Učební text k přednášce UFY008

Transkript

1 Lom hranolem lámavé stěny lámavá hrana lámavý úhel ϕ deviace δ úhel, o který je po výstupu z hranolu vychýlen světelný paprsek ležící v rovině kolmé k lámavé hraně (v tzv. hlavním řezu hranolu), který se láma na obou lámavých stěnách Obr. LH. Hlavní řez lámavého hranolu. Z obrázku je zřejmé, že platí δ + ϕ () ϕ β + β () čili δ + ) ( β + ) (3) ( β Zákon lomu pro první a druhé rozhraní sin nsin β (4a) sin nsin β (4b) Aby světlo hranolem vůbec prošlo, musí být úhel dopadu na druhé rozhraní β menší než mezní úhel β, tj. z (4b) a () plyne sin β n sin( ϕ β ) < sin β a tedy β > ϕ β. Ze (4a) potom vyplyne podmínka pro úhel dopadu na rozhraní Z nerovnosti sin sin0 nsin( ϕ β )

2 nsin( ϕ β ) sin( ϕ β ) sin β n vyplývá omezující podmínka pro lámavý úhel ϕ β (5) a ze vztahu sin sin0 nsin( ϕ β ) dostáváme omezující podmínku pro úhel dopadu na první rozhraní arcsin( nsin( ϕ β )) (6) 0 Protože lámavý úhel hranolu musí být menší než dvojnásobek mezního úhlu, dopadající a prošlé paprsky jsou charakterizovány následujícími podmínkami: 0 < < > > 0 V závislosti na velikosti lámavého úhlu mohou nastat čtyři případy:. ϕ β, potom ze vztahu (??) vyplývá, že sin, tedy 90 a žáý paprsek hranolem neprojde.. β < ϕ < β, potom úhel ϕ - β nabývá hoot mezi 0 a β a 0 nsin( ϕ β ) <, < a tedy úhel dopadu může nabývat hoot mezi 0 a 90 a úhel mezi 90 a 0 ( 0 > 0). 3. ϕ β, potom 0 0 a všechny paprsky s úhlem dopadu v intervalu 0, 90 hranolem procházejí < ϕ < β, potom 0 je záporné a všechny paprsky s úhlem dopadu v intervalu,90 0 hranolem procházejí. Ze (4b) s užitím () a (4a) lze vyjádřit úhel arcsin( nsin β ) arcsin arcsin sin ( ϕ n sin sin cosϕ) [ nsin( ϕ β )] arcsin[ n(sinϕ sin β cosϕ) ] a dosazením do () vyjádřit deviaci jako funkci úhlu dopadu ( sinϕ sin sin ϕ) ϕ δ + arcsin n cos (7) Závislost deviace δ na úhlu dopadu pro hranol s lámavým úhlem ϕ 60 a indexem lomu n,5 je znázorněna na Obr. LH. Sečteme-li (4a) a (4b)

3 sin + sin n (sin β + sin β ) upravíme + sin cos β + β n.sin β cos β a dosazením z () a () nakonec odvodíme vztah δ + ϕ β β sin cos ϕ sin cos (8) ο + 0 ϕ deviace δ (deg) δ min 30 0 min úhel dopadu (deg) Obr. LH. Závislost deviace na úhlu dopadu pro hranol s lámavým úhlem ϕ 60 a indexem lomu n,5. inimální deviaci δ min určíme z podmínky 0 Z () v případě minimální deviace (podmínka (9)) dostáváme a diferencováním (3) a (4) dostáváme dβ dβ (9) (0) dβ cos n 3

4 cos n cos β dβ a odtud cos cos Z (7) a (8) pro minimální deviaci získáme podmínku cos cos 0 Umocněním a dosazením z (4) nakonec dojdeme k rovnici () () n sin β n sin β, která bude splněna pokud β β β a tedy (druhý kořen rovnice výše, β β, implikuje ϕ 0 a nemá tudíž fyzikální smysl). To, že se jeá o minimum lze ukázat výpočtem druhé derivace. Jeodušeji to lze ukázat z průběhu deviace jako funkce úhlu dopadu v intervalu,90 0 : pro 0 90 cos 0 z (0) d pro 90 0 cos 0 z (0), čili derivace deviace podle úhlu dopadu je na intervalu,90 0 rostoucí funkcí a tudíž funkce δ δ( ) na tomto intervalu prochází minimem. Při minimální deviaci tedy nastává symetrický chod světelného paprsku hranolem, neboť ze vztahů () a () vyplývá δ min ϕ a ϕ β Obr. LH3: Symetrický chod paprsků hranolem při minimální deviaci. 4

