Výroková a predikátová logika. J. Mlček

Výroková a predikátová logika J. Mlček 2012

2

Obsah 1 Úvod a předběžnosti 5 1.1 Předběžnosti................... 5 1.2 Booleovyalgebry................. 10 1.3 Olineárníchuspořádáních........... 17 1.4 Poznámky..................... 18 2 Koncept predikátové logiky 19 2.1 Základnísyntax................. 20 2.2 Základnísémantika............... 25 2.3 Vlastnostistrukturateorií.Charakteristikyteorie........... 34 2.4 Faktorstruktury.Algebryformulí........ 47 2.5 Formalistickéupřesnění designátory..... 50 2.6 Některéteorievpredikátovélogicesrovností.................. 52 2.7 Poznámky..................... 59 3 Výroková logika 61 3.1 Základnísyntax................. 61 3.2 Základnísémantika............... 62 3.3 Existencemodelu,kompletnostakompaktnost..................... 66 3.4 Aplikacekompaktnosti.Axiomatizovatelnost................. 68 3.5 Syntaktickédůkazovémetody.......... 70 3.6 Problémsplnitelnosti.Rezoluce......... 72 3.7 Vícehodnotoválogika.............. 75 3.8 Poznámky..................... 76 4 Kompletnost predikátové logiky 77 4.1 Elementárníteoriedokazování.Prenexnítvarformulí............... 77 4.2 Existencemodelu,kompletnost,kompaktnost...................... 83 4.3 Extenzeteorieofunkčnísymboladefinicemi...................... 89 4.4 Poznámky..................... 93 A Vlastnosti konkrétních teorií 95 A.1 TeorieSC 0,SC.................. 95 A.2 TeorieDiLO,DiLO............... 97 A.3 TeorieDeLO................... 98 A.4 Aritmetiky.................... 98 A.5 Teorievektorovýchprostorů.......... 102 A.6 TeorieCE k ( ),C E ω.............. 103 A.7 Teorieunárníhopredikátu............ 104 A.8 Teoriebijekcí................... 104 A.9 Poznámky..................... 107 3

4 OBSAH B Nerozhodnutelnost 109 B.1 Základnípojmy................. 109 B.2 Větyonerozhodnutelnosti........... 112

Kapitola 1 Úvod a předběžnosti Text obsahuje výklad základů predikátové logiky. Přesněji půjde o predikátovou logiku prvního řádu, umožňující bezprostředně zacházet jen s predikcemi a kvantifikacemi individuí, nikoli však již se systémy individuí, systémy takových systémů atd; to je možné až v logikách vyšších řádů. Dále půjde jen o logiku dvouhodnotovou; vícehodnotový případ zmíníme pouze orientačně. Poznamenejme, že logika může pracovat navíc s tzv. neklasickými kvantifikacemi(značícími např. existujenekonečněmnoho ),snekonečnýmivýrazyčimodalitami;tovšejezdepominuto. Nejprve bude vyložen koncept nastíněné predikátové logiky, pak bude rozvinuta dvouhodnotová výroková logika jako specificky důležitá část a následně rozvinuta predikátová logika, zejména pokud jde o její kompletnost. Při výkladu je zapotřebí pracovat s řadou elementárních pojmů, jakými jsou konečné posloupnosti, relace, operace, velikosti množin, induktivní definice, důkaz indukcí podle složitosti induktivně definovaných objektů, případně další. Ty jsou stručně shrnuty v Předběžnostech. Vtextuužijemenamnohamístechznačku pro právěkdyž a pro implikuje českého jazyka. Značka resp. je symbol znamenající ekvivalenci resp. implikaci a patřící do nějakého matematickou logikou zkoumaného symbolického jazyka. Místo resp. resp.... píšemetaké [ /...]. 1.1 Předběžnosti. Základní množinové pojmy. Vlastnost(vztah) V(x) o množinách definuje třídu {x; V(x)}; je-li to množina y píšeme y = {x; V(x)}.Např.vztah x=xdefinujetříduvvšechmnožin.nemůžetobýtmnožina,neboťjinak bybylamnožinouijejípodtřída y= {x; x / x};pakale y y y / y,cožjespor.dálenapř. {x; x x}jetzv.prázdnámnožina,značená. Symboly,,, značíběžnéznáméoperacesmnožinami,atosjednocení,průnik,rozdíl a symetrickou diferenci dvou množin, {x, y} je neuspořádaná dvojice množin x, y; obsahuje právě prvky xay. {x 0,...,x n 1 }jemnožina,obsahujícíprávěprvky x 0,...,x n 1 ;když x 0 = x 1 = =x n 1,jetojednoprvkovámnožina {x 0 }.Dále x yznačí,že xjepodmnožina y.potenci P(x)resp.sjednocení xmnožiny xdefinujemetakto: P(x)={y; y x} resp. x={y; y zpronějaké z x}. Pokrytímnožiny Ajemnožina S P(A) { }s S= A.Kdyžnavícjsoukaždédvarůznéprvky u,vzsdisjunktní,tj. u v=,je Sdisjunktnípokrytí Anebolirozklad A. Poznamenejme,žeuvedenátvrzeníotom,že, {x,y}, P(x)atd.jsoumnožinyplynouzaxiomů o množinách, tvořících např. Zermelo-Fraenkelovu axiomatiku. Níže uvedeme další množinové pojmy a jejich vlastnosti; ty budou plně v souladu se zmíněnou axioamtikou a navíc budou intuitivně dobře akceptovatelná. Množinový rámec tak představuje dostatečně ujasněný půdorys pro exaktní rozvoj dané matematické problematiky. 5

6 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI Relace, funkce, soubory. Základní porovnávání množin. Uspořádanádvojice(x,y)jemnožina {{x},{x,y}}.platí:(x,y)=(x,y ),právěkdyž x=x a y=y.kartézskýprodukt(součin) a bmnožinaa, bjetvořenprávěvšemiuspořádanými dvojicemi(x,y)sx a, y b.nynímůžemedefinovatdisjunktnísjednocení x ymnožin: x y=({ } x) ({{ }} y). Poznamenejme,že resp. { }chápemetéžjakopřirozenáčísla0resp.1,tudíž x y=({0} x) ({1} y). Disjunktní sjednocení, kartézský součin a množinová mocnina jsou důležité množinové operace, úzce související s kalkulem velikostí množin. Relacejejakákolimnožina Ruspořádanýchdvojic;speciálněje relace.místo(x,y) Rse píšetéž R(x,y).Definičníoborresp.oborhodnotrelace Rjemnožina dom(r)={x; existuje ys(x,y) R} resp. rng(r)={y; existuje xs(x,y) R}; zřejmě R dom(r) rng(r).extenzeprvku xvrjemnožina R[x]={y;(x,y) R}.Parcializace R urelace Rna uje {(x,y) R; x u};je R =.Dále R 1 = {(y,x);(x,y) R} je relace inverzní k R. Je-li S také relace, definujeme složení R S relací R a S: R S = {(x,y);existuje zs(x,z) Ra(z,y) S}.Buď Amnožina.PakId A = {(a,a); a A}.Zřejmě pro R A Aje R Id A = R=Id A R. Relace Rjereflexivníresp.symetrickáresp.tranzitivnína A,kdyžpro a,b,c Aplatí: R(a,a)resp. R(a,b)implikuje R(b,a)resp.když R(a,b)aR(b,c),tak R(a,c). Je-lirelace Rreflexivní,symetrickáatranzitivnína A=dom(R)=rng(R),jetoekvivalencena Aapro a Aje R[a]faktorprvku adle R.Množina A/R={R[a]; a A}jefaktor-množina množiny Adle R. A/Rjezřejměrozklad Aanaopakrozklad Sna Aurčujeekvivalenci Ena AsA/E= S.Je-lirelacereflexivníatranzitivnína A,jetokvaziuspořádánína A,je-linavíc Rantisymetrickána A,tj.zR(x,y)aR(y,x)plyne x=ypro x,y A,je Ruspořádánína A; R Id A jejehoostráverze.častoznačímeuspořádánísymbolem ; <jepakjehoostráverze. Relace Rjefunkce,když R[x]jejednoprvkováprokaždé x dom(r).je-li Rfunkceaplatí R[x]={y},píšeme R(x)=y; yjehodnota Rvx.Množina je(prázdná)funkce;dom( )= =rng( ).Funkceznačímenejčastějipísmeny F,G,H,f,g,h.Symbol f: x yznačí,že f je funkcezxdo y,tj.dom(f)=x,rng(f) y.funkce f jena y,kdyžrng(f)=yajeprostá, kdyžpro a,b dom(f)sa bje f(a) f(b).dálemnožinavšechfunkcízxdo yseznačí x y. Prvkyz x {0,1}jsoucharakteristickéfunkcena x.profunkce F,Gdefinujeme F G=G F;tedy F G(x)=yprávěkdyžexistuje zs(x,z) Ga(z,y) F ataké F G(x)=F(G(x))pro x dom(g)sg(x) dom(f).místo F Gsepíšetéž FG.Je-li F funkceaxmnožina,značí F[X](též F X)obraz Xpřes F,tj.množinu {y;existuje x Xs y= F(x)}. Je-li ffunkcesdom(f)=i,říkámetaké,žetoje(indexovaný)soubor(sindexovoumnožinou I)aznačímejej f i i I,stručněji f i I ; f i je f(i).prázdnýsouborseznačítéž.sjednocení (rng(f))souboru fi i I seznačí i I f i,stručněji I f iataké {f i ; i I}. Základní porovnání velikosti množin je dáno subvalencí a ekvivalencí množin: Množina x je subvalentní( )resp.ekvivalentní( )množině y,existuje-liprostézobrazení xdo yresp.navíc na y.když x yanení x y,je xostřesubvalentní y.zřejmějsou, reflexivníatranzitivní vztahy, navícsymetrický.dále P(x) x {0,1}.Platídvědůležitévěty: Cantor-Bernsteinovavěta. x yay ximplikuje x y. Cantorova věta. Množina x je ostře subvalentní P(x). Přirozená čísla. Množina přirozených čísel se značí N. Definuje se jako nejmenší induktivní množina, tj. takovámnožina w,že w azx wplyne x {x} w.pakprokaždépřirozenéčíslo n platí n={0,1,...,n 1},speciálně0=,1={ },2={0,1}.Dáleje m < n m n m n.uspořádání <přirozenýchčíseljedobré,tj.každáneprázdnápodmnožinamnožiny Nmá nejmenší prvek. Dále platí princip matematické indukce a lze konstruovat rekurzí podle předpisu F(n)=G(F n,n)jedinoumaximálnífunkcisdom(f) Nčidom(F)=N; Gjetzv.konstruující funkce. Rekurzí se sestrojí obvyklé sčítání a násobení přirozených čísel. Dále definujeme: množina jekonečná,je-liekvivalentnínějakémupřirozenémučíslu n N: x n.píšemepak x =na

