1 z 18 Osmileté gymnázium MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu: Obsahové vymezení: Vyučovací předmět matematika pokrývá spolu s předmětem algebra (má samostatné osnovy) a s předmětem geometrie (má samostatné osnovy)vzdělávací oblast Matematika a její aplikace, stanovenou RVPZV(prima až kvarta) a RVPGV ( kvinta až oktáva). Uspořádání zachycuje tabulka ročník prima sekunda tercie kvarta kvinta sexta septima oktáva předmět algebra algebra matematika matematika matematika matematika matematika matematika geometrie geometrie Vzdělávací cíle matematiky vycházejí z RVPZV a RVPGV, ale přesahují jak výstupy, tak rozsah učiva stanovené těmito dokumenty, neboť osmileté gymnázium jako výběrový typ vzdělávání je určen talentovaným žákům s dobrými studijními předpoklady a vysokou motivací. Důraz klademe na dobré porozumění pojmům a souvislostem, na bezpečné zvládnutí matematických dovedností, na rozvoj tvořivosti, geometrické představivosti, abstrakce a logických schopností. Výuka matematiky zohledňuje aktuální rozvoj výpočetní techniky. Vzdělávací cíle rovněž odrážejí současné pojetí vzdělávacího procesu a zejména akcentují schopnost tvořivě pracovat s informacemi, dovednost kultivovaně formulovat a argumentovat. Časové a organizační vymezení: Předmět matematika se vyučuje v tercii, kvartě, kvintě, sextě, septimě a oktávě osmiletého gymnázia. Od tercie do kvinty je pro všechny žáky společný. Od sexty do oktávy si žáci volí základní nebo rozšířenou úroveň. Základní (informační) úroveň si volí žáci, kteří se zejména věnují jiným vzdělávacím oborům, nemají v úmyslu absolvovat školní maturitu z matematiky ani skládat přijímací zkoušky z matematiky na vysokou školu. Rozšířenou (výkonnostní) úroveň si volí žáci, kteří matematiku a příbuzné obory studují intenzivněji a vyžadují vyšší nároky a větší rozsah učiva. Hodinová dotace je zachycena v tabulce ročník tercie kvarta kvinta sexta septima oktáva základní úroveň 4 4 4 4 4 2 rozšiřující úroveň 4 4 4 Jedna hodina v každém ročníku má formu cvičení, třída (skupina) je dělená na polovinu. Na povinné hodiny matematiky navazují volitelné semináře, které dávají prostor nadstandardní látce i metodám práce. Jejich cíle i učivo se aktuálně obměňují podle zaměření a požadavků žáků. Výchovné a vzdělávací strategie: Kompetence k učení učitel: uspořádá učivo v čase, respektuje návaznosti a vztahy uvnitř učiva, dbá na rovnoměrné zatížení žáků v průběhu školního roku seznamuje žáky s učivem živým způsobem, motivuje žáky vhodnými otázkami a problémovými úlohami vytváří ve třídě atmosféru podporující soustředěnou práci systematicky oceňuje dobrou práci žáků přesnost, vytrvalost, duševní činorodost, koncepční schopnost; netoleruje ledabylost a malou snahu podporuje nadané žáky v účasti v matematických soutěžích a ve vzdělávacích aktivitách mimo vyučování (korespondenční semináře, přednášky ap) Kompetence k řešení problému učitel: vedle standardních metod vytváří příležitosti k investigativní a aplikační činnosti žáků poskytuje žákům pomoc a zpětnou vazbu při hledání formulace problému a jeho řešení diskutuje se žáky o verifikaci řešení problému, o příčinách a důsledcích chyb vytváří příležitost k prezentaci řešení problému Kompetence komunikativní učitel: užívá a vyžaduje v hodinách kultivované, věcné a srozumitelné vyjadřování, vede žáky k osvojování symbolického jazyka matematiky
moderuje žákovské debaty, rozlišuje argumentaci o řešení problému od hodnocení řešitele využívá matematický software, internet, video a další informační technologie Kompetence sociální učitel: vytváří příležitosti k činnosti ve dvojicích, skupinách, vede žáky k vlastní organizaci práce skupiny, k zodpovědnosti za činnost skupiny oceňuje projevy úcty k práci druhých Kompetence občanské učitel: podporuje zodpovědný vztah k plnění povinností, ke studiu vede studenty k toleranci, ale také ke kritickému hodnocení názorů jiných 2 z 18
