Tepelný stroj a jeho účinnost, Charlesův zákon

1 Tepelný stroj a jeho účinnost, Charlesův zákon Tepelný stroj... Abstrakt Pomůcky: Tepelný stroj PASCO TD-8572, sada plastových trubiček a ventilů, kovová tyč na míchání vody, skleňená nádoba, velká a malá kovová nádoba na vodu, dva stojany, elektrický vařič, Sada závaží, kovová baňka na plyn s gumovou zátkou se dvěma otvory, tlakový senzor PASCO CI-6534A, teploměr PASCO CI-6525, rotační senzor PASCO CI-6538, SCSI rozhraní PASCO SW 750, osobní počítač, program pro datový sběr Data Studio, 1 Pracovní úkoly a jejich řešení 1. V domácí přípravě vyřešte následující úlohu: Uvažujte tepelný stroj naplněný vzduchem, ve kterém se pohybuje válcový píst poloměru r = 2 cm. Hmotnost pístu činí m pist = 400 g. Necháme-li píst, aby vlastní vahou stlačil (ideální) plyn, a zatížíme-li píst závažím o hmotnosti m z = 300 g, pak objem stlačeného plynu (při okolním atmosferickém tlaku p atm = 101, 3 kp a a teplotě 20 C) činí 40 cm 3. Potom zafixujeme objem válce a při konstantním objemu zahřejeme plyn tak, že tlak v pístu bude o patnáct procet vyšší než okolní atmosferický tlak. Pak uvolníme fixaci objemu plynu a píst necháme izotermicky expandovat, až se pozice pístu volně ustálí. Potom z ppomalu odstraníme závaží tak, že nedochází ke změně teploty. Potom opět zafixujeme objem, plyn zchladíme na původní teplotu 20 C. Pak uvolníme fixaci objemu a píst opět zatěžkáváme závažím, aby se izotermicky vrátil do původní polohy. Určete práci, kterou tepelný stroj vykoná během jednoho takového cyklu. Určete teplotu, na kterou jsme plyn v pístu ohřáli. Dále určete účinnost tohoto cyklu. Tuto účinnost porovnejte s maximální možnou účinností pro daný rozdíl teplot, tj. s účinností Carnotova cyklu. Načrtněre a okomentujte pv diagram tohoto cyklu. Molární teplo vzduchu C v při konstantním objemu určete pomocí vztahu C p = M m.c p, kde M m je molární hmotnost vzduchu a c p je měrná tepelná kapacita vzduchu při konstantním tlaku. Z tabuklek lze vyčíst hodnoty M m = 28, 96 g.mol 1, c p = 1, 005 kj.kg 1.K 1. Plocha pístu S = πr 2 = 12, 6 cm 2 = 1, 26.10 3 m 2, tlak pistu na plyn p pist = m pistg závaží na plyn činí p z = mzg S = 2,94 N 1,26.10 3 m 2 = 2, 3 kpa. Stav v bodu A: S = 3,92 N 1,26.10 3 m 2 = 3, 1 kpa, tlak p A = p atm + p pist + p z = 101, 3 kp a + 3, 1 kp a + 2, 3 kp a = 106, 7 kp a. V A = 40 cm 3 = 4.10 5 m 3. T A = 20 C = 293, 2 K nr = p AV A T A = 106,7 kp a.4.10 5 m 3 293,2 K = 1, 46.10 2 J.K 1 n = 1, 75.10 3 mol Stav v bodu : p = 1, 15 p atm = 116, 5 kp a. V = V A = 40 cm 3 = 4.10 5 m 3. T = p V = 319, 2 K nr Stav v bodu C: p C = p A = 106, 7 kp a. V C = nrt C p C = 1,46.10 2 J.K 1.319,2 K = 4, 37.10 5 m 3 = 43, 7 cm 3. 106,7 kp a T C = T = 319, 2 K Stav v bodu D: p D = p atm + p pist = 104, 4 kp a. V D = nrt D p D = 1,46.10 2 J.K 1.319,2 K = 4, 46.10 5 m 3 = 44, 6 cm 3. 104,4 kp a T D = T C = T = 319, 2 K