1.1. PŘEDBĚŽNOSTI. 7 říkáme, že n je velikost či kardinalita či mohutnost x. Přirozená čísla představují typy velikostí čili kardinalit konečných množin. Jejich aritmetika je dána sčítáním, násobením a mocněním přirozených čísel, přičemž význam této kardinální aritmetiky ukazují následující rovnosti pro konečné množiny x, y: x y = x + y, x y = x y, x y = y x. Onačme[x] n množinuvšech n-prvkovýchpodmnožinmnožiny x.pro xkonečnousn x je [x] n = ( x n). Konečné sekvence. Predikát xjesekvence,značenýjakoseq(x),jedántakto: Seq(x) x je funkce, jejíž definiční obor je nějaké přirozené číslo. (1.1) Základnípojmyvztahujícíseksekvencímjsou:unárníparciálnífunkce délkasekvence x,binární parciálnífunkce y-týčlen(prvek)sekvence x, konkatenace sekvencí xay, konkatenace sekvence xsekvencí,binárnípredikce sekvence xjepočátkemsekvence y akonstanta prázdná sekvence.značímejepořaděsymboly lh(x), (x) y,stručnějitéž x y, x y, (x), x y,. Je-li xsekvencedélky n,můžemeříkat,žetoje n-sekvence.jetoovšemsoubor x i i<n,který zapisujeme též jako x 0,...,x n 1. Je-linavícrng(x) A,jetosekvencevA.MnožinuvšechsekvencívAznačíme A ;tedy A = n N n A. Sekvenci x i i<n resp.jejídélkuznačímetéžsymbolem x resp. l(x); pruhnad xmágrafickyvyznačit,žejdeosekvenci.místo x, x 0 apod.píšeme x, x 0 apod.tedy x je x 0,...,x n 1 pronějaké n N.Dálemísto x i píšemetéžjen x i. Snadnosezjistí,žeplatí:konkatenacejeasociativníaneníkomutativní, s=s=s pro sekvenci s,l(s s )=l(s)+l(s ). Poznamenejme,že x 0,...,x n 1 jesekvencedélky n;jeprázdnápro n=0a x 0 pro n=1. Kartézská mocnina, n-tice. Pro n Ndefinujeme n-toukartézskoumocninu A n množiny Aindukcí: A 0 = { }, A 1 = A, A n+1 = A n A. PrvkyzA n jsou(uspořádané) n-ticevaadále n-ticeje n-ticevnějakém A.Ukážeme,že n Aa A n můžeme prakticky ztotožnit.definujmefunkce() n : n A A n indukcí: ( ) 0 =, ( a ) 1 = apro a A, (s b ) n+1 =((s) n,b)pro s n A. Každé() n jeprostézobrazení n Ana A n.díkytomuztotožňujeme s n As(s) n a(tedy)píšeme s 0,...,s n 1 místo(s) n,pokudtonevedeknedorozumění.mámepotompro n >0rovnost a 0,...,a n n+1 = a 0,...,a n 1 n,a n. POZNÁMKA.Uveďme,kdyztotožněnímůževéstknedorozumění.Je-li s= a 0,...,a n 1 n A, pišme(s) n jako(a 0,...,a n 1 ) n.potomtedyje(a) 1 = apro a Aaztotožněnídává a= a,což jeneplatnárovnost,hledíme-lina a jakonasekvencidélky1.pro n >0je(a 0,...,a n ) n+1 = ((a 0,...,a n 1 ) n,a n ). Pro a 0,a 1,a 2 z A může být 3-tice u = (a 0,a 1,a 2 ) 3 ( A 3 ), také 2-ticí ((a 0,a 1 ),a 2 ) 2 ( A 2 ),je-li(a 0,a 1 )va.tedy(s) 3 = u=(s ) 2 projisté s 3 Aas 2 A.Je ovšem s s aztotožněnítedyvedekneplatnérovnosti s=s. Poznamenejme,žeje n A = A n = A n,speciálněpro Akonečnéalespoňdvouprvkovéje A 2 > A.Existujevšaknekonečnámnožina Ataková,že A 2 A. Uveďmeještěněkolikužitečnýchpojmů.Pro n-tici aak<nsymbol a(k/b)značí n-tici a takovou,že a i = a ipro k i<n, a k = b.říkáme,žedvěsekvence x,yjsoudisjunktní,když rng(x) rng(y)= ;píšemetéž x y=.

8 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI n-ární relace a funkce. Buď n N.Množina R A n je n-árnírelacenad A; nnazývámečetnost Raznačímear(R). Speciálně0-árnírelacenad Aje R { },1-árnírelacejejakákolimnožina(anenítotedynutně množina dvojic). Označme RL(A)={R; R A n pronějaké n N}. Funkce F A n Bsenazývá n-ární(parciální)funkcečizobrazenízado B;jejíčetnost značímear(f)atedymámear(f)=n.jetototální n-árnízobrazenízado B,kdyžnavíc dom(f)=a n.říkámepakještě,žetoje n-árníoperacenad A,když B= A.Speciálně0-ární operacenad Aje Ftvaru {,a }sa Aaztotožňujemejisa. Prorelaci R A n resp.zobrazení F: A n Ba a= a 0,...,a n 1 A n R(a)značímetéž R(a 0,...,a n 1 ) resp. F(a)značímetéž F(a 0,...,a n 1 ). Induktivní definice. Nechť F je n-árnífunkceaxmnožina. F-konkluze Xjemnožina F[X n ];značímeji F X. Tedy F X jetvořenoprávěprvky F(x 1,...,x n )s x 1,...,x n X n dom(f). 1.1.1. F-uzávěr a odvození. Induktivní definice. Buď F množina funkcí konečných četností, X množina. 1. F-konkluze X jemnožina {F X ; F F};značímeji F X.TedyvF X jsouprávě prvky F(x 1,...,x n )s x 1,...,x n X n dom(f)pro F F,speciálně F( )pro F Fnulární. Xje F-uzavřená,kdyžobsahujesvou F-konkluzi,tj.když F X X. F-uzávěr Xjenejmenší F-uzavřená nadmnožina X; F-uzávěr X značíme F X. 2. F-odvozenízXjesekvence s,přičemžprokaždé i <lh(s)je s i Xneboexistuje Fz Fa i 0,...,i n 1 < itak,že nječetnost Fa s i = F(s i0,...,s in 1 );říkásepak,že sje F-odvozenízX prvku y=(s) lh(s) 1.Prvekje F-odvozenýzX,existuje-lijeho F-odvozenízX. 3.Induktivnídefinicemnožiny Y z FaXjeseznampravidel každýprvekzxjevy, F(y 1,...,y n )jevy,jakmile F Fječetnosti na y 1,...,y n Y n dom(f). O nejmenší množině Y vyhovující těmto pravidlům říkáme, že to je množina definovaná induktivní definicí s pravidly(1.2); je to ovšem množina F X. Důkaz indukcí na objektech(též podle složitosti objektů) z F X, který prokazuje, že každý prvekzf X mávlastnost V,jeschema (1.2) každýprvekzx {F( ); F Fjenulární}mávlastnost V, když y 1,...,y n z F X majíkaždévlastnost V,má F(y 1,...,y n )vlastnost V, jakmile F Fa y 1,...,y n dom(f). (1.3) Druhápoložkaz(1.3)jeschémaindukčníchkroků, nechť y 1,...,y n majívlastnost V jeindukční předpokladindukčníhokrokuvy 1,...,y n pro F. Pokud F = F {F x ; x X},kde F x = {,x }jenulární,v(1.2)i(1.3)lzevynechatprvý řádekavedruhémpsát F místo F. TVRZENÍ 1.1.2. Buď F množina funkcí konečných četností, X množina. Pak 1) F X = n N X n,kde X 0 = Xa X n+1 = X n F X n. 2) F X ={y; yje F-odvozenýzX}. 3)Platí-li(1.3),mákaždýprvekzF X vlastnost V. 4) X X F X F X, X F X =F F X.

