Projekty do předmětu MF

Transkript

1 Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní obor: Obecná fyzika a matematická fyzika Vedoucí předmětu: prof. RNDr. Jiří Bajer, CSc. Termín odevzdání práce: květen 2012

2 Obsah Úvod 3 1 Gravitační vlny Rychlost šíření gravitační vlny Polarizace gravitační vlny Typ gravitační vlny Metoda zrcadlového náboje Hustota a velikost indukovaného náboje na povrchu uzemněného disku Elektrostatické pole disku a bodového náboje Pohyb fotonů a volných částic v okolí černé díry Cesta k pohybovým rovnicím Průběh efektivního potenciálu volné částice Průběh efektivního potenciálu fotonu Pohybová rovnice volné částice Pohybová rovnice fotonu Závěr 20 Literatura 21 2

3 Úvod Cílem předmětu bylo vypracovat tři projekty z oblasti matematické fyziky, podle vlastního návrhu, nebo podle návrhu vedoucího předmětu. V minimálně v jeden případ zpracovat na počítači. První část se zabývá gravitačními vlnami v plochém prostoročase. Druhá elektrostatickým polem generovaným bodovým nábojem a vodivým diskem s využitím metody zrcadlového náboje. Třetí část je věnována pohybu částic a světelných paprsků v okolí černé díry popsané Schwarzschildovou metrikou. Obrázky jsou vytvořeny v programu Macromedia Flash MX Pro počítačové modely byl použit program Wolfram Mathematica 6. Text byl vysázen typografickým softwarem L A TEX. Práce byla vypracována na základě znalostí poskytnutých v základním kurzu fyziky a použité literatury. 3

4 Kapitola 1 Gravitační vlny 1.1 Rychlost šíření gravitační vlny Do rovnice pro slabou gravitační vlnu dosadíme řešení ve tvaru rovinné monochromatické vlny a ze znalosti tenzorové algebry a de Broglieho vztahu, kde pro jednoduchost volíme = 1, odvodíme rychlost šíření gravitační vlny. h ij = η mn h ij,mn = 0 (1.1) Linearizované rovnice gravitačního pole. označujeme D alambertův operátor h ij velmi malé odchylky od euklidovské geometrie Slabá gravitační vlna h ij 1 η mn kontravariantní složky Minkowského tenzoru,mn druhé parciální derivace podle m-té a n-té souřadnice Pravá strana rovnice (1.1) je rovna 0 Gravitační vlna se šíří vakuem Předpokládáme řešení ve tvaru monochromatické rovinné vlny h ij = H ij e ik lx l (1.2) H ij amplituda gravitační vlny k l l-tá kovariantní složka vlnového čtyřvektoru x l l-tá složka radiusvektoru Provedeme derivaci (1.2) podle m-té a n-té souřadnice a dosadíme do (1.1) η mn H ij k m k n e ik lx l = 0 (1.3) Platí Rovnici (1.3) lze splnit jen pokud η mn k n = k m k m k m = 0 Gravitační vlna se šíří rychlostí světla POZN: k m k m = (p m p m ) = 0 Platí pro fotony a ty jak je známo se pohybují rychlostí c Rychlost šíření gravitační vlny je rovna rychlosti světla. 4

5 1.2 Polarizace gravitační vlny Složky amplitudy gravitační vlny tvoří symetrický tenzor druhého řádu o deseti složkách. K jejich redukci při zachování měřitelných veličin využijmeme příslušný tvar kalibrační podmínky (1.4). Zbylé složky tenzoru jsou nezávislé a tudíž jim budou odpovídat nezávislé polarizace. Symetrický tenzor H ij = H 00 H 01 H 02 H 03 H 10 H 11 H 12 H 13 H 20 H 21 H 22 H 23 H 30 H 31 H 32 H 33 (1.4) H ij = H ij (1.5) 10 rovnic Kalibrační podmínka = zjednodušení tvaru rovnic při zachování měřitelných veličin Tato podmínka vede po dosazení na tvar Mějme vlnu, která se šíří ve směru osy x 1 h j i,j = 1 2 hk k,i H ij k j = 1 2 Hk k k i (1.6) H k k = H 00 + H 11 + H 22 + H 33 (1.7) k i = ω c ( ) (1.8) a k i = ω c ( ) (1.9) Do rovnice (1.6) dosadíme (1.4), (1.8) a (1.9) H 10 = 1 2 (H 00 + H 11 ) H 21 = H 20 H 21 = H 30 Pak z rovnice (1.5) plyne H ij = H 22 H 23 H 32 H 33 Čtyři komponenty kalibrační podmínky neodstraní Z rovnice (1.5) víme H 23 = H 32 (1.10) a z rovnice (1.7) dostaneme H 22 = H 33 (1.11) Dvě nezávislé složky amplitudy Dvě nezávislé polarizace gravitační vlny NAPŘ: H 22 0,H 23 = 0; H 22 = 0,H 23 0

