FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření:.. 00 Úloha 4: Balmerova série vodíku Jméno: Jiří Slabý Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek:. ročník,. kroužek, pondělí 3:30 Spolupracovala: Eliška Greplová Hodnocení: Abstrakt Cílem úlohy bylo proměřit spektra různých výbojek. Nejdříve jsme určili lámavý úhel hranolu metodou dělených svazků. Následně jsme zjistili závislost indexu lomu hranolu n na vlnové délce λ pomocí spektrálních čar rtuťové výbojky. Změřili jsme první tři spektrální čáry Balmerovy série atomu vodíku, určené vlnové délky souhlasí s tabulovými hodnotami. Ověřili jsme platnost známého Rydbergova vztahu a určili jsme Rydbergovu konstantu, která taktéž souhlasí s tabulkovou hodnotou. Ve spektru sodíkové výbojky jsme určili střední hodnotu vzdálenosti čar ve žlutém dubletu, opět ve shodě s tabulkovou hodnotou. Úvod Zákonitosti spektrálního vyzařování látek byly na přelomu 9. a 0. století jedním z tzv. obláčků, které ještě zbývalo vyřešit a zkompletovat a uzavřít tak fyzikální poznání []. Jednou z nezodpovězených podotázek se zabýval švýcarský matematik Johann Jacob Balmer. Vlnové délky spektrálních čár vodíkové výbojky byly v podivné posloupnosti dané poměry celých čísel. Mezi Balmerovy záliby patřila také numerologie, a tak se znovu na světlo světa vrátily pythagorejské a keplerovské myšlenky, které v celých číslech hledaly řád světa. Po značné námaze však dospěl k formuli, která danou závislost vyjadřovala. Dnes ji nazýváme Rydbergovým vzorcem. Švédský fyzik Johann Robert Rydberg se věnoval rozložení čar ve spektrech jiných prvků. My se pokusíme změřit části spekter tří prvků rtuti, vodíku a sodíku. Použijeme pro tento účel spektrometr složený z hranolu a goniometru. Pomocí tabulkových hodnot vlnových délek ve spektru rtuti a změřením příslušejících indexů lomu určíme závislost indexu lomu hranolu na vlnové délce. Pomocí tohoto vztahu pak určíme vlnové délky čar v Balmerově sérii atomu vodíku. Následně se pokusíme rozlišit žlutý dublet v sodíkovém spektru.. Pracovní úkoly. (Nepovinné) V přípravě nalezněte obecně pro α α podmínku nejmenší deviace α = α a z toho odvoďte vzorec (7). Návod: Uvědomte si, že že deviace ε se složenou funkcí α : ε = ε(α (β (β (α )))). V přípravě odvoďte vzorec (7) v případě, že je splněna podmínka úhlu nejmenší deviace. 3. V přípravě vypočtěte (i numericky) hodnotu Rydbergovy konstanty (tj. odvoďte vztah (6) ze vztahů (), (5), (3) a (4)). 4. V přípravě odvoďte vzorce (9), (). 5. Metodou dělených svazků viz [] změřte lámavý úhel hranolu. Měření proveďte pětkrát. 6. Změřte index lomu hranolu v závislosti na vlnové délce pro čáry rtuťového spektra, nakreslete graf a fitováním nelineární funkcí (8) určete disperzní vztah n = n(λ). Fitovací program kromě hodnot parametrů funkce (8) vypočte i hodnoty chyb těchto parametrů a korelační matici. Poznamenejte si tyto hodnoty. 7. Změřte spektrum vodíkové výbojky (Balmerovu sérii atomu vodíku) a ověřte platnost vztahu (). 8. Metodou nejmenších čtverců nebo fitováním spočtěte Rydbergovu konstantu pro atomární vodík. Výpočet té konstanty je analogický jako výpočet Planckovy konstanty v úloze Studium rentgenového spektra Mo anody. Podívejte se na úkol č. 4 této úlohy. 9. Určete charakteristickou disperzi dn Úhly odpovídají obr.. v okolí vlnové délky 589 nm (žluté čáry v sodíkovém spektru).
