Obsah Zna en vod 3 KapitolaI- e en stavov hoprobl mu 4 1Zad n lohy Metodaktivn choblast 3Variantymetodyktivn choblast zalo en nadualit 3.1BLM-technika... 5 4Konkr tn realizace e en stavov lohy 3.DLM-technika...10 116 KapitolaII-Tvarov optimalizace 5Numerick p klady 5.1Vyhodnocen v sledk numerick chp klad...17 14 6Zad n lohy 7Klasick p stupk loh mtvarov optimalizace 8Metodaktivn choblast vtvarov optimalizaci 0 9Algoritmyglob ln optimalizace 9.GeneticAlgorithm-GA...5 9.1Formulaceoptimaliza n lohy...4 9.3BreederGeneticAlgorithm-BGA...6 10Realizaceoptimaliza n hoprocesu 9.5Obecn srovn n zmi ovan chalgoritm...30 9.4ModiedControlledRandomSearchAlgorithm-MCRS...8 11Numerick p klady 11.1Porovn n zmi ovan chalgoritm glob ln optimalizaceprost ed- Reference 41 40 3 31 Z v rnictv mdosa en chv sledk...36 1
V sledkynumerick chp klad kekapitoleii 43 66
R RR,kdeRjemno inav echre ln ch sel Zna en @! Nech!RjeoblastsLipschitzovskouhranic,pakozna me: j!j! hraniceoblasti! uj! m raoblasti! z en funkceunaoblast! uz v roblasti! k:kl(!) integrovateln chskvadr tem prostorm iteln chfunkc na!lebesgueovsky (:;:)0;! Hk(!)(kjecel, normavprostorul(!)1 nez porn slo) prostorfunkc,je jsouspole n sesv mi skal rn sou infunkc zl(!)(nebo(l(!)))1 H10(!) zobecn n miderivacemia do dukintegrovateln skvadr tem,t.j.jsouprvkyl(!). normavprostoruh1(!),kde kukh1(!)=qkukl(!)+kjrujkl(!)1 podprostorfunkc zh1(!)snulovoustopouna@! k:kh1(!)(k:k1;!) BLM U it zkratky: CG metodahrani n chlagrangeov chmultiplik tor (boundarylagrangemultipliermethod) DLM metodasdru en chgradient (conjugategradientmethod) LBBpodm nka metodadistribuovan chlagrangeov chmultiplik tor (distributedlagrangemultipliermethod) MFO e i e Lady ensk -Babu ka-brezzipodm nka probl mumetoduktivn choblast e i eu vaj c knumerick realizacistavov ho metodaktivn choblast o.p. okrajov podm nky ikdy honezna me. 1Pokudzdevystupujefunkcedenovan naoblasti,rozum mezdejej z en na!, 3
last zalo en chnadualit apou it chk e en lohtvarov optimalizace. vod stupn deformacehraniceoblasti,p i em vka d mkrokumus meznovuzkon- struovatd len dan oblastipromkp,p epo tatmaticituhostiavektorprav ch stranateprvepot m emevy e itp slu nousoustavurovnic. Klasick p stupk e en lohtvarov optimalizacejezalo ennaprincipupo- C lemt topr cebylapraktick realizacen kolikavariantmetodyktivn chob- zv itefektivnost,jeu it metodyktivn choblast.jej principspo v vz m n dan lohynaoblastiseslo itougeometri (!)zaprobl mformulovan na oblastispravidelnougeometri ()(nap.obd ln k,kv dr)obsahuj c p vodn Jez ejm, ev euveden postupjeneefektivn.jednouzmo n chcest,jak oblastaje jesp vodn lohoun jak mzp sobemsv z n.asicejeho e en z en nap vodn oblastje e en mp vodn lohy,p i em informaceogeometriip vodn oblastivna emp pad bude"zak dov na"pomoc Lagrangeov ch multiplik tor. jakojsouobd ln ky,kv dryap.,jemo nopou tspeci ln d len av slednou soustavurovnic e itpomoc n jak rychl itera n metody.dal v hodouje nez vislosttriangulaceoblastinatvaruoblasti!,z eho vypl v, enen V hodytohotopostupujsouz ejm :pro e en okrajov ch lohnaoblastech Dirichletov miokrajov mipodm nkami.vprvn kapitolesebudemezab vat pouze e en mt tostavov lohysvyu it mmetodyktivn choblast,zat mco nutnovka d mkrokup epo t vatmaticituhosti. druh kapitolaji budev nov navlastn tvarov optimalizaci. Stavovou lohouvna emp pad budeeliptick loha. dushomogenn mi mov n jenehladk aminimizovan funkceje astot m nespojit.ztohoto d vodujenutn u talgoritmyglob ln optimalizacejakojsouga(geneticalgorithm),bga(breedergeneticalgorithm),sa(simulatedannealing),crs Zteoretick ch vahseuk zalo, ev sledn lohamatematick hoprograoretickystudov novpracechj.haslingera,k.h.homanna,m.ko vary, algoritm vyjmasam emenal ztvedruh kapitole, sti9{11. (ControlledRandomSearch)ap.Popisasrovn n zmi ovan choptimaliza n ch A.Klarbringaaj.Tatoproblematikastoj vpop ed z jmu adyzahrani n ch pracovi jakojsouhouston,graz,lyonatd.praktick zku enostistoutometodoujsouprozat mmal,v zkumjeteprvenaza tku.tatopr ceanani U it metodyktivn choblast vr mci lohtvarov optimalizacebyloteblematiky. navazuj c dizerta n pr cebym lypomociksystematick mustudiut topro- 4
