Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení."

Transkript

1 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny B tak že [y] f. ÚMLUVA. Je-li f je zobrazení množiny A do množiny B potom definiční obor zobrazení je množina D(f) = {; A ([y] f)} y B obor hodnot zobrazení je množina H(f) = {y; y B ([y] f)}. A Poznámka. Je-li f zobrazení množiny A do množina B potom D(f) = A a H(f) B. ZNAČENÍ. Je-li f zobrazení množiny A do množina B potom místo zápisu [y] f budeme používat zápis y = f() (tradičně se proměnná nazývala nezávisle proměnná a y závislá proměnná). Poznámka. Je-li f zobrazení ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou píšeme f() (resp. f(y) resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. ÚMLUVA. Je-li f je zobrazení množiny A do množiny B potom tuto skutečnost zapisujeme symbolicky buď f : A > B nebo A f B přičemž budeme preferovat první značení. Dále budeme zobrazení f množiny A do množiny B zakreslovat v diagramu A f B nebo B f A Poznámka. Přiřazení hodnoty f() hodnotě D(f) může být empirické (na základě měření veličin reálného světa) zaznamenané např. v tabulce matematickým předpisem případně počítačovým programem. Je vhodné si uvědomit že definice zobrazení je velmi obecná a dovoluje velkou šíři různých způsobů přiřazení. Poznámka. Proto zobrazení je množina platí: ( f ) = D( g) ( f ( ) g( ) ) D = Jsou-li f a g zobrazení potom f = g. D ( f ) Definice: Nechť f : A > B A y B a M A. Řekneme že (i) y je obraz prvku při zobrazení f jestliže y = f(); (ii) je vzor prvku y při zobrazení f jestliže y = f(); (iii) množina f(m) je obraz množiny M při zobrazení f jestliže f(m) = {f(); M}. Poznámka. Poznamenejme že pro zobrazení f : A > B platí H(f) = f(a). ZNAČENÍ. Nechť A je libovolná množina. I D( I ) = A ( I ( ) ) (i) Potom symbolem označíme zobrazení takové že A = A A A Zobrazení I A nazýváme identické zobrazení na množině A nebo zkráceně identita na množině A..

2 (ii) Je-li B množina a b prvek množiny B potom symbolem K b označíme zobrazení takové že D( K ) = A ( K b ( ) = b ) b. Zobrazení K b nazýváme konstantní zobrazení b nebo A konstanta b na množině A. ÚMLUVA. Je-li f : A > B a M množina taková že M A. Potom g je restrikce zobrazení f na množinu M jestliže D( g) = M ( g( ) = f ( ) ). ZNAČENÍ. Je-li f : A > B a M množina taková že M A potom symbolem f M označíme restrikci zobrazení f na množinu M. Poznámka. Je-li f : A > B a M množina taková že M A potom f M : M > B Definice: Nechť f : A > B a g : B > C. Potom složené zobrazení vnějšího zobrazení g a vnitřního zobrazení f je zobrazení h definované předpisem (h() = g(f())). A ZNAČENÍ. Složené zobrazení vnějšího zobrazení g a vnitřního zobrazení f budeme značit symbolem g[ f ]. Poznámka. Složené zobrazení vnějšího zobrazení g a vnitřního zobrazení f se také nazývá superpozice vnějšího zobrazení g a vnitřního zobrazení f. Poznámka. Nelze libovolně měnit pořadí zobrazení ve složeném zobrazení tj. je nutné rozlišit vnější a vnitřní zobrazení. Poznámka. Je-li f : A > B potom platí f [ I ] I [ f ] f A = B =. Poznámka. Definovali jsme složené zobrazení dvojice zobrazení. užitím této definice lze vytvořit složené zobrazení ze zobrazení f 1 f2... f n (pro n 2) neboť takové složené zobrazení je f1[ f2[ f3[...[ fn]... ]. Poznámka. : Nechť f : A > B a g : B > C. potom ( g[ f ]) D( f ) H ( g[ f ]) H (g D ) = Definice: Řekneme že f je zobrazení množiny A na množinu B jestliže (i) f: A > B a (ii) H(f) = B. f na ZNAČENÍ. Symbolem f : A na B nebo A B budeme zapisovat tvrzení f je zobrazení množina A na množinu B přičemž preferujeme první označení. Poznámka. I A je zobrazení množiny A na množinu A. Poznámka. (o vlastnostech zobrazení množiny na množinu). Nechť f je zobrazení množiny A na množinu B a g je zobrazení množiny B na množinu C. Potom g[ f ] je zobrazení množiny A na množinu C Definice: Řekneme že f je prosté zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f : A > B a (ii) (1 2 f( 1 ) f( 2 )). A A 1 2