0. Určete rozlišovací schopnost hranolu pro sodíkový dublet a vypočítejte minimální velikost základny hranolu, vyrobeného ze stejného materiálu jako hranol, se kterým měříte, který je ještě schopen rozlišit sodíkový dublet. Základní pojmy a experimentální uspořádání Pomůcky: Goniometr S Go., štěrbina, kolimátorový nitkový kříž, hranol, rtuťová, sodíková a vodíková výbojka, návody.. Bohrův model atomu Bohrův model atomu je založen na těchto myšlenkách. Atomy a atomové soustavy mohou setrvávat delší dobu pouze v určitých stavech (tzv. stacionárních), ve kterých bez závislosti na pohybu nevyzařují ani nepohlcují energii. Energetické spektrum těchto stavů je diskrétní. Při přechodech mezi těmito stacionárními stavy dochází k pohlcení či vyzáření energie ve formě fotonu. Při přechodu z m-té hládniny do n-té je vyzářen foton o energii E = hν = E m E n, kde h je Planckova konstanta, ν kmitočet, E m, E n energie příslušných stavů. Pro vlnočet λ fotonu vyzářeného při přechodu mezi dvěma slupkami vodíkového atomu dále platí λ = R ( n kde λ je vlnová délka, R je Rydbergova konstanta, n a m jsou kvantová čísla energetických hladin. Ve spektru viditelného záření emitovaného vodíkovým atomem se nachází čtyři přechody a to při n = a m {3; 4; 5; 6}. Tato série přechodů je nazývána Balmerovou. Známe i další série přechodů pro různá n (např. Lymanova, Paschenova, Brackettova, Pfundova). Ze vzorce () pak dostáváme vztah pro energii n-té hladiny m ) E n = hc λ = R hc () n kde c je velikost rychlosti světla ve vakuu. Definujme de Broglieho vlnovou délku částice λ o velikosti hybnosti p (hmotnosti m a velikosti rychlosti v) jako λ = h p = h mv kde h je Planckova konstanta. Předpokládáme, že elektronová orbita o poloměru r stabilní n-té hladiny má délku kvantovanou jako πr = nλ. Z posledních dvou rovic dostáváme Bohrovu kvantovací podmínku πm e v r = nh kde m e je hmotnost elektronu, v velikost jeho rychlosti, r poloměr orbity, h Planckova konstanta, n přirozené číslo. Použitím této podmínky, podmínky rovnováhy síly coulombické s dostředivou a zákona zachování energie dostaneme vztahy v = e nhε 0 (3) r = n h ε 0 πm e e (4) E = m er ω a porovnáním poslední rovnice se vztahem () dostáváme e 4πεr () (5) R = m ee 4 8ε 0 h3 c (6) kde m e je hmotnost elektronu, e velikost elementárního náboje, ε o permitivita vakua, h Planckova konstanta, c velikost rychlosti světla ve vakuu.