KapitolaI- e en stavov hoprobl mu 1Nech!jeoblastsLipschitzovskouhranic @!.Nat tooblastiuva ujmen sle- duj c eliptickouokrajovou lohu: Zad n lohy (P) 8<:Au(!)=fv kdeajeeliptick oper tor. du,u(!)je e en (P)afL(!).Na mc lem +o.p. na@!; budenumericky e it lohu(p)u it mmetodyktivn choblast. Z kladn my lenkoumetodyktivn choblast jevno itoblastseslo itougeometri!dooblastispravidelnougeometri [!(viz.obr.1)a lohu(p) Metodaktivn choblast 1 0.9 0.8 Ξ 0.7 0.6 0.5 0.4 ω 0.3 0. nahraditza lohu(^p)vypadaj c n sledovn : Obr zek1:vno en oblasti!do. 0.1 0 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 +o.p.na@; 5 (^P) 8<:^A^u=^fv ;
mus b tzvolenatak,abyz en ^uj!bylo e en m(p).d vod,pro tod l me, jesnadnovid t: lohu(^p)jemo n e itrychl mi e i i,je vyu vaj toho, e kde^ajeop teliptick oper tor. dupodobn hotypujakoa,^uje e en (^P) a^fl()jevhodn roz en fzoblasti!na.nov loha(^p)p itom oblastm jednoduchougeometriiam emej tedyvhodn rozd litnakone n elementy. richlet vprobl mvrovin : nadualit.prolep popisjednotliv chvariantseomez menahomogenn Di- Vn sleduj c stiuvedemedv variantymetodyktivn choblast zalo en (P) 8<:?4u(!)=fv neboveslab formulaci u(!)=0na@!!r; (P) 8<: (ru(!);r')0;!=(f;')0;! Najdiu(!)H10(!)takov, e kdefl(!). 8'H10(!); 3 Variantymetodyktivn choblast zalo en Prvn znichu v Lagrangeovymultiplik torydenovan nahranicioblasti! Vt to stiuv d medv variantymetodyktivn choblast zalo en nadualit. nadualit (BLM-technika)adruh jezalo enanadistribuovan chlagrangeov chmultiplik torechdenovan chvn!(dlm-technika). 3.1 Nech!jeobd ln kov oblast,v(!)=h10(!)av()=h10().d le denujmeprostorv0(!;)n sledovn : BLM-technika Jesnadnovid t, e loha V0(!;)=fvV()jv=0na@!g: (^P)0 8<: (r^u;r')0;=(~f;')0;8'v0(!;); Najdi^uV0(!;)takov, e kde~fl()jevhodn roz en fzoblasti!na,m jedin e en ^u,p i em ^uj! e p vodn homogenn Dirichletovu lohu(p). 6
vdal mzpracov vatpomoc Lagrangeov chmultiplik tor denovan chna@!. Ozna me(@!)h?1=(@!)jakoprostor,je jedu ln kprostoruh1=(@!) denovan hon sledovn : Napodm nkuv=0na@!m emepohl etjakonaomezen,kter budeme Ekvivalentn vyj d en k(^p)0vyu vaj c Lagrangeov chmultiplik tor je H1=(@!)=f': @!7!R1j9vH1(!):v='na@!g: (^P) 8>< Najdi(^u;)V()(@!)takov, e > :(r^u;r')0;=(~f;')0;+<;'>@! kde<;>@!ozna ujedualitumezi(@!)ah1=(@!).jejednoduch uk zat <;^u>@!=08(@!); 8'V(); platnostn sleduj c v ty: V ta3.1 loha(^p)m jedin e en (^u;),p i em ^uj! e (P)a=@^u jeskoknorm lov derivace^una@!. @ tivn choblast d leozna ujemejakoblmvar.i. D kazmo nonal ztv[haslinger,klarbring,1995].tutovariantumetodyk- Pozn mka3.1jestli epolo mef=0vn oblasti!,t.j. ~f=*fv! potom^uj0a=@ @(^uj!)(viz.[peichl,kunisch,1995]). 0v=n!; Variantumetodyktivn choblast st mtov b rem~fbudemevdal mzna it f^thg,h!0+jeregul rn syst mtriangulac naoblasti.ka d mu^thp i ad me jakoblmvar.ii. prostor^vhv echpo stechline rn chfunkc nad^thanulov chna@: Nyn pop emeaproximaci lohy(^p)pomoc metodykone n chprvk.nech Symbolem!Hozna mepolygon ln aproximacioblasti!shranic ^Vh=fvhC()jvhjTP1(T)8T^Th;vh=0na@g: @!H=M(H) i=1aiai+1;(am(h)+1a1); S 7
1 0.9 0.8 A 3 0.7 A 0.6 0.5 0.4 ω H A 1 0.3 0. p i em d lkalibovoln stranyjaiai+1jjemen neborovnah>0.prolep Obr zek:p kladoblastispo stechpolygon ln hranic. 0.1 p edstavuviz.obr.. 0 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 DenujmeprostorHpo stechkonstantn chfunkc denovan chna@!h: D lep edpokl dejme, eh!0+,h!0+: H=fHL(@!H)jHjAiAi+1P0(AiAi+1) 8i=1;:::;M(H)g: Aproximace lohy(^p)jedenovan n sledovn : (^P)Hh 8>< Najdi(^uh;H)^VhHtakov, e > : R@!H^uhHds=08HH; Rgrad^uhgrad'hdx=R~f'hdx+R@!HH'hds 8'h^Vh; [Haslinger,Neittaanm ki,1996]) inudu ln H.Potomm emedok zat(viz.[haslinger,klarbring,1995]a jedn mprostoremaproximujemeprim rn veli inu^uhadruh mpakveli- p i em loha(^p)hhodpov d tzv.sm en metod kone n chprvk,kdy V ta3.nech jespln nan sleduj c podm nkastability: (3.1) R@!HvhHds=08vh^Vh 8 =) H=0na@!H:
