Interval spolehlivosti pro podíl

Transkript

1 Iterval polehlivoti pro podíl Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této áhodé veličiy. Výběr dotaovaých jedotek muí být eávilý. Jetliže výběr opakujeme dotaeme jié odpovědi. Abtraktě le defiovat áhodý výběr jako upořádaou -tici (vektor) áhodých veliči. De f i i c e Náhodý výběr [... ] je vektor eávilých a tejě roděleých áhodých veliči. roah výběru Kokrétí hodoty realiace áhodého výběru

2 Bodový odhad parametru arametry ákladího ouboru (populace) rep. parametry roděleí Výběrové charakteritiky Základí oubor (populace) tředí hodota µ roptyl měrodatá odchylka pravděpodobot rel. četot π Výběrový oubor (výběr) průměr výběrový roptyl výběrová měr. odchylka relativíčetot p i p " ylů e emůže mýlit." (Záko velkých číel) Beroulliho áko velkých číel Relativíčetot ledovaého jevu v poloupoti eávilých pokuů koverguje podle pravděpodoboti k pravděpodoboti ledovaého jevu rote-li počet pokuů ade všechy mee S lim p > ε 0 Chiči iův áko velkých číel Aritmetický průměr eávilých výběrů e tejého roděleí koverguje podle pravděpodoboti ke tředí hodotě. lim i i µ > ε 0

3 Vlatoti dobrého odhadu Netraot (evychýleot ekreleot) tředí hodota tatitiky je rova odhadovaému parametru Aymptoticky etraý odhad ři rotoucím roahu výběru e vychýleí mešuje Koitece koverguje podle pravděpodoboti k odhadovaému parametru. S rotoucím roahem výběru kleá pravděpodobot že e použitá tatitika bude od odhadovaého parametru výamě lišit. Vydatot (eficiece). O tatitice která má e všech etraých odhadů ejmeší roptyl říkáme že je vydatým (ejlepším) etraým odhadem Maximálě věrohodý odhad parametru t je maximem věrohodotí fukce f(xt) kde f(x) je hutota proměé x. Urče eí přeoti odhadu 6 ± řeot měřeí (poor a počet platýchčílic) růměr + SD. (měrodatá odchylka) růměr a mee toleračího itervalu růměr + SEM (tadard error of mea ) ifo o vydatoti odhadu průměru SEM / růměr a mee itervalu polehlivoti 3

4 Itervalový ý odhad parametru Itervalový odhad íkáme bodového odhadu a adáím pravděpodoboti (koeficietu polehlivoti) jakou parametr leží v tomto itervalu. Většiou počítáme 95% ebo 99 % itervaly polehlivoti (CI -cofidece iterval). Čím větší je koeficiet polehlivoti tím větší je i délka itervalu Cetrál lí limití věta Údaje které jou ovlivňováy velkým počtem malých a a obě eávilých efektů budou roděley přibližě ormálě Čím větší je roah výběru tím více e roděleí průměrů blíží ormálímu roděleí 4

5 Cetrál lí limití věta Lévyho-Lidebergova věta. okud je áhodá veličia oučtem vájemě eávilých áhodých veliči e hodým roděleím libovolého typu koečou tředí hodotou µ a koečým roptylem pak pro ormovaou áhodou veličiu µ U platí vtah lim U ( u) Φ( u) kde Φ(u) je ditribučí fukce ormovaého ormálího roděleí N(0). ř: Doba živototi auta má expoeciálí roděleí parametrem (/5). otom ormovaý tvar průměru dob živototi eávile vyráběých aut 5 U 5 je možé aproximovat ormálím roděleím N(0) Cetrál lí limití věta 5

6 Kotrukce itervalových odhadů Zvolíme vhodou výběrovou charakteritiku jejíž roděleí áme T() 00(-)% hladia polehlivoti - hladia výamoti (volíme 005; 00) Jedotraé Levotraé ( ; x ); ( T( ) x ) ravotraé ( x ) ; ( T ( ) > ) ; x Dvoutraé Kotrukce itervalových odhadů Zvolíme vhodou výběrovou charakteritiku jejíž roděleí áme (tetová tatitika) T() ( T ( ) x ) T ( ) x x T ( ) x 6