3 ÚMLUVA. Nechť f : A > B M A. Potom zobrazení f je prosté v množině M jestliže f M je prosté zobrazení množiny M do množiny B. Poznámka. I A je prosté zobrazení množiny A na množinu A. Poznámka. (o vlastnostech prostého zobrazení). Nechť f je prosté zobrazení množiny A do množinu B a g je prosté zobrazení množiny B do množinu C. Potom g[ f ] je prosté zobrazení množiny A do množinu C. Poznámka. Z vlastností prostého zobrazení a z vlastností zobrazení množiny na množinu vyplývá: Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B a g je prosté zobrazení množiny B na množinu C. Potom g[ f ] je prosté zobrazení množiny A na množinu C Definice: Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B. Řekneme že g je inverzní zobrazení k zobrazení f jestliže g = {[y]; [y] f }. Poznámka. Inverzní zobrazení k zobrazení f získáme tak že vyměníme vzory za obrazy. ZNAČENÍ. Je-li f je prosté zobrazení množiny A na množinu B potom inverzní zobrazení k zobrazení f označujeme symbolem f Věta (o vlastnostech inverzního zobrazení): Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B. Potom (i) f -1 je prosté zobrazení množiny B na množinu A přičemž platí (f -1 ) -1 = f (ii) D(f -1 ) = H(f) H(f -1 ) = D(f) (iii) (y = f() <=> = f -1 (y)) A y B I A (iv) f -1 [ f ] = tj. (f -1 (f()) = ) (v) f [ f -1 ] = I B tj. A (f(f -1 ()) = ). B Poznámka. Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B a g je prosté zobrazení množiny B na množinu C. Potom g[ f ] je prosté zobrazení množiny A na množinu C a eistuje k němu inverzní zobrazení pro které platí -1-1 ( [ ]) f [g ]. g f -1 = Poznámka. I A je prosté zobrazení množiny A na množinu A. Tudíž k němu eistuje inverzní zobrazení. 1 A I A I = Poznamenejme že ( ). Poznámka. Je-li f je prosté zobrazení množiny A na množinu B potom podle části (i) předcházející věty je f inverzní zobrazení k f -1 proto hovoříme o zobrazeních f a f -1 jako o dvojici navzájem inverzních zobrazení. 2.2 Číselné množiny AXIOM. Eistuje množina všech přirozených čísel N Věta (o matematické indukci). Nechť A je množina taková že (i) A N 0 (ii) 0 A (iii) (n A n+1 A). n N 0 Potom A = N 0.