vh10(),p i em ^uje e en lohy(^p). Potom(^P)Hhm jedin e en (^uh;h)anav cproh;h!0+konverguje^uh!^u nejenpodm nka(3.1),aleitzv.lady ensk -Babu ka-brezzi(lbb)podm nka state n velk,t.j.d len ^Thdenuj c ^Vhjejemn j ne d len u it kekon- strukcih.vp pad, epom rh=hjev t neboroven3,pakjespln na Pozn mka3.posta uj c podm nkaplatnosti(3.1)je, epom rh=hjedo- (viz[girault,glowinski,1995]): kde>0nez vis nah;h>0asymbolk:k?1=;@!hozna ujedu ln normuv (3.) H(@!H)sup inf Vh(!) khk?1=;@!hkvhk1;!; (H;vh)0;@!H prostoruh?1=(@!h). Maticov formulace(^p)hhvypad n sledovn : (~P) 8><>: Bu=0; Au+BT=F; Najdi(u;)Rn(h)RM(H)takov, e matica,bavektoruzat en Fsespo toun sledovn : u,resp.jsouvektoryuzlov chhodnot^uh,resp.h.dodejmeje t, eprvky kdeajematicetuhosti,bjetzv.maticetransformace,fjevektorzat en a A=faijg;aij=Rr'ir'jdx;i;j=1;:::;n(h); F=C~f;C=fcijg;cij=RD'i'jdx;i;j=1;:::;n(h); B=fbkjg;bkj= AkAk+1'jds;j=1;:::;n(h);k=1;:::;M(H); R kdef'jgn(h) var.i.,resp.ii. hranice@!h,~fjevektoruzlov chhodnot~fad,resp.d!hproblm j=1jsoub zov funkce^vh,fakak+1gm(h) Poznamenejme, einformaceogeometriioblasti!jeobsa enavmaticib,ve k=1jesyst mjednotliv ch st nici@!jespln navevelmislab msmyslu.konkr tn :integr ln pr m r e en Pozn mka3.3homogenn Dirichletovaokrajov podm nka^uh(!)=0nahra- vektoruzat en F(pouzeproBLMvar.II.),alenevmaticituhostiA. rovnicev loze(^p)hh.totom ev stkvelk mchyb m e en ^uh(!)vokol hranice@!. ^uh(!)nadka d m sekemhraniceaiai+1jerovennule,co vypl v zdruh 9
sledovn : Stejn jakop edt mozna mev()=h10()adenujemeprostorv0(;)n - 3. DLM-technika Op tjevelmijednoduch ov it, e loha V0(;)=fvV()jv0vn!g: (^P)0 8<: (r^u;r')0;=(~f;')0;8'v0(;); Najdi^uV0(;)takov, e e (P). kde~fl()jevhodn roz en fzoblasti!na,m jedin e en ^ua^uj! prostorufunkc zv()z en chna.potomekvivalentn vyj d en k(^p)0je tiplik tor denovan chv.nech ()(V()j)0,t.j.()jedu ln k Podm nkuv0vzpracujemeu it mdistribuovan chlagrangeov chmul- (^P) 8>< Najdi(^u;)V()()takov, e > :(r^u;r')0;=(~f;')0;+<;'> <;^u>=08(); 8'V(); kde<;>ozna ujep slu noudualitu.tatoforma lohy(^p)ad kazn sleduj c v tyjsouprezentov nyv[haslinger,tomas,matre,1998]a[tomas,1997]. Tutovariantumetodyktivn choblast d leozna ujemejakodlm. V ta3.3 loha(^p)m jedin e en (^u;)a^uj! e (P). ne n chprvk.nech f^thg,f^thgproh;h!0+jsoudvaregul rn syst my triangulac oblastispl uj c n sleduj c : D leuv d mepopisaproximace lohy(^p)op tpomoc sm en metodyko- t.j.libovoln elementt0^thjetvo ensjednocen mkone n hopo tutroj heln k T^Th.Ka d mu^th,resp.^thp i ad meprostor^vh,resp.^vhv echpo (jj)^th^thprolibovoln h;h!0+, (j)h!0+,h!0+; stechline rn chfunkc nad^th,resp.^thanulov chna@: kde=h,resp.h.d ledenujme ^V=fvC()jvjTP1(T)8T^T;v=0na@g; VH()^VHj: 10
Potomaproximace lohy(^p)jedenovan n sledovn : (^P)Hh 8>< Najdi(^uh;H)^VhVH()takov, e > : Rgrad^uhgrad'hdx=R~f'hdx+RH'hdx Zd voduplatnosti(jj)vid me, epodm nkastability RH^uhdx=08HVH(): 8'h^Vh; jespln naaprotolzedok zat(viz.[haslinger,tomas,matre,1998]) (3.3) RH^vhdx=08^vh^Vh V ta3.4 loha(^p)hhm jedin e en (^uh;h)anav c =)H0v p i em ^uje e en (^P). ^uh!^uvv();h!0+; (3.4) Pozn mka3.4lbbpodm nkam vtomtop pad n sleduj c vyj d en : kdekonstanta>0nez vis nah;h>0asymbolk:k;ozna ujedu- H()sup infvh(!) khk;kvhk1;!; (H;vh)0; ln normuvprostoru().vp pad, ed len oblastinerespektuje geometriioblasti!,m eb tkonstantazavisl nah(podrobn jiviz. [Haslinger,Tomas,Matre,1998]a[Tomas,1997]). elementybijmaticebsenyn vypo t vaj dlen sleduj c hovztahu: Maticov formulacejestejn jakovp edchoz mp pad st mrozd lem, e kdef'jgn(h) j=1,resp.f ign(h) i=1jsoub zov funkce^vh,resp.vh().prvkymatice bij=r i'jdx; obsa enavmaticib,vevektoruzat en F,alenevmaticituhostiA. Csespo taj stejn jakoublmvar.ii.informaceogeometriioblasti!je 4moc metodyktivn choblast. Vt to stipop emejednuzmo n chrealizac e en stavov hoprobl mupo- Konkr tn realizace e en stavov lohy 11