2 Stav v bodu : p = nrt V = 1,46.10 2 J.K 1.293,2 K 4,46.10 5 m 3 = 96, 0 kp a. V = V D = 4, 46.10 5 m 3 = 44, 6 cm 3. T = T A = 293, 2 K Obrázek 1: Tepelnyý cyklus z úlohy č. 1 Práce vykonaná tepelným strojem: W = pdv + pdv = RnT V dv + W = 1, 46.10 2 J.K 1 ln RnT V VD dv = Rn[Tln +T Aln VA ] = Rn.ln VD [T T A] (1) V V V [319, 2 K 293, 2 K] = 0, 041J (2) 40 cm3 Teplo dodané tepelnému stroji: Měrná teplná kapacita vzduchu při konstantním tlaku c p = 1, 005 kj.kg 1.K 1, molární hmotnost vzduchu M m = 28, 96 g.mol 1, poissonova konstanta κ = cp c v = 1, 40. Odtud lze dopočítat molární teplo při konstantním tlaku a při konstantním objemu: C p = M mc p = 28, 96 g.mol 1.1, 005 kj.kg 1.K 1 = 29, 10 J.mol 1.K 1, C v = Mmcp = 28,96 g.mol 1.1,005 kj.kg 1.K 1 = 20, 79 J.mol 1.K 1. κ 1,4 Mezi body A a : Q A = A Mezi body a D: Q D = A C vdt = nc v[t T A] = 1, 75.10 3 mol.20, 79 J.mol 1.K 1.[319, 2 K 293, 2 K] = 0, 946 J. pdv = Rn.T ln VD V = 1, 46.10 2 J.K 1 ln (3) [319, 2 K] = 0.507J (4) 40 cm3 Tepelné ztráty:

3 Mezi body D a : Q D = D Mezi body a A: Q A = D C vdt = nc v[t T D] = 1, 75.10 3 mol.20, 79 J.mol 1.K 1.[293, 2 K 319, 2 K] = 0, 946 J. pdv = Rn.T Aln VA V = 1, 46.10 2 J.K 1 ln (5) [293, 2 K] = 0.466J (6) 40 cm3 Tepelná účinnost cyklu: Carnotova účinnost: η = W 0, 041 J = Q A + Q D 0, 946 J + 0, 507 J = 2, 8.10 2 = 2, 8% (7) η Carnot = 1 TA T = 1 293, 2 K = 1 0, 919 = 0, 081 = 8, 1%. (8) 319, 2 K V domácí přípravě je důležité, aby studenti spočítali alespoň práci tohoto cyklu a tepelnou bilanci v jednotlivých úsecích, aby měli představu o těchto pojmech. Výpočet účinnosti je citlivý na numerickou přesnost, zejména při určování objemů a počtu molů (resp. veličiny nr). Zaokrouhlení o jeden řád může vést ke zcela odlišným výsledkům. 2. Pomocí závaží o hmotnosti 150 g zkalibrujte tlakový senzor a určete rozdíl hmotností pístu P a zavěšeného závaží Z. Uvažte, jestli je možné tento rozdíl při zpracování zanedbat. V domácí přípravě si předem zpočtěte, jakou změnu tlaku způsobí zatěžkání pístu závažím o hmotnosti 150 g, když víte, že průměr pístu činí d = 32, 5mm. Tlak v pístu se kalibruje ve dvou bodech, první bez zývaží na plošině (tlak je pak roven součtu atmosferickému tlaku a tlaku způsobeného vlastní vahou pístu ). Tento tlak sa okalibruje jako 0 kp a. Druhý bod pro kalibraci získáme zatěžkáním pístu, doporučuje se závaží o hmotnost 150 g. Vzhledem k průměru pístu d = 3, 25 cm je příspěvek k tlaku p z = Fz = mz.g. (9) S pist π. d2 4 Pro závaží o hmotnosti 150 g je tlak závaží p z = 0, 15 kg.9, 81 m.c 2. = 1, 77 kp a. (10) π.2, 64.10 4 m 2 Při kalibraci je třeba dát pozor, aby jednotky tlaku byly nastaveny jako Pascal, dále musí být citlivost tlakového senzor nastavena jako nízká (low), jinak by byl rozsah senzoru příliš malý. Je také třeba dát pozor, aby při kalibraci nedošlo k záměně kalibračních bodů. Dialog programu Data Studio totiž rozlišuje low point a high point. Rozdíl ve snímaném napětí mezi oběma kalibračními body be měl činit při zátěži 150 g asi 1 V. 3. Uvažujte vzduch jako ideální plyn. Zahříváním baňky s plynem při konstantním tlaku ověřte Charlesův zákon. Výslednou