Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II. Úloha č. 10 Název: Hallův jev Pracoval: Lukáš Vejmelka stud. skup. FMUZV (73) dne 5.12.2013 Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická část 0 1 Výsledky měření 0 8 Diskuse výsledků 0 4 Závěr 0 1 Seznam použité literatury 0 1 Celkem max. 20 Posuzoval: dne
1 Zadání úlohy 1. Zjistěte závislost proudu vzorkem na přiloženém napětí při nulové magnetické indukci. 2. Zjistěte závislost Hallova napětí na magnetické indukci při dvou hodnotách konstantního proudu vzorkem. 3. Výsledky měření zpracujte graficky a vyhodnoťte měrnou vodivost a Hallovu konstantu vzorku. 4. Vypočtěte pohyblivost a koncentraci nositelů náboje. 2 Teoretický úvod měření Na pohybující se elektrický náboj v magnetickém poli působí síla, která je určena magnetickou částí Lorentzovy síly. Vodič protékaný proudem představuje soubor takových pohybujících se nosičů nábojů elektronů, případně děr. Je-li tedy vodič vhodně umístěn v magnetickém poli, dochází v důsledku magnetické síly k vytvoření příčného elektrického pole, které se projeví napětím mezi příslušnými body. V této úloze naměříme vodivost vzorku Germania typu N. Dále vzorek zapojíme jako Hallův článek a určíme Hallovu konstantu, koncentraci nositelů náboje a Hallovu pohyblivost. Zavedení potřebných veličin a vztahů Měrná elektrická vodivost Je-li vodič podroben elektrickému poli, působí na volné nositelé náboje elektrická síla. V důsledku toho jsou nositelé náboje rozpohybovány. Současně jsou ale bržděny silovým působením se strukturou vodiče. Ukazuje se, že z makroskopického hlediska se tyto dvě síly kompenzují a výsledkem je uspořádaný pohyb určitou střední rychlostí. Chování, kdy je hustota proudu i přímo úměrná intenzitě elektrického pole E, popisuje Ohmův zákon i = σ E, (1) kde konstantu úměrnosti σ zveme měrnou elektrickou vodivostí. Hustota proudu je dána obvyklým i = ρ v. Účastní-li se vodivosti proud elektronů (P) i děr (N), je proudová lokální hustota dána jejich superpozicí j l = j N + j P = ρ N v N + ρ P v P = dq N dv v N + dq P dv v dk N P = e v N dv kde k N a k P jsou počty záporných a kladných nositelů v daném objemu V. + e v P dk P dv. (2) Střední hustota proudu v celém vodiči je pak j = e v P p e v N n, (3) kde v ostrých závorkách jsou střední hodnoty rychlostí, n a p jsou koncentrace nositelů elektronů a děr. Z ohmova zákona (1) a z předchozích vyjádření lze psát j P = σ P E = pe vp v P = σ P pe E = µ P E, (4) j N = σ N E = ne vn v N = σ N ne E = µ N E, (5) kde jsme zavedli pohyblivosti negativních a pozitivních nositelů µ N a µ P. Celková měrná vodivost je pak z ohmova zákona (1) a dosazením z (4) a (5) rovna σ = j E = j 1 + j 2 = e p v P n v N = e p µ P E + nµ N E = e(p µ P + nµ N ). (6) E E E 2