4 Poznámka. Již jsme hovořili o důkazu matematickou (či úplnou) indukcí. Tento důkaz je bezprostředním důsledkem věty o matematické indukci. Formulujme tento důsledek: Nechť ϕ ( n) je predikátová formule na množině N 0 taková že Potom (i) ϕ ( 0) je pravdivá (ii) N 0 ( ( n) ϕ( n +1) ) n N 0 ( ( n) ) n ϕ. ϕ. Analogicky lze formulovat toto tvrzení pro množinu přirozené číslo k. N či pro množinu všech přirozených čísel větších než nějaké Poznámka. Pro každé přirozené číslo n jsme definovali přirozené číslo bezprostředně následující tj. n+1 dále jsme zavedli označení 01(= 0+ 1 ) 2(= 1 + ) Užitím matematické indukce lze definovat standardní operace sčítání a násobení na množině přirozených čísel N 0. Nechť m a n jsou přirozená čísla. Potom definujeme (i) součet přirozených čísel n a m (označený n + m) takto: (a) jestliže m = 0 potom n + m = n (b) jestliže m > 0 potom n + m = (n + m 0 ) + 1 kde m = m 0 + 1; (ii) součin přirozených čísel n a m (označený n. m) takto: (a) jestliže m = 0 potom n. m = m (b) jestliže m > 0 potom n. m = (n + m 0 ) + n kde m = m Snadno ověříme že tímto způsobem jsou definovány operace sčítání a násobení na množině všech přirozených čísel N 0 tak že přirozené číslo 0 je neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání a přirozené číslo 1 je neutrální prvek vzhledem k operaci násobení. Navíc jsou obě operace komutativní a asociativní přičemž obě společně vyhovují distributivnímu zákonu. Množina všech přirozených čísel N 0 není uzavřena vzhledem k operaci rozdíl (tj. eistují přirozená čísla n a m taková že n m N 0 ) a množina všech kladných přirozených čísel N není uzavřena vzhledem k operaci dělení (tj. eistují nenulová přirozená čísla n a m taková že n N ). m Definice: Množina všech celých čísel Z je nejmenší množina obsahující množinu všech přirozených čísel N 0 která je uzavřena vzhledem k operaci rozdíl tj. pro libovolné prvky a a b množiny takový že a + = b. Z eistuje prvek Z ÚMLUVA. Prvky množiny Z budeme nazývat celá čísla. Předpokládáme že na množině Z jsou operace sčítání a násobení rozšířením stejných operací na množině všech přirozených čísel N 0. Jsou-li a a b libovolná celá čísla potom prvek Z takový že a + = b označíme b a a nazveme rozdíl celých čísel b a a. Pro libovolné celé číslo a označíme 0 a symbolem a a nazveme opačné číslo k číslu a a operace - se nazývá odčítání. Předpokládáme že množina všech celých čísel je standardně uspořádána relacemi a <. Z. ZNAČENÍ. Množinu všech celých čísel budeme vždy značit symbolem Z tj. = { } Poznámka. Pro libovolná celá čísla a a b je rozdíl a b jednoznačně určen. Jak množina všech celých čísel Z tak i množina Z { 0} nejsou uzavřeny vzhledem k operaci dělení tj. pro libovolná nenulová celá čísla n a m nemusí eistovat celé číslo takové že n. = m např. n = 2 a m = Definice: Množina všech racionálních čísel je nejmenší množina obsahující množinu všech celých čísel Z taková že množina q Q {} 0 {} 0 a Q {} 0 eistuje {} 0 Q Q je uzavřena vzhledem k operaci dělení tzn. pro libovolné prvky p Q takové že p. = q.

5 ÚMLUVA. Prvky množiny Q budeme nazývat racionální čísla. Předpokládáme že na množině Q jsou definovány operace sčítání odčítání a násobení které jsou rozšířením operací na množině Z. Jsou-li p a q libovolná nenulová racionální čísla potom Q { 0} takové že p. = q označíme p q a nazveme 0 podíl racionálních čísel q a p. Je-li p nenulové racionální číslo potom definujeme = 0. Pro libovolné nenulové p racionální číslo p symbolem p -1 označíme podíl p 1 přičemž číslo p -1 nazýváme inverzní číslo k číslu p. Předpokládáme že množina všech racionálních čísel je standardně uspořádána relacemi a <. ZNAČENÍ. Množinu všech racionálních čísel budeme vždy značit symbolem Q. Poznámka. Pro libovolná racionálních čísla p a q kde p 0 je podíl p q jednoznačně určen. Poznámka. Pro libovolný prvek platí: Q p Z 0 q p =. {} q Z Poznámka. Formalizací intuitivní představy množiny všech bodů kontinua (tj. množiny všech bodů číselné osy nebo nepřetržitého časového toku) se vytvořila množina všech reálných čísel R. Pojem reálné číslo vznikl v historii postupným zobecňováním pojmu číslo. Poznámka. Předpokládejme tedy že na množině všech reálných čísel jsou standardně definovány základní aritmetické operace (tj. sčítání násobení odčítání a dělení) i relace uspořádání a <. ÚMLUVA. Reálná čísla které nejsou racionální budeme nazývat iracionální čísla (tzn. množina všech iracionálních čísel je množina ). R Q Poznámka. Příkladem iracionálních čísel jsou např. Ludolfovo číslo π 2 3. Poznamenejme že množina všech iracionálních čísel je nekonečná. ZNAČENÍ. Množinu všech reálných čísel budeme vždy značit symbolem R. 2.3 Rozšířená číselná osa Definice: Rozšířená číselná osa je množina R taková že R = R {- } kde ( < - < - < ). R ZNAČENÍ. Místo symbolu používáme také +. Prvky a - budeme souhrnně ±. Rozšířenou číselnou osu budeme vždy značit R. ÚMLUVA. Symbol resp. + resp. - čteme nekonečno resp. plus nekonečno resp. minus nekonečno. Prvky množiny R budeme nazývat zobecněná reálná čísla přičemž - a nazveme nevlastní reálná čísla.