1.1. PŘEDBĚŽNOSTI. 9 Důkaz. 1) plyne snadno. 2)Inkluze.Je-li snějaké F-odvozenízX,jejehoposledníčlenvF X ;toplyneihned indukcí dle délky s užitím F-uzavřenosti F X. Odtud plyne dokazovaná inkluze. Inkluze.Indukcíplyneprokaždé n:každé y X n jeprvek F-odvozenýzX.Pro n=0 tojejasnéaindukčníkrokplynetakto:buď y=f(z 1,...,z n ) X n+1 s z 1,...,z n z X n a s i buď F-odvozenízXprvku z i pro i=1,...n.pak s 1 s n yjehledanéodvození.jelikož F X = n N X n,dokazovanáinkluze platí. 3)Indukcísnadnoplyneprokaždé n:každé yzx n mávlastnost V. 4) Inkluze jsou zřejmé a poslední rovnost plyne z F-uzavřenosti F X. Velikosti množin. Dvěmnožiny xayjsoustejněvelké,kdyžjsouekvivalentní,tj. x y.existujetřídacntzv. kardinálních čísel, představující typy velikostí množin, tj. za předpokladu axiomu výběru lze ke každémnožině xnajítprávějedno κ Cntak,že x κ;uvedené κjevelikostčikardinalita čimohutnost xaznačíse x.je N Cnapro xkonečnouje x N.Písmena κ, λ, µznačí kardinální čísla. NaCnjedánodobréuspořádání apodobnějakopropřirozenáčíslaplatíiprovšechny kardinály κ < λ κ λ κ λ.navícpromnožinu x Cnje xsupremum xvtomto uspořádání. N je počáteční úsek uspořádání. První kardinál z Cn N je nejmenší nekonečný kardinálaznačíse ωči ℵ 0.Je ω= Naprvekzω,tj.přirozenéčíslo,jekonečnýkardinál.Množina kardinality ω se nazývá spočetná množina. Nekonečná množina, která není spočetná, se nazývá nespočetná.nejmenšíkardinálvětšínež κsenazývánásledník κaznačíse κ +.Definujemeindukcí: ω 0 = ω, ω n+1 =(ω n ) +.Dále ω ω jenejmenšíkardinálvětšínežkaždé ω n s n < ω.místo ω i se píšetaké ℵ i pro i ω.třídacnnenímnožina,neboťjinakbyprosupremum κmnožinycn bylo P(κ) κ.zápis κ < ωznačí,že κ N, κ ωpak,že κjenekonečnýkardinál.kardinalita množiny P(N)seznačí canazývásekontinuum;tedy c= P(N) = ω 2 ataké c= R.Podle Cantorovyvětyje ω < c,tedy c ω +.Rovnost c=ω 1 senazýváhypotézakontinuaaznačíse (CH). Z axiomů obvyklé, tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin s axiomem výběru ZFC, nelze hypotézu kontinua ani dokázat ani vyvrátit. Je to jedno z nejznámějších nezávislých tvrzení teorie množin.je-liteoriezfcbezesporná,jebezespornáis(ch),alenapř.isc=ω 5.Začátekkardinální škály můžeme zapsat takto: 0 <1<2< < n < n+1 < < ω < ω 1 < ω 2 < < ω ω <(ω ω ) + <. Aritmetika kardinálních čísel. Na Cn je definováno +, a mocnina, přičemž tyto operace rozšiřují analogické na N: κ+λ κ λ, κ λ κ λ, κ λ λ κ. (1.4) Značení. 1.Množinavšechpodmnožin u xs u =λresp.s u < λseznačí [x] λ resp.[x] <λ. Speciálně[x] <ω jemnožinavšechkonečnýchpodmnožinmnožiny x. 2.Pro rovno <či avelikost(číslo) κznačísymbol κ( ) resp. κ(, ) početvelikostí(čísel) λtakových,že λ κresp.navícje λnekonečné. Např. tedy platí n(<)=npro n N, ω(<)=ω= ω( ), ω(<, )=0, ω(, )=1, Cn κ =κ(<).

10 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI TVRZENÍ.(Počítání s kardinalitami a kardinály.) C1) a) x y x + y. b) i I x i I λ,je-li x i λprokaždé i I. C2) a) P(x) =2 x = x 2. b) c=2 ω. C3) Pro +, platí obvyklá komutativita, asociativita a distributivita. Platíobvyklévzorceomocnině: κ λ+µ = κ λ κ µ, (κ λ ) µ = κ λ µ. Monotonie:když κ κ 0,λ λ 0,tak κ+λ κ 0 +λ 0, κ λ κ 0 λ 0,0 < κ κ λ κ λ0 0. C4) Je-li alespoň jeden kardinál κ, λ nekonečný a oba jsou nenulové, platí κ+λ=κ λ=max(κ,λ). Speciálně:Je-li xnekonečná, y xa y < x,tak x y = x. C5) Pro κ ωa0 < n Nplatí: a) κ n κ. b) λ κ [κ] λ = κ λ. c) [κ] <ω =κ. d)2 λ κ 2 κ = λ κ. Tedynapř: ω= ω+1=ω+ω= ω ω= ω ω+5=ω 7 < ω ω =2 ω =(2 ω ) ω. V následujícím tvrzení je uvedeno několik užitečných poznatků týkajících se velikosti množin. TVRZENÍ. 1) Pro nekonečnou množinu x platí: a)i) x x, ii)[x] x P(x). b) x lze rozložit na x disjunktních množin, majících každá kardinalitu x. 2) Všech relací resp. operací nad A, které mají konečné četnosti, je a) ω,pokud2 A < ω, b) 2 A,pokud A ω. 3) Buď A.Pro U,U Aje A,U izomorfnís A,U,píšeme A,U = A,U,když existujeprostézobrazení Ana Apřevádějící Una U.Pakplatí: Ažnaizomorfnostjedvojic A,U su Aprávě A ( ). Důkaz.1)a)i).Je x = i<ω i x.tedy x x ω x xaodtud x x.přitomjsmeužilic1) b),c4),c5)a).ii)plyneihnedzc2)a)ac5)b),d).b)buď κ= x ; {{i} κ; i κ}jerozklad κ κna κdisjunktníchmnožinmajícíchkaždákardinalitu κ;díky κ κ κplatídokazované. 2)a)Je2 A < ω.pakmnožinavšechuvažovanýchrelacíje n<ω P(An ),cožjespočetné sjednocení neprázdných konečných množin a tedy to je množina spočetná. Množina všech uvažovanýchoperacíje n<ω An A,cožjespočetnésjednoceníneprázdnýchkonečnýchmnožinatedy tojemnožinaspočetná.b)relací R A n s0<n<ωje P(A n ) =2 A,neboť A n = A dle C5)a).Množinavšechuvažovanýchrelacíjetedyspočetnésjednocenímnožinkardinality2 A, cožjemnožinakardinality2 A dlec1)b)(neboťjealespoňkardinality2 A ).Podobnějetomu soperacemi F: A n A. 3)Zřejmě A,U = A,U U = U a A U = A U.Stačíužtedyjendokázat: Všechdvojic U, A U su Ajeprávě A ( ).Pro A < ωtoplatí,neboť A U je jednoznačněurčeno U.Buď A ω.všechuvažovanýchdvojics U < A je A (<)atěch,pro které U = A,jeprávě A ( )(neboť A U jelibovolnýkardinál A );celkemjichtedyje právě A ( ). 1.2 Booleovy algebry. 1.2.1. Booleova algebra. Podalgebra. Homomorfizmus, vnoření, izomorfizmus. 1.Booleovaalgebra,krátcealgebra,ješestice B= B,,,,0,1,kde B je neprázdná množina, jeunární,, jsoubinárníoperacena B,0,1jsounějaképrvkyzB, přičemžjsousplněnytzv.booleovskézákony(téžaxiomy),tj.pro x,y,zz Bplatí:

