlastnosti obvodových a úsekových úhlů v kružnici. Narýsujeme kolmici q k rameni AX úhlu BAX (1.) vedenou bodem A. Poté nalezneme její průsečík s osou o. Tento průsečík S (2.) je středem oblouku k (3.), který je (vyjma svých krajních bodů A, B) množinou všech takových bodů, ze kterých je vidět úsečka AB pod požadovaným úhlem o velikosti 30. Oblouk zkonstruujeme. Průsečíky oblouku k s přímkou p jsou hledané body C 1 a C 2 (4.). Řešení: Maturita z matematiky 07 9

10 1 bod 4 Jakou nejmenší velikost musí mít strana čtverce, přičteme-li k obsahu čtverce obsah obdélníka, který má jednu stranu dvakrát a druhou stranu o 6 větší než čtverec, aby výsledný obsah byl větší nebo roven dvanáctinásobku obsahu čtverce? (Výsledek uveďte ve tvaru zlomku v základním tvaru.) Označíme-li stranu čtverce a, potom a > 0. a 2 + 2a (a + 6) 12a 2 a 2 + 2a a 12a 2 9a 2 12a 0 3a(3a 4) 0 x (0; 4 3 ) x 3 4 ; + ) 3a + + 3a 4 + 3a(3a 4) + Nejmenším možným a je a = 4 3. Řešení: 4 3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Je dána exponenciální funkce f: y = 3 x 2 n, kde n je neznámé reálné číslo. Graf této funkce f prochází body X[3, 5], Y[2, 7]. Přímka p: y = 8 je asymptotou grafu této funkce f. 5.1 Určete číslo n v předpisu funkce f. max. 2 body 10 Maturita z matematiky 07

11 Protože asymptota grafu je přímka p: y = 8, a graf funkce y = 3 x 2 by měl asymptotu v přímce s předpisem y = 0, je n = 8. Určit n lze i tak, že do předpisu funkce f dosadíme souřadnice bodu X nebo Y. Dosaďme souřadnice bodu X[3; 5]. 5 = n n = n = 8 Řešení: n = Určete, kterým jediným z vyznačených bodů A[1; 6], B[4; 3], C[5; 0,5], D[4; 1], E[3; 3] graf funkce f prochází. Funkce f: y = 3 x 2 8 je rostoucí (vyloučíme tedy bod A), zakřivená (tři různé body jejího grafu neleží na stejné přímce, tj, vyloučíme bod B). Bod E vyloučíme, v takovém případě by nešlo o graf funkce, jednomu x = 3 by byly přiřazeny dva různé y (y = 5 a y = 3). Zbývají v úvahu jen body C a D. Aby bod ležel na grafu funkce, musí jeho souřadnice splňovat rovnici funkce. Dosadíme oba body a tuto podmínku ověříme. C[5; 0,5] = 27 8 = 19 0,5 C f D[4; 1] = 9 8 = 1 D f Podobným způsobem bychom mohli ověřit i ostatní nabízené body. Řešení: D[4; 1] VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Z kostky hlíny o objemu 125 cm 3 vyrobili žáci v keramickém kroužku svícen tvaru krychle. Prostor, do níž se vkládá svíčka, má tvar válce o průměru 4 cm a výšce 1,5 cm. Při výrobě žáci žádnou hlínu neodebírali, ani nepřidávali. 1 bod 6 Kolik cm měří výška svícnu před vypálením v peci? Výsledek zaokrouhlete na setiny cm. (Případné další vlivy, které by mohly tvar a velikost svícnu ovlivnit, zanedbejte.) Žáci vyrobili svícen z krychle, která měla objem 125 dm 3. Její hrana měla tedy délku 5 cm. Prostor, do kterého se vkládá svíčka, má tvar válce. Spočteme objem tohoto válce a tento objem přičteme k objemu původní kostky hlíny. Získáme tak objem krychle, jejíž tvar svícen má. Určíme její výšku v. Objem prostoru pro svíčku je π( 4 cm 2 ) 2 (1,5 cm) = 6π cm 3. Objem svícnu je 125 cm 3 + 6π cm 3 = ( π) cm 3. Pro výšku svícnu v platí: v = 3 ( π) cm 3 = 5,24 cm. Svícen má výšku přibližně 5,24 cm. Řešení: v = 5,24 cm Maturita z matematiky 07 11