Hallův jev Mějme vodič tvaru kvádru určený pravotočivou bází po řadě vektory l, d, t, kdy l = l, d = d a t = t. Vodičem protéká ustálený proud I směrem e x. Vodič se nachází v magnetickém poli B = B e z. Na náboj o velikosti q, pohybující se rychlostí v působí magnetická síla F m = q v B. (7) Ve stacionárním stavu bude magnetická síla kompenzována elektrickou silou vzniklého Hallova pole E, tj. Užijeme-li kolmost vektorů v a B lze vztah dále upravit q v B + q E = 0. (8) q v B e y + q e y E = 0 E = v B. (9) Pro Hallovo napětí pak lze postupným užitím výše uvedených vztahů pro p = 0 psát U H = d 0 E dy = E j d = v N Bd = µ N EBd = µ N σ Bd = µ N Bd = 1 enµ N en Dle [1] při uvážení rozptylu ve vztahu navíc figuruje veličina r H následovně I dt IB t. (10) U H = r H IB IB = R H en t t, (11) kterou nazýváme Hallovým rozptylovým faktorem. Ve vztahu jsme zavedli Hallovu konstantu R H = r H en. (12) Pro pohyblivost v případě elektronové vodivosti z (5) plyne µ = σ ne (13) A po korekcích faktorem r H dostáváme vztah 2.1 Použité přístroje, měřidla, pomůcky µ = r Hσ ne = R Hσ. (14) Zdroj STATRON typ 2250, Aat stabilizovaný zdroj, ampérmetr, miliampérmetr, digitální voltmetr, komutátor, vzorek Ge typu N, uskupení cívek pro vytvoření magnetického pole známé velikosti, vodiče. Měření VA charakteristiky vzorkem (stejnosměrný obvod) ˆ Miliampérmetr užitý rozsah 12 ma, třída přesnosti 1; ˆ Digitální voltmetr užité rozsahy 20 V, 2 V, chyba 0, 05 % z hodnoty a ± 3 číslice. Měření Hallova napětí ˆ Digitální voltmetr užité rozsahy 0,2 V, 2 V, chyba 0, 05 % z hodnoty a ± 3 číslice. Měření proudu v budícím obvodu elektromagnetů ˆ Ampérmetr užitý rozsah 6 A, třída přesnosti 0,5, 120 dílků. 2.2 Důležité hodnoty, konstanty, vlastnosti ˆ Elementární elektrický náboj: e. = 1,602 10 19 C. [?] 3
2.3 Popis postupu vlastního měření Měření VA charakteristiky k určení měrné vodivosti Zapojíme schéma dle obrázku 1. Digitálním multimetrem budeme měřit napětí na rozměru l, zapojíme jej proto mezi svorky 3,4. Proměříme voltampérovou charakteristiku. Proud protékající vzorkem nesmí překročit 5 ma. Měření Hallova napětí Digitální voltmetr přepojíme na svorky 5 a 6, tj. budeme měřit Hallovo napětí. Dále sestavíme obvod pro buzení magnetického pole cívkami, dle druhého schématu na obrázku 1. Při měření neměříme pouze Hallovo napětí, ale v důsledku rozdílného potenciálu na svorkách 5 a 6, způsobené jejich nesouřadností, i ohmické napětí příslušící části podélného elektrického pole. Z tohoto důvodu naměříme napětí pro obě orientace magnetického pole, což nám při zpracování umožní vyloučit pro nás nezajímavé ohmické napětí. Proměříme tedy závislost napětí na svorkách 5 a 6 pro dvě hodnoty proudu vzorkem tekoucí, na proudu v obvodu budící magnetické pole a to jak jedním, tak druhým směrem. Přesnost měření Při měření si zapisujeme aktuální rozsahy měřících přístrojů, jejich třídy přesnosti, dílkáž kolísání ručiček atp. Obrázek 1: Schéma zapojení. Vlevo je schéma pro měření měrné vodivosti. Vpravo je obvod napájení elektromagnetů. V případě měření Hallovy konstanty měříme napětí na svorkách k 5 a 6. Zdroj [1]. 3 Výsledky měření 3.1 Laboratorní podmínky Teplota v laboratoři: 22,5 C Atmosférický tlak: 996,6 hpa Vlhkost vzduchu: 29,5 % 3.2 Způsob zpracování dat Určení měrné elektrické vodivosti Vykreslíme graf závislosti proudu tekoucího vzorkem na přiloženém napětí. Fitací lineární funkce získáme regresní směrnici s. Porovnáním s teoretickou závislostí vycházející z (1) σ = i E = Il dtu = l I dt U, I = dtσ U. (15) l vypočítáme hledanou měrnou elektrickou vodivost ze směrnice s jako σ = ls dt. (16) Chyba určení je dána nejistotou určení l, d, t a chybou regresního koeficientu s. 4
