Gymnázium a SOŠ Cihelní 410, Frýdek Místek 73802 Prvočíslo a Ulamova spirála (Seminární práce z Matematiky) Monika Pistovčáková Matematika 13. listopad 2016 1
1. Úvod 3 2. Teoretická část.4 a. Co to je prvočíslo?..4 b. Co to je Ulamova spirála?..5 3. Praktická část.6 a. Jak spočítat prvočísla? 6 b. Jak se vyráběl materiál k veřejné přednášce? -FOTO 7-10 4. Závěr..11 5. Seznam literatury..12 2
Úvod Všude okolo se lidé setkávají s čísly. Buď záměrně, nebo čirou náhodou. Málokdo si však uvědomí, jak jsou vlastně čísla kouzelná. Jsou novým světem a nejkrásnější na tom je, že každé číslo představuje něco jiného a má jiný význam. Každý den čísla spadají do našeho života a provází nás na každém kroku. Pythagoras kdysi prohlásil, že prazáklad veškerého bytí a existence je číslo. Dle mého se nemýlil. Bez čísel by totiž neexistovalo vůbec nic. Byl by zmatek a lidé by neměli nic z toho, co mají dnes. Co myslíte, souhlasíte semnou? Mám pravdu, nebo jste proti mému názoru? Na svoji seminární práci jsem si vybrala známou a velice důležitou skupinu. Jsou to prvočísla. 3
Teoretická část A, Co to je prvočíslo? Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy 1 není prvočíslo) Přirozená čísla různá od jedné, která nejsou prvočísla, se nazývají složená čísla První prvočísla jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 Prvočísel je nekonečně mnoho Využití o Velký praktický význam mají prvočísla v kryptografii, například v šifrovacích systémech jako je RSA. o Pro vytvoření seznamu prvočísel existují různé algoritmy, např. Eratosthenovo síto Eratosthenovo síto je jednoduchý algoritmus pro nalezení všech prvočísel menších než zadaná horní mez Je pojmenován po řeckém matematikovi Eratosthenovi z Kyrény, který žil v letech 276 194 př. n. l. Testování prvočíselnosti o Otestovat, zda je číslo prvočíslem, tedy testovat prvočíselnost je možné asymptoticky v polynomiálním čase algoritmem AKS, nalezeným roku 2002 o Asymptoticky rekordní rychlost ovšem neznamená, že se jedná o algoritmus prakticky nejvýhodnější o V praxi bývá častější použití některého z pravděpodobnostních algoritmů, například Millerova-Rabinova algoritmu. Millerův-Rabinův test prvočíselnosti je jedním z testů prvočíselnosti, tedy z algoritmů rozhodujících, zdali je dané číslo prvočíslo Je podobný Fermatovu testu prvočíselnosti Prvočísla menší než 1000 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 4
B, Co je to ulamova spirála? Ulamova spirála, nebo také prvočíselná spirála, je obrázek, který vznikne seřazením přirozených čísel do spirály a zvýrazněním prvočísel Byla objevena matematikem Stanisławem Ulamem v roce 1963 Ulam si napsal přirozená čísla do obdélníkové sítě, jedničku doprostřed a další čísla spirálovitě směrem ven Když zakroužkujeme v této struktuře prvočísla, dostáváme Ulam si všimnul, že prvočísla se vyskytují převážně na některých diagonálních přímkách. Tento vzorek je viditelný i při velmi velkých měřítkách (objevují se pak i vodorovné a svislé čáry). 5
Praktická část A, Jak spočítat prvočísla? Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné pouze jedničkou a sebou samým, přičemž samotná jednička prvočíslo není Nejmenší prvočíslo je dvojka je dělitelná beze zbytku jedničkou a dvojkou. Je to zároveň jediné prvočíslo, které je sudé. Všechna ostatní prvočísla jsou lichá, protože jakékoliv jiné sudé číslo je dělitelné kromě jedničky a sebou samým ještě právě dvojkou. Posloupnost několika prvních prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271 Posloupnost bez prvočísel o Lze nalézt libovolně dlouhou konečnou posloupnost po sobě jdoucích přirozených čísel, mezi kterými se nevyskytuje ani jedno prvočíslo. Taková posloupnost může mít tvar k!+2, k!+3,k!+k a obsahuje k-1 po sobě jdoucích složených čísel (vykřičník je faktoriál). o Například pro k = 6 dostaneme pět po sobě jdoucích složených čísel ve tvaru:720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6 o Tato čísla jsou postupně dělitelná dvěma, třemi, čtyřmi, pěti a šesti, protože číslo 6! = 720 je určitě dělitelné všemi těmito čísly, protože vzniklo jejich součinem: 6! = 6 5 4 3 2. o Pokud je číslo 720 dělitelné třemi, pak i číslo 720 + 3 musí být dělitelné třemi. Podobně pro ostatní. 6
B, Jak se vyráběl materiál k veřejné přednášce? FOTO Mým cílem u vytváření projektu bylo především zaujmout. Proto jsem se rozhodla svůj projekt něčím okořenit a zaujmout nejen děti ale i rodiče. Hlavní změnou oproti jiným projektům bylo, že děti budou provázeny tématem nejen mnou ale i velice známým pohádkovým kamarádem Spongebobem. Zaujme hned na první pohled, proto jsem si téměř 100% jistá, že si z mého tématu děti odnesou nejen užitečné informace, ale taky zábavu. 1, 2, 7
3, 4, 8
5, 6, 9
7, 8, 10
Závěr Tato práce slouží k poskytnutí bližších informací k danému tématu. Vybrala jsem si ji, protože si myslím, že mnoho lidí (především dětí) neví a hlavně nemají zájem poznávat něco nové. Prvočísla jsou důležitá a dle mého by měl mít každý alepoň základní informace o tomto matematickém úseku. Přínos tedy bude nejen vzdělávací, ale také zábavný. Doufám, že rozvine znalosti okolí stejně tak, jako mě. 11
Seznam literatury Osamělost prvočísel- Paolo Giordano, 2009, Odeon Posedlost prvočísly- John Derbyshire, 2007, Galileo Zdroje: http://www.matematika.cz/prvocisla https://cs.wikipedia.org/wiki/prvo%c4%8d%c3%adslo https://cs.wikipedia.org/wiki/ulamova_spir%c3%a1la 12