12 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jsou dány přímky p = {[2 t, 3 t], t R} a q = {[a + k, ak], k R}, kde a R. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Pro a = 1 jsou dané přímky totožné. 7.2 Pro a = 1 jsou dané přímky na sebe kolmé. 7.3 Pro a = 0 svírají dané přímky úhel Existuje kladné a takové, že přímka q prochází bodem [ 6, 8]. ANO NE 7.1 Dosadíme příslušné a a určíme počet společných bodů přímek řešením soustavy rovnic: I. 2 t = 1 + k II. 3 t = k I. k = 1 t II. k = 3 t 1 t = 3 t 1 3 Soustava nemá řešení, přímky jsou rovnoběžné. Tvrzení je nepravdivé. 7.2 Dosadíme příslušné a a určíme směrové vektory přímek a ověříme kolmost, po dosazení za parametr a. S p = ( 1, 1), S q = (1, 1). Protože skalární součin směrových vektorů přímek jo roven 0, přímky jsou kolmé. ( 1, 1) (1, 1) = 1 + ( 1)( 1) = = 0 Tvrzení je pravdivé. 7.3 Dosadíme příslušné a a sestavíme vzorec pro výpočet odchylky přímek ( 1) 0 ( 1) 2 + ( 1) = 1 2 = = cosφ φ = Tvrzení je pravdivé. 7.4 Aby bod [ 6, 8] ležel na přímce q, musí splňovat její rovnici. Dosadíme souřadnice bodu [ 6, 8] do rovnice přímky q. I. 6 = a + k II. 8 = ak I. k = 6 a II. 8 = a( 6 a) II. 8 = 6a a 2 a 2 + 6a + 8 = 0 (a + 4)(a + 2) = 0 a = 4 a = 2 Pro tato a přímka bodem [ 6, 8] prochází, žádné z nich ale není kladné. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, ANO, ANO, NE 12 Maturita z matematiky 07

13 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Pro přirozená čísla x je dána rovnice ( x 98 ) + ( x 99 ) = ( ). 8 Která z možností A E určuje počet řešení dané rovnice? A) žádné B) právě jedno C) právě dvě D) alespoň dvě E) nejvýše tři 2 body Využijeme vztah pro kombinační čísla vyplývající z Pascalova trojúhelníku: ( n n k ) + ( = k + 1) ( n + 1 kde n, k N k + 1), 0, n k > 0 a levou stranu rovnice pro přípustná x upravíme na tvar: ( x 98) + ( x 99) = ( x ). Z toho vyplývá: x + 1 = 100 x = 99. Rovnice má jediné řešení. Správně je možnost B. Řešení: B VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán výraz ( 3) n = 3 n 2. 9 Která z možností určuje možná n, pro které je výraz platný? A) n {1, 2, 3} B) n je přirozené číslo C) n je kladné reálné číslo D) n je sudé celé číslo E) žádné takové n neexistuje 2 body Protože druhá odmocnina je definovaná pro nezáporná čísla, musí být číslo ( 3) n kladné. Kladného čísla nedosáhneme, bude-li n = 3 (mocnina by byla záporná a jednalo by se o odmocninu ze záporného čísla, která není definovaná). Protože uvedená n jsou obsažena v možnostech A, B a C, přichází v úvahu pouze možnosti D a E. Je-li n sudé přirozené číslo, jedná se o mocniny ( 3) 2 = 3 2 ; ( 3) 4 = 3 4 atd., je-li n = 0 je ( 3) 0 = 1 = 3 0 a je-li n sudé záporné celé číslo, lze ji přepsat ( 3) 2 = 1 = 1 ; ( 3) ( 3) 4 = 1 = 1 atd. Obecně platí, ( 3) že mocniny záporných čísel se sudým celočíselným exponentem jsou nezáporné. Jde o možnost D. Řešení: D Maturita z matematiky 07 13

14 max. 4 body 10 Přiřaďte každé nerovnici s neznámou x ( ) množinu všech jejích řešení (A F) x 3 < (x 3) 2 1 x > 0 x x 2 A) (+ ; 2) (4; + ). B) 2, 4 C) (2, 4) D) (+ ; 2 4; + ) E) (+ ; 2) 4; + ) F) (+ ; Odstraníme absolutní hodnotu, třeba dle její algebraické definice. Pro x 3 je x 3 < 1 x < 4 x 3, 4). Pro x < 3 je x + 3 < 1 x > 2 x (2, 3). Řešením nerovnice jsou všechna x (2, 4). Řešení: C 10.2 Upravíme nerovnici (x 3) 2 1 x 3 1 Pro x 3 je x 3 1 x 4 x 4; + ). Pro x < 3 je x x 2 x (+ ; 2. Řešením nerovnice jsou všechna x (+ ; 2 4; + ). Řešení: D 10.3 x ( ; 2) x (2, 4) x (4; + ) x x 4 + x x 4 Řešením nerovnice jsou všechna x (+ ; 2) (4; + ). Řešení: A x 2 4 2x 2 x Řešením nerovnice jsou všechna x (+ ; 2. Řešení: F KONEC TESTU 14 Maturita z matematiky 07

15 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod ,5 dm 2 body dm 1 bod 3 max. 2 body bod n = 8 1 bod 5.2 D [4; 1] 1 bod 6 5,24 cm 1 bod Maturita z matematiky 07 15

16 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 NE 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 NE 8 B 2 body 9 D 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b C 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b D 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b A 10.4 F 16 Maturita z matematiky 07

17 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 3 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod body bod 3 max. 2 body 4 1 bod bod bod 6 1 bod Maturita z matematiky 07 17

18 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 07