Určení Hallovy konstanty, koncentrace nositelů a pohyblivosti Naměřený proud v budícím obvodu přepočítáme na magneticou indukci. Hallovo napětí z naměřených napětí U 1 a U 2 určíme ze vztahu [1] U H = U 1 U 2. (17) 2 Vykreslíme závislost Hallova napětí na magnetické indukci pro oba proudy vzorkem. Těmto závislostem budeme fitovat lineární funkce, z jejichž směrnic a dostaneme vztah pro konstantu porovnáním s (11) R H = ta I. (18) Z obou hodnot vypočítáme Hallovu konstantu jako střední hodnotu. Na základě ní pak snadno dopočítáme koncentraci nositelů nábojů podle vztahu n = Hallovskou pohyblivost pak určíme ze vztahu (14). r H er H. (19) Určení chyb měření Chyby nepřímo určených veličin budou počítány na základě vztahů veličiny určující podle kvadratického zákona hromadění chyb. Chyby napětí a proudu zahrnují chybu přístroje, chybu danou kolísáním hodnoty, případně hrubou chybu odečítání laborantem. Při výpočtu dále předpokládáme, že chyby veličin udaných v zadání jsou chybami mezními. Regresní proložení probíhá s vážením vzhledem k chybovým úsečkám. Chyby regresních koeficientů jsou přepočítány na chyby mezní. 3.3 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty zachycují tabulky 1 a 2. Hodnoty zadání Rozměr vzorku: l = (6,000 ± 0,005) mm, P 1. Rozměr vzorku: d = (6,000 ± 0,005) mm, P 1. Rozměr vzorku: t = (6,000 ± 0,005) mm, P 1. Hallův rozptylový faktor vzorku: r H = 3π 8. Hodnota magnetického pole při daném proudu: B = 0,098{I} T. 3.4 Zpracování dat, číselné a jiné výsledky Voltampérová charakteristika vzorku Z naměřených dat tabulky 1 jsme vykreslili závislost I = I(U). Měrná vodivost Fitací dle vztahu (6) programem QtiPlot jsme získali hodnotu směrnice s = (2,1 ± 0,1) ma V 1, P = 1. Měrnou vodivost σ jsme pak určili podle vztahu (16) jako σ = (5,1 ± 0,2) Ω 1 m 1, P 1. 5
Tabulka 1: Naměřené hodnoty pro voltamperovou charakteristiku U[V] Rozsah [V] δ U [V] I[mA] Rozsah [ma] δ I [ma] 2,411 20 0,004 5,0 12 0,170 2,367 20 0,004 4,9 12 0,170 2,319 20 0,004 4,8 12 0,170 2,257 20 0,004 4,7 12 0,170 2,219 20 0,004 4,6 12 0,170 2,179 20 0,004 4,5 12 0,170 2,128 20 0,004 4,4 12 0,170 2,089 20 0,004 4,3 12 0,170 2,039 20 0,004 4,2 12 0,170 1,996 20 0,004 4,1 12 0,170 1,950 20 0,004 4,0 12 0,170 1,897 20 0,004 3,9 12 0,170 1,851 20 0,004 3,8 12 0,170 1,801 20 0,004 3,7 12 0,170 1,764 20 0,004 3,6 12 0,170 1,710 20 0,004 3,5 12 0,170 1,657 20 0,004 3,4 12 0,170 1,610 20 0,004 3,3 12 0,170 1,579 20 0,004 3,2 12 0,170 1,528 20 0,004 3,1 12 0,170 1,467 20 0,004 3,0 12 0,170 1,423 20 0,004 2,9 12 0,170 1,377 20 0,004 2,8 12 0,170 1,323 20 0,004 2,7 12 0,170 1,281 20 0,004 2,6 12 0,170 1,225 20 0,004 2,5 12 0,170 1,172 20 0,004 2,4 12 0,170 1,126 20 0,004 2,3 12 0,170 1,083 20 0,004 2,2 12 0,170 1,029 20 0,004 2,1 12 0,170 0,968 20 