1.2. BOOLEOVY ALGEBRY. 11 asociativita x (y z)=(x y) z je nebo komutativita x y= y x je nebo distributivita x (y z)=(x y) (x z) [ ]je [ ]nebo [ ] absorbce x (x y)=x=x (x y) komplementace x ( x)=1, x ( x)=0 netrivialita 0 1. Bjeuniverzumalgebry B, komplement, spojení, průsek,0resp.1je(booleovská)nula resp.jednička.na0resp.1hledímetéžjakonanulárníoperaci,přiřazující B 0 hodnotu0 resp. 1. Velikost algebry B je velikost jejího univerza. Poznamenejme, že Booleova algebra je tzv. struktura prvého řádu s jednou unární, dvěma binárními a dvěma nulárními operacemi, přičemž univerzum je alespoň dvouprvkové. Vezme-li se místo netriviality zákon triviality, tj. 0 = 1, nazývá se B triviální Booleova algebra. 2.PodalgebraBooleovyalgebry B= B,,,,0,1 jealgebra A= A,,,,0,1,kde A Bakaždáoperace jezúžením na A(speciálně0 =0,1 =1.)Píšemepak A B a podalgebru A značíme také symbolem B A. Zřejmě je A B univerzem nějaké podalgebry algebry B, právě když je A neprázdná množina uzavřená na všechny operace algebry B, tj. každá operacebooleovyalgebry BzobrazíprvkyzAdo A;speciálněje0,1 A.Je-litedy Aneprázdná podmnožinabuzavřenánaoperacealgebryb,jeb ApodalgebraBsuniverzemA.ZřejmějeA= B {0,1}podalgebraalgebry B= B,,,,0,1 ; Anemávlastnípodalgebru(tj.suniverzem menším než A). 3.Buďte B= B,,,,0,1, B = B,,,,0,1 Booleovyalgebry.Zobrazení huniverza Bdo B jehomomorfizmusalgebry Bdo B,kdyžplatí: prokaždé a,b Bje h( a)= h(a), h(a b)=h(a) h(b),kde je nebo, h(0)=0, h(1)=1. Je-linavíc hprosté,jeto(izomorfní)vnoření Bdo B.Je-liještěnavíc hzobrazenína B,jeto izomorfizmus Ba B ;říkámepak,že BjeizomorfnísB via hapíšemetaké B = B (via h). 1.2.2. Produkt a mocnina Booleových algeber. Buď B i I neprázdnýsouborbooleovýchalgeber;jehoproduktjealgebra I B i,,,,0,1, kdekaždáoperacejedefinována posložkách : ( f)(i)= Bi f(i), (f g)(i)=f(i) Bi g(i), (i)= Bi prokaždé i I, přičemž je,,0či1.tentoproduktznačíme I B i. Když B i = B prokaždé i I,píšeme I B místo I B i aříkáme,žetoje I-támocnina B. Když0<n ω,píšeme B 0 B n 1 místo n B i.dále 1 B ztotožňujemesb.projekce π j : I B i B j jedefinovanávztahem π j (f)=f(j)pro j I.Zřejmětojehomomorfizmus I B ina B j. PŘÍKLADY 1.2.3. 1. a) Potenční Booleova algebra je algebra P(I)= P(I), I,,,,I, kde I jekomplementdo I,tj.operace I : P(I) P(I)taková,žepro u Ije I u=i u; místo I píšemestručnějen.pro I= jdeotriviálníalgebru. b) Podalgebra P(I) s univerzem tvořeným konečnými a kokonečnými(tj. komplementy konečných) podmnožinami I se značí Je-li Ikonečná,jeto P(I),jinakmávelikostjakomnožina I. 2. a) Dvouprvková Booleova algebra(pravdy a lži) je FA(I). (1.5)

12 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI 2= 2, 1, 1, 1,0,1, (1.6) kde2={0,1}, 1 :2 2a 1 (0)=1, 1 (1)=0, 1 :2 2 2a 1 (x,y)=max(x,y), 1 :2 2 2a 1 (x,y)=min(x,y). b)obecnějipro I je I 2= I 2, I, I, I,0 I,1 I azřejměpak P(I) = I 2via u ch u,kdech u jecharakteristickáfunkce una I. Pro0<m<n NjekaždáBooleovaalgebra m 2ažnaizomorfizmuspodalgebrou n 2ataké podalgebrou N 2. 3.a)C p pro0<p Njepodalgebraalgebry N 2suniverzemC p N 2tvořenýmprávěvšemi funkcemi f N 2,kterémajíperiodu p,tj. f(i)=f(i+p)prokaždé i N. b)c jepodalgebraalgebry N 2suniverzemC N 2tvořenýmprávěvšemifunkcemi f N 2, kterémajínějakouperiodu p,0 < p N,tj. f(i)=f(i+p)prokaždé i N. 1.2.4. Booleovské operace. Disjunktnost, konečné rozklady jedničky. 1. Booleovská operace je operace složená z operací komplement, spojení, průsek, konstant nula a jedna Booleovy algebry a z identity; její zápis pomocí symbolů značících operaci komplementu, spojení, průseku, nulu, jedničku a proměnnou je booleovský term. Booleovský term je například(x y) z;jevproměnných x,y,z.je-li t(x 0,...,x n 1 )booleovskýtermvproměnných x 0,...,x n 1 a b 0,...,b n 1 jsouprvkyalgebry B,značí t(b 0,...,b n 1 )hodnotubooleovskéoperace představovanétermem t,spočítanévbvargumentech b 0,...,b n 1.Je-li hizomorfizmus Ba A, je t(h(b 0 ),...,h(b n 1 ))=h(t(b 0,...,b n 1 )). Jsou-li t 1,...,t n booleovskétermy,taktermtvaru t 1... t n resp. t 1... t n senazývákonečnéspojeníresp.průsektermů t 1,...,t n.jehohodnotapočítanávdanéalgebře nezávisí na pořadí a uzávorkování argumentů díky komutativitě a asociativitě, tudíž závorky jsme vypustili.elementárníprůsekjekonečnýprůsektvaru x σ(0) 0 x σ(n 1) n 1,kde x 0,...,x n 1 jsou různéproměnnéaσ: n 2.Přitomzdeznačí x 0 resp. x 1 term xresp.proměnnou x. 2.Buď B= B,,,,0,1.Množina X Bjedisjunktní,kdyžneobsahujenuluakaždéjejí dvarůznéprvkyjsoudisjunktníprvky,tj.jejichprůsekemjenulavb.množina {b 0,...,b n 1 }je rozkladjedničkyvb,je-litomnožinadisjunktníab 0 b n 1 =1. TVRZENÍ 1.2.5.(Okonečnýchpodalgebrách.)Buďte b 0,...,b n 1 prvkybooleovyalgebry B.Pak hodnotyelementárníchprůseků b σ(0) 0 b σ(n 1) n 1 s σ n 2apovynechánínulytvořídisjunktní rozklad D jedničky v B a všechna konečná spojení prvků z D univerzum nejmenší podalgebry algebry B,obsahující b 0,...,b n 1 ;tatopodalgebramánejvýše2 2n prvků. Důkaz.Indukcídle nsedokáže,že Djedisjunktnírozkladjedničky.Pro n=1toplatí.indukční krokznna n+1:máme-lijiž Dpro b 0,...,b n 1,vzniknouzkaždéhoprvku a Dnejvýšedva nenulovéprvky a b n, a b n ajejichspojenímjeprávě a.prvky a b n, a b n s a Djsoutedy právěnenulovéelementárníprůseky b σ(0) 0 bn σ(n) atvořízjevněrozklad D jedničky.jasněje každýprvek b i s i nspojeníněkterýchprvkůzd.zbytektvrzeníjezřejmý. 1.2.6. Booleovská identita v algebře B je nějaká rovnost booleovských termů, platná identicky v B. Je to booleovská identita, pokud to je booleovská identita v každé Booleově algebře. TVRZENÍ 1.2.7.(O booleovských identitách.) Rovnost booleovkých termů je booleovská identita, právě když to je booleovská identita v algebře 2. Důkaz.Stačídokázatimplikacizpravadoleva.Nech t(x 1,...,x n )=s(x 1,...,x n )jebooleovská identitav2.paktojebooleovskáidentitavkonečnéalgebře A,protože A = m 2projisté ma operacev m 2jsoudefinoványposložkáchv2.Buď Blibovolnáalgebra, b 1,...,b n jejíprvky.máme ukázat,že t(b 1,...,b n )=s(b 1,...,b n ).Buď Akonečnápodalgebraalgebry Bs {b 1,...,b n } A;takovápodalgebraexistuje.Vímejiž,že t(b 1,...,b n )=s(b 1,...,b n )počítánova.hodnoty

1.2. BOOLEOVY ALGEBRY. 13 t(b 1,...,b n ), s(b 1,...,b n )počítanévaabjsoustejné,tedy t(b 1,...,b n )=s(b 1,...,b n )počítáno v B,cožjsmemělidokázat. Uspořádání Booleovy algebry. Booleovská pravidla. 1.2.8. Kanonickéuspořádání,,,,.Booleovskéoperaceaidentity. VBooleověalgebře B= B,,,,0,1 definujemekanonickéuspořádání na Babinární operace rozdíl,symetrickádiference,(booleovskou)implikaci,(booleovskou)ekvivalenci takto: a b a=a b, a b=a ( b), a b=(a b) (b a), a b= a b, a b=(a b) (b a). 1.2.9. Booleovská pravidla jsou následující booleovské identity popř. tvrzení platná v Booleově algebře B,,,,0,1 pro x,y,z,x,y B: Idempotence: x x=x, x x=x x y= x x y= y jeuspořádání, x y=sup {x,y}, x y=inf {x,y} Monotonie: x y a x y x x y y a x x y y Extremalita: x 1=1, x 0=0 Neutralita: x 0=x, x 1=x x y=0ax y=1 y= x, 0= 1, 1= 0 DeMorgan: x y= ( x y), x y= ( x y) ( x)=x, x y y x x y= y x, (x y) z= x (y z) (x y)=x y, (x y)=x y x y=1 x=1=y, x y=0 x=0=y x y (x y=1) Důkaz lze provést zcela rutinně pomocí booleovských zákonů nebo pomocí 1.2.7. Vidíme,žekanonickéuspořádání Booleovyalgebry Bmánejmenšíprvek0anejvětší1a každákonečnámnožina s Bmásupremumainfimum, B, jetedysvaz.definujemeoperace a zmnožiny {u B; ujekonečná}do B: u=sup u, u=inf u; speciálněje =0, =1. Platíovšem {x0,...,x n 1}=x 0 x n 1, {x0,...,x n 1 }=x 0 x n 1 ; závorky v uvedených výrazech díky asociativitě a komutativitě vynecháváme. 1.2.10. Relativizace Booleovy algebry na prvek. Buď BBooleovaalgebra, a B.Relativizace Bna ajebooleovaalgebrasuniverzem B a= {x; x a}asoperacemi,,0algebry Bjakožtoprůsekem,spojením,nuloualgebry,komplementem B a x=a x(pro x B a)ajednotkou a.značímeji B a. Poznamenejme, že jde jasně o Booleovu algebru. Jejím kanonickým uspořádádním je zřejmě parcializacekanonickéhouspořádáníalgebry Bnamnožinu B a.dálejezřejmě projekce x x a homomorfizmus algebry B na algebru B a. TVRZENÍ 1.2.11. Buď BBooleovaalgebra, a B.Pakplatí B =(B a) (B a). Důkaz.Buďte g: B (B a) (B a)ah:(b a) (B a) Bdefinoványtakto: g(x)= x a,x a, h( y,z )=y z.

