..5 Rooměrý oyb Příklay yšší obtížoti Sbírka C - Př...5. Při leoáí rogoé mafie byly oezřelí zamětai oraí firmy. U jeoo z řiičů bylo orau zjištěo řezetí záilky o kurýra Buaešti. Při záau Praze byl šak jeo automobil rázý. Poliité i zali kotoučky o tooto automobilu a otatí tří aut téže firmy a oařilo e jim zjitit, který z řiičů oluraoal e zaržeým řiičem. Při alším záau již byli úěší. Který z řiičů to byl? Kotouček je aíroý kroužek, a který zazameáá eiálí řítroj (taograf) růbě jízy kažéo áklaío automobilu. V otatě je o graf záiloti ryloti a čae. Graf še řiičů jou akreley íže. Všii yjížěli te e z Buaešti a o Pray jeli o tejé trae. [/] 00 oezřelý řiič 80 40 0 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 [/] řiič 00 t[] 80 40 0 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 t[]
[/] 00 řiič 80 40 0 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 [/] řiič 3 00 t[] 80 40 0 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 t[] Fyzikálí rozbor ituae: Muíme zjitit za e ěkterý z řiičů běem ety eetkal oezřelým řiičem a emol o ěj řezít záilku. Zámo růbě rylotí še řiičů, íme, že šii yjížěli ze tejéo míta a jeli o tejé trae. Můžeme tey akrelit o jeoo obrázku grafy čaoý záilotí jeji olo. Poku e ěkteré a grafy etkají e íli, ky oba řiiči tojí, moli i řeat rogu. Řešeí: Nakrelili jme i grafy oloy ro šey řiiče o jeoo obrázku.
[] 500 400 300 00 00 oezřelý řiič řiič řiič řiič 3 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 t[] Z obrázku je iět, že oezřelým řiičem e etkal ouze řiič čílo, a 80 řibližě ůl aáté. Sbírka C - Př...5. Zaáí: Prí čát yklitiké tray toří touáí loué 3, zbylou čát kleáí loué 3. Paloa růměrá rylot a elé trae byla ojáobkem jeo ryloti rí čáti tray, jež byla o 6 meší ež a rué čáti tray. Za jak louo ujel Pael elou trau? Výi zámý eliči: = 3 = 3 t =? Fyzikálí rozbor ituae: Použijeme ztay ro rooměrý oyb ( obou čáte e Pael oyboal řibližě rooměrě) a zta ro růměrou rylot. Vyjeme z too, že elkoý ča, který Pael otřeboal a ujetí tray, můžeme yjářit omoí oučtu čaů, za které ujel jeotlié úeky, i omoí elkoé ráy a růměré ryloti. Řešeí: t = t + t yí bueme ižoat očet ezámý roii. Platí: t =, t = a t = oaíme o ůoí roie. = +. Celkoá ráa je oučtem obou úeků = +, šey ryloti můžeme omoí omíek zaáí yjářit omoí ryloti rím úeku. Platí: = (růměrá rylot a elé trae byla ojáobkem jeo ryloti rí čáti tray) a = + 6 (rylot rí čáti tray byla o 6 meší ež rué čáti tray). Doaíme o roie: + = + + 6
Délky obou úeků záme, roii zbýá oleí ezámá, kterou můžeme yočítat. 3+ 3 3 3 = + + 6 6 3 3 = + + 6 8 3 3 = + / ( + 6) + 6 ( ) ( ) 8 + 6 = 3 + 6 + 3 8 + 8 = 3 + 48 + 3 80 = 8 = 0 / Průměrá rylot = = 0 / = 0 / 6 Ča a elou etu: t = = = 0,8 = 48mi 0 Ooěď: Pael ujel elou trau za 48 miut. Sbírka C - Př...5.3 Zaáí: Auto ujelo záleot 0. Kyby zýšilo ou růměrou rylot o ety by byla o 4 miut kratší. Jak louo auto kutečě jelo? Výi zámý eliči: = 0 =? t =? 0, oba jeo Fyzikálí rozbor ituae: Oět je o rooměrý oyb. Vyjeme ze ztau ro ryloti kutečéo a rylejšío oybu. + 0 = r. Řešeí: + 0 = r yjáříme ryloti omoí ráy a čau r + 0 = t tr 4 Platí: = r (ráa auta je obou říae tejá) a tr = t = t 0,4 (oba ety ři yšší ryloti by byla o 4 miut kratší ča muíme řeét a oiy) Doaíme + 0 = t t 0,4 Délku tray záme, roii zbýá oleí ezámá, kterou můžeme yočítat. 0 0 + 0 = / t ( t 0, 4) t t 0, 4 ( ) ( ) 0 t 0, 4 + 0t t 0, 4 = 0t 0 48 + 0 4 = 0 t t t t