6 1.3 Typ gravitační vlny Předpokládáme slabou gravitační vlnu šířící se ve směru osy x 1. Ve dvou případech sledujeme jak se mění prostorová vzdálenost bodů A a B při průchodu gravitační vlny. V prvním případě se body A a B nalézají přímo na ose x 1. V Druhém případě se nalézají na ose x 2, která je na osu x 1 kolmá. Obrázek 1.1: Popis případu kdy bod A i B leží na ose x 1 ( s) 2 = (η ij + h ij )(x i (A) x i (B))(x j (A) xj (B) ) (1.12) ( s) 2 čtverec prostorové vzdálenosti bodů A a B η ij kovariantní složky Minkowského tenzoru (x i (A) xi (B) ) = ni (x j (A) xj (B) ) = nj Pro náš případ n i = n j = ( 0 l 0 0 ) (1.13) Do rovnice (1.12) dosadíme (1.13) a (1.2) za předpokladu (1.10) a (1.11) ( s) 2 = l 2 Po odmocnění vidíme, že nedošlo k žádné změně vzdáleností mezi body A a B nejedná se tedy o vlnu podélnou, jelikož ta by vzdálenosti bodů ovlivnila.

7 Obrázek 1.2: Popis případu kdy bod A i B leží na ose x 2 Opakujeme předešlý postup s tím rozdílem, že n i = n j = ( 0 0 l 0 ) ( s) 2 = (1 + h 22 )l 2 Došlo ke změně vzdáleností bodů A a B Gravitační vlna je vlnou příčnou

8 Kapitola 2 Metoda zrcadlového náboje Máme uzemněný vodivý disk o poloměru R kolmý na osu z, ve vzdálenosti a umístíme náboj Q. Úlohy tohoto typu se řeší metodou zrcadlového náboje, kdy předpokládáme fiktivní náboj Q umístěný na záporné části osy z ve vzdálenosti a. Vypočteme potenciál disku v obecném bodě, z-ovou složku intenzity elektrického pole vstupující do disku(ta je postačující k dalším výpočtům), povrchovou hustotu náboje a indukovaný náboj. A zobrazíme průběh hustoty elektrického náboje v závislosti na poloměru disku. Dále uvažujeme nekonečnou rovinu kolmou na osuz s vyříznutým diskovým otvorem o poloměru R, jehož střed splývá s osou z. Dojdeme k závěru, že náboj indukovaný na rovině je roven náboji Q, který je zmenšený o náboj, který by se indukoval na disku o poloměru R. Tedy součet náboje indukovaného na disku a rovině je roven Q, což je intuitivní. Další část je věnována studiu elektrostatického pole disku a náboje. Výpočet potenciálu elektrostatického pole v obecném bodě je v případě nehomogenního rozložení hustoty náboje na disku velmi složité. Volíme proto případ kdy počítáme pouze intenzitu na ose z. 2.1 Hustota a velikost indukovaného náboje na povrchu uzemněného disku Obrázek 2.1: Metoda zrcadlového náboje a disk Problém vykazuje válcovou symetrii Válcová soustava souřadnic ( r, α, z ) a vzdálenost náboje Q od disku Q reálný náboj Q fiktivní náboj 8

9 R poloměr uzemněného disku Průvodiče Jejich velikost je Obrázek 2.2: K výpočtu vzdáleností obecnému bodu r 1 = ( r cos α, r sin α, z a ) r 1 = ( r cos α, r sin α, z + a ) r 1 = 3 x i = r 2 + (z a) i=1 r 1 = r 2 + (z + a) Potenciál elektrostatického pole od náboje Q a Q v obecném bodě [ ] ϕ = 1 n Q i = Q 1 4πε 0 r i 4πε 0 r2 + (z a) 1 2 r2 + (z + a) 2 i=1 Intenzita elektrostatického pole od náboje Q a Q v obecném bodě Ē = 1 n Q i r 4πε 0 ri 3 i = Q ( 1 r 4πε 0 r ) r r2 3 2 i=1 K určení hustoty náboje indukované na povrchu disku nám postačí z-ová komponenta Ē aq Ē z = 2πε 0 (r 2 + a 2 ) 3 2 Z relace pak Ze vztahu σ = ε 0 Ē z aq σ = 2π(r 2 + a 2 ) 3 2 Q I = S σds kde v našem případě ds = rdrdα pak indukovaný náboj na povrchu disku je roven Q I = aq R 0 r dr (r 2 + a 2 ) 3 2