závislost objemu na teplotě znázorněte graficky. Z výsledku měření pak určete přibližný počet molů n plynu v uzavřené soustavě a extrapolací určete objem V 0 celé soustavy při minimálí možné poloze pístu ve válci, tj. pro situaci, kdy se píst dotýká dna válce. Na základě znalosti závislosti objemu na teplotě a počtu molů v soustavě dopočítejte standardní molární objem, tj. objem jednoho molu plynu za normálních podmínek, a porovnejte tento molárí objem s tabulkovou hodnotou. Při zahájení měření na teplotě T Ṽ = π d2 h. = 3, 14 1,06.10 3 m 2.3,3.10 2 m 4 4 =. 305 K byl píst ve výšce h = 33 mm nad dnem válce. To odpovídá objemu. = 2, 74.10 5 m 3. = 27 cm 3. Po provedení měření (doba měření byla cca 40 minut) bylo naměřeno přibližně 1400 údajů, které jsou kraficky znázorněny v grafu na obrázku 2. Proložená přímka odpovídá rovnici V (T ) = a.t + b, kde a = 0.383 cm 3.K 1 ; b = 116.42. Odtud přímo vyplývá obsolutní hodnota objemu soustavy pži začátku měření V 0 + Ṽ =. 116 cm 3. Výsledná hodnota objemu soustavy při minimální poloze pístu ve válci tedy je V 0. = 116 cm 3 27 cm 3 = 89 cm 3. (11)

4 Obrázek 2: Charlesův zákon Po přeškálování objemu tedy máme vztah V = a.t, kde Atmosferický tlak činil 737, 1 T orr = 133, 3.737, 1 P a = 98.3 kp a. a = 0, 343 cm 3 K 1 = nr. (12) p soust V = 0, 343.T Tlakový příspěvek způsobený vlastní vahou pístu byl minimální (< 0.1kP a), proto jej lze zanedbat a do v7po4tu nezahrnout. Ze stavové rovnice ideálního plynu máme a = n = psoust.a R nr p soust, odtud pak dostaneme počet molů = 98, 3.103 P a.0, 343.10 6 m 3 K 1 8, 31 J.K 1.mol 1. = 4, 1.10 3 mol. (13) Na základě závislosti 12 víme, že objem soustavy při teplotě 20 C je V 20 = 0, 343.293.2 =. 101cm 3 = 1, 01.10 4 m 3. Odtud máme objem jednoho V n = 1,01.10 4 m 3. = 24, 6.10 3 m 3 mol 1. Hodnota mlárního objemu přitom podle 4,1.10 3 mol tabulek činí V n = 22, 413 m 3 mol 1. 4. Proved te dva cykly tepelného stroje. Pro každý cyklus volte jinou teplotu chladné lázně - pokojovou teplotu a 0 C. Pro každý cyklus určete vykonanou práci, účinnost a Carnotovu účinnost pro daný rozdíl teplot. 2 Poznámky 1. Při manipulaci s kovovou baňkou je třeba dbát, aby gumová zátka byla neustále dobře utěsněna. Tím se zabrání vniknutí vody do systému a potažmo tak i do pístu, čímž by se píst mohl poškodit. ehěm měření nezatlačujte ani nevytahjte gumovou zátku, zkreslovalo by to vásledek měření. 2. Píst nezatěžujte závažím o větší hmotnosti než 150g a nevyvíjejte v pístu relativní tlak větší než 1, 5kP a vzhledem k atmosferickému tlaku. Při větším přetlaku se projevují netěsností ventilů a měření se zkresluje. Průměr pístu činí d = 32, 5mm. 3. Plyn v systému nezahřívejte příliš rychle. Teploměr na prudkou změnu teploty reaguje se zpožděním a výsledek by se tak zkreslil. Při ověřování Charlesova zákona proto volte raději vetší kovovou nádobu na vodu, ve které budete zahřívat kovovou baňku s plynem. Vařič přitom nastavte na nejnižší stupeň. Teplotní růst pak bude pomalejší a měření teploty přesnější.

