Matematika pro informatiku 10

Transkript

1 Matematika pro informatiku 10 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 4.dubna 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová

2 Vybrané problémy teorie čísel Prvočísla a jejich rozmístění Goldbachova hypotéza. Číselně teoretické funkce. Základní vlastnosti kongruencí. Čínská věta o zbytcích. Kvadratická kongruence. Gaussovy algoritmy. Výpočet kalendáře Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 2

3 Prvočísla a jejich rozmístění (Primes and their distribution) Prvočísla (Primes) Základní věta aritmetiky (Fundamental Theorem of Arithmetic) Eratosthenovo síto (The Sieve of Eratosthenes) Goldbachova hypotéza (The Goldbach Conjecture) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 3

4 Základní věta aritmetiky Každé kladné celé číslo n > 1 může být vyjádřeno jako součin prvočísel. Tento rozklad je jednoznačný. Důsledek: Kladné celé číslo n > 1 může být vyjádřeno v kanonickém tvaru jediným způsobem n = p 1 k 1 p 2 k 2 p r k r, kde každé k i je kladné celé číslo pro i = 1, 2,, r a každé p i je prvočíslo takové, že p 1 < p 2 < < p r Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 4

5 Příklady 360 = = = = = = = Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 5

6 Testování prvočíselnosti Je-li a složené celé číslo, pak můžeme psát a = b.c, kde 1 < b < a a 1 < c < a. Předpokládame-li, že b c, dostaneme b 2 bc = a, a dále b a. Protože b > 1, má b podle ZVA nejméně jednoho prvočíselného dělitele p. Pak platí p b a, dále p b a b a p a. Složené číslo a má vždy prvočíselného dělitele p a, odtud plyne: stačí testovat čísla menší než a nebo rovna a Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 6

7 Testování prvočíselnosti - příklady Příklad: a = < 509 < 23 Otestujeme jako možné dělitele prvočísla menší než 22, tj. { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Protože žádné z nich není dělitel 509, musí být dané a prvočíslo Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 7

8 Testování prvočíselnosti - příklady Příklad : a = < 2093 < 46 Otestujeme jako možné dělitele prvočísla menší než 22, tj. { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43}. První dělitel 2093 je 7: 2093 = < 299 < 18, testujeme,2, 3, 5, 7, 11, 13- První dělitel 299 je 13: 299 = je též prvočíslo. Rozklad čísla je 2093 = Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 8

9 Eratosthenovo síto Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 9

10 Čísla dělitelná dvěma, třemi a pěti Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 10

11 Ératosthenés z Kyrény př. n. l. Žil v Alexandrii. Přezdívka Beta Vyměřil obvod Země Přítel Archimédův Je po něm pojmenován kráter na Měsíci. Ératosthenovo síto v XI. knize Eukleidových Základů Otázka: Existuje největší prvočíslo? Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 11

12 Obvod Země Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 12

13 Eukleidova věta The Euclid Theorem Věta: Počet všech prvočísel je nekonečný. Důkaz: Eukleidés postupuje sporem. Nechť existuje rostoucí posloupnost prvočísel p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7 a p n je poslední z nich. Uvažujme P = p 1 p 2 p n + 1. Protože P > 1 podle ZVA je P dělitelné nějakým prvočíslem Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 13

14 Důkaz Eukleidovy věty p 1 p 2 p n jsou jediná prvočísla menší než P, proto další prvočíslo p se musí rovnat jednomu z nich. Když spojíme dělitelnost p p 1 p 2 p n a p P, dostaneme p P - p 1 p 2 p n, ekvivalentně p 1. Jediný kladný dělitel čísla 1 je 1, ale p > 1, tj. spor! Žádný konečný seznam prvočísel není úplný, počet prvočísel je nekonečný. The number of primes is infinite. Eukleidova čísla (Euclid Numbers) jsou čísla tvaru p 1 p 2 p n + 1, mezi nimi je asi 19 prvočísel Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 14

15 Goldbachova hypotéza Rozmístění prvočísel (Prime Distribution) mezi čísly složenými neznáme odpověď. Prvočíselná dvojčata (Prime Twins): dvojice lichých čísel (p, p + 2) - 11 a 13, 17 a 19 nebo a Intervaly mezi prvočísly jsou libovolně dlouhé. Nejdelší mezera má 1132 složených čísel. Otázka: Je počet prvočíselných dvojčat konečný? Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 15

16 Goldbachova hypotéza 1742 píše Christian Goldbach Leonhardu Eulerovi: Každé sudé číslo může být vyjádřeno součtem dvou čísel, jež jsou prvočísla nebo jedničky. Prověřeno do Ukážeme si rozklady do 30: Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 16

17 Goldbachovy rozklady 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 17

18 Lámejte si hlavu L101 Použijte Ératosthenova síta k rozkladu čísla 94 na součet dvou prvočísel. Kolik takových rozkladů existuje? Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 18

19 Goldbachova hypotéza Euler omezil hypotézu takto: Libovolné sudé číslo ( 6) tvaru 4n + 2 je součet dvou čísel, jež jsou prvočísla tvaru 4n + 1 nebo 1. Lze ukázat: Každé sudé číslo je součtem 6 nebo méně prvočísel. Lemma: Součin dvou nebo více čísel tvaru 4n + 1 je též tvaru 4n + 1. Dokažte si samostatně. Věta: Počet prvočísel tvaru 4n + 3 je nekonečný. Důkaz sporem Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 19

20 Dirichletova věta Věta: Jestliže a a b jsou vzájemně nesoudělná čísla, pak aritmetická posloupnost a, a + b, a + 2b, a + 3b obsahuje nekonečně mnoho prvočísel. Dirichlet zjistil např., že je nekonečně mnoho prvočísel končících na 999: 1999, , ,. Tato aritmetická posloupnost je určena tvarem 1000k a nsd(1000, 999) = Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 20

21 Čemu se dlouho věřilo? Euler se také někdy mýlil. V roce 1772 ukázal, že kvadratický polynom f(n) = n 2 + n + 41 dává pouze prvočíselné hodnoty. Prověřil pouze tyto hodnoty,0, 1, 2,, 39-. Použil metodu neúplné indukce. f(40) = = 40(40 + 1) + 41 = = 41 (40 + 1) = 41 2 složené číslo f(41) = = 41 ( ) = f(42) = = 1847 opět dává prvočíslo Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 21

22 Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic Functions) Součet a počet dělitelů (The Sum and Number of Divisiors) Möbiova funkce (The Möbius inversion formula) Celá část čísla (The Greatest