0t 4t 48 = 0 5t t 4 = 0 Najeme kořey karatiké roie: t 4 t = =, 4 = 4 mi 0 0 t = = - emá fyzikálí ýzam 0 Ooěď: Auto ujelo 0 za oiy 4 miut., ( ) ( ) ± 4 5 4 ± = = 5 0 Sbírka C - Př...5.4 Zaáí: Turita těl ujít trau 6 za určitý ča. Vyšel roto otřebou tálou rylotí. Po 4 ůze e šak eláoaě zatail a 0 miut u jezírka, které o zlákala ke kouáí. aby ošel o íle ča muel ak a zbytku tray trou řiat zýšil rylot o 0.5. Jakou rylotí šel a začátku? Výi zámý eliči: = 6 = 4 t = 0 mi = =? 3 Fyzikálí rozbor ituae: Všey oyby bueme oažoat za rooměré. Vyjeme z rooti láoaéo a kutečě otřebéo čau a rojití tray. Řešeí: t = t Doaíme: t = (turita těl rojít trau rooměrě tálou rylotí) a t = t + t + t3 (ča, který tráil turita a ýletě e kláal ze tří čátí ujití rí 4, kouáí u jezírka a ojití zbytku tray). t t t3 = + + Doaíme: t = (rí 4 šel turita láoaou rylotí), t = 3 ( u jezírka e koual 0 miut), t3 = (zbytek tray šel rylotí o 0,5 / yšší ež očátečí úek) + 0,5 = + + oaíme a yočteme rylot 3 + 0,5 6 4 6 4 = + + / 3 ( + 0,5) 3 + 0,5 ( ) ( ) ( ) 6 3 + 0,5 = 4 3 + 0,5 + + 0,5 + 3
48 + 4 = + 6 + + 0,5 + 36 + 0,5 8 = 0 + = 36 0 ( ) ± 4 36 ± 7 Najeme kořey karatiké roie:, = = 4 6 = = 4 / 4 8 = = 4,5 / - záorá rylot emá tomto říaě fyzikálí ýzam 4 Ooěď: Turita těl jít rylotí 4 /. Sbírka C - Př...5.5 Zaáí: Z oačý koů tray loué 336 yjela oučaě ě oobí auta. Setkala e o oiá a 4 miutá jízy. Kyby jeo auto yjelo o 4 miut říe ež auto rué, etkala by e auta urotře elé tray. Vyočítejte ryloti obou aut za řeoklau, že byly tálé. Výi zámý eliči: = 336 t = 4 mi =,4 =? =? Fyzikálí rozbor ituae: Muíme určit ryloti obou aut, tey ě ezámé. Setaíme omoí těto ezámý roie oiujíí fakta ze zaáí. Řešeí: Auta yjeou z oačý koů tray a etkají e o,4 oiy. Zameá to, že za tuto obu oromay urazí elou trau. = + = t + t Po oazeí číelý oot: 336 =, 4 +, 4 Kyby jeo auto yjelo o 4 miut říe ež auto rué, etkala by e auta urotře elé tray. Pomalejší auto ujee 68 za obu o 4 miut (0,7 oi) elší ež rylejší auto. t = t + 0,7 = + 0,7 68 68 = + 0,7 Máme outau ou roi z rí roie yjáříme jeu z rylotí a oaíme o rué. 336 =, 4 +, 4,4 = 336,4
= 40 68 68 = + 0,7 / 40 40 ( ) ( ) ( ) 68 = 68 40 + 0, 7 40 68 = 350 68 + 98 0, 7 0, 7 + 38 350 = 0 ( ) ± ± Najeme kořey karatiké roie:, = = 0,7,4 = = 80 /, 4 588 = = 40 / - záorá rylot emá tomto říaě fyzikálí ýzam, 4 = 40 = 40 80 / = / 38 38 4 0, 7 350 38 350 Ooěď: Auta jela rylotí / a 80 /. Sbírka C - Př...5.6 Zaáí: Z měta M o měta N yjel 6 oi ráo yklita. Po 0 miutá e za ím yal tejou rylotí ruý yklita. Coe, který šel z N o M, ykročil 6.40. Po 9 miutá otkal río yklitu a 8 miut a to ruéo yklitu. Vzáleot obou mět je 30. Určete tálé ryloti yklitů a oe. Výi zámý eliči: = 30 =? =? Fyzikálí rozbor ituae: Z úajů zaáí můžeme zjitit oby, o které e yklité i oe oyboali ře etkáími. Při kažém latí, že yklita oem e íli etkáí urazili ráě 30. Řešeí: Setkáí oe rím yklitou. Cyklita e oybuje 49 miut (40 miut ež yje oe a ak 9 miut ež jej otkal), oe 9 miut, oromay ušli 30. 