6 Poznámka. Na množinu Definujeme ( a > a + = + a = ) ( a < a = + a = ) a = 0 R ± a -(- ) = ( a < 0 a. ( ± ) = ( ± ). a = ) ( a > 0 a. ( ± ) = ( ± ). a = ± ) a ( a > 0 = ) ( a a ) ( a a ) ( a > 1 a 0) ( 0 < a < 1 a 0) ( 0 < a < 1 a = ) < 0 = 0 > = 1 = = ± 0 ± R lze rozšířit některé operace definované na množině všech reálných čísel R.. Toto rozšíření je účelné zejména pro výpočet limit. Některé operace nejsou definovány - např. 0 ± V takovém případě hovoříme o neurčitých výrazech které budeme 1 např. při výpočtech limit posloupností či funkcí odstraňovat Definice: Nechť a a definované předpisem R. Absolutní hodnota zobecněného reálného čísla a je zobecněné reálné číslo a = a jestliže a 0 -a jestliže a < 0. Poznámka. Podle předcházející definice tady platí ± =. Poznámka. Zcela evidentně platí: ( a 0) Definice: Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla taková že a < b. Potom (i) otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu (ab) = {; R a < < b} (ii) uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu <ab> = {; R a b} (iii) zleva otevřeným a zprava uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu (ab> = {; R a < b} (iv) zleva uzavřeným a zprava otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu <ab) = {; R a < b}.

7 ÚMLUVA. Uvažujeme-li interval (ab) resp. <ab> resp. (ab> resp. <ab) potom (i) délkou tohoto intervalu rozumíme zobecněné reálné číslo b-a (ii) zobecněné reálné číslo a nazýváme levým krajním bodem a zobecněné reálné číslo b pravým krajním bodem tohoto intervalu. Uvedeme-li o intervalu s krajními body a a b že jde o reálný interval rozumíme tím že a R a b R. Poznámka. Uvědomme si že R = ( ) a R = Definice: Nechť M je množina taková že M Řekneme že (i) a je horní závora množiny M jestliže (ii) b je dolní závora množiny M jestliže R. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. ( a) ( b). Poznámka. Obecně není horní či dolní závora podmnožina množiny R jednoznačně určena. Horní závora množiny v některých případech může být prvkem této množiny. Analogicky může být někdy i dolní závora množina prvkem této množiny Definice: Nechť M je množina taková že M R. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme že (i) a je maimum množiny M jestliže a M a a je horní závora množiny M (ii) b je minimum množiny M jestliže b M a b je dolní závora množiny M. Poznámka. Je-li M množina taková že M minimum. R potom množina M má nejvýše jedno maimum a nejvýše jedno ZNAČENÍ. Maimum množiny M budeme značit ma(m) a minimum množina M budeme značit min(m) Definice: Nechť M je množina taková že M R. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme že (i) a je suprémum množiny M jestliže a je nejmenší horní závora množiny M (ii) a je infimum množiny Mjestliže a je největší dolní závora množiny M. ZNAČENÍ. Nechť M je množina taková že M infimum množiny M symbolem inf (M). R. Suprémum množina M budeme značit symbolem sup(m) a Poznámka. Je-li M množina taková že M infimum množiny M. R potom eistuje nejvýše jedno suprémum a nejvýše jedno Věta (o suprému a infimu): Nechť M je množina taková že M R. Potom eistují suprémum i infimum množiny M. Poznámka. Nechť M je množina taková že M infimum množiny M. R. Potom eistuje právě jedno suprémum a právě jedno Poznámka. Nechť M je množina taková že M m 0 M takové že a < m 0 sup(m). R. Nechť a R takové že a < sup(m). Potom eistuje