7 7 Itervalových odhad pro t Itervalových odhad pro třed edí hodotu hodotu Dvoutraé Zvolíme vhodou výběrovou charakteritiku jejíž roděleí áme (tetová tatitika) Z() ( ) ( ) ) ( Z T µ µ + ) ( T Z µ ) ( Itervalový odhad t Itervalový odhad třed edí hodoty hodoty ředpoklady Normálí roděleí ebo velký roah výběru Neámý roptyl (pokud roptyl áme ahradíme kvatily t- roděleí kvatily ormálího roděleí) + + ; je polehlivoti iterval t t t t µ (-).00% iterval polehlivoti v Excelu 003 NORMSINV(alfa/) kvatil ormálího roděleí TINV(alfa; -) kvatil tudetova roděleí 95% iterval polehlivoti v Excelu 003 NORMSINV(005) kvatil ormálího roděleí TINV(005; -) kvatil tudetova roděleí

8 8

9 Itervalový odhad třed edí hodoty říklad V průběhu jedoho roku byl áhodě jišťová počet cetujících ve vlacích a trae raha Olomouc. Ze 30 hodot byl vypočteý průměr 450 a měrodatá odchylka 30. Určete 99% iterval polehlivoti. iterval polehlivoti t 30 t 30 je 0005; ( ; ) (434;465) t ; + t Můžeme tedy pravděpodobotí 95% říci že tředí hodota počtu cetujících je mei 434 a 465. Roah výběru pro odhad třed edí hodoty Záme měrodatou odchylku IS ; + Roah výběru pro 00(-)% IS pro µ e adaou chybou µ: µ µ ř: Určete roah výběru utý k tomu aby byla odhaduta 95 % polehlivotí hledaá tředí hodota IQ tudetůčvut příputou chybou 5 bodů iteligečí tupice

10 Jedovýběrový -tet o třed edí hodotě H0: µµ 0 při ámém roptylu (dvoutraý tet) Tetová tatitika µ 0 Z( ) N(0) H0 amítáme a hladiě výamoti jetliže hodota parametru daá ulovou hypotéou epade do (-)00% itervalu polehlivoti pro tetovaý parametr. Obor přijetí: -hodota: *MIN( ZTEST(arrayx[igma]) -ZTEST(arrayx[igma]) ) mi( ( Z c ) ( Z c )) Jedovýběrový -tet o třed edí hodotě H0: µ µ 0 při ámém roptylu (levotraý tet) Obor přijetí : ( ) H0: µ > µ 0 při ámém roptylu (pravotraý tet) Obor přijetí : ( ) -hodota ( Z ) 0 ( Z ) 0 -hodota pro H0: µ µ0 : ( ZTEST(arrayx[igma]) 0

11 Jedovýb Jedovýběrový rový Z-tet tet Itervalový odhad roptylu Itervalový odhad roptylu ředpoklady Normálí roděleí ; je polehlivoti iterval χ χ χ χ (-)00% iterval polehlivoti v Excelu CHIINV(alfa/-) CHIINV(-alfa/-) 95% iterval polehlivoti v Excelu 003 CHIINV(005-) CHIINV(0975-)

12 Itervalový odhad podílu ředpoklady očet výkytu hledaého aku je alepoň 5 kde p ( p) p ( p) p ; p + je kvatil ormovaého ormálího roděleí. Roah výběru pro příputou chybu odhadu p. p / ( p) 95% iterval polehlivoti v Excelu 003 NORMSINV(0975) p kvatil ormálího roděleí DU: Roah výběru pro podíl p / ( p) p Kolikrát muíme opakovat hod micí abychom 95% pravděpodobotí dotali výledek relativíčetoti v itervalu (04; 06). [96 pokuů] Během pátečího odpolede byla aměřea doba čekáí a metro ve taici Dejvická (txt údaje v ekudách). Tetujte da je průměrá doba čekáí větší ež miuty. [H0: µ mi -hodota. 0-6 ]