(rektangulaceoblasti)sbiline rn mifunkcemi.zaktivn oblastvezm me obd ln k(0;lx)(0;ly),je jerozd lenna tvercov elementyskrokemh, lizacijsouzd vodujednoduchostiimplementacepou ityobd ln kov elementy Zat mcovteoretick stipou v metriangulacioblasti,vpraktick rea- Bezierov mik ivkami. du.po ett chto st ozna mejakonc.jednatakov VH()jsouu itypo stechbiline rn funkcenad^rh,resp.^rh. resp.hdenuj c mrektangulaci^rh,resp.^rhoblasti.kekonstrukci^vh,resp. hranicejevid tnaobr zku3. Vdal mbudemep edpokl dat, ehranice@!oblasti!jetvo enapo stech 8 7 B 6 5 I 3 I 4 B 1 3 Obr zek3:p kladoblastishranic tvo enoupo stechbezierovouk ivkou. I du. 1 1 a d c m(bi)bodem.po et d c chipo te n ch,resp.koncov chbod jetedy Ka d Bezierovak ivka. dujetvo enapo te n m(ii),koncov m(ii+1) 0 0 1 3 4 5 6 7 8 stejn jakopo et st hranice@!.pokudm mezadanoupodm nkunahladkost hranice@!,pakjek ivkatvo c tutohranicijednozna n d napouze d c mi bodyb1;:::;bncapo te n,resp.koncov bodyjsoudopo tenyn sledovn : jako d c bodyb1;:::;bnczad ny.trojicebod (Ii;Bi;Ii+1),i=1;:::;nc, vopa n mp pad mus b tpo te n,resp.koncov bodyi1;:::;incstejn Ii=Bi?1+Bi ;i=1;:::;nc;b0bnc; po te n mbodembezierovyk ivkyiaz rove koncov mbodembezierovy k ivkyi?1. Inc+1I1jednozna n ur ujebezierovuk ivkui,i=1;:::;nc.iijetedy po te n mibodyik,k=1;:::;nc.ztohotod vodubudouprvkymaticebv Diskretizacehranice@!proLagrangeovymultiplik torynahranicijeur ena 1
tomtop pad po t nyn sledovn : kdef'jgn(h) j=1jsoub zov funkce^vhafkgnc B=fbkjg;bkj=Rk'jds;j=1;:::;n(h);k=1;:::;nc; line rn chrovnic @!.Vylou en prom nn uvmaticov formulaci(~p)vedena e en soustavy k=1jesyst mjednotliv ch st hranice (4.1) kde A=BA?1BT; A=b; prov stcholesk horozklada=llt.k e en rovnice(4.1)sv hodoupou ijememetodusdru en chgradient. Inicializace: 0=0(libovoln ); v0=r0; r0=b?a0; n=dim(a); MaticeAjevna emp pad symetrick,pozitivn denitn aprotom eme b=?ba?1f: Metodasdru en chgradient Itera n cyklus: ">0: i:=0; (#) (krikkbk"neboin)=) di=avi; i=rtiri ukon en cyklu; i+1=i+ivi; ri+1=ri?idi; vtidi; vi+1=ri+1+ivi; i=rti+1ri+1 rtiri; 13
i:=i+1avrac mesek(#): Pomocn vektordijetvo enn sleduj c msou inemmaticavektoruvi: di=avi=ba?1btvi kdebjep slu n maticetransformace,ljedoln troj heln kov maticevznikl =B(LLT)?1BTvi Cholesk horozklademmaticetuhostiaavektorvireprezentujesm rpostupu =BL?TL?1BTvi; z skan A-ortogonalizac vektor rezidu ri.sou inbl?tl?1btvisevypo te n sledovn : y=btvi; di=bu: u=l?tz,( e en soustavyltu=zzp tn mchodem); z=l?1y,( e en soustavylz=yp m mchodem); zen po tupr chod cyklem)dimenz maticea. enozedvou st.prvn znichodpov d podm ncenarelativn chybureziduaa druh jeomezen po tuprov d n chiterac metodysdru en chgradient (ome- Krit riumnaukon en cykluvt lemetodysdru en chgradient (#)jeslo- 5Vt to stijsouvyhodnocov nyv sledkydvoun euveden ch loh,kter byly zvolenytak,abyjejich e en bylosnadnovyj d iteln vanalytick mtvaru.pro Numerick p klady jegrafem,pop.tabulkouzn zorn no: ka douzmi ovanouvariantumetodyktivn choblast aproobazadan p klady odpov daj c Lagrange vmultiplik tor; chyba e en ^uh(!)vnorm prostoruh1(!)al(!); vypo ten e en stavov lohy; po etiterac metodysdru en chgradient pot ebn chkv po tu^uh(!); slopodm n nostimaticeavz vislostinah. dkonvergencevypo ten zchyby e en ^uh(!)vnorm prostoruh1(!); 14
P klad1nech rozm ryktivn oblastijsoulx=ly=3,krokdiskretizace kter tabulkyaobr zkynav c. Vp pad pot ebyobjasn n n kter chdosa en chv sledk jsouuvedenyn - stavov hoprobl muh=33aparametrukon en metodysdru en chgradient "=10?5.Stavov lohajedenov nan sledovn : (P)1 8<:?4u=fv kde u=0na@!; p i em uz=x?lx +c(y)?xy?ly f=?4uz; (y)=38siny c+lx +cly +c?y; razn vyzna en oblastiodpov d mno in bod,vn funkceuznab v nulov Prolep p edstavuogeometrii lohyuv d meobr zek4,kdehranicev - y=y?ly +c;c=0:565: hodnoty.funkceuzjetedy e en m lohy(p)1nat tooblasti. 3.5 1.5 1 0.5 h,resp.hadiskretizace@!prolagrangeovymultiplik torynahranicijed na KrokdiskretizaceHprodistribuovan Lagrangeovymultiplik toryserovn Obr zek4:zn zorn n oblasti!adiskretizace. 0 0 0.5 1 1.5.5 3 15