0,003 2,0 12 0,170 0,9208 2 0,0008 1,9 2,4 0,034 0,8714 2 0,0007 1,8 2,4 0,034 0,8245 2 0,0007 1,7 2,4 0,034 0,7764 2 0,0007 1,6 2,4 0,034 0,7270 2 0,0007 1,5 2,4 0,034 0,6810 2 0,0006 1,4 2,4 0,034 0,6307 2 0,0006 1,3 2,4 0,034 0,5826 2 0,0006 1,2 2,4 0,034 0,5330 2 0,0006 1,1 2,4 0,034 0,4843 2 0,0005 1,0 2,4 0,034 0,4403 2 0,0005 0,9 2,4 0,034 0,3904 2 0,0005 0,8 2,4 0,034 0,3421 2 0,0005 0,7 2,4 0,034 0,2932 2 0,0004 0,6 2,4 0,034 0,2443 2 0,0004 0,5 2,4 0,034 0,1948 2 0,0004 0,4 2,4 0,034 0,1497 2 0,0004 0,3 2,4 0,034 0,1020 2 0,0004 0,2 2,4 0,034 0,0520 2 0,0003 0,1 2,4 0,034 0,0128 2 0,0003 0,0 2,4 0,034 0 2 0,0003 0 2,4 0,034 6
Tabulka 2: Naměřená a zpracovaná data pro určení Hallovy konstanty, koncentrace nositelů a pohyblivosti. I V [ma] vzorkem I[A] Rozsah [A] B[T] δ B [T] U 1 [mv] U 2 [mv] Rozsah [mv] U H [mv] δ UH [mv] 2,5 0,00 6 0,000 0,000 40,39 40,39 0,2 0,00 0,05 0,25 6 0,025 0,008 46,64 33,35 0,2 6,65 0,05 0,50 6 0,049 0,008 51,76 27,81 0,2 11,98 0,05 0,75 6 0,074 0,008 57,10 22,22 0,2 17,44 0,05 1,00 6 0,098 0,008 62,97 16,13 0,2 23,42 0,05 1,25 6 0,123 0,008 69,38 9,49 0,2 29,95 0,05 1,50 6 0,147 0,008 75,63 3,54 0,2 36,05 0,05 1,75 6 0,172 0,008 80,81 1,16 0,2 39,83 0,05 2,00 6 0,196 0,008 88,09-8,56 0,2 48,33 0,05 2,25 6 0,221 0,008 93,64-12,82 0,2 53,23 0,05 2,50 6 0,245 0,008 99,82-19,85 0,2 59,84 0,05 2,75 6 0,270 0,008 104,59-24,12 0,2 64,36 0,05 3,00 6 0,294 0,008 111,52-31,00 0,2 71,26 0,05 3,25 6 0,319 0,008 116,85-35,76 0,2 76,31 0,05 3,50 6 0,343 0,008 122,96-41,55 0,2 82,26 0,05 3,75 6 0,368 0,008 127,96-45,98 0,2 86,97 0,05 4,00 6 0,392 0,008 134,25-51,92 0,2 93,09 0,05 5 0,00 6 0,000 0,000 83,66 83,66 0,2 0,00 0,07 0,25 6 0,025 0,008 94,78 72,08 0,2 11,35 0,07 0,50 6 0,049 0,008 106,08 61,05 0,2 22,52 0,07 0,75 6 0,074 0,008 114,21 53,98 0,2 30,12 0,07 1,00 6 0,098 0,008 128,37 40,47 0,2 43,95 0,07 1,25 6 0,123 0,008 141,16 29,69 0,2 55,74 0,07 1,50 6 0,147 0,008 152,93 21,64 0,2 65,65 0,07 1,75 6 0,172 0,008 165,56 8,50 0,2 78,53 0,07 2,00 6 0,196 0,008 172,35 0,20 0,2 86,08 0,07 2,25 6 0,221 0,008 184,54-9,56 0,2 97,05 0,07 2,50 6 0,245 0,008 196,54-20,06 0,2 108,30 0,07 2,75 6 0,270 0,008 204,90-30,80 2 117,85 0,07 3,00 6 0,294 0,008 217,50-42,90 2 130,20 0,07 3,25 6 0,319 0,008 225,80-50,20 2 138,00 0,07 3,50 6 0,343 0,008 237,30-61,10 2 149,20 0,07 3,75 6 0,368 0,008 247,80-70,80 2 159,30 0,08 4,00 6 0,392 0,008 260,40-81,80 2 171,10 0,09 7
Hallova konstanta Hallova napětí z dvojic naměřených napětí při obou orientacích magnetického pole jsou vypočítány v tabulce 2. Fitací lineární funkce do závislosti U H = U H (B) jsme získali hodnoty koeficientů a při obou proudech vzorkem. Program QtiPlot je vypočítal následovně a 2,5 = (239,7 ± 2,5) mv T 1, P 1, a 5 = (438,3 ± 4,8) mv T 1, P 1. Z těchto hodnot jsme vypočítali Hallovy konstanty podle vztahu (12) R (1) H = (6,9 ± 0, 6) 10 2 m 3 A 1 s 1, P 1, R (2) H = (6,3 ± 0, 3) 10 2 m 3 A 1 s 1, P 1. Za naměřenou Hallovu konstantu budeme považovat jejich střední hodnotu Koncentrace nositelů náboje R H = (6,6 ± 0, 5) 10 2 m 3 A 1 s 1, P 1. Koncentraci n určíme ze vztahu (19) dosazením známého r H a již určené Hallovy konstanty Hallovská pohyblivost n = (1,1 ± 0, 1) 10 20 m 3, P 1. Hallovskou pohyblivost určíme ze vztahu (14) z již určené Hallovy konstanty a měrné vodivosti, tj. η = (0,34 ± 0, 03) Ω 1 C 1 m 3, P 1. 8