10 Substituce t = r 2 + a 2 ; dt = 2rdr; dr = dt 2r Vede po dosazení na R [ ] [ R 1 1 a ] R Q i = aq dt = aq = aq 2 + a 2 0 2t3/2 r2 + a 2 0 a R 2 + a 2 PŘÍKLAD: R = 5; a = 1; Q = 1; Plot[ a Q/(2 Pi (r^2 + a^2)^(3/2)), {r, -R, R}, PlotRange -> All, Filling -> Bottom, AxesLabel -> {r, \[Sigma]}] Obrázek 2.3: Příklad rozložení hustoty elektrického náboje na disku v závislosti na r Qi = N[- a Q (Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, 0, R}]), 9] Uvažujme ještě případ, kdy máme nekonečnou vodivou rovinu a v ní diskovitý otvor, pak náboj indukovaný na rovině je roven Tedy součet Což intuitivně odpovídá. Pro náš konkrétní případ Q I2 = aq R r dr = aq (r 2 + a 2 ) 3 2 R2 + a 2 Qi + Q I2 = Q N[- a Q (Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, 0, R}])+ Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, R, Infinity}]), 9] -1

11 2.2 Elektrostatické pole disku a bodového náboje Snaha o výpočet elektrostatického pole disku s nerovnoměrným rozložením plošné hustoty náboje Obrázek 2.4: K výpočtu potenciálu disku s nehomogenním rozložením plošné hustoty náboje v obecném bodě r 5 = ( r cos α, r sin α, z ) r 4 = ( ρ cos θ, ρ sin θ, 0 ) r 6 = r 5 r 4 Velikost r 6 r 6 = r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ) Výpočet potenciálu z plošné hustoty náboje ϕ = 1 4πε 0 Po dosazení ϕ D = aq 4πε 0 2π R 0 0 S σ r 6 ds ρ 2 1 dρdθ (ρ 2 + a 2 ) 3/2 [r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ)] 1/2 Neznám metodu, kterou bych tento integrál spočetl + nepomůže ani Mathematica Potenciál disku(d) a bodového náboje(bn) { ϕ D+BN = Q 1 2π } R 4πε 0 [r 2 + (z a)] ρ 2 dρdθ 1/2 0 0 (ρ 2 + a 2 ) 3/2 [r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ)] 1/2 Další postup by byl výpočet intenzity elektrostatického pole Ē = gradϕ D+BN

12 Následné zobrazení intenzity elektrostatického pole v Mathematice. Případné zjednodušení úlohy, kdy uvažujeme pole jen na ose z ϕ D = aq R ρ 2 dρ 2ε 0 0 (ρ 2 + a 2 ) 3/2 (ρ 2 + z 2 ) 1/2 vede tento integrál na eliptické funkce, které úvodní kurzy matematiky na bakalářském studiu neobsahují. Nicméně je možné vypočítat intenzitu pole od disku na ose z ze vztahu Velikost tomto případě a dē = 1 dq i r 4πε 0 r6 3 6 Q i = r 6 = ρ 2 + z 2 aqρ dρ (ρ 2 + a 2 ) 3/2 Po dosazení E D = aq R ρz dρ 4πε 0 0 ((ρ 2 + a 2 )(ρ 2 + z 2 )) 3/2 Po integraci a dosazení mezí E D = aq z( a 2 2R 2 z 2 ) a2 + z 2 z( a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 ) 4πε 0 (a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 )(a 2 + z 2 ) Celková intenzita na ose z je [ E = aq 1 4πε 0 (r 2 + (z + a) 2 ) z( a2 2R 2 z 2 ) a2 + z 2 z( a 2 z 2 ) ] (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 ) 3/2 (a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 )(a 2 + z 2 )