. Měření energetických hladin Měření energetických hladin se provádí spektrometrem. V našem případě se jedná o hranol, který rozkládá přicházející světlo do různých úhlů a goniometr, což je přístroj na přesné měření úhlů. Jako zdroj záření budeme používat výbojky různých typů: rtuťovou výbojku, výbojku naplněnou vodními parami a nakonec sodíkovou výbojku. Ve vodíkové výbojce dochází k rozkladu vody (vodní páry) na excitovaný atomární vodík, který se deexcituje za vyzařování charakteristického záření. My budeme měřit první čtyři spektrální čáry Balmerovy série, tj. čáry ve viditelném spektru. Hranol je pro záření disperzní prostředí (index lomu n závisí na vlnové délce λ procházejícího záření), a proto dochází k rozkladu světla na spektrum oddělí se tedy jednotlivé složky podle barev (tj. energií). Takže měření energie (vlnové délky) vlastně převedeme na měření úhlu, pod kterým se ta daná monochromatická složka záření zlomila po průchodu hranolem. Hlavní části goniometru jsou kolimátor, dalekohled s mikroskopem, dělený kruh a otočný stolek. Kolimátor vytváří rovnoběžný svazek paprsků. O odečítání pomocí mikroskopu ze stupnice děleného kruhu viz [3]..3 Lom světla hranolem Deviací nazveme úhel mezi paprskem vstupujícím a vystupujícím z hranolu tj. Paprsek dopadá na lámavou stěnu hranolu pod úhlem α a láme se pod úhlem β. Úhel dopadu na protější stěně označíme β a úhel lomu do vnějšího prostředí α viz obr.. Lze dokázat, že deviace ε je minimální (označme ji ε 0 ), když je paprsek kolmý k ose lámavého úhlu φ. Vztah mezi ε 0 a indexem lomu n je sin ( ε0+φ sin φ ) = n (7) Definujme úhlovou disperzi. Když hranolem procházejí v úzké spektrální oblasti paprsky o různých vlnových délkách, pak jejich odchylka od původního směru ε je funkcí vlnové délky λ. Úhlová disperze je tedy definována vztahem dε. Naproti tomu definujem charakteristickou disperzi dn. Závislost indexu lomu na vlnové délce n = n(λ) se obvykle aproximuje n(λ) = n n + C (8) λ λ n kde n n, C, λ n jsou konstanty. Poderivujeme-li (7) dostáváme po úpravě vztah dε 0 = sin φ n sin φ dn (9) Rozlišovací schopnost hranolu je omezena ohybovými jevy. Obvykle se definuje veličina R = kde λ je minimální diference vlnových délek, jaké mohou být ještě hranolem rozlišeny. Použijeme Rayleighovo kritérium, které pro minimální vzdálenost γ rozlišitelných paprsků procházejících otvorem průměru D říká λ λ (0) γ = λ D Z geometrie na obr. určíme, že tedy adn = λ a dostáváme ( π ) sin α = D a sin φ D = n sin φ sin φ R = a dn () 3
Obr. : K odvození lomu světla hranolem, založeno na [5] Obr. : K odvození rozlišení spektrometru 4
.4 Měření lámavého úhlu hranolu metodou dělených svazků Goniometr se musí před měřením najustovat. Justaci provádí asistent, podrobně viz [3]. Pak již můžeme začít se samotným měřením. Do kolimátoru vložíme objímku se žárovkou a nitkovým křížem. Na kruhový stolek postavíme hranol. Vybereme si jednu lámavou hranu a dále už nebudeme s postavením hranolu na stolku hýbat. Stolkem pootočíme tak, aby hranol byl umístěn lámavou hranou u níž měříme úhel φ čelem ke kolimátoru. Rovnoběžný svazek se pak odráží od stěn hranolu a tyto odražené svazky svírají úhel φ. Proto platí φ = d d.5 Měření indexu lomu pro spektrální čáru Do kolimátoru vložíme