3.5 Grafické výsledky měření Grafy 1,2 se vztahují k měření kapacit kondenzátorů. Grafy 3,4,5 jsou závislosti indukčnosti různých uspořádání cívek na protékaném proudu. Graf 1.: Voltampérová charakteristika vzorku Ge pro určení vodivosti 5 Experimentální body Lineární regrese 4 I[mA] 3 2 1 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 U[V] Graf 2.: Závislosti velikosti Hallova napětí na magnetické indukci pole 150 Proud vzorkem 2,5 ma Proud vzorkem 5 ma Lineární fit UH[mV] 100 50 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 9 B[T]
4 Diskuze výsledků Komentáře ke grafům Graf 1 Graf je voltampérovou charakteristikou daného vzorku. Grafem je proložená lineární funkce. Změna velikosti chybových úseček je dána změnou rozsahu ampérmetru. Vzhledem k přesnosti měření napětí nejsou v daném měřítku napěťové chybové úsečky téměř vidět. Graf 2 V grafu je vynesena závislost indukovaného Hallova napětí na magnetické indukci pole, ve kterém je vzorek umístěn. Méně rostoucí křivka odpovídá proudu 2,5 ma vzorkem, křivka s rychlejším růstem odpovídá proudu 5 ma. Závislostmi jsou proloženy lineární funkce. Další diskuze Teorie předpovídá obě závislosti I = I(U) a U H = U H (B) lineární. Experimentální výsledky jsou ve shodě. Největší chybu do měření vnáší především měření a případné kolísání proudu (až 4 %), chyby určení rozměrů jsou menší než 1 %, stejně jako chyba měření napětí, která nepřekračuje hodnotu 0,5 %. Zaokrouhlovací chyba velikosti elementárního elektrického napětí je vzhledem k velikosti ostatních chyb zanedbatelná. Stejně tak předpokládáme, že koeficient ve vztahu určující velikost magnetické indukce je znám přesně, resp. jeho chybu neuvažujeme. Na základě voltampérové charakteristiky můžeme říci, že v daném uspořádání a rozsahu proudů pro vzorek platí Ohmův zákon. Na základě toho jsme vyhodnotili konstantu úměrnosti závislosti proudové hustoty na intenzitě elektrického pole měrnou vodivost. Čím větší je proud vzorkem, či čím větší je magnetická indukce, tím je indukované Hallovo napětí větší. Závislost na druhém zmíněném parametru je dle teorie i měření lineární. 5 Závěr Měrná elektrická vodivost měřeného vzorku je Naměřili jsme Hallovu konstantu s výsledkem σ = (5,1 ± 0,2) Ω 1 m 1, P 1. R H = (6,6 ± 0, 5) 10 2 m 3 A 1 s 1, P 1. Koncentrace volných nositelů nábojů (elektronů) byla Hallovská pohyblivost je tak n = (1,1 ± 0, 1) 10 20 m 3, P 1. η = (0,34 ± 0, 03) Ω 1 C 1 m 3, P 1. Závislost Hallova napětí na magnetické indukci je lineární. S rostoucí velikostí magnetické indukce Hallovo napětí roste. Pro vyšší hodnoty proudu tekoucí vzorkem jsou hodnoty Hallova napětí vyšší. Seznam použité literatury [1] ZFP II MFF UK Praha: Fyzikální praktikum, studijní text. (7.12.2013). http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_210.pdf 10