naobr.4. po te n mi,resp.koncov mibodyii,i=1;:::;nc(=4)zn zorn n mikole ky stavov hoprobl muh=14aparametrukon en metodysdru en chgradient P kladnech rozm ryktivn oblastijsoulx=ly=8,krokdiskretizace "=10?5.Stavov lohajevtomtop pad denovan n sledovn : (P) 8<:?4u=fv kde u=0na@!; p i em uz=4?x?lx f=?4uz; k ivkaodpov d mno in bod,vn funkceuznab v hodnotynula. Geometrie lohyjedob epatrn zobr zku5,kdeop tv razn vyzna en?4y?ly : 8 7 6 5 4 3 1 h,resp.hadiskretizace@!prolagrangeovymultiplik torynahranicijed na Obr zek5:zn zorn n oblasti!adiskretizace. po te n mi,resp.koncov mibodyii,i=1;:::;nc(=8)zn zorn n mikole ky KrokdiskretizaceHprodistribuovan Lagrangeovymultiplik toryserovn 0 0 1 3 4 5 6 7 8 naobr.5. 16
5.1 Vt to stisrovn v mev sledkydosa en jednotliv mizmi ovan mivariantamimfoaplikovan minap klady1a(viz.v sledkynumerick chp klad Vyhodnocen v sledk numerick chp klad kekapitolei). n nanaobr zc ch11,13,15a18.odpov daj c Lagrange vmultiplik torjepakv Vypo ten e en stavov lohy(p)1projednotliv variantymfojsouzn zor- Vyhodnocen v slek p kladu1 n kter zvariantmfozjist me, enejmen chchybjedosa enovp pad u it p pad BLMmetodyuvedenvtabulk ch3a8aprodlmmetodujezn zorn n distribuovan chlagrangeov chmultiplik tor shhanejv t ch,pou ijemelilagrangeovymultiplik torynahranicivar.i.chyba e en ^uh(!)vnorm Porovn n mchyby e en ^uh(!)vnorm prostoruh1(!)z skan hou it m grackynaobr zc ch16a19. problmvar.i.zmi ovan chyby e en ^uh(!)jsouuvedenyvtabulk ch4,9, 13a16. prostorul(!)naprotitomuvych z nejl peprodlmshhanejh eop t [Haslinger,Tomas,Matre,1998]a[Tomas,1997]).Obdobn vztahpro dkonvergencevp pad u it BLMmetodybyldok z nv[girault,glowinski,1995], alest mrozd lem, ebylauva ov nachyba e en ^uh(!)vnorm prostoruh1(). norm prostoruh1(!)vych z prodlmshh,resp.blmvar.i.umetody DLMbylodok z no, e dkonvergence=1=?",kde"jev t ne 0(viz. Nejlep,resp.nejhor dkonvergencevypo ten zchyby e en ^uh(!)v u=0na@!jespln navevelmislab msmyslu(viz.pozn.3.3).chyba e en pad u it DLMmetodyjehodnotakolem0.5,kde toublmmetodyjeto dov pouze10?.tatovelmin zk hodnotajezp sobenat m, epodm nka Z dukonvergencevypo ten hoprojednotliv variantymfojevid t, evp d ln kov podoblastoblasti!zn zorn n naobr zc ch1a14 rafovan.ihned jevid t, eublmvar.iivzrostl dkonvergencez0.07439na0.44633,zat mco chyby e en ^uh(!)vnorm prostoruh1()(viz.tabulky7a1),kdejeob- ^uh(!)m etedyb tvokol hranicevelik aproton sledn prov d mezji ov n vp pad BLMvar.Ivy el dkonvergencedokoncez porn.totojeobvykle zp sobenonevhodnoudiskretizac hranice@!prolagrangeovymultiplik tory. uveden mprojednotliv variantymfovtabulk ch6,11,15a18.vp pad BLMmetodyje slopodm n nostimaticea dov vjednotk ch,kde toudlm metodyje dov 1018?101.Tatovysok hodnota slapodm n nostinemus Nyn sepod v mena slopodm n nostimaticeavz vislostinakrokuh D lejevelmizaj mav, evp pad u it metodyblmse slopodm n nosti (4.1),pokudbyseuk zalo, espektrummaticeam skokovit rozlo en,t.j.jsou m tje t negativn vlivnapou it metodysdru en chgradient k e en rovnice maticeasezmen uj c msekrokemdiskretizacestavov lohyhrovn zmen- tamd ry.obr zky17a0potvrzuj, erozlo en spektrajeopravduskokovit. 17