5 Dosazením do (4b) potom dostáváme podmínku pro úhel dopadu při minimální deviaci min ϕ min arcsin n sin V případě minimální deviace potom z (6) vyplývá známý vztah ϕ + δ min sin sin n, (3) sin β ϕ sin který je používán pro určování indexu lomu skla. Změříme-li minimální deviaci δ min a lámavý úhel ϕ pomocí hranolového spektrometru, můžeme ze vztahu (3) stanovit pro danou vlnovou délku index lomu hranolu n. lámavý úhel ϕ minimální úhel dopadu 0 minimální deviace δ min úhel dopadu při minimální deviaci min Tab. LH: inimální úhel dopadu, minimální deviace a úhel dopadu při minimální deviaci pro různé lámavé úhly. Hooty uvedené v tabulce byly vypočteny pro hranol s indexem lomu n,5. Z hooty mezního úhlu (β arcsin(/n) 4 49 ) vyplývá omezující podmínka pro lámavý úhel ϕ < β Záporné hooty úhlu dopadu znamenají, že dopadající paprsek leží vpravo od kolmice dopadu (úhel měříme od kolmice k paprsku). Disperze hranolu Index lomu hranolu je funkcí vlnové délky λ (obr. LH4) n n(λ) a proto i deviace δ bude záviset na λ δ δ (λ) Úhlovou disperzi definujeme vztahem D (4) dλ dλ Zatímco první faktor na pravé straně vztahu (4) zcela závisí na geometrickém uspořádání, druhý charakterizuje disperzi materiálu, z něhož je hranol vyroben. Protože úhel dopadu 5

6 .530 index lomu vlnová délka (nm) Obr. LH4: Závislost indexu lomu na vlnové délce pro sklo BK7 (Schott). nezávisí na vlnové délce světla (předpokládáme, že na lámavou stěnu hranolu dopadá kolimovaný svazek a úhel dopadu je tudíž stejný pro všechny vlnové délky), dostáváme diferencováním (3) a () d β dβ a z (4) a odtud eliminujeme dβ sin β + n cos sin β + n d ( β + β ) sin cos 0 dβ sinϕ cos (5) Obr. LH5: Rozklad světla hranolem. 6

7 O ϕ l f vstupní šterbina A b B výstupní štěrbina předmětová rovina kolimátor kondenzor obrazová rovina Obr. LH6: Schéma hranolového spektrografu (průchod světla při minimální deviaci). Za podmínky minimální deviace bude mít vztah (5) tvar ϕ ϕ ϕ sin cos OBsin sinϕ sinϕ b (6) cos ϕ ϕ coscos coscos OB cos l kde l označuje příčný rozměr světelného svazku a b rozměr záklay hranolu (viz obr. LH6). Dosazením do vztahu (4) potom dostáváme pro úhlovou disperzi hranolu vztah b D ldλ (7) S užitím (7) potom můžeme vyjádřit změnu deviace δ při změně vlnové délky λ o λ b δ λ (8) ldλ Lineární disperzi hranolového spektrometru na obr. LH6 potom můžeme vyjádřit jako b Dl fd f (9) ld λ kde f je ohnisková vzdálenost kondenzoru. Pro b 4 cm, dλ 4-0 nm, cm l a f 0 cm bude 4 D.0 rad/nm a 5 D l 4.0 m/nm. Reciproká lineární disperze p tom bude Dr Dl 5 nm/mm, tedy na mm v obrazové rovině spektrometru pae interval vlnových délek široký 5 nm. 7

8 Pokud jde o rozlišovací schopnost hranolového spektrometru, podle Rayleighova kritéria musí být (omezený příčný rozměr svazku představuje šířku "štěrbiny") úhlová vzdálenost centrálních ohybových maxim vlnové délky λ a λ+ λ alespoň λ δ (0) l S užitím vztahu (8) dostáváme b λ δ λ () ldλ l Odtud snao získáme vztah pro rozlišovací schopnost (Resolving Power) λ RP.. b () λ d λ -4-3 Pro výše uvedený příklad bude RP.. 4 cm. 0 nm To znamená, že pro λ 500 nm jsme schopni rozlišit dvě vlnové délky lišící se o 500 nm λ 0,5 nm