49 9 + = 30 Setkáí oe ruým yklitou. Cyklita e oybuje 47 miut (0 miut ež yje oe a ak 7 miut ež jej otkal), oe 7 miut, oromay ušli 30. 47 7 + = 30 Vyřešíme outau roi: 49 + 9 = 800 47 + 7 = 800
Z rí roie oaíme o rué: 49 47 + 7 00 = 800 9 47 + 5400 47 = 800 800 49 49 = = 00 9 9 00 = 30 = 36 / Doočteme rylot oe: 49 49 = 00 = 00 36 / = 00 96 / = 4 / 9 9 Ooěď: Cyklité jeli rylotí 36 /, oe šel rylotí 4 /. Sbírka C - Př...5.7 Zaáí: Kůli oruše a emaforu ztratil lak a trati za Brem 6 miut táím. Toto zožěí zlikioal tak, že o rozjezu jel úek louý 80 rylotí o 0 ětší. ež měl láu. Jaká rylot to byla a jaká měla být? Výi zámý eliči: = 80 =? Fyzikálí rozbor ituae: Vlak e oybuje rooměrě. Roií zaíšeme zta mezi láoaým čaem a čaem, kterým lak rojel, trau 80. Řešeí: Pláoaý ča byl o 6 miut elší ež ča, za který lak trau orau rojel (aby lak ojel ztrátu). 6 t = t + 80 80 Doaíme za oba čay: t =, t =. 80 80 4 = + 5 Doaíme = + 0 (lak je o 0 / ryleji ež láoal) 80 80 4 = + + 0 5 V roii je jeiá ezámá, jejím yřešeím zjitím láoaou rylot laku. 80 80 4 5 ( + 0) = + / + 0 5 4
( + ) = + ( + ) 300 0 300 0 + = + + 300 3000 300 0 + 0 3000 = 0 ( ) 0 ± 0 4 3000 0 ± 0 Najeme kořey karatiké roie:, = = 00 = = 50 / 0 = = / - záorá rylot emá tomto říaě fyzikálí ýzam Vyočteme kutečou rylot = + 0 = 50 + 0 / = / Ooěď: Vlak měl jet rylotí 50 /, ale jel rylotí /. Sbírka C - Př...5.8 Zaáí: Ceta z A o B louá,5 ejříe touá zůru, ak íli ee o roiě a akoe kleá olů. Coe ušel elou etu z A o B za oiy a 54 miut, etu zět za 3 oiy a 6 miut. V obou měre šel o koe tálou rylotí 3 o roiě 4 a z koe rylotí 5. Vyočti élku touáí a élku kleáí a etě z A o B. Výi zámý eliči: = 3/ = 4 / = 5/ =,5 t = 54mi =,9 r t = 3 6mi = 3, =? =? AB Fyzikálí rozbor ituae: Doba, kterou ůje oe z A o B je oučtem ob, o které je o koe, ak o roiě, a akoe z koe. Ryloti e še těto úeí záme. Poobě můžeme aat roii ro etu zět. Obeé řešeí: Ceta z A o B t = t + t + t t AB r r AB = + + Délku roéo úeku můžeme určit omoí élky elé ety r = r a oaíme o roie ooty: tab = + + r,5,9 = + + 3 4 5 Ceta z B o A t = t + t + t BA r AB
t r AB = + + (Úeky roázíme obráeém ořaí) r Délku roéo úeku určíme omoí élky elé ety r = a oaíme o roie ooty: tba = + + r,5 3, = + + 3 4 5 Teď řešíme outau roi:,5,9 = + + / 3 4 5 3 4 5,5 3, = + + / 3 4 5 3 4 5 ( ) ( ) 74 = 0 + 5,5 + 86 = 0 + 5,5 + 74 = 0 + 7,5 5 5 + 86 = 0 + 7, 5 5 5 +,5 = 3 + 5 / 5 3,5 = 5 3 / 3 7,5 = 5 + 5 40,5 = 5 9 48 = 6 = 3 Doočteme úek měřujíí olů: 7,5 = 5 + 5 5 = 5 7, 5 = 5 3 7,5 = 67,5 = 4,5 Ooěď: Stouáí a etě z A o B má élku 3, kleáí ak élku 4,5.