13 Kapitola 3 Pohyb fotonů a volných částic v okolí černé díry S využitím variačního principu v obecné teorii relativity sestavíme pohybové rovnice pro foton a volnou částici. Vyšetříme průběhy potenciálů, zobrazíme je v Mathematice a stanovíme vzdálenosti kruhových orbit. V Mathematice vykreslíme pohyby částic a fotonů pro námi navolené parametry. 3.1 Cesta k pohybovým rovnicím δs = δ τ2 τ 1 Ldτ = 0. S akce L Lagrangian τ vlastní čas částice, v případě fotonu je nutné nahradit jakýmkoli afinním parametrem λ problém vede na Lagrangeovy rovnice 2.druhu kde d dτ [ ] L ( ) dx i dτ L = g ij dx i dτ L x i = 0 Pokud dl dx = 0 i tak existují tzv. cyklické souřadnice a k nim příslušející zobecněné hybnosti dx j dτ následně s využtím sestavíme analogii Binetova vzorce p i = L ( ) dx i dτ g ij p i p j = m 2 (3.1) 13

14 3.2 Průběh efektivního potenciálu volné částice Pracujeme v soustavě jednotek, kde c = G = 1, uvažujeme pohyb v ekvatoriální rovině θ = π/2 ( ds 2 = 1 r g r ) dt 2 + ( dr2 1 r g ) + r 2 dφ 2 r vnější Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole r g gravitační poloměr...zde je úniková rychlost rovna rychlosti světla r radiální souřadnice Platí ds 2 = g ij dx i dx j. pak L = [ ( 1 r ) g dt 2 r dτ 1 ( 2 1 r g r ] 1/2 ) dr2 dφ2 r2 dτ 2 dτ 2 Sestavení Lagrangeových rovnic 2. druhu cyklické souřadnice t a φ dvě zobecněné hybnosti ( p t = 1 r ) g dt r dτ = Ẽ Ẽ energie vztažená na jednotku hmotnosti p φ = r 2 dφ dτ = L L moment hybnosti vztažený na jednotku hmotnosti Dosadíme do rovnice (3.1) a upravíme ( ) 2 dr ( = dτ 2 Ẽ2 1 r ) ( g 1 + L ) 2 r r 2 (3.2) Výraz U ef efektivní potenciál Položme Hledáme extrémy ( U ef = 1 r ) ( g 1 + L ) 2 r r 2 du ef dr 2 L 2 r + r g 3 r + 3 L 2 r g = 0 r 4 Kvadratickou rovnici pro proměnnou r, jejiž kořeny jsou (po dosazení r g = 2M) r 1,2 = L [ ] 2 1 ± 1 12M 2 2M L 2 L > 12M = 0

15 PŘÍKLAD: V[u_, L_] := -u + L^2 u^2/2 - L^2 u^3 L=5 veff = Plot[V[1/r, L_], {r, 2.5, 80}, AxesLabel -> {"r/m", "V"}, PlotRange -> {{0, 80}, All}, Filling -> Bottom] Obrázek 3.1: Příklad závislosti efektivního potenciálu volné částice na r Vypočteme konkrétní hodnoty maxima a minima efektivního potenciálu dv[u_, L_]] := -1 + L^2 u - 3 L^2 u^2 maxmin = NSolve[dV[ex, L] == 0, ex] {{ex -> }, {ex -> }} vmin = V[ex /. maxmin[[1]], L] vmin...minimum efektivního potenciálu(stabilní kruhová orbita) vmax = V[ex /. maxmin[[2]], L] vmax...maximum efektivního potenciálu(labilní kruhová orbita) 3.3 Průběh efektivního potenciálu fotonu Postupujeme obdobně jako u volné částice jen vlastní čas nahradíme afinním parametrem a pravá strana rovnice (3.1) je rovna 0 ( ) 2 dr = dλ 2 Ẽ2 L 2 ( 1 r ) g r 2 r Výraz U ef = L 2 ( 1 r ) g r 2 r

16 U ef efektivní potenciál Položme Hledáme extrémy Pak po dosazení za r g = 2M du ef dr = 0 2r + 3r g = 0 r = 3M PŘÍKLAD: V[u_] := u^2*(1-2*u) veff = Plot[V[1/r], {r, 2, 10}, AxesLabel -> {"r/m", "V"}, PlotRange -> {{0, 10}, All}, Filling -> Bottom] Obrázek 3.2: Příklad závislosti efektivního potenciálu fotonu na r Vypočteme konkrétní hodnoty maxima efektivního potenciálu PŘÍKLAD: dv[u_] := 2 u - 6 u^2 maxmin = NSolve[dV[ex] == 0, ex] {{ex -> 0.}, {ex -> }} vmax = V[ex /. maxmin[[2]]] vmax...maximum efektivního potenciálu(labilní kruhová orbita) 3.4 Pohybová rovnice volné částice Rovnici (3.2) vynásobíme výrazem ( ) 2 dτ = r4 dφ L 2