3 z 18 TERCIE výstupy RVP ZV žák: Výstupy ŠVP- žák: Učivo základní: Učivo rozšiřující: Souvislosti: matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných určí hodnotu výrazu, sčítá a násobí mnohočleny formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic dělí mnohočlen jednočlenem rozezná proměnnou veličinu, sestaví rovnici a interpretuje řešení matematizuje a řeší reálnou situaci s využitím rovnic, hledá efektivní způsoby řešení, odhaduje, ověřuje a interpretuje výsledky Výrazy, proměnná, výrazy s proměnnými, mnohočleny, sčítání, násobení a dělení mnohočlenů jednočlenem Rovnost, rovnice, ekvivalentní úpravy rovnic, slovní úlohy řešené rovnicemi, výpočet neznámé z jednoduchého vzorce fyzika - mechanika chemie rovnice, výpočty zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností účelně využívá kalkulátor charakterizuje a třídí základní rovinné útvary zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých praktických problémů odhaduje a počítá obsah a obvod rovinných útvarů využívá pojem množina bodů dané vlastnosti k charakteristice útvaru a k řešení konstrukčních úloh načrtne a sestrojí rovinné útvary analyzuje a řeší aplikační geometrické provádí operace s mocninami s přirozeným a celočíselným mocnitelem zapíše číslo v semilogaritmickém tvaru počítá s velkými a malými čísly odhaduje, počítá a měří velikosti objektů v praktickém životě diskutuje a obhajuje různé způsoby řešení konstrukčních úloh, užívá jazyk matematiky ke stručnému zápisu konstrukce aplikuje shodná zobrazení v konstrukčních úlohách Kružnice, kruh Thaletova kružnice a její aplikace Konstrukční úlohy Obsah kruhu a délka kružnice Mocniny s celočíselným mocnitelem, pravidla pro počítání s mocninami Zápisy velkých a malých čísel Středový úhel, části kružnice a kruhu Iracionální číslo p Vzájemné polohy dvou kružnic Společné tečny dvou kružnic Ekvidistanta přímky a kružnice Množiny středů kružnic daných vlastností fyzika - jednotky chemie - konstanty kalkulačka množiny empirická metoda určení p historie p architektura výtvarné umění
4 z 18 úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu určuje a charakterizuje základní tělesa, analyzuje jejich vlastnosti odhaduje a vypočítá objemy a povrchy těles načrtne a sestrojí sítě základních těles načrtne a sestrojí obraz jednoduchých těles v rovině analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu vyrábí modely jednoduchých těles řeší náročnější úlohy ve skupině, diskutuje se spolužáky o problému a jeho řešení Rotační válec Zobrazení válce ve volném rovnoběžném promítání Model válce Nestandardní úlohy z geometrie formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nich využívá matematický aparát v oboru racionálních čísel matematizuje reálnou situaci s využitím rovnic, nerovnic a soustav rovnic, hledá efektivní způsoby řešení, odhaduje a zdůvodňuje výsledky používá matematickou symboliku k zápisu řešení rovnic a nerovnic rozlišuje různé formy zápisu intervalu Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Aplikační úlohy Lineární rovnice se dvěma neznámými (graficky i početně) Lineární nerovnice Intervaly a operace s nimi Fyzika - mechanika
5 z 18 KVARTA výstupy RVP ZV žák: Výstupy ŠVP- žák: Učivo základní: Učivo rozšiřující: Souvislosti: matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných, určí hodnotu výrazu sčítá, násobí mnohočleny, rozkládá mnohočleny na součin pomocí vzorců a vytýkání matematizuje jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů vyjádří funkční vztah tabulkou, předpisem, grafem analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky z různých oblastí efektivně upravuje výrazy zná zpaměti, rozezná a aplikuje vzorce A 2 -B 2, (A±B) 2, zdůvodní jejich správnost provádí operace s lomenými výrazy sestrojí graf funkce y = ax+b, y = x, y = x 2 a využívá ho při řešení rovnic, nerovnic, soustav vyjádří předpisem funkční závislost ze slovního vyjádření sestrojí grafy goniometrických funkcí pro ostré úhly a určí hodnoty těchto funkcí pomocí grafu, tabulek, kalkulátoru využívá goniometrické funkce při řešení úloh z praxe rozkládá mnohočleny do součinového tvaru rozezná a aplikuje vzorec (A±B) 2 Výrazy Proměnná, výrazy s proměnnými Mnohočleny, vytýkání před závorku, rozklad do součinového tvaru, vzorce A 2 -B 2, (A±B) 2 Funkce Přímá a nepřímá úměrnost Lineární funkce Graf, vlastnosti Slovní úlohy Lomené výrazy, krácení a úpravy. Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli Funkce s absolutní hodnotou Funkce kvadratická Grafické řešení rovnic a nerovnic a soustav Goniometrické funkce ostrého úhlu Řešení pravoúhlého trojúhelníku Výrazy, rozklad kvadratického trojčlenu, úprava na úplný čtverec geometrická interpretace vzorců fyzika - mechanika fyzika - mechanika užívá logickou úvahu a kombinační úsudek při řešení úloh a problémů nalézá různá řešení předkládaných nebo zkoumaných situací formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic a soustav, hledá efektivní způsoby řešení, odhaduje a zdůvodňuje výsledky Kvadratická rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice Slovní úlohy fyzika - mechanika vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data rozlišuje vztah přímé a nepřímé úměrnosti od jiných závislostí Závislosti a data Příklady z praktického života tabulky, diagramy, grafy vyhledává, vyhodnocuje a rozezná funkční vztah od jiných Základy statistiky Statistický soubor, software
6 z 18 zpracovává data porovnává soubory dat určuje vztah přímé a nepřímé úměrnosti vztahů statistická jednotka, znak, četnost znaku, aritmetický průměr, modus, medián, grafy a diagramy určuje a charakterizuje tělesa, analyzuje jejich vlastnosti odhaduje a počítá objemy a povrchy těles načrtne a sestrojí sítě těles analyzuje a řeší aplikační úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu sestrojuje obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání vybírá a používá základní i vedlejší jednotky obsahu, objemu, hmotnosti, hustoty a převádí mezi nimi řeší náročnější úlohy ve skupině, diskutuje o problému a jeho řešení Jehlan, rotační kužel Zobrazení těles ve volném rovnoběžném promítání Jednoduché metrické úlohy o tělesech, aplikace goniometrických funkcí Modely těles fyzika - jednotky
7 z 18 KVINTA výstupy RVP GV žák: výstupy ŠVP žák: Učivo: Souvislosti upravuje efektivně výrazy s proměnnými, určuje definiční obor výrazu rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců zapisuje výrazy s proměnnými zná zpaměti vzorce A 3 ±B 3, (A±B) 3 a umí dokázat jejich správnost Výrazy s proměnnou, mnohočleny, lomené výrazy Dělení mnohočlenu mnohočlenem fyzika, řešení rovnic provádí operace s mocninami a odmocninami, upravuje číselné výrazy odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí aplikuje pravidla pro počítání s mocninami počítá s velkými a malými čísly používá semilogaritmický tvar čísla převádí operace s odmocninami na operace s mocninami s racionálním exponentem Mocniny a odmocniny, celočíselný a racionální exponent semilog, tvar na kalkulačce fyzika numerické výpočty operuje s intervaly zapisuje a určí množinu výčtem prvků, charakteristickou vlastností a množinovými operacemi rozlišuje a zdůvodňuje vztah inkluze a rovnosti množin určuje sjednocení a průnik množin využívá poznatky o množinách jako metodu řešení problémů Množiny, operace, Vennovy diagramy množinové diagramy jako metoda řešení slovních úloh používá správně logické spojky a kvantifikátory rozezná, kdy je věta výrok, a určí pravdivostní hodnotu správně chápe a používá výroky obsahující slova každý, žádný, aspoň, právě nejvýše a umí tyto výroky negovat pomocí proměnné a kvantifikátoru zapisuje matematická tvrzení určí strukturu složeného výroku