diskretizaceprodistribuovan Lagrangeovymultiplik toryham n mepouze krokdiskretizacestavov lohyh.tentoefektjezp sobent m, esepom rh=h sezmen uj c mh(hjepevn )zv t uje,co m zan sledeksiln j spln n podm nek(3.1),(3.)vp pad BLMmetody,resp.(3.3),(3.4)uDLMmetody(viz. [Girault,Glowinski,1995],resp.[Tomas,1997]). z visl navelikosti slapodm n nostimaticeaatak narozlo en spektra.z po etiterac jevp pad BLMmetody dov vjednotk ch,kde toudlm tabulek5,10,14a17odpov daj c mjednotliv mvariant mmfojevid t, e Po etiterac metodysdru en chgradient pot ebn chkv po tu^uh(!)je uje.kestejn mujevudoch z ivp pad DLMmetody,pokudzaxujemekrok metodyvdes tk ch.jet ebaje t upozornit, edimenzematiceajeproblm metodunez visl nahaje dov vjednotk ch,zat mcoudlmmetodyje Vyhodnocen v slek p kladu dimenzematiceanahz visl akonkr tn pron p kladje dov 10?103. k torjepakvp pad BLMmetodyuvedenvtabulk ch19a3aprodlm n natentokr tnaobr zc ch1,,3a6.odpov daj c Lagrange vmultipli- metodujezn zorn ngrackynaobr zc ch4a7. Vypo ten e en stavov lohy(p)projednotliv variantymfojsouzn zor- nejl peprodlmshhanejh eproblmvar.i.coset echyby e en BLMvar.IIanejhor chublmvar.i.zmi ovan chyby e en ^uh(!)jsou ^uh(!)vnorm prostorul(!),nejlep chv sledk bylodosa enovp pad u it Chyba e en ^uh(!)vnorm prostoruh1(!)vych z vtomtop pad op t uvedenyvtabulk ch0,4,7a30. p pad vy eltedy dkonvergenceproblmvar.ilep,ne problmvar.ii, chyby e en ^uh(!)vnorm prostoruh1(!)zji ujeme, enejlep konvergence bylodosa enovp pad DLMsHhanejhor problmvar.ii.vtomto Porovn n m d konvergencevypo ten chprojednotliv variantymfoz alechyba e en ^uh(!)jejakvnorm prostoruh1(!),takl(!)podstatn hor. hjeprojednotliv variantymfouveden vtabulk ch,6,9a3.vp pad u it BLMmetodyvych z slopodm n nostimaticea dov vdes tk chaop t sezmen uj c msekrokemhsezmen ujei slopodm n nostimaticea,naproti slopodm n nostimaticeavz vislostinakrokudiskretizacestavov lohy Nav cudlmshhvp kladech1ineplat, ebysesezmen uj c mkrokem h slopodm n nostizv t ovalo.konkr tn proh=1=3je slopodm n nosti zobr zk 5a8jevid t, espektrummaticeajeop trozd lenoskokovit. tomuudlmmetodyjestejn jakoup edchoz hop kladu dov 1018?101a maticeav t,ne proh=1=4.totom eb tzp sobeno: 1.Rektangulace^R1=4jezjemn n m^r1=,kde torektangulace^r1=3nikoli..vp pad protnut obd ln kov hoelementudiskretizacestavov lohyhra- nic @!jetentoelementrozd lennadv sti.pokudbyplocha stiele- 18
nim ln amaxim ln hodnotouprvk maticebbybylobrovsk.totoby mentupat c dopl kov oblastibylavelmimal,pakrozd lmezimi- m lozan sledekzanesen chybydov po tumaticea=bl?tl?1bt zn zorn n vtabulk ch1,5,8a31.op tvp pad u it BLMmetodyjsou Po tyiterac metodysdru en chgradient projednotliv variantymfojsou (viz.[haslinger,tomas,matre,1998]). dov 10?103. BLMmetodutak dov vjednotk ch(nez visl nah)aprodlmmetodu dov vjednotk chaudlmmetodyvdes tk ch.dimenzematiceajepro 19
KapitolaII-Tvarov optimalizace Vpraxisesetk v mescelou adou loh,vnich tvarsou stim podstatn vlivnakvalituv sledn hoproduktu(stroj renstv,hornictv atd.).matematick 6 Zad n lohy optimalizace. veli inasouvis sgeometri probl mu.velk t da lohtvarov optimalizacem discipl nazab vaj c sehled n moptim ln hotvarustrukturysenaz v tvarov n sleduj c sch ma: Tvarov optimalizaceje stteorieoptim ln ho zen,vekter kontroln (P) 8<: J(!;u(!))=min Najdi!Otakov, e kde!jeoblasthraj c roli d c veli iny,ojemno inap pustn choblast, u(!)je e en stavov hoprobl mu(p)ajjecenov funkcion l,jeho v b r!oj(!;u(!)); jez visl natom,cochcemeoptimalizovat.existence e en (P)jerozebr nav [Pironneau,1984]a[Haslinger,Neittaanm ki,1996]. zmi ovan vprvn kapitole, sti3. algoritm,jejich innosttestujemenacel ad lohtvarov optimalizace.k numerick realizacistavov hoprobl mu(p)pou ijemejednotliv variantymfo Na mc lembude e it lohu(p)prost ednictv mn kolikaoptimaliza n ch 7 Klasick p stupk loh mtvarov optimalizacd memno inouoh,jej v echnyprvky(oblasti)jsouur enykone n m,stejn Nejd vepop emeaproximaci lohy(p).mno inup pustn choblast Onahra- velk mpo temparametr (Ohm eb tnap.mno inaoblast spo stech izomorsmustdmezimno inamiohaun sledovn : polygon ln hranic ).Zv euveden hovypl v, elibovoln oblast!hoh m eb tjednozna n pops navektorem=(1;:::;q)urq,kter nazvemevektoremdiskr tn chn vrhov chprom nn ch.nyn m emedenovat Stavov probl m(p)budeaproximov nu it mmetodykone n chprvk.tuto TD(!h)=;!hOh; aproximaci(p)ozna mejako(p)haodpov daj c e en uh(!h). TD(Oh)=U: 0