8 Poznámka. Nechť M je množina taková že M R. Potom (i) M = sup(m) < inf(m) (ii) M sup(m) inf(m) přičemž inf(m) = sup(m) právě tehdy jestliže množina M je jednoprvková inf(m) < sup(m) právě tehdy jestliže množina M obsahuje alespoň dva různé prvky. Poznámka. Jsou-li A a B množiny takové že A B R potom sup(a) sup(b) inf(a) inf(b) Věta (o suprému a maimu): Nechť M je množina taková že M R. Potom sup (M) M právě tehdy jestliže eistuje maimum množiny M přičemž sup (M) = ma (M) Věta (o infimu a minimu): Nechť M je množina taková že M R. Potom inf (M) M právě tehdy jestliže eistuje minimum množiny M přičemž inf (M) = min (M) Definice: Nechť M je množina taková že M R. Řekneme že (i) množina M je shora omezená jestliže sup (M) < (ii) množina M je zdola omezená jestliže inf (M) > - (iii) množina M je omezená jestliže je současně zdola i shora omezená. Poznámka. Nechť M je množina taková že M R M a shora (resp. zdola) omezená potom sup(m) R (resp. inf(m) R ) Věta (Archimedova): sup (N) =. Poznámka. Následující dvě tvrzení jsou ekvivalentní Archimedově větě: < n. R n N (i) ( ) (ii) Množina všech přirozených čísel není shora omezená. 2.4 Reálné funkce Definice: Řekneme že f je reálná funkce jestliže f je zobrazení takové že H(f) R. Poznámka. Tj. reálná funkce f je zobrazení f : A > R. ÚMLUVA. Místo termínu reálná funkce budeme také používat termín funkce pokud to nepovede k nedorozumění Definice: Nechť f a g jsou funkce takové že D(f) = D(g). Nechť c je reálné číslo. Potom definujeme (i) součet funkcí f a g který označíme f + g předpisem ((f + g)() = f() + g()) D( f ) (ii) rozdíl funkcí f a g který označíme f - g předpisem ((f - g)() = f() - g()) D( f ) (iii) c násobek funkce f který označíme c. f předpisem ((c. f)() = c. f()) D( f ) (iv) součin funkcí f a g který označíme f. g předpisem D f ((f. g)() = f(). g()) ( )