objímku se štěrbinou. Velikostí štěrbiny budeme korigovat intenzitu zdroje. Před štěrbinu umístíme výbojku. Podstata našeho měření je v hledání úhlu nejmenší deviace ε 0. Pak platí vztah (7). V dalekohledu najdeme spektrální čáru a sledujeme, kdy se při otáčení se stolkem přestane čára pohybovat a začne se vracet zpátky. V bodu obratu je právě úhel nejmenší deviace ε 0. Pro každou čáru musíme nalézt nové ε 0. Poté zaznamenáme úhel na goniometru d. Změříme nejdříve pro všechny spektrální čáry na jedné straně. Pak sestavu zrcadlově obrátíme (stolek otáčíme, na hranol nesaháme, změnili bychom úhel), zopakujeme hledání ε 0 a naměřime úhly d. Ze vzorce ε 0 = d d určíme ε 0, které následně dosadíme do vzorce (7) a obdržíme index lomu n pro danou spektrální čáru. Vlnovou délku λ pro jednotlivé spektrální čáry buď nalezneme v literatuře, viz např. [], nebo jsou u úlohy přiloženy přímo v souboru balmer.xls, popřípadě pokud již máme vztah (8), můžeme z něj λ vyjádřit a změřené n do něj dosadit. 3 Výsledky 3. Měření lámavého úhlu hranolu metodou dělených svazků Lámavý úhel hranolu jsme určili jako φ = (60 5 38 ± ). Naměřená data jsou uvedena v tab.. d [ ] d [ ] φ [ ] 33 00 53 40 60 05 0 30 50 00 5 0 40 60 05 50 43 44 54 63 56 30 60 05 48 4 37 30 6 49 00 60 05 45 39 57 36 60 08 30 60 05 7 Tab. : Měření lámavého úhlu hranolu metodou dělených svazků d a d úhly, pod kterými vidíme odražené paprsky, φ je lámavý úhel 3. Měření spektra rtuti Ze spektra rtuťové výbojky jsme změřili 7 spektrálních čar. Data jsou uvedena v tab.. Následně jsme vytvořili graf závislosti indexu lomu n na vlnové délce λ viz obr. 3. Při nafitování funkcí tvaru (8) jsme získali n(λ) =, 7045 + 8, 9 λ 0, () pro λ v nm. Pro parametry jsme z gnuplotu dostali i standardní chyby jednotlivých parametrů a korelační matici. Hodnoty parametrů jsou n n = (, 7045 ± 0, 0006), C = (8, 9 ± 0, 3) nm, λ n = (0 ± ) nm, mimodiagonální prvky korelační matice (zachováme značení [4]) ρ nnc = 0, 995, ρ nnλ n = 0, 983, ρ Cλn = 0, 996. Tyto parametry nám následně umožní (při použití kalibrační křivky () u výpočtu vlnové délky z indexu lomu při měření Balmerovy série) určit chybu. 5
barva λ t [nm] d [ ] d [ ] ε 0 [ ] n [ ] červená 63,44 40 6 0 65 09 50 6 6 45,753 žlutá 579,07 39 35 30 65 50 30 63 07 30,7570 žlutá 577,96 39 3 44 65 5 30 63 09 53,7573 zelená 547,07 38 56 36 66 9 0 63 46 7,76 zelenomodrá 49,6 37 30 0 67 55 34 65 37,7739 modrofialová 435,83 35 6 70 3 5 67 30 43,790 fialová 404,66 33 5 7 0 30 69 7 39,8068 Tab. : Měření spektra rtuti λ t tabulková vlnová délka vlnová délka [], d a d jsou úhly, pod kterými vidíme paprsky po průchodu hranolem, ε 0 úhel minimální deviace, n index lomu,8,80 n [ ],79,78,77,76,75 n(λ) =, 7045 + 8,9 λ 0,,74 400 450 500 550 600 650 λ [nm] Obr. 3: Závislost indexu lomu n na vlnové délce λ při měření spektra rtuti 3.3 Měření spektra vodíkové výbojky Balmerovy série Před štěrbinu jsme umístili výbojku naplněnou vodními parami a změřili jsme část jejího spektra. Podařilo se nám změřit tři spektrální čáry Balmerovy série. Data jsou uvedena v tab. 3. Uvedeme zde ještě vlnové délky na větší počet desetinných míst než je přesnost měření čistě z důvodu následné diskuze červená: 654,9 nm; modrá: 485,5 nm; fialová: 434,04 nm. Následně