Aproximac lohy(p)je loha (P)h 8><>: Jh(!h;uh(!h))=min Najdi!hOhtakov, e Vztahmezi(P)a(P)hjepodrobn rozebr nv[haslinger,neittaanm ki,1996]. Klasick zp sobnumerick realizace(p)hjezalo ennapostupn deformaci!hohjh(!h;uh(!h)): hraniceoblasti,p i em nov tvar!(k+1)!(k) hvhodnoudeformac :!(k+1) h =F(k) h(!(k) hh);k=0;1;:::; jezkonstruov nzp edchoz hotvaru kdef(k) hjespojit prost zobrazen takov, e klasick metodakone n chprvk.potommaticov forma(p)hjen sleduj c : P edpokl dejme, e loha(p)jeline rn akjej numerick realizacijepou ita Jh(!(k+1) h ;uh(!(k+1) h ))Jh(!(k) h;uh(!(k) h));k=0;1;:::: (7.1) hodnotuh(!h).vtomtop pad maticetuhostiaavektorzat en Fjsouz visl kdea()jematicetuhosti,f()jevektorzat en au()jevektoruzlov ch A()u()=F(); nageometriioblasti!h.obvykl mzp sobemdenujemeizomorsmustsmezi prostoryvh(!h)arn: (P)hvedenan sleduj c lohuneline rn homatematick hoprogramov n : p i em u()jevektoruzlov chhodnotuh(!h) e c (7.1).Algebraick tvar TS(uh(!h))=u(); (~P) 8<: kdej(;u())jh(t?1 J(;u())=min NajdiUtakov, e inverzn zobrazen ktd,resp.ts.nev hodytaktozformulovan lohyjsou D;T?1 Su()),p i em symbolyt?1 UJ(;u()); z ejm :proka dounovouoblast!(k+1) D,resp.T?1 promkp,p epo tatmaticituhostiavektorzat en ateprvepot e itrovnici(7.1).totoseb hemoptimaliza n hoprocesuopakujemnohokr t,z eho vypl v neefektivnosttohotopostupu. h mus meznovuzkonstruovatjej d len Szna 1
8 zaci Metodaktivn choblast vtvarov optimali- oblasti,je jsouzcelanez visl nageometriioblasti!.d sledkemtohoje, e umo n prov d tv echnyv po tynapevn oblastianapevn md len ^Th ijememetoduktivn choblast knumerick realizaci(p)h.tentop stupn m Kodstran n v ezmi ovan chnedostatk neboalespo kjejichpotla en pouprobl mumetoduktivn choblast,vypad n sledovn : maticetuhostijenez visl navektorudiskr tn chn vrhov chprom nn ch. Abstraktn sch ma lohtvarov optimalizace,je u vaj k e en stavov ho (P)h 8><>: Jh(!h;^uh(!h)j!h)=min Najdi!hOhtakov, e kde^uh(!h)vh()je e en m(^p)hhz skan jednouzvariantmetodyktivn ch!hohjh(!h;^uh(!h)j!h); oblast uveden chvkapitolei, sti3.p ipome me, ealgebraick forma(^p)hh jen sleduj c : (~P) 8><>: Au()+BT()()=F(); B()u()=0; Najdi(u();())Rn(h)Rd(H)takov, e Ujevektordiskr tn chn vrhov chprom nn chpopisuj c ch!hoh ad(h)=m(h),resp.d(h)=n(h)vp pad u it BLMmetody,resp. DLMmetody.Znovuopakujeme, epouzematiceb,eventu ln vektorzat - kdeu(),resp.()jevektoruzlov chhodnotfunkce^uh(!h),resp.h(!h), n minablm-technicejestudov nav[glowinski,kearsley,pan,periaux,1995], ticeam eb tspo tenapouzejednounaza tkuoptimaliza n hoprocesua pakji z st v nezm n na.tvarov optimalizacespole n smfo e i izalo e- en Fjsouz visl na,nikoliv akmaticetuhostia.toznamen, ema- [Haslinger,Klarbring,1995],[Peichl,Kunisch,1995]aj.DLM-technikavtvarov optimalizacibylapou itav[haslinger,tomas,matre,1998],[tomas,1997]a dal ch. diumdiferencovatelnostizobrazen : d c prom nn 7! e en stavov lohy.v n sleduj c msebudemeprotozab vatdiferencovatelnost zobrazen 7!u(), kdeu()je st e en (~P).Zformulace(~P)jevid t, e Ned lnousou st optimaliza n hoprocesujeanal zacitlivosti,tojeststu- (8.1) P edpokl d me-li, ezobrazen 7!F()jedostate n hladk,diferencovatelnost7!u()z vis pouzenadiferencovatelnostizobrazen 7!B();B?1(). u()=(i?a?1bt()(b()a?1bt())?1b())a?1f():
razen 7!B()i7!B?1()nediferencovateln,proto eprvekbij()matice Bjed nv razem Vp pad Lagrangeov chmultiplik tor nahranici(blm-technika)jsouzob- kdef'jgn(h) j=1jsoub zov funkcevh().pokudtedy sthraniceaiai+1m ne- bij()=r AiAi+1'jds; mentypat c mido^thaz rove jednorozm rn Lebesgueovam ratohotopr niku jekladn,potomzobrazen 7!bij()nen spojit diferencovateln zd vodu nespojitostiprvn derivaceb zov funkce'j(viz.