14 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI Zřejměje g homomorfizmus,neboť g( x) = x a, x a = B a x, B a x ajeto izomorfizmus, neboť h je inverzní ke g. Atomy a(bez)atomárnost. 1.2.12. Atomy v Booleově algebře. 1.AtomvBooleověalgebřejenenulovýprvek,podkterýmležíjennulaaonsám.Jinak řečeno: atomy Booleovy algebry jsou právě minimální prvky množiny jejích nenulových prvků vkanonickémuspořádání.množinuvšechatomůbooleovyalgebry BoznačímeAt B. 2. Booleova algebra je atomární, leží-li pod každým jejím nenulovým prvkem atom. Booleova algebra je bezatomární, neexistuje-li v ní žádný atom. Zřejmě platí: Každá konečná netriviální Booleova algebra je atomární. Nenulový prvek a Booleovy algebry B je její atom, právě když platí: prokaždé b Bje a B bnebo a B b. (1.7) TVRZENÍ 1.2.13. Buď BatomárníBooleovaalgebra.Zobrazení h:b P(At B ),kde h(b)= {a; a b,ajeatomvb},jeizomorfizmus Banějaképodalgebrypotenčníalgebry P(At B ).Je-li Bkonečná,je hizomorfizmus Ba P(At B ). Speciálně jsou každé dvě konečné Booleovy algebry izomorfní, právě když mají týž počet atomů. Důkaz.Buďte b,b B. hjeprosté,neboťkdyž b b 0,existujeatom a b b ;paknení a b atedy h(b ) h(b).zřejmě h( B b)=at B h(b), h(b B b )=h(b) h(b ), h(b B b )= h(b) h(b ). h(0 B )= ah(1 B )=At B ; hjetedyizomorfizmus Bapodalgebry P(At B )suniverzem {h(b); b B}.Je-li Bkonečná,jeAt B konečnéahjezřejměna P(At B ). TVRZENÍ 1.2.14.C jespočetnábezatomárníbooleovaalgebra.jetoažnaizomorfizmusjediná spočetná bezatomární Booleova algebra. Důkaz.C jesjednocenímspočetněmnožinc p s0<p N,přičemž C p =2 p ;tudížc je spočetnámnožina.je-li f N 2nenulovásperiodou0<p Nai<psplňuje f(i)=1,pak glišícíseod f jenvi+2kpprokaždé k NjenenulovýprvekalgebryC amenšínež f. Buďte A, BspočetnébezatomárníBooleovyalgebry, hizomorfizmuskonečnépodalgebry A A a B B.Pakpro a A A existuje b Btak,že hlzerozšířitdoizomorfizmu A A a B B, kde A A resp. B B jenejmenšípodalgebraalgebry A,obsahující A {a}resp. B,obsahující B {b}.univerza A, B jsoukonečnáajejichexistenceplynezbezatomárnosti A, B.Nazákladě tohotopoznatkumůžemeindukcísestrojithledanýizomorfizmus,vyjdeme-liza = {0,1} A, B = {0,1} B. POZNÁMKA. Algebra AV výroků nad spočetně prvovýroky je spočetná bezatomární Booleova algebra.avjetvořenáfaktory ϕ/ ={ψ; ϕ ψ}výroků ϕnaduvažovanouspočetnoumnožinou prvovýroků,přičemž ϕ ψ = ϕ ψ.booleovskýmoperacímodpovídají,,&, (falešný výrok), (tautologie). Kongruence, faktoralgebry. Ideály a filtry. Faktorizace Booleovy algebry B podle netriviální kongruence je důležitá konstrukce, poskytující tzv. faktoralgebru B/ často velmi odlišnou od B. Neformálně řečeno je nová rovnost na B(hrubšínežidentita),prvkyuniverza B/ jsoufaktoryekvivalence (tvaru b/ sb B),a operace algebry B se definují korektně pomocí reprezentantů faktorů. S faktorizací je úzce spojen pojem ideálu a filtru v Booleově algebře. 1.2.15. Kongruence, ideály a filtry v Booleově algebře. Buď B Booleova algebra. 1.Netriviálníkongruencepro Bjeekvivalence na Bsalespoňdvěmafaktoryataková,že platí,přičemž značí nebo :

1.2. BOOLEOVY ALGEBRY. 15 a a,b b a a, a b a b. Paknamnožině B/ ={a/ ; a B}faktorůekvivalence sedefinujíoperace, korektně pomocí reprezentantů a B/,,,, 0/, 1/ je Booleova algebra, zvaná faktoralgebra B podle ;značíse B/ ;toževníplatíaxiom0 1jeprávězaručenonetriviálnostíkongruence : 0 B / 1 B /. 2.Ideálresp.filtrvBjeneprázdnámnožina D Btaková,že 1 / D, a,b D a b D, a b D a D resp. 0 / D, a,b D a b D, a b D a D. Duálnífiltrkideálu Dje { a; a D},duálníideálkfiltru Dje { a; a D}. Hlavní filtr je filtr, který obsahuje nejmenší prvek(v uspořádání Booleovy algebry). Ultrafiltr jefiltr Dtakový,žeprokaždé a Bje a Dnebo a D.Množinavšechultrafiltrůalgebry B jestoneůvprostor BaznačíseS(B).Duálníideálkultrafiltrusenazýváprvoideál. Zřejmě je hlavní filtr právě horní množina nad nějakým nenulovým prvkem. Dále filtr může obsahovat nejvýše jeden atom díky uzavřenosti na průsek a filtr s jedním atomem je právě hlavní ultrafiltr. TVRZENÍ 1.2.16. (O faktorizaci, kongruencích a filtrech Booleovy algebry.) Buď B Booleova algebra. 1) (O faktorizaci.) Je-li netriviální kongruence pro B, je B/ Booleova algebra. 2)Buď netriviálníkongruencepro B.Pak0/ jeideálvba1/ filtrvb;jsouvzájemně duální. 3) a)buď IideálvB.Pakekvivalence I na B,definovanávztahem a I b a b I,je netriviálníkongruencepro Ba0/ I = I. b)buď IfiltrvB.Pakekvivalence F na B,definovanávztahem a F b a b F,je netriviálníkongruencepro Ba1/ F = F. Důkaz.1)VB/ platívšechnyidentickérovnostizbaznetriviálnosti plyne0 1;tudíž v B/ platí všechny axiomy Booleových algeber. 2), 3) plynou zcela rutinně využitím booleovských pravidel. TVRZENÍ 1.2.17. (O kongruencích a homomorfizmech Booleovy algebry.) 1) a)homomorfizmus halgebry BdoBooleovyalgebryurčujenetriviálníkongruenci h pro B takto: a h b h(a)=h(b).platí: b/ h = h 1 [h(b)]pro b B, h[b] = B/ h. (1.8) b)netriviálníkongruence pro Burčujehomomorfizmus h algebry Bna B/ takto: h (a)=a/ ; pak h je.homomorfizmus h senazýváfaktorprojekce Bna B/. Důkaz plyne zcela rutinně využitím booleovských pravidel. 1.2.18. Faktorizace Booleovy algebry podle ideálu a filtru. Podle 1.2.16 jsou netriviální kongruence a ideály(a korelativně filtry) v jednoznačné korespondenci via 0/ (korelativně 1/ ).Je-li Iideálresp. FfiltrvBooleověalgebře B,značíseproto B/ I resp. B/ F téžsymbolem Vidíme nyní, že ještě díky 1.2.17 platí následující B/I resp. B/F. (1.9) TVRZENÍ 1.2.19.(O epimorfizmu Booleových algeber.) Je-li h homomorfizmus Booleovy algebry AnaBooleovualgebru B,takplatí: B = A/ h = A/h 1 [0]=A/h 1 [1], h 1 [1]jefiltrah 1 [0]kněmuduálníideálvA.