Základní logické pojmy, kvantifikátory, negace, disjunkce, konjunkce, implikace, ekvivalence zápisy a čtení textu v symbolickém jazyce matematiky řeší lineární a kvadratické rovnice, nerovnice a jejich soustavy načrtne graf funkce y = ax+b, y = ax 2 +bx+c formuluje a zdůvodňuje vlastnosti funkce rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic využívá poznatky o užívá pojmy funkce, nezávisle a závisle proměnná, definiční obor, obor hodnot, graf určí z grafu vlastnosti a druh funkce ověřuje správnost řešení rovnice, nerovnice, soustavy porovnává různé metody řešení soustav rovnic, ověřuje výsledky Lineární funkce Soustavy lineárních rovnic s více neznámými (různé metody řešení) Slovní úlohy Soustavy lineárních nerovnic se dvěma neznámými (grafické řešení) Vyjádření neznámé ze vzorce vazba na fyziku grafické a početní řešení rovnic a nerovnic aplikační úlohy
8 z 18 funkcích řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů geometricky znázorňuje řešení rovnic a nerovnic interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy modeluje závislosti reálných dějů pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích, rovnicích a nerovnicích vhodně zapisuje množiny kořenů aplikuje vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice řeší rovnice a nerovnice v součinovém a podílové tvaru, strukturuje řešení na základě logické úvahy vyjadřuje neznámou ze vzorce Kvadratické funkce, rovnice, nerovnice Vietovy vzorce Soustavy dvou rovnic o dvou neznámých do 2. stupně Slovní úlohy Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Rovnice s neznámou pod odmocninou v jednodušších případech diskutuje řešitelnost a počet řešení lineární a kvadratické rovnice rozliší pojem proměnná, parametr, konstanta diskutuje řešitelnost rovnic v závislosti na parametru (i náročnější úlohy) Rovnice s parametry, diskuse i složitější typy aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty řeší lineární a kvadratické rovnice s absolutní hodnotou načrtne graf funkce s absolutní hodnotou využívá grafu k řešení rovnic a nerovnic logicky člení úlohu a provádí syntézu závěru Absolutní hodnota, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Grafy funkcí lineárních a kvadratických s absolutní hodnotou porovnání početního a grafického řešení, ověřování správnosti načrtne graf funkce y =, formuluje a zdůvodňuje vlastnosti funkce využívá poznatky o funkcích řešení rovnic a nerovnic interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy modeluje závislosti reálných dějů pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích odhaduje chování funkce pro velká x aplikuje základní transformace grafu funkcí Lineární lomená funkce asymptotické chování, pojem nekonečno načrtne graf funkce y = x n, nî Z formuluje a zdůvodňuje vlastnosti funkce využívá poznatky o funkcích k řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů geometricky znázorňuje řešení rovnic a nerovnic interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy rozezná sudou a lichou funkci vysvětlí vztah inverzních funkcí a využívá jejich vlastností Mocninné funkce, inverzní funkce s celočíselným mocnitelem
9 z 18 modeluje závislosti reálných dějů pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích, rovnicích určuje a charakterizuje tělesa, analyzuje jejich vlastnosti odhaduje a počítá objemy a povrchy těles načrtne a sestrojí sítě těles analyzuje a řeší aplikační úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu řeší náročnější úlohy ve skupině, diskutuje o řešení problému vybírá a používá základní i vedlejší jednotky objemu a povrchu a převádí mezi nimi organizuje práci ve skupině Komolý jehlan a kužel, koule metrické úlohy o tělesech
