Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel

Transkript

1 Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel jiri.neubauer@unob.cz

2 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a m1 a m2 a mn se nazývá matice typu m n.

3 Nechť A, B jsou matice stejného typu m n. Říkáme, že matice A, B jsou si rovny, a píšeme A = B, jestliže pro každé i = 1,..., m a každé j = 1,... n platí a ij = b ij.

4 typu m n, pro jejíž všechny prvky platí a ij = 0, i = 1,..., m, j = 1,..., n, se nazývá nulová matice typu m n. Nulovou matici značíme 0 m n nebo stručněji 0. Čtvercová matice řádu n je matice A typu n n. Jednotková matice E n řádu n je čtvercová matice taková, že platí { 1 pro i = j, e ij = 0 pro i j. ( ) 1 0 E 2 =, E =

5 Diagonální matice je taková čtvercová matice, pro jejíž prvky platí a ij = 0 pro i j. A = Nechť A je matice typu m n., která vznikne z matice A tak, že zaměníme řádky za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A a značí se A T. ( ) A =, A T =

6 Diagonální matice je taková čtvercová matice, pro jejíž prvky platí a ij = 0 pro i j. A = Nechť A je matice typu m n., která vznikne z matice A tak, že zaměníme řádky za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A a značí se A T. ( ) A =, A T =

7 A typu m n se nazývá trojúhelníková matice, jestliže a) m n, b) a ij = 0 pro i > j, i = 1,..., m, j = 1,..., n. A = , která vznikne z matice A typu m n vynecháním některých řádků nebo sloupců, se nazývá submatice matice A.

8 A typu m n se nazývá trojúhelníková matice, jestliže a) m n, b) a ij = 0 pro i > j, i = 1,..., m, j = 1,..., n. A = , která vznikne z matice A typu m n vynecháním některých řádků nebo sloupců, se nazývá submatice matice A.

9 Nechť A, B jsou matice (stejného) typu m n. C typu m n, pro jejíž prvky platí c ij = a ij + b ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n se nazývá součet matic A, B a značí se A + B. Nechť r je reálné číslo, A matice typu m n. D typu m n, pro jejíž prvky platí d ij = ra ij se nazývá reálný násobek matice A a značí se ra.

10 Nechť A, B jsou matice (stejného) typu m n. C typu m n, pro jejíž prvky platí c ij = a ij + b ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n se nazývá součet matic A, B a značí se A + B. Nechť r je reálné číslo, A matice typu m n. D typu m n, pro jejíž prvky platí d ij = ra ij se nazývá reálný násobek matice A a značí se ra.

11 Nechť A, B, C, 0 jsou matice téhož typu a r, s R libovolná reálná čísla. Pak platí: 1 A + B = B + A... komutativní zákon pro sčítání matic, 2 A + (B + C) = (A + B) + C... asociativní zákon pro sčítání matic, 3 A + 0 = A... existence nulové matice, 4 A + ( A) = 0... existence opačné matice, 5 r(sa) = (rs)a... asociativní zákon pro reálný násobek, 6 (r + s)a = ra + sa... první distribuční zákon, 7 r(a + B) = ra + rb... druhý distribuční zákon. Množina V m n spolu s operacemi násobení matic a reálného násobku matice tvoří vektorový prostor.

12 Nechť A, B, C, 0 jsou matice téhož typu a r, s R libovolná reálná čísla. Pak platí: 1 A + B = B + A... komutativní zákon pro sčítání matic, 2 A + (B + C) = (A + B) + C... asociativní zákon pro sčítání matic, 3 A + 0 = A... existence nulové matice, 4 A + ( A) = 0... existence opačné matice, 5 r(sa) = (rs)a... asociativní zákon pro reálný násobek, 6 (r + s)a = ra + sa... první distribuční zákon, 7 r(a + B) = ra + rb... druhý distribuční zákon. Množina V m n spolu s operacemi násobení matic a reálného násobku matice tvoří vektorový prostor.

13 Nechť A je matice typu m n a B matice typu n p. C typu m p, pro jejíž prvky platí c ij = n a ik b kj, i = 1,..., m, j = 1,..., n, k=1 se nazývá součin matic A a B a značí se AB. Z definice součinu matic vyplývá, že prvek ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci matice C dostaneme jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Operace násobení matic není komutativní, existují matice A a B takové, že AB BA. Navíc se může stát, že jeden ze součinů matic A a B je definován a druhý definován není.

14 Nechť A je matice typu m n a B matice typu n p. C typu m p, pro jejíž prvky platí c ij = n a ik b kj, i = 1,..., m, j = 1,..., n, k=1 se nazývá součin matic A a B a značí se AB. Z definice součinu matic vyplývá, že prvek ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci matice C dostaneme jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Operace násobení matic není komutativní, existují matice A a B takové, že AB BA. Navíc se může stát, že jeden ze součinů matic A a B je definován a druhý definován není.

15 Pro každé tři matice A typu m n, B typu n p a C typu p q platí (AB)C = A(BC). Pro každé tři matice A typu m n, B typu n p a C typu n p platí A(B + C) = AB + AC. Pro každé tři matice A typu n p, B typu m n a C typu m n platí (B + C)A = BA + CA.

16 Pro každé tři matice A typu m n, B typu n p a C typu p q platí (AB)C = A(BC). Pro každé tři matice A typu m n, B typu n p a C typu n p platí A(B + C) = AB + AC. Pro každé tři matice A typu n p, B typu m n a C typu m n platí (B + C)A = BA + CA.

17 Dimenze lineárního obalu generovaného řádkovými vektory matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(a). Pro hodnost matice A typu m n platí h(a) min{m, n}. Hodnost trojúhelníkové matice A typu m n je rovna počtu řádků této matice, tj. h(a) = m.

18 Dimenze lineárního obalu generovaného řádkovými vektory matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(a). Pro hodnost matice A typu m n platí h(a) min{m, n}. Hodnost trojúhelníkové matice A typu m n je rovna počtu řádků této matice, tj. h(a) = m.

19 Dimenze lineárního obalu generovaného řádkovými vektory matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(a). Pro hodnost matice A typu m n platí h(a) min{m, n}. Hodnost trojúhelníkové matice A typu m n je rovna počtu řádků této matice, tj. h(a) = m.

20 budeme určovat tak, že ji pomocí tzv. ekvivalentních úprav převedeme na schodovitý tvar (každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než řádek předcházející). Ekvivalentní úpravy matice (U1) záměna pořadí řádků matice, (U2) násobení libovolného řádku matice nenulovým reálným číslem, (U3) přičtení k libovolnému řádku lineární kombinaci ostatních řádků, (U4) vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních řádků. Počet nenulových řádků takto upravené matice potom určuje hodnost matice.

21 A se nemění, zaměníme-li v matici A libovolně pořadí sloupců. Nechť A, A T jsou navzájem transponované matice. Platí h(a) = h(a T ). Nechť A je čtvercová matice řádu n. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže platí h(a) = n. Řekneme, že matice A je singulární, jestliže platí h(a) < n.

22 A se nemění, zaměníme-li v matici A libovolně pořadí sloupců. Nechť A, A T jsou navzájem transponované matice. Platí h(a) = h(a T ). Nechť A je čtvercová matice řádu n. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže platí h(a) = n. Řekneme, že matice A je singulární, jestliže platí h(a) < n.

23 A se nemění, zaměníme-li v matici A libovolně pořadí sloupců. Nechť A, A T jsou navzájem transponované matice. Platí h(a) = h(a T ). Nechť A je čtvercová matice řádu n. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže platí h(a) = n. Řekneme, že matice A je singulární, jestliže platí h(a) < n.