16 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI TVRZENÍ 1.2.20. (O ultrafiltrech Booleovy algebry.) Buď B Booleova algebra. 1) a)ultrafiltryvbjsouprávěmaximálnífiltryvb(vzhledemkinkluzi). b)každýfiltrvbjeobsaženvnějakémultrafiltruvb(jakočást). 2)Filtr Fv BjeultrafiltrvB,právěkdyžplatí B/F =2. Důkaz.1)a)BuďFfiltrvB.Je-litoultrafiltraF Fjefiltrtakový,žeexistujea F F,máme a F atedy0 F spor.nechť Fneníultrafiltr.Buď a B, a / F, a / F.Pakpro b F je a b 0,neboťjinak b aatedy a F.Tudíž F = {c B; a b cpronějaké b F}je filtrobsahující aaf F. Ftedynenímaximální.b)Existencemaximálníhofiltruobsahujícího daný filtr F plyne z principu maximality, aplikovaného na množinu všech filtrů rozšiřujících F, uspořádanou inkluzí; toto uspořádání splňuje předpoklad majorizovatelnosti řetězů. 2) i) Buď F ultrafiltr.pro a Bjebuď a Fapak a F 1,nebo a Fapak a F 1atedy a F 0.ii) Buď B/F =2.Algebra B/F májennuluajedničku,tedypro b Bmámebuď b/f=1apak b F,nebo b/f=0,pak b/f=1atedy b F. 1.2.21. Fréchetův ideál a filtr. Buď B nekonečná atomární Booleova algebra. Fréchetův ideál v B je ideál I f (B)={ u; ujekonečnámnožinaatomůvb}. Fréchetůvfiltrjekněmuduálnífiltr,značenýF f (B).Pokudje Bpotenčníalgebra P(X),píšeme téži f (X)resp.F f (X)místoI f (B)resp.F f (B).Proultrafiltr Fv Bzřejměplatí: Fneníhlavní,právěkdyžF f (B) F. PŘÍKLADY 1.2.22. 1. Buď I nekonečná množina. a)algebrafa(x)jeatomární, {a}sa IjsouprávějejíatomyaFA(X)=I f (X) F f (X). b)f f (X)jejedinýnehlavníultrafiltrvFA(X).VelikostStoneovaprostoruS(FA(X))je X. c)fa(x)/f f (X) =2. 2. Buď I nekonečná množina; označme B algebru P(X). a) Bjeatomární, {a}sa Xjsouprávějejíatomy. b) O ultrafiltrech. i)buď w Inekonečná.Pak F w = {u X;existuje u F f (X)su w u } jefiltrvb, w F w F f (X). ii) Existuje alespoň I nehlavních ultrafiltrů v B. Buď totiž W P(I) množina velikosti X po dvou disjunktních množin, z nichž má každá velikost X ; takové W existuje díky nekonečnosti X,neboťpak X jestejněvelké,jako X I.Pak {F w; w W},kde F w jeultrafiltr obsahující F w zb),jemnožinanehlavníchultrafiltrů,kterámávelikost I (neboťpro w w z W je F w F w díkytomu,že w w =0, w F w, w F w ). iii)stoneůvprostors(b)mávelikost2 2 X.Důkazjeobtížnější;neuvádímejej. c) B/F f (B)jebezatomárníamávelikostjako B,tj.2 X.Dokažmeto.Označme F filtr F f (B).Buď u/f,nenulovýprvek B/F.Pak ujenekonečnáčást Iaexistujínekonečnédisjunktní u 0, u 1 s u 0 u 1 = u.pak u i /F jsounenulové,disjunktníajejichspojeníje u/f,vševb/f; tudíž pod u/f leží menší nenulový prvek a tedy u/f není atom. Konečně faktorů u/f je právě 2 I,neboť u/f = I,protože u z u/f selišíod uokonečnoumnožinu(tj. u u I f (I))a konečných podmnožin množiny I je X (díky nekonečnosti X).

1.3. O LINEÁRNÍCH USPOŘÁDÁNÍCH. 17 1.3 O lineárních uspořádáních. TVRZENÍ 1.3.1. (O neizomorfních lineárních uspořádáních.) 1) a) Existuje právě kontinuum neizomorfních spočetných lineárních uspořádání. b)pronekonečné κjeprávě2 κ neizomorfníchlineárníchuspořádáníkardinality κ. 2)Pronekonečné κjeprávě2 κ neizomorfníchlineárníchdiskrétníchuspořádáníkardinality κ. 3)Pronespočetné κjeprávě2 κ neizomorfníchhustýchlineárníchuspořádáníbezkonců,které mají kardinalitu κ.

18 KAPITOLA 1. ÚVOD A PŘEDBĚŽNOSTI 1.4 Poznámky.

Kapitola 2 Koncept predikátové logiky Základní úlohou predikátové logiky je objasnit, co je soud o individuích, co je jeho důkaz z axiomů dané axiomatické teorie a co je jeho pravdivost vzhledem k této teorii. Formálně je soud výraz nějakého jazyka L, chápaný jako jistá konečná posloupnost čili sekvence symbolů jazyka; soudům říkáme formule jazyka L čili L-formule. Nastíněná logika má dvě stránky, patřící přirozeně k jazyku a souzení vůbec: syntaktickou a sémantickou. Syntaktická se týká zejména skladby či struktury jazyka, formulí a dalších výrazů v něm vytvořených a dále struktury dokazování čili dedukování. Základním materiálem jsou tu symboly, sekvence(symbolů), sekvence sekvencí a jisté operace s nimi. Základními syntaktickými pojmy jsou pak jazyk, term, formule, logické axiomy, pravidla dedukce, teorie, důkaz v teorii. Sémantická stránka se týká významové interpretace a pravdivosti formulí. Základními sémantickými pojmy jsou struktury(prvního řádu) jakožto významové interpretace uvažovaných jazyků, pojem platnosti čili pravdivosti ve struktuře, pojem modelu teorie a pravdivosti v teorii. Můžeme říci, že logika je dána koncepcí čili rozvrhem základní syntaxe a sémantiky. Požadavkem na dokazování je jeho tzv. korektnost, totiž to, aby dokazatelná formule z nějakých axiomů byla pravdivá v těch významových interpretacích, ve kterých jsou pravdivé axiomy. Heslovitěřečeno: Dokazatelnéjepravdivé.Zásadnímpoznatkempredikátovélogikyje,žeplatí i opačná netriviální implikace a tedy nakonec tvrzení o kompletnosti: Dokazatelnéjeprávěto,cojepravdivé. 2.0.1. Klíčové pojmy a značení. Základní syntax. Pojem Značení Obor jazyk L term t,s Term L (atomická)formule ϕ, ψ, χ (AFm L )Fm L logickéaxiomy LAx L Pojem Značení Obor pravidla dedukce MP, Gen teorie T důkaz v teorii ϕjedokazatelnávt T ϕ Thm(T) Základní sémantika. Pojem Značení Obor struktura pro L čili L-struktura A = L M(L) ϕplatíva(přiohodnocení eproměnných) A = ϕ(a = ϕ[e]) Thm(A) Ajemodel T A = T M(T) ϕjepravdivávt T = ϕ Tru(T) 19

20 KAPITOLA 2. KONCEPT PREDIKÁTOVÉ LOGIKY 2.1 Základní syntax. Jazyk. 2.1.1. Symboly. Signatura. Velikost jazyka. Extenze, restrikce, izomorfizmus jazyků. Jazyk je tvořen symboly logickými, mimologickými a eventuálně binárním relačním symbolem rovnosti =. Navíc se užívají tři pomocné symboly(delimitery)(,). Logické symboly jsou: Logické spojky negace a implikace, další jsou zavedené jako zkratky. Proměnné, tvořící spočetnou množinu Var; značíme je často x, y, z. Buď v 0,v 1,... prostépevnéočíslovánívšechproměnných. Univerzálníčiliobecnékvantifikace x sxzvar; x čteme prokaždéx.existenční kvantifikaci x,čteme existuje x,zavádímejakozkratku.(poznamenejme,že x je jeden symbol.) Mimologické symboly jsou relační, vyjadřující vztahy o individuích a funkční, vyjadřující operace s individui. Četnosti uvažovaných vztahů jsou konečné. Nulární funkční symbol se nazývá konstantnísymbol.kformálnímuzápisuužijemepojemobecnénotace,cožjedvojice S,Ar S značená Sataková,že / SaAr S : S N; S SjesymbolaAr S (S)jehočetnost.Je-li S=, jde o prázdnou obecnou notaci. Výčet mimologických symbolů je signatura jazyka R, F, kde R, Fjsouobecnénotacetakové,že R F= ar Fneobsahuježádnýlogickýsymbolani=. Rresp. F je výčet relačních resp. funkčních symbolů; oba výčty mohou být prázdné; pak jde o prázdnou signaturu, značenou. Signaturu jazyka značíme často L a jazyk s uvedenou signaturou značíme zpravidla stejným symbolem. Je to dále jazyk s rovností, obsahuje-li binární relační symbol = rovnosti; jinak to je jazyk bez rovnosti. Jazyk musí vždy obsahovat nějaký relační symbol. Signatura a také jazyk je čistě relační resp. čistě funkční, též algebraický, je-li každý jeho mimologický symbol relační resp. funkční. Jazyk zapisujeme uvedením jeho signatury, často v následujícím přehledném a praktickém tvaru: R 0,...,F 0,...,c 0,..., R 0 je m 0 -árnírelačnísymbol,..., F 0 je n 0 -árnífunkčnísymbol,..., c 0 jekonstantnísymbol,... Nemusíme pak ani nejprve vypisovat relační a pak funkční symboly, ale můžeme je uvádět v libovolnémpořadí,avšaktak,abybylypatrnéčetnostiato,ojakýdruhsymbolujde. Např.signaturajazykasrovnostíuspořádanýchtělesje L= R,F,kde Rje { },Ar R sar R ( )=2, Fje {+,,,0,1},Ar F sar F (+)=Ar F ( )=2, Ar F ( )=1, Ar F (0)=Ar F (1)=0. Zpravidlajizapisujemevpřehlednémtvaru: L= {,+,,,0,1}, jebinárnírelačnísymbol, +, jsou binární funkční symboly, je unární funkční symbol, 0, 1 jsou konstantní symboly. Velikost čili kardinalita L jazyka L je maximum z velikosti množiny mimologických symbolů a spočetné velikosti; velikost L je tedy vždy alespoň spočetná. Buďte L,L dvajazyky.jazyk L jeextenze LaLjerestrikce L,pokudkaždýmimologický symboljazyka Ljemimologickýmsymbolemjazyka L téhožtypuačetnostivl jakovladále je-li Lsrovností,jeiL ;píšeme L L.Jazyky LaL jsouizomorfní,jsou-liobabuďsrovností nebo oba bez rovnosti a dále existuje prosté zobrazení h množiny mimologických symbolů jazyka Lnamnožinumimologickýchsymbolůjazyka L tak,žeprokaždýmimologickýsymbol Sz Lje h(s)téhožtypuačetnostivl jako Sv L. 2.1.2. Termy a formule. TermyaformulejsouvýrazydanéhojazykaL= R,F takové,žeprvévyjadřujísymbolickyfunkce složenézfunkčníchsymbolůzfadruhétvrzení. MnožinuTerm L všechtermůjazyka Lčili L-termůdefinujemeinduktivněpravidly:t1)Každá proměnnájeterm.t2)je-li Fz Fčetnosti nat 0,...,t n 1 jsoutermy,je F(t 0,...,t n 1 )term. Atomickáformulejazyka Ljeprávěvýraztvaru R(t 0,...,t n 1 ),kde RjezRan-árnía t 0,...,t n 1 jsoutermy.jetotedyprávěpredikceotermech;oborvšechatomickýchformulíjazyka LznačímeAFm L.Atomickáformulenebojejínegacesenazýváliterál.