10 z 18 SEXTA výstupy RVP GV žák: určuje geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v rovině, na základě vlastností třídí útvary využívá náčrt při řešení planimetrických problémů řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím množin bodů dané vlastnosti výstupy ŠVP - žák (základní úroveň): užívá symbolický jazyk geometrie ověřuje řešení úlohy, diskutuje řešitelnost úlohy Učivo (základní): Základní planimetrické pojmy: úhly, trojúhelníky, čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, kružnice Množiny bodů daných vlastností (základní) Úhly v kružnici, výpočet a konstrukce Konstrukční úlohy řešené množinami bodů Výstupy ŠVP žák (rozšiřující úroveň): dokazuje a vyvrací rovnost množin bodů diskutuje řešitelnost úlohy v závislosti na vstupních parametrech Učivo (rozšiřující): Tečnové a tětivové čtyřúhelníky Složitější úlohy, argumentace Náročnější úlohy Souvislosti Opakování ze ZŠ, sjednocení značení a zápisů teorie množin software řeší planimetrické úlohy motivované praxí Euklidovy věty aplikace početní i konstrukční řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy pomocí konstrukce délek úseček daných výrazem pracuje s iracionálními čísly graficky znázorní iracionální čísla ověřuje řešení úlohy Konstrukční úlohy řešené výpočtem diskutuje řešitelnost úlohy v závislosti na vstupních parametrech Náročnější úlohy Pythagorova věta, Euklidovy věty, podobnost řeší pravoúhlý trojúhelník v aplikovaných úlohách Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku fyzika mechanika zeměpissouřadnice převádí míry úhlů Orientovaný úhel, oblouková míra načrtne grafy goniometrických funkcí formuluje a zdůvodňuje vlastnosti funkce využívá poznatky o funkcích k řešení rovnic, při určování kvantitativních vztahů geometricky znázorňuje řešení využívá efektivně kalkulátor a matematický software aplikuje transformace grafů funkcí korektně zapisuje množiny kořenů rovnic Goniometrické funkce, definice, hodnoty, vlastnosti, grafy, transformace grafů Vztahy mezi funkcemi Sinus a kosinus umí zpaměti základní goniometrické vzorce řeší rovnice a nerovnice aplikací vzorců dokazuje rovnost goniometrických výrazů aplikací vzorců Goniometrické vzorce kalkulačky, software, fyzika - mechanika
11 z 18 rovnic modeluje závislosti reálných dějů pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích, rovnicích, nerovnicích v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii a úpravu výrazů dvojnásobného úhlu Goniometrické rovnice (základní) Sinová a kosinová věta Rovnice řešené aplikací vzorců, goniometrické nerovnice využívá náčrt při řešení planimetrického problému v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy a trigonometrii umí zpaměti základní vzorce pro výpočet obsahu a obvodu Výpočet obsahů a obvodů rovinných útvarů zdůvodňuje správnost vzorců pro výpočet obsahu přehled vzorců pro plochu trojúhelníku určuje geometrické pojmy využívá náčrt při řešení geometrického problému rozlišuje vektorové a skalární veličiny provádí operace s vektory Vektory v rovině, souřadnice, sčítání, násobení reálným číslem, skalární součin Rozklad vektoru na složky fyzika vektorové veličiny využívá různé způsoby analytického vyjádření přímky v rovině, využívá geometrický význam koeficientů řeší analyticky polohové a metrické úlohy o lineárních útvarech v rovině Analytické vyjádření přímky v rovině Polohové a metrické úlohy v rovině užívá metody analytické geometrie k řešení problémů Analytická metoda řešení úloh využívá charakteristických vlastností kuželoseček k analytickému vyjádření z analytického vyjádření (z osové nebo vrcholové rovnice) určí základní údaje o kuželosečce řeší analyticky úlohy o vzájemné zdůvodňuje a aplikuje vlastnosti kuželoseček užívá středovou a obecnou rovnicí kružnice Kuželosečky, definice, vlastnosti, analytické vyjádření Vzájemná poloha přímky a kuželosečky užívá středovou a obecnou rovnicí kuželoseček užívá analytickou metodu k vyšetřování množin bodů dané vlastnosti a k řešení aplikačních úloh ověřuje řešení problému Vyšetřování množin bodů analytickou metodou aplikace technické, umělecké