9 (v) podíl funkcí f a g který označíme D f (g() 0 ( ) f g předpisem ( ) ( ) ( ) f f = g g ) (vi) absolutní hodnotu funkce f kterou označíme f předpisem D f (( f () = f() ). ( ) ÚMLUVA. Souhrnně nazýváme výše uvedené operace funkční operace. Poznámka. Součet rozdíl součin a podíl funkcí i reálný násobek a absolutní hodnota funkce jsou opět funkce. Poznámka. Funkční operace mají analogické vlastnosti jako tytéž operace na množině všech reálných čísel R. Poznámka. Nechť f a g jsou funkce takové že D(f) = D(g). Nechť c je reálné číslo. Potom D(f + g) = D(f g) = D(c.f) = D(f. g) = D( f ) = D(f) = D(g) ale pro podíl f g platí f D( g ) = { D ( g ) g ( ) 0 } mj. D( f g ) D(f) = D(g). Poznámka. Reálný násobek funkce f (tj. c. f pro c R ) jsme nemuseli definovat protože jsme jej mohli uvést K c jako součin konstantní funkce a funkce f Definice: Nechť f je reálná funkce c D(f). Řekneme že c je nulový bod funkce f jestliže f(c) = 0. Poznámka. Někdy se místo termínu nulový bod funkce používá termín kořen funkce. ZNAČENÍ. Je-li f reálná funkce a M množina taková že M D(f) potom symbolem f 0 v množině M (resp. f = 0 v množině M resp. f < 0 v množině M resp. f 0 v množině M resp. f > 0 v množině M resp. f 0 v množině M) rozumíme (f() 0) ( resp. (f() = 0) resp. (f() < 0) resp. (f() 0) resp. (f() > 0) resp. (f() 0)) Definice: Nechť f je funkce M množina taková že M D(f) a c D(f). (i) Suprémum (resp. infimum) funkce f na množině M je suprémum (resp. infimum) množiny f(m). (ii) Maimum (resp. minimum) funkce f na množině M je maimum (resp. minimum) množiny f(m). (iii) Etrém funkce f v množině M je maimum funkce f v množině M nebo minimum funkce f v množině M. (iv) Řekneme že funkce f nabývá v bodě c maima (resp. minima) vzhledem k množině M jestliže c M a f(c) = ma (f(m)) (resp. f(c) = min (f(m))). (v) Řekneme že funkce f nabývá v bodě c etrému vzhledem k množině M jestliže funkce f nabývá v bode c maima nebo minima vzhledem k množině M. (vi) Řekneme že funkce f je omezená (resp. shora omezená resp. zdola omezená) v množině M jestliže množina f(m) je omezená (resp. shora omezená resp. zdola omezená). ÚMLUVA. Pojmy suprémum infimum maimum minimum etrém funkce omezená shora omezená a zdola omezená funkce jsou relativní protože jsou vázány vzhledem k podmnožině definičního oboru funkce. Uvedeme-li tyto pojmy bez vztahu k nějaké podmnožině definičního oboru funkce potom tím rozumíme že jde o tyto vlastnosti vzhledem k celému definičnímu oboru funkce.

10 ZNAČENÍ. Nechť f je reálná funkce M množina taková že M D(f). Symbolem sup(f) (resp. sup( f ) suprémum funkce f ( resp. suprémum funkce f vzhledem k množině M). Analogicky pro infimum maimum minimum. M ) označíme Poznámka. (booleovské funkce). Řekneme že f je booleovské funkce jestliže f je reálná funkce taková že ( ( ) { 01} n ) ( ) { 01} D f H f n N. Booleovské funkce jsou potřebné v logice ale také např. v teorii obvodů v teorii automatů. Booleovské funkce jsou vždy omezené. Někdy se místo termínu booleovská funkce používá termínu spínací funkce nebo logická funkce. 2.5 Reálná funkce jedné reálné proměnné Definice: Řekneme že f je reálná funkce jedné reálné proměnné jestliže f je reálná funkce taková že D(f) R. Poznámka. Z definice vyplývá: f je reálná funkce jedné reálné proměnné právě tehdy jestliže f : A > R kde A R. Poznámka. Každá reálná funkce jedné proměnné je reálná funkce proto samozřejmě pro reálné funkce jedné reálné proměnné platí vše co jsme uvedli pro reálné funkce. ÚMLUVA. Místo termínu reálná funkce jedné reálné proměnné budeme také používat termín funkce jedné proměnné nebo pouze funkce (pokud to nepovede k nedorozumění) Definice: Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné. Potom graf funkce f je množina {[f()]; D(f)} Definice: Nechť f je funkce jedné reálné proměnné a M D(f). Řekneme že (i) funkce f je rostoucí v množině M jestliže ( 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 )) 1 M 2 M (ii) funkce f je klesající v množině M jestliže ( 1 < 2 f( 1 ) > f( 2 )) 1 M 2 M (iii) funkce f je ryze monotónní v množině M jestliže f je rostoucí v množině M nebo f je klesající v množině M. (iv) funkce f je nerostoucí v množině M jestliže ( 1 < 2 f( 1 ) f( 2 )) 1 M 2 M (v) funkce f je neklesající v množině M jestliže ( 1 < 2 f( 1 ) f( 2 )) 1 M 2 M (vi) funkce f je monotónní v množině M jestliže f je nerostoucí v množině M nebo f je neklesající v množině M. ÚMLUVA. Pojmy rostoucí klesající ryze monotónní nerostoucí neklesající monotónní funkce jsou relativní protože jsou vázány vzhledem k podmnožině definičního oboru funkce. Uvedeme-li tyto pojmy bez vztahu k nějaké podmnožině definičního oboru funkce potom tím rozumíme že jde o tyto vlastnosti vzhledem k celému definičnímu oboru funkce. Poznámka. Nechť f je funkce jedné reálné proměnné a M D(f). (i) Je-li funkce f rostoucí (resp. klesající) v množině M potom f je neklesající (resp. nerostoucí) v množině M. (ii) je-li f ryze monotónní v množině M potom f je monotónní množině M (iii) je-li f ryze monotónní v množině M potom f je prostá v množině M (iv) jestli funkce f není nerostoucí (resp. neklesající) v množině M potom f není klesající (resp. rostoucí) v množině M