2.1. ZÁKLADNÍ SYNTAX. 21 MnožinaFm L všechformulíjazyka Lčili L-formulímáinduktivnídefinicispravidly:f1) Každáatomickáformulejeformule.f2)Jsou-li ϕ,ψformule,jsoujimii (ϕ),(ϕ ψ).f3)jeli ϕformuleaxproměnná,je x (ϕ)formule.induktivnídefinicespravidlyf1)af2)definuje oborofm L všechotevřenýchčilibezkvantifikátorovýchformulíjazyka L.ZřejmějeAFm L OFm L Fm L.Řekneme-lidáletermresp.formule,mínímetímtermresp.formulinějakého jazyka, patrného z kontextu nebo na jehož bližším určení nezáleží. Ve formuli(ϕ ψ) je ϕ antecedent a ψ konsekvent. Indukcí dle složitosti formule definujeme podformule takto: a) podformule atomické formule jeprávěonasama.b)podformule ϕči x (ϕ)resp.(ϕ ψ)jeprávěonasamanebokaždá podformule ϕ resp. navíc i každá podformule ψ. Nevnořený term resp. nevnořená atomická formule je term resp. atomická formule tvaru F(x 0,...,x n 1 ) resp. R(x 0,...,x n 1 ), F(x 0,...,x n 1 )=y, x=y, x=c, kde R, F či c je relační, funkční či konstantní symbol uvažovaného jazyka. 2.1.3. Termy a formule jako sekvence; prefixní a infixní tvar. Designátory. Termy daného jazyka L = R, F lze chápat jako konečné posloupnosti čili sekvence vytvořené ze symbolůjazykainduktivněpomocífunkcí F,kde F Fnebo Fjeproměnná.Přitomfunkce F : (F ) n F s n=ar F (F)(a n=0,je-li Fproměnná)jetaková,žepro s= s 0,...,s n 1 (F ) n je F (s)= F (s);sekvence F (s)jetzv.prefixnízápisvýrazuvpolskénotaci.myjsme jizapsalivdefinicitermůjako F(s 0,...,s n 1 ),tj.v obvyklénotaci,kčemužjsmeužilioproti polskénotacitřipomocnédelimitery),(.dáleprofnulárníjsmepsalif()místosekvence F,pro proměnnou xjakožtonulárnísymbolpakjen xmísto x.zcelapodobnějetomusdefinicíformulí. Tamrolifunkčníchsymbolůhrají jakounární, jakobinárníakaždé x jakounární,atomické formulepakjakonulární.přitom ( ϕ,ψ )jsmezapsalijako(ϕ ψ),tj.vinfixnímtvaru; obvyklý prefixnítvarje (ϕ,ψ).infixnítvaružívámezdůvodůlepšíčitelnosti. Vidíme abstraktněji, že nám jde o sekvence v polské notaci induktivně vytvořené vzhledem knějakéobecnénotaci S= S,Ar S,obsahujícíaspoňjedennulárnísymbol;říkámepakže Sje notace. Zmíněná sekvence se nazývá designátor notace S a množina D(S) designátorů notace S je tedy definovaná induktivní definicí: Pro S Sasekvenci sdesignátorůdélky Ar S (S)je S (s)designátor. Je-li S Sas= s 0,...,s n 1 sekvence,užívámeprografickýzápissekvence S (s) obvyklou prefixníneboinfixnínotaci,tj. S ( s 0,...,s n 1 )značíme S(s 0,...,s n 1 ),také(infixně)(s 0 Ss 1 ),když n=2. Poznamenejme,žepro n=0častopíšememísto S()jen S.Jepatrné,žetermyjazyka L= R,F jsoudesignátorynotace F,kterájerozšířením Fonulárnísymboly x,kde xjeproměnná.množina OFm L resp.fm L jemnožinadesignátorůnotace AFm L {, } resp. AFm L {, } { x ; x Var}, kdekaždé ϕzafm L jenulární, unární, binárníakaždé x jeunární.přitom ϕ pro ϕ AFm L zapisujemejako ϕ(místo ϕ())aatomickáformuletakjeformule. Připomeňme,žesekvence xjepodsekvencesekvence y,existují-lisekvence y 0,y 1 tak,žeplatí y 0 x y 1 = y;říkámepaktaké,že xmávýskytvy.poddesignátornějakéhodesignátoru ηje designátor mající výskyt v η. Poddesignátor formule ϕ je podformule ϕ. Výskyt termu ve formuli ϕjejehovýskytvnějakéatomicképodformuli ϕ.povšimněmesi,ževýskytsymbolu x veformuli neznamená, že proměnná x má v této formuli výskyt. Platí dále následující tři důležitá a intuitivně dobře akceptovatelná tvrzení o designátorech(viz 2.5.2, 2.5.4, 2.5.6), umožňující mimo jiné korektně pracovat s výskytem a substitucí. TVRZENÍ 2.1.4. (O designátorech.) 1) (Ojednoznačnosti.)Každýdesignátorjejednoznačnětvaru S (s)projisté S Sajisté s D(S) Ar(S). 2) (Ovýskytech.)Každývýskytdesignátoru η vdesignátoru ηtvaru S (s)ss Sa s D(S) Ar S(S) jebuď ηnebojetovýskytvněkterémčlenu(s) i.