17 Standardní substitucí r = 1/u pak Po derivaci a drobné úpravě PŘÍKLAD ( ) 2 du = 2Mu 3 u 2 + 2M L dφ u + Ẽ2 1 2 L 2 d 2 u dφ 2 3Mu2 + u = M L2 E = r0 = 20 v0 = -Sqrt[2*E (1-2/p0)*(1 + L^2/p0^2)] reseni = NDSolve[{rp [t] == -1/rp[t]^2 + L^2/rp[t]^3-3*L^2/rp[t]^4, phi [t] == L/rp[t]^2, rp[0] == r0, rp [0] == v0, phi[0] == 0}, {rp, phi}, {t, 0, 5000}] ParametricPlot[Evaluate[{rp[t]*Cos[phi[t]], rp[t]*sin[phi[t]]} /. reseni], {t, 0, 5000}, PlotStyle -> {Thickness[0.007]}] E kinetická energie částice(pohyb po elipse)

18 Obrázek 3.3: Vykreslení příkladu trajektorie volné částice 3.5 Pohybová rovnice fotonu Obdobně jako u volné částice PŘÍKLAD d 2 u dφ 3Mu2 + u = 0 b=12 r0 = 50 v0 = -Sqrt[1/b^2 - V[1/r0]] phi0 = ArcTan[r0, b] tm = 600; reseni = NDSolve[{rp [t] == 1/rp[t]^3-3/rp[t]^4, phi [t] == 1/rp[t]^2, rp[0] == r0, rp [0] == v0, phi[0] == phi0}, {rp, phi}, {t, 0, tm}] kr1 = ParametricPlot[Evaluate[{rp[t]*Cos[phi[t]], rp[t]*sin[phi[t]]} /. reseni], {t, 0, tm}, PlotStyle -> {Thickness[0.007]}]; kr2 = Graphics[Circle[{0, 0}, 2]];

19 kr3 = Graphics[{LightGray, Disk[{0, 0}, 2]}]; Show[{kr1, kr3, kr2}, PlotRange -> All] DALŠÍ PŘÍKLAD b=sqrt[27] r0 = 3 Obrázek 3.4: Ohyb fotonu v blízkosti černé díry Obrázek 3.5: Vykreslení příkladu kruhové trajektorie fotonu

20 Závěr Cílem projektu bylo zpracovat tři úlohy z oblasti matematické fyziky. A minimálně jednu úlohu vyřešit numericky na počítači. První úloha se týká gravitačních vln. Monochromatická rovinná gravitační vlna se šíří rychlostí světla. Vykazuje dva základní módy polarizace. Jedná se o příčnou vlnu. Druhá úloha se věnuje metodě zrcadlového náboje. Vypočetli jsme hustotu indukovaného náboje a zobrazili její průběh v závislosti na r a vypočetli na počítači i ručně velikost indukovaného náboje. Při výpočtu potenciálu disku a bodového náboje v obecném bodě, následném výpočtu intenzity a případném vykreslení elektrostatického pole jsme narazili na neřešitelný integrál. Třetí úloha se zabývá pohybem volných částic a fotonů v okolí černé díry(se Schwarzschildovou metrikou). Odvodili jsem pohybové rovnice pro foton a volnou částici. Vyšetřili jsem průběh efektivních potenciálů. Namodelovali jsem pohyb fotonu a volné částice na počítači. 20

21 Literatura [1] ČECHOVÁ, M., VYŠÍN, I. Teorie elektromagnetického pole. Olomouc: Vydavatelství Univerzity Palackého, [2] DVOŘÁK, L. Obecná teorie relativity a moderní fyzikální obraz vesmíru. Praha: SPN, [3] HORSKÝ, J., NOVOTNÝ, J., ŠTEFANÍK, M. Mechanika ve fyzice. Praha: Academia, ISBN [4] KUCHAŘ, K. Základy obecné teorie relativity. Praha: Academia,