11 (v) jestliže f není monotónní v množině M potom f není ryze monotónní v množině M (vi) je-li funkce f rostoucí (resp. klesající resp. nerostoucí resp. neklesající) v množině M potom funkce f je klesající (resp. rostoucí resp. neklesající resp. nerostoucí) v množině M (vii) je-li funkce f ryze monotónní (resp. monotónní) v množině M potom funkce f je ryze monotónní (resp. monotónní) v množině M (viii) je-li funkce f monotónní v množině M potom funkce f je-li funkce f ryze monotónní v množině M. Poznámka. Nechť f je funkce jedné reálné proměnné a M D(f). Potom funkce f je konstantní v množině M (tj. eistuje reálné číslo a takové že pro všechna M platí f() = a) právě tehdy jestliže funkce f je v množině M současně neklesající a nerostoucí Věta (postačující podmínka pro etrém): Nechť f je funkce jedné proměnné a b c jsou zobecněná reálná čísla taková že a < c < b a (ab) D(f). (i) Je-li funkce f v intervalu (ac) neklesající a v intervalu (cb) nerostoucí potom funkce f nabývá v bodě c maima vzhledem k intervalu (ab). (ii) Je-li funkce f v intervalu (ac) nerostoucí a v intervalu (cb) neklesající potom funkce f nabývá v bodě c minima vzhledem k intervalu (ab). Poznámka. Předchozí větu jsme formulovali pro otevřený interval. Analogicky lze tuto větu formulovat pro intervaly <ab> (ab> <ab) Definice: Nechť f je funkce jedné proměnné a M D(f). Řekneme že (i) funkce f je sudá v množině M jestliže (- M f(-) = f()) (ii) funkce f je lichá v množině M jestliže (- M f(-) = - f()) (iii) funkce f je periodická v množině M jestliže eistuje reálné číslo p takové že p 0 ( + p M f( + p) = f()). ÚMLUVA. Pojmy sudá lichá periodická funkce jsou relativní protože jsou vázány vzhledem k podmnožině definičního oboru funkce. Uvedeme-li tyto pojmy bez vztahu k nějaké podmnožině definičního oboru funkce potom tím rozumíme že jde o tyto vlastnosti vzhledem k celému definičnímu oboru funkce. Eistuje-li nejmenší kladné reálné číslo p takové že platí: p 0 ( + p M f( + p) = f()) potom je nazveme základní periodou funkce f. Každé číslo p vyhovující vztahu: p 0 nazveme periodou funkce f. ( + p M f( + p) = f()) Poznámka. Je-li funkce f jedné proměnné sudá nebo lichá v množině M potom množina M musí být na reálné ose souměrně rozložená kolem počátku protože platí: je-li M musí být (jak podle definice sudé tak i liché funkce) M. Poznámka. Nechť f je funkce jedné proměnné a M množina taková že D(f). Je-li funkce f sudá (resp. lichá resp. periodická) v množině M potom funkce f je rovněž sudá (resp. lichá resp. periodická) v množině M. Poznámka. Je-li funkce jedné proměnné f sudá (resp. lichá) potom je její graf souměrný podle osy y (resp. podle počátku) Definice: Nechť f je funkce jedné proměnné a M D(f). Řekneme že (i) funkce f je konvení v množině M jestliže 1 M 2 M ( 1 < 2 < 3 3 M (ii) funkce f je konkávní v množině M jestliže f f < f f )