22 KAPITOLA 2. KONCEPT PREDIKÁTOVÉ LOGIKY 3) (Osubstituci.)Nahradí-lisevýskytdesignátoru η vdesignátoru ηdesignátorem η,získáse designátor. 2.1.5. Indukce dle délky. Každý designátor má jednoznačný tvar a délku. To dovoluje dokazovat indukcí dle délky designátorů, že všechny mají nějakou vlastnost a definovat indukcí dle délky designátorů nějakou vlastnost designátorů či hodnotu designátorům přiřazenou(tj. konstruovat ji rekurzivně). 2.1.6. Zavedení&,,. Konvence o zápisu formulí. Binární logické spojky disjunkce(čili nebo),& konjunkce(čili a) a ekvivalence zavádíme jako zkratky dané následovně: (ϕ ψ) za ( (ϕ) ψ), (ϕ&ψ) za (ϕ (ψ)), (ϕ ψ) za ((ϕ ψ)&(ψ ϕ)). Místo&semůžepsáttaké.Existenčníkvantifikace x (ϕ)jezavedenajakozkratkaza ( x ( (ϕ))); je existenční kvantifikátor. Následující konvence o zápisu formulí se užívají pro lepší čitelnost. Častosevynechávajívnějšízávorky,místo (ϕ)sepíše ϕ.používásetéžkonvence,že má vzápisevyššíprioritunežspojky&a,tyzasenež atazasenež.místo((ϕ&( ψ)) (χ ψ))takmáme ϕ& ψ χ ψ;můžemeovšempoužítiméněradikálnízkrácení,jakonapř. (ϕ& ψ) (χ ψ).místo(ϕ 1 (ϕ 2 ϕ n )...)píšemetéž ϕ 1 ϕ 2 ϕ n,kde je,& nebo ;nekumulujemezdetedyzávorkyzprava.formule ϕ 1 ϕ 2 ϕ n,kde je&resp. se nazývákonjunkceskonjunkty ϕ 1,...,ϕ n resp.disjunkcesdisjunkty ϕ 1,...,ϕ n.závorkymůžeme pro zlepšení čitelnosti i přidat. Formuli x (ϕ)resp. x (ϕ)zapisujemejako( x)ϕresp.( x)ϕ.tedy( x)ϕjezkratkaza ( x) ϕ. Je-li Qkvantifikátor,píšemetéž(Qx 1,...,x n )ϕza(qx 1 ) (Qx n )ϕ. Je-li R resp. F nějaký nulární relační resp. funkční symbol, píšeme zpravidla místo atomické formule R()resp.termu F()jen Rresp. F.Je-li binárnírelačnísymbol,píšesetéž t sza (t s). 2.1.7. Volné a vázané proměnné. Uzavřená formule. Generální uzávěr. 1.Výskytproměnné xveformuli ϕjevázanýve ϕ,je-litovýskytvnějaképodformuli( x)ψ formule ϕ;vopačnémpřípadějetentovýskytvolnýve ϕ.říkáme,žeproměnná xjevolnáresp.vázaná ve ϕ, jestliže některý její výskyt je volný resp. vázaný ve ϕ. Proměnná x je[ne]kvantifikovaná veformuli ϕ,když[není]jeve ϕvýskyt( x).proměnnápatříformuli ϕ,má-livýskytve ϕčije kvantifikovaná ve ϕ; jinak nepatří ϕ. Proměnná může být zároveň volná i vázaná v nějaké formuli. Jsou-li proměnné x, y různé, takvolnévýskyty xv ϕ,( y)ϕresp. ϕ ψ,jsouprávěvolnévýskytyve ϕresp. ϕaψ;to plyne z tvrzení o jednoznačnosti designátorů. Dále x nemá volný výskyt v( x)ϕ.(upozorněme, žev( x)ϕnení xtěsněza výskytproměnné x.) 2. Formule se nazývá uzavřená, čili sentence, není-li v ní volná žádná proměnná.(generální) uzávěr ϕjeformule( x 1,...,x n )ϕ,kdemezi x 1,...,x n jsouvšechnyvolnéproměnnéformule ϕ. 2.1.8. Formule a term v daných proměnných. Symboly t(x), ϕ(x). Term tresp.formule ϕje(právě)vproměnných x,je-li x= x 0,...,x n 1 prostá(n-)tice různých proměnných, mezi kterými jsou(právě) všechny proměnné termu t resp. volné proměnné formule ϕ. Píšeme pak t(x)či t(x 0,...,x n 1 ) resp. ϕ(x)či ϕ(x 0,...,x n 1 ) atentonápisprávěznamená,že tresp. ϕjevx.termčiformulejevnproměnnýchsn N, je-liv v 0,...,v n 1 afm n Ljemnožinavšech L-formulívnproměnných.Řekneme-li,že ϕje (právě)vproměnných x,y,znamenáto,že ϕje(právě)vx yax, yjsoudisjunktní.užíváme pak, obdobně jako výše, symbol ϕ(x, y), eventuálně ϕ(x; y). Často se potom x resp. y interpretují jako tzv. předmětné resp. parametrické proměnné uvažované formule. Podobně je tomu s termy. Můžemeanalogickyužíti trojný seznam x,y,zapsát ϕ(x,y,z)atd.

2.1. ZÁKLADNÍ SYNTAX. 23 PŘÍKLAD.a)Buď+binárnífunkčnísymbol.+neníterm.v 1 +v 1 jenevnořenýtermprávěve v 1. v 1 +v 1 (v 0,v 1,v 2 )znamená,žeterm v 1 +v 1 jevproměnných v 0,v 1,v 2.b)Buď Fbinárnífunkční symbol. F(v 5,v 1 )jenevnořenýtermprávěve v 5,v 1. F(v 5,v 1 )( v 0,v 1,v 5 )znamená,žeterm v 5,v 1 jevproměnných v 0,v 1,v 5. F(v 5,v 1 )(v 0 ;v 5 )znamená,žeterm F(v 5,v 1 )jevproměnných v 0,v 5 av 0 resp. v 5 považujemezapředmětnouresp.parametrickouproměnnou. 2.1.9. Substituce, instance, varianta. 1. Term t je substituovatelný za x do ϕ, jestliže pro každou proměnnou y termu t žádná podformule( y)ψ formule ϕ neobsahuje výskyt x, který je volný ve ϕ. Substitucetermu tdoformule ϕzaproměnnou xseprovádítak,ževšechnyvolnévýskyty proměnné xve ϕsenahradítermem t,pokud(!)jeterm tsubstituovatelnýza xdo ϕ.snadno se indukcí dle složitosti ϕ dokáže, že získaný výraz je formule; zapisujeme ji jako ϕ(x/t) a pokud jetentosymbolužit,znamenáto,že tjesubstituovatelnéza xdo ϕ.je-li ϕbezkvantifikátorová formule, je zřejmě každý term substituovatelný za každou proměnnou do ϕ. 2.Instanceformule ϕjeformuleznačená ϕ(x 1 /t 1,...,x n /t n )azískánazϕnahraženímvšech volnýchvýskytů x 1,...,x n za t 1,...,t n,přičemž x 1,...,x n jsourůznéproměnné,term t i jesubstituovatelnýza x i do ϕpro i=1,...,nasubstituceseprovádísimultánně.obecněneníinstancí formule ϕformule ϕ(x 1 /t 1 )(x 2 /t 2 ) (x n /t n )získánapostupněprováděnousubstitucí. Obdobně t(x 1 /t 1,...,x n /t n ) značí term získaný z termu t simultánním nahražením všech výskytů x 1,...,x n za t 1,...,t n,přičemž x 1,...,x n jsourůznéproměnné.výsledkemjeterm,jak plyneztvrzeníosubstitucivdesignátorech.místo ϕ(x 1 /t 1,...,x n /t n )resp. t(x 1 /t 1,...,x n /t n ) píšemetéž,nevede-litoknedorozumění,jen ϕ(t 1,...,t n )resp. t(t 1,...,t n ). Poznamenejme,že ϕ(x 1 /t 1,...,x n /t n )můžemezískatpostupněprováděnousubstitucí t i za x i do ϕ(x 1 /x 1,...,x n /x n),kde x 1,...,x njsourůzné,nejsoukvantifikovanéve ϕanevyskytujíse anive ϕanivžádném t i (atedy x i jesubstituovatelnéza x ido ϕ).obdobnějetomustermy. 3. Varianta formule ϕ je formule, která se získá z ϕ konečnou aplikací kroků: podformuli( x)ψ nahraď( y)ψ(x/y),kdeproměnná ynenívolnáve ψ(ajesubstituovatelnáza xdo ψ). POZNÁMKA 2.1.10. 1. Substituovatelnost vyjadřuje korektnost substituce, tj. že pro L-formuli ϕ(x)al-strukturu Aje A = ϕ(x) A = ϕ(x/t).buď ϕ(x)formule( y)(x y).pakplatíva, je-li A alespoň dvouprvková, avšak formule( y)(y y), získaná z ϕ nekorektní substitucí termu y za x, neplatí v A. Později ukážeme, že dokazatelnost formule implikuje dokazatelnost její instance. 2.Nechť ynenívolnáve ϕajesubstituovatelnáza xdo ϕ, ϕ je ϕ(x/y).pak ϕ (y/x)je ϕ.oba předpokladydohromadytotižzaručují,ževolnývýskyt yve ϕ jeprávětam,kdejevolnývýskyt xvϕ.tedy xjesubstituovatelnéza ydo ϕ atakétotožnostobouuvažovanýchformulíplatí. 3.a)Buď ϕformule( x)(x < y) (x=y)srůznýmiproměnnými x,y.je-liproměnná zrůzná od x,y,je( z)(z < y) (x=y)varianta ϕ.nelzevšak variovat xna y,neboť ymávolný výskytv( x)(x < y). b)chceme,abyvarianta ϕ formulebylaekvivalentnísϕ;žetomutakje,dokážemepozději jako tvrzení o variantách. Pokud bychom nedodrželi pravidla vytváření varianty, neplatilo by to. Vezmeme-litotižza ϕformuli( x)(x y)srůznými x,yabudemechybně(neboť ymávolný výskytvx y) variovat xna y,získáme ϕ tvaru( y)(y y),cožzjevněneníekvivalentní s ϕ. Nelze pominout ani podmínku substituovatelnosti. Buď totiž ϕ formule( y)( x)(x y); budeme-lichybně(díkytomu,že xnenísubstituovatelnéza ydo( x)(x y)) variovat yna x, získáme ϕ tvaru( x)( x)(x x),cožzjevněneníekvivalentnísϕ. Pomocí tvrzení o variantách lze až na ekvivalenci docílit, aby v dané formuli nebyla žádná proměnnázároveňvázanáivolná.napříkladveformuli ϕ,kterámátvar( x)(x < y)&x+0=x srůznýmix,y,jexvolnáivázaná.buďx proměnnárůznáodx,y.pakje( x )(x < y)&x+0=x varianta ϕ, ve které není žádná proměnná zároveň vázaná i volná.