5 4. Při ověřování Charlesova zákona nejdříve začněte zahřívat nádobu s vodou a chvíli počkejte (3-10 min.), než začne růst objem. Teprve potom začněte měřit. Měření provádějte v rozmezí teplot cca 305 K 335 K. Očekávejte, že doma měření může být 40 minut až hodina. Vývoj teploty a tlaku sledujte na VT diagramu. Při měření pozorujte, jestli nedochází ke změně tlaku. Na základě znalosti atmosferického tlaku (zjistěte na barometru v praktiku) a tlaku způsobeného hmotností pístu (viz. úkol č. 2) převed te zjištěnou relativní hodnotu tlaku na hodnotu absolutní. Při zahájení měření odečtěte na stupnici, která se nachází na stěnách válce, polohu pístu. Jelikož tato poloha bude odpovídat nulovému relativnímu objemu určovanému programem Data Studio, budete moci na základě znalosti plochy pístu a po provedení extrapolace naměřených hodnot určit absolutní objem soustavy při minimální poloze pístu. Absolutní objem je nezbytné znát při zpracování úkolu č. 4. ěhem měření mějte na paměti poznámku číslo 3! 5. Při zahřívání vodu v kovové nádobě nikdy neuvádějte až do varu! 6. Před zahájením měření této úlohy si vyzkoušejte, s jakým třením se píst pohybuje v pístnici. To provedete tak, že u tlakového senzoru odpojíte plastovou trubičku, čímž se soutava otevře a píst by měl v pístnici začít stoupat nebo klesat. Směr pohybu pístu závisí na hmotnosti pístua závaží, které je upevněno na druhém konci provázku. V místech, kde se píst zadrhává, je pak tření vyšší a je radno se těmto polohám pístu vyhnout, zejména při jemnějším měření, jako je kalibrace tlakového senzoru. 7. Kalibraci tlakového senzoru provádějte tak, že píst nejdříve necháte nezatěžkaný a v dialogu programu Data Studio pro kalibraci tlakového senzoru tuto hodnotu označíte jako nula. Potom píst zatěžkejte závažím o hmotnosti 100 200g, na základě znalosti poloměru pístu dopočtěte příslušnou změnu tlaku a touto hodnotu vložte do zmíněného dialogu programu Data Studio. Tím je tlakový senzor zkalibrován. 8. Rozdíl hmotnosti pístu a závaží na konci provázku zjistěte následovně. Podle poznámky č. 7 zkalibrujte tlakový senzor, potom u tlakového senzoru odpojte plastovou trubici. Tím systém otevřete a tlakový senzor bude ukazovat záporný relativní tlak, který odpovídá atmosferickému tlaku. Pomocí této hodnoty pak již snadno určíte rozdíl hmotnosti pístu a závaží na konci provázku. Po provedení tohoto měření porovnejte zjištěný rozdíl tlaku způsobený hmotností pístu a závaží na konci provázku s atmosferickým tlakem a přesností, se kterou tlakový senzor měří tlak a zvažte, zdali je tento příspěvek k celkovému tlaku pro měření relevantní. 9. Při ověřování Charlesova zákona volte počáteční polohu pístu cca 0, 5 1cm nad minimální možnou polohou pístu. Zabráníte tak zkreslení výsledků měření. Minimální polohu pístu pak určíte pomocí rotačního senzoru. 10. Cykly tepelného stroje provádějte následujícím způsobem: aňku tepelného stroje umístěte do chladné lázně, počkejte, až se poloha pístu ustálí a zahajte měření (= stiskněte Start v programu Data Studio). Potom píst tepelného stroje zatěžkejte závažím, čímž stlačíte plyn ve válci. Potom baňku přemístěte do horké lázně, kterou budete mít připravenou na vařiči, zatížení pístu neměňte a opět vyčkejte, až se poloha pístu ustálí. Děj tedy bude izobarický. Snažte se, aby teplota obou lázní byla pokudmožno konstantn. Po ustálení polohy pístu sejměte závaží, opět nechte ustálit polohu pístu a pak baňku přesuňte zpět do chladné lázně. Vyčkejte, až se systém vrátí do počátečního stavu a pak ukončete měření. Graficky znázorněte a okomentujte pv diagram. Plochu obrazce v pv diagramu, která odpovídá vykonané práci, lze odečíst pomocí programu DataStudio. Rozmyslete, o jaký děj se jedná během zatěžkávání a odlehčování pístu. ěhem zpracování úkolu č. 4 určujte teplotu lázní pomocí dvou externích digitálních teploměrů, protože teploměr PASCO CI-6525 reaguje na změnu teploty příliš pomalu (viz. poznámka 3) a pro určení teploty je tedy nepoužitelný. Při zahájení měření odečtěte na milimetrové stupnici na stěně válce tepelného stroje polohu pístu, obdobně jako při měření úkolu č. 3. Na základě znalosti absolutního objemu soustavy při minimální poloze pístu měřené v úkolu č. 3 pak budete moci určit absolutní objemy během cyklu. Při přípravě chladné lázně o teplotě 0 C použijte led. 11.!! Po zahájení měření úkolu č. 3 neodpojujte plastové hadičky ani žádným jiným způsobem neotvírejte systém, a to až do konce měření úkolu č. 4, aby počet molů v systému, který je měřen v úkolu č. 3 byl stejný i během měření úkolu č. 4. Pokud toto porušíte, budete muset počet molů znovu určit na základě stavové rovnice ideálního plynu a znalosti absolutního objemu soustavy při minimální poloze válce měřené v úkolu č. 3. 3 Literatura Reference [1] doc. RNDr. Zlatěk Maršák, CSc., Termodynamika a statistická fyzika, ČVUT Praha, 1995, Třetí vydání [2] http://fyzika.fjfi.cvut.cz