[dankov,haslinger,1996]a pr zdn pr niksvnit n hranic mezidv misousedn mitroj heln kov miele- [Tomas,1997]).Minimaliza n loha(p)hjetedyobecn nehladk.ztohotod vodujenevhodn pou vatnajej e en klasick chgradientn chmetodtechnika)jesice7!b()spojit diferencovateln,alem esest t, enaopak T\hjemal.Nav cseprojev vlivtzv.lockingeectu,kter nyn vysv tl me. zobrazen 7!B?1()spojit nen.tonastanetehdy,kdy plochapr niku Vp pad u it distribuovan chlagrangeov chmultiplik tor (DLM- P edpokl dejme, e^th^th.pakztoho, e plyne, e^uh0nejenvh,ale ir mno in 0h,kde (h;^uh)0;h=08hh(h) t.j.0hjesjednocen v echtroj heln kov chelement pat c ch^th,jejich vnit ek m nepr zdn pr niksh.mno ina0hjeilustrov naobr zkem6prop pad, e 0h=SfTjint(T)\h6=;g; u v merektangulacioblasti.pokudsenyn oblast!hzm n tak, emno ina 8).Tentofenom nop tvylu ujeu it klasick chgradientn chmetod.vlivlocking zm nuoblasti!hzp sobujejej patologick chov n (nap.nespojitost)(viz.obr. 0hz stanestejn,nezm n seani e en ^uh,d sledkem eho jenecitlivostfunkce eectum emeomezitt m, evezmemed len ^TH id,ne ^Th.Dal mo nost!h7!jh(!h;^uh(!h)j!h)nazm nuoblasti!h.tatonecitlivostc lov funkcena potla en lockingeectuspo v vu it Lagrangeov chmultiplik tor nahranici, nebo homogenn Dirichletovaokrajov podm nkajevtomtop pad spln nave slab msmyslu(viz.pozn.3.3),co m zan sledekochranu e en ^uhvokol @!h p eduzam en m.vka d mp pad v akdostaneme lohunediferencovatelnou. 3
8 7 6 5 4 3 van miobd ln kov mielementy. Obr zek6:zn zorn n mno iny0hn!0h,kdeoblast!0hjetvo en vy rafo- 1 9 Algoritmyglob ln optimalizace 0 0 1 3 4 5 6 7 8 rovni(optimaliza n algoritmusmus vz tv vahumo nounediferencovatelnost n hoprocesu( e en stavov hoprobl mu),alep in ur it komplikacenavn j e en lohtvarov optimalizacezvy ujeefektivnostvnit n rovn optimaliza - Shrneme-lidosavadn poznatky,m eme ci, emetodaktivn choblast u it k cenov funkcealockingeect). optimalizacejakojsouga(geneticalgorithm),bga(breedergeneticalgorithm),crs(controlledrandomsearch),sa(simulatedannealing)adal, kter jsouzalo enypouzenavyhodnocov n cenov funkce. Jednouzmo nost,jakodstranittytokomplikace,jeu it algoritm glob ln jsoualgoritmypravd podobnostn,kter e lohyglob ln optimalizacenaz klad modelov n organick hov voje. je jsoutypick mip edstavitelitzv.evolu n chalgoritm.evolu n algoritmy Vt to stipop emestru n algoritmyga,bgaamcrs(modiedcrs), 9.1 Typick sch ma lohglob ln optimalizacejen sleduj c : Formulaceoptimaliza n lohy (P)GO 8<: kde1:::njep pustn vyhled vac prostoronparametrech, f(x)f(x)8x; Najdixtakov, e 4
b v glob ln hominima.prostorparametr vpraktick ch loh chjezpravidla f: vymezenintervalemjejichp pustn chhodnot,co vedenaoptimaliza n lohus tzv.boxconstraints.vyhled vac prostortedym emedenovatn sledovn : 7!Rjezvolen cenov funkceaxjebodz,vn m funkcefna- interval<ai;bi>r. kdehj(x);j=1;:::;mjsounerovnostn omezen aiseobvyklevol jako =fx1:::njhj(x)0;j=1;:::;mg; 9. zen hov b ruaprincipechgenetiky.prvkyzprostorujsoureprezentov ny Genetick algoritmyjsouvyhled vac algoritmyzalo en namechanismup iro- GeneticAlgorithm-GA geny.vp pad bin rn ch et zc tytogenynab vaj hodnotdan chsymboly bin rn mi et zci(chromoz my)ajednotliv pozicev et zciseozna uj jako problematice.ka d muchromoz mujep i azenahodnotadan jehokriteri ln (tness)funkc,kter vyjad ujejehovhodnost.mno inachromoz m paktvo populaci. 0a1.Obecn v akmohounab vatlibovoln chhodnotvz vislostina e en selekce; Vlastn GAspo v vopakovan aplikacin sleduj c choper tor : k en ; apopulacesevytv ej c nov. Populace,nan jsouv ezmi ovan oper toryaplikovan,senaz v rodi ovsk mutace. oper toru: ohledemnajejichhodnotukriteri ln funkce.rozli ujemen kolikvarianttohoto Oper torselekcepouzekop rujechromoz myzrodi ovsk populacedonov s roulete-wheelselection-chromoz mysvy hodnotoutnessfunkcejsou dobnostv b rui-t hochromoz mu(pi)vpopulaciovelikostinsespo te kop rov nydonov populacesv t pravd podobnost,p i em pravd po- kdefj,j=1;:::;njehodnotakriteri ln funkcej-t hochromoz mu. n sledovn : pi= PNj=1fj; fi Tatovariantajeomezenat m, em emehledatpouzemaximumanav c hodnotytnessfunkcemus b tkladn. 5