12 z 18 poloze přímky a kuželosečky (diskusí znaménka diskriminantu) rozlišuje analytické vyjádření útvaru od zadání funkce předpisem využívá náčrt při řešení geometrického problému řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy pomocí zobrazení řeší geometrické úlohy motivované praxí Shodná zobrazení v rovině (posunutí) Podobná zobrazení, stejnolehlost Konstrukční úlohy řešené pomocí zobrazení volí efektivní metodu řešení problému ověřuje a obhajuje řešení problému Smíšené úlohy z planimetrie řešení analytickou i syntetickou metodou
13 z 18 SEPTIMA výstupy RVP GV žák: výstupy ŠVP - žák (základní úroveň): Učivo (základní): Výstupy ŠVP žák (rozšiřující úroveň): Učivo (rozšiřující): Sou načrtne graf funkce y = a x, y = log a x formuluje a zdůvodňuje vlastnosti funkcí využívá vlastnosti funkcí při řešení rovnic a nerovnic aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních a logaritmických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi modeluje závislosti pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích využívá vlastností inverzních funkcí ověřuje řešení rovnic a nerovnic Exponenciální a logaritmické funkce, rovnice, nerovnice Vlastnosti logaritmů Přirozený logaritmus Aplikace Základní stereometrické pojmy, volné rovnoběžné promítání Složitější rovnice Nerovnice kalkulá softwar fyzika modelo rozpadu biologi modelo určuje geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v prostoru zobrazí ve volné rovnoběžné projekci hranol a jehlan určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů v prostoru využívá náčrt při řešení problému sestrojí a zobrazí rovinný řez hranolu a jehlanu nebo jejich průnik s přímkou využívá náčrt při řešení problému určuje vzdálenosti a odchylky lineárních útvarů v prostoru v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii řeší stereometrické Vzájemné polohy přímek a rovin v prostoru, řezy Metrické úlohy v prostoru, vzdálenosti, odchylky rozlišuje mezi definicí a kriteriem rovnoběžnosti a kolmosti analyzuje a řeší komplexní stereometrické problémy metrické a polohové ověřuje řešení problému Příčky mimoběžek, náročnější úlohy rovnob vzájem tří rovin kolmos
14 z 18 problémy motivované praxí aplikuje poznatky z planimetrie ve stereometrii v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii řeší stereometrické problémy motivované praxí, aplikuje poznatky z planimetrie ve stereometrii aplikuje vzorce pro objemy a povrchy těles efektivně využívá kalkulátor Tělesa, objemy, povrchy Eulerova věta provádí operace s vektory vysvětlí geometrický význam operací určuje vzájemnou polohu, vzdálenosti a odchylky lineárních útvarů v prostoru analytickou metodou užívá analytické metody k řešení komplexních úloh v prostoru užívá analogie mezi kružnicí a kulovou plochou volí syntetickou nebo analytickou metodu řešení problému a kriticky hodnotí jejich výhody a nevýhody dokazuje jednoduchá tvrzení matematickou indukcí Souřadná soustava v prostoru Vektory, operace s vektory Analytické vyjádření přímky v prostoru Analytické vyjádření roviny prostoru Polohové a metrické úlohy analytickou metodou Analytické vyjádření kulové plochy Smíšené úlohy ze stereometrie Matematická indukce Řešiteln soustav rovnic neznám Porovn řeší reálné problémy s kombinatorickým podtextem (charakterizuje možné případy, vytváří model pomocí kombinatorických skupin a určuje jejich počet) upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly řeší rovnice s faktoriály a kombinačními čísly Kombinatorika, základní pojmy a úvahy Kombinace, variace, permutace bez opakování Variace s opakováním Faktoriály a kombinační čísla formuluje a ověřuje vlastnosti kombinačních čísel a faktoriálů Kombinace,permutace s opakováním Důkazy vlastností kombinačních čísel pravidl a součtu slovní ú