12 1 M 2 M ( 1 < 2 < 3 3 M f f > f f ). ÚMLUVA. Pojmy konvení a konkávní funkce jsou relativní protože jsou vázány vzhledem k podmnožině definičního oboru funkce. Uvedeme-li tyto pojmy bez vztahu k nějaké podmnožině definičního oboru funkce potom tím rozumíme že jde o tyto vlastnosti vzhledem k celému definičnímu oboru funkce. Poznámka. Konveita a konkavita funkce (obdobně jako ryzí monotónie a monotónie) jsou velmi důležité charakterizace reálných funkcí jedné reálné proměnné. Uvedeme geometrický i aritmetický význam těchto pojmů. Nechť f je funkce jedné proměnné a M D(f). (i) Uvažujme přímku která prochází body 1 f ( 1) a ( ) 2 f 2 f ( ) f ( ) Směrnice této přímky je Přímka která prochází body 2 f ( 2) a ( ) 3 f 3 f 3 f (kde 1 < 2 ). (kde 2 < 3 ) má směrnici. Ze vztahu (i) (resp. (ii)) výše uvedené definice vyplývá že směrnice druhé přímky je větší (resp. menší) než směrnice první přímky. Navíc tato skutečnost platí pro všechny body 1 2 a 3 z množiny M takové že 1 < 2 < 3. (ii) Uvažujme body 1 a 2 z množiny M takové že 1 < 2. Potom pro všechny body z M ( 1 2 ) (iii) platí: bod f ( ) leží pod přímkou procházející body 1 f ( 1) a ( ) 2 f 2 Uvažujme body 1 2 a 3 z množiny M takové že 1 < 2 < 3. Podíl f 3 f f 2 f 1 (resp. podíl ) vyjadřuje tzv. relativní přírůstek funkce f intervalu < 1 2 > (resp. < 2 3 >). Ze vztahu (i) (resp. (ii)) výše uvedeném definice vyplývá že relativní přírůstek f v intervalu < 1 2 > je menší (resp. větší) než v intervalu < 2 3 >. Poznámka. Nechť f je funkce jedné proměnné a M D(f). (i) Je-li funkce f rostoucí a konvení (resp. konkávní) v množině M potom se zvětšujícím z množiny M bude funkce růst rychleji (resp. pomaleji ). (ii) Je-li funkce f klesající a konvení (resp. konkávní) v množině M potom se zvětšujícím z množiny M bude funkce klesat pomaleji (resp. rychleji ). Poznámka. Nechť f je funkce jedné proměnné a M D(f). Je-li funkce f konvení (resp. konkávní) v množině M potom funkce f je konkávní (resp. konvení) v množině M Věta (o vlastnostech inverzní funkce): Nechť funkce jedné proměnné f je prostá v množině M (kde M D(f)). (i) Je-li funkce f rostoucí (resp. klesající) v množině M potom je funkce f -1 rostoucí (resp. klesající) v množině f(m). (ii) Je-li bod [y] bodem grafu funkce f potom je bod [y] bodem grafu funkce f -1 tj. grafy funkcí f a f -1 jsou souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu. na Poznámka. Je-li funkce jedné proměnné f prostá (v celé svém definičním oboru) taková že f : D(f) H(f) na potom eistuje inverzní zobrazení f -1 takové že f -1 : H(f) D(f) které je rovněž funkce jedné proměnné.

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/21 Matematická analýza ve Vesmíru. proměnné - p. 2/21 Definice. Funkcí (přesněji:

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita

Více

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Funkce, elementární funkce.

Funkce, elementární funkce. Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.

Více

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina: KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

a = a 0.a 1 a 2 a 3...

a = a 0.a 1 a 2 a 3... Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,

Více

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací.

Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou itu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí pro itu zleva

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná

Více

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky. Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při

Více