jsme vytvořili graf závislosti vlnočtu λ na m viz obr. 4, což odpovídá funkci (). Nafitováním jsme tedy obdrželi hodnotu Rydbergovy konstanty R = ( 09 ± 4) 0 4 m. Tabulková hodnota odvozená jako vztah (6) R = 0 973 73 m. barva λ t [nm] d [ ] d [ ] ε 0 [ ] n [ ] λ [nm] σ [nm] m [ ] λ 0 3 [m ] červená 656,7 40 40 34 64 45 34 6 0 30,7479 655 6 0, 57 modra 486,3 37 5 48 68 06 00 65 5 06,7756 485 9 0,06 060 fialova 434,05 35 06 44 70 9 06 67 36,797 434 7 0,04 304 Tab. 3: Měření Balmerovy série vodíku λ t tabulková vlnová délka vlnová délka [], d a d jsou úhly, pod kterými vidíme paprsky po průchodu hranolem, ε 0 úhel minimální deviace, n index lomu, λ dopočítaná vlnová délka, σ směrodatná odchylka měření vlnové délky, m kvantové číslo vyšší energetické hladiny 6
3,0,5 ( ) λ =, 09 07 4 m λ 0 6 [m ],0,5,0 0,5 0 0 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 0, 0,4 m [ ] Obr. 4: Ověřování Rydbergova vzorce a měření Rydbergovy konstanty při měření Balmerovy série vodíku λ je vlnočet, m kvadrát převrácené hodnoty čísla kvantového stavu 3.4 Měření sodíkového dubletu Charakteristická disperze v okolí vlnové délky 589 nm se určí derivováním vztahu () podle λ což je dn (λ) = 8, 9 (λ 0, ) dn (589) = 8, 9 (589 0, ) nm = 0, 39 0 3 nm. Rozlišovací schopnost hranolu pro sodíkový dublet musí být dle (0) R > λ λ = 589 0, 6 = 98 Tudíž hranol z materiálu jako je ten náš by musel mít základnu dlouhou a = R dn = 98, 39 0 5 m = 7, mm. Náš hranol je větší tudíž jím lze sodíkový dublet rozlišit. Naměřená data jsou v tab. 4. Opět z diskuzních důvodů uvádíme nazaokrouhlené hodnoty výsledných vlnových délek žlutá : 590, nm; žlutá : 589,5 nm. barva λ t [nm] d [ ] d [ ] ε 0 [ ] n [ ] λ [nm] σ [nm] žlutá 589,59 39 46 4 65 40 4 6 57 00,7555 590 3 žlutá 588,99 39 45 40 65 40 54 6 57 37,7556 590 3 Tab. 4: Měření sodíkového dubletu λ t tabulková vlnová délka vlnová délka [], d a d jsou úhly, pod kterými vidíme paprsky po průchodu hranolem, ε 0 úhel minimální deviace, n index lomu, λ dopočítaná vlnová délka, σ směrodatná odchylka měření vlnové délky 7
4 Diskuze 4. Měření lámavého úhlu hranolu Lámavý úhel jsme určili φ = (60 5 38 ± ), tedy s dostačující přesností, neboť úhel, který jsme ustanovili jako vyhovující, mohl být o několik úhlových vteřin nalevo či napravo a na pozici kontrolního nitkového kříže by to nemělo větší vliv. 4. Měření spektra rtuti Změřili jsme indexy lomu hranolu pro jednotlivé monochromatické části spektra rtuti. Pro každou čáru jsme vzali odpovídající tabulkovou hodnotu vlnové délky a vynesli závislost do grafu. Předpokládaná závislost po nafitování výborně koresponduje s našimi daty. Všechny spektrální čáry byly velmi dobře viditelné, dokonce jsme viděli i další slabší čáry, avšak z úsporných důvodů jsme je nepřeměřovali. Z obr. 3 můžeme usoudit, že to ani nebylo nutné, neboť by se pravděpodobně pouze dosáhlo větší přesnosti parametrů, avšak hodnoty parametrů by se výrazněji nezměnily. 