15 z 18 upravuje efektivně číselné výrazy a výrazy s proměnnými čte a zapisuje výrazy s indexy a sumou Binomická věta využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti Základní pojmy pravděpodobnosti, definice Pravděpodobnost sjednocení, průniku, doplňku jevů rozlišuje klasickou a statistickou definici pravděpodobnosti užívá analogii mezi množinovými operacemi a výpočtem pravděpodobnosti množin pravděp
16 z 18 OKTÁVA výstupy RVP GV žák: výstupy ŠVP - žák (základní úroveň): Učivo (základní): Výstupy ŠVP žák (rozšiřující úroveň): Učivo (rozšiřující): Souvislosti diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení vytváří a vyhodnocuje závěry a předpovědi na základě dat volí a využívá vhodné statistické metody k analýze a zpracování dat užívá symbolický jazyk matematiky pracuje s indexy využívá software Základní statistické pojmy, třídění dat, charakteristiky polohy Grafické zpracování dat, tabulky, diagramy interpretuje výsledky výpočtů, porovnává soubory na základě charakteristik interpretuje závislost dat Charakteristiky variability, další charakteristiky Dvourozměrné soubory, korelace Podrobnější grafické zpracování software reprezentuje graficky soubory dat, čte a interpretuje tabulky, diagramy a graf, rozlišuje rozdíly v zobrazení obdobných souborů vzhledem k odlišným charakteristikám formuluje a zdůvodňuje vlastnosti posloupností modeluje závislosti posloupnostmi řeší aplikační úlohy využitím poznatků o posloupnostech interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice užívá správně vzorec pro n-tý člen a rekurentní zadání posloupnosti Posloupnosti, definice, vlastnosti, grafy, rekurentní zadání Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Aplikace, finanční matematika aplikační úlohy jednoduché a složené úrokování
17 z 18 odhaduje a zdůvodňuje chování posloupností pro velká n používá symbolický jazyk matematiky diskutuje konvergenci a divergenci posloupností a určuje limity Limita posloupnosti práce s nekonečnem užívá symbolický zápis řady diskutuje konvergenci a divergenci řady a určuje součet řady řeší aplikační úlohy Nekonečná řada, aplikace formuluje a užívá základní pojmy diferenciálního počtu užívá a zdůvodňuje význam derivace pro průběh funkce derivuje elementární a složené funkce řeší aplikační úlohy pomocí diferenciálního počtu vyšetřuje průběh fcí Základní pojmy diferenciálního počtu Limita funkce Asymptota ke grafu funkce Derivace funkce a její význam Extrémy funkce nekonečně velké a nekonečně malé veličiny fyzika vztahy mezi veličinami Druhá derivace Vyšetřování průběhu funkce užívá správně logické spojky a kvantifikátory, objasní stavbu matematické věty rozlišuje předpoklad, závěr a důsledek tvrzení formuluje obrácenou a obměněnou implikací rozlišuje mezi obecným důkazem a ověřením jednotlivého případu užívá základní důkazové metody k důkazu jednoduchého matematického tvrzení vyvrací jednoduchá matematická tvrzení, uvádí Logika, práce s výroky, důkazové metody určuje pravdivostní hodnotu složených výroků a neguje je dokazuje základní matematické věty gymnaziální matematiky Složitější úlohy
18 z 18 formuluje a užívá základní vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel pracuje s iracionálními a reálnými čísly protipříklady užívá symbolické zápisy číselných oborů dokazuje věty o dělitelnosti Teorie čísel zapisuje komplexní čísla v algbraickém a goniometrickém tvaru provádí operace s komplexními čísly znázorňujekomplexní čísla v Gaussově rovině řeší kvadratické rovnice s komplexními koeficinety v C početně i graficky řeší binomické rovnice v C řeší jednodušší rovnice vyšších stupňů v C Komplexní čísla Operace s komplexními čísly Goniometrický tvar komplexního čísla Moivreova věta Řešení rovnic v komplexním oboru Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty Binomické rovnice Rovnice vyšších stupňů význam vícenásobných kořenů pro průběh polynomické funkce