4.3 Měření spektra vodíkové výbojky Balmerovy série Pro vodíkovou výbojku jsme změřili první tři spektrální čáry Balmerovy série. První dvě (tj. červená a modrá) byly velmi dobře viditelné, avšak fialová i s rozšířenou štěrbinou byla vidět velmi slabě. Druhou fialou spektrální čáru jsme již neznamenali, ačkoliv by měla být stále ve viditelném spektru. Dopočítali jsme z fitu () hodnoty vlnových délek jednotlivých spektrálních čar. Chyba jednotlivých měření je poměrně velká, řádově deset nanometrů. Změřená střední hodnota je však v nejhorším případě o necelé nm od tabulkové hodnoty, v dalších dvou případech se jedná o 0,5 nm či dokonce jen 0,0 nm. To je změřený výsledek ale pouze v případě, že opomíjíme zmíněnou chybu! Vynesli jsme tedy tyto tři naměřené hodnoty do grafu a proložili předpokládanou Rydbergovou závislostí. Je nutno podotknout, že jsme měli pouze tři hodnoty s poměrně velkými chybami a ty jsme se snažili nějakým způsobem zpracovat. Fitovat přímku podle tří bodů je ale velmi nepřesné, protože záleží velmi mnoho na každé hodnotě. Chyba, kterou nám poskytl gnuplot k parametru R je ale velmi malá R = ( 09 ± 4) 0 4 m a bohužel nevíme, jak dobře vyhodnocuje z přesností zadaných třech hodnot přesnost fitovaného parametru. Jinak ale můžeme říci, že nafitovaná závislost prokládá naše hodnoty, a tudíž můžeme potvrdit platnost Rydbergova vztahu (), neboť i Rydbergova konstanta je velmi blízko své tabulkové hodnotě, ačkoliv tabulková hodnota nespadá do chybového intervalu. 4.4 Měření sodíkového dubletu Sodíkový dublet jsme naším hranolem rozlišili, museli jsme ale velmi zúžit štěrbinu, neboť jinak byla intenzita tak veliká, že rozdíl mezi oběma čarami nebyl okem znatelný a čáry splynuly v jednu. Hranol by v ideálním případě dokonce mohl býti výrazně tenčí. Vzdálenost dvou žlutých čar v sodíkovém spektru jsme změřili stejně jako je to uváděno v tabulkách tj. 0,6 nm (alespoň co se týče zjištěných středních hodnot, neboť opět je zde velká chyba!). 5 Závěr Nejdříve jsme změřili lámavý úhel hranolu a to jako φ = (60 5 38 ± ). Hranolem s touto lámavou hranou jsme proměřovali spektra rtuťové, vodíkové a sodíkové výbojky. Pro hranol jsme zjistili disperzní vztah tj. závislost indexu lomu n na vlnové délce λ procházejícího záření n(λ) =, 7045 + 8,9 λ 0, pro λ v nm, a to při měření spektra rtuti. Pro vodíkovou výbojku jsme proměřili Balmerovu sérii, přičemž jsme zaznamenali pouze první tři spektrální čáry. Dopočítané ( vlnové) délky se shodují s tabulkovými hodnotami. Ověřili jsme také platnost Rydbergova vztahu λ = R m a určili v něm Rydbergovu konstantu R = ( 09 ± 4) 0 4 m. n Charakteristickou disperzi v okolí sodíkového dubletu jsme určili dn (589) = 0, 39 0 3 nm. Rozlišovací schopnost hranolu musí být pro rozlišení dubletu R > 98, a tudíž hranol by mohl mít základnu dlouhou pouze a = 7, mm. My jsme měli hranol větší, a tak nebyl problém určit vzdálenost čar v sodíkovém dubletu, která se shoduje s tabulkovou hodnotou. 8
6 Literatura [] ŠTOLL, I., Dějiny fyziky,.vyd., Praha, 584 s, Prometheus, 009 [] KÖPPEN J., Spectra of Gas Discharges, [cit. 00-0-3], URL: http://astro.u-strasbg.fr/ koppen/discharge/index.html [3] Kolektiv katedry fyziky, Úlohy fyzikálních praktik návod ke goniometru S Go., [cit. 00-0-3], URL: http://fyzport.fjfi.cvut.cz/hardware/goniometr/goniometr.pdf [4] Kolektiv katedry fyziky, Úlohy fyzikálních praktik BALMEROVA SÉRIE, [cit. 00-0-3], URL: http://praktika.fjfi.cvut.cz/balmer/balmer.pdf [5] PAJS, Lom světla hranolem, [cit. 00-0-4], URL: http://cs.wikipedia.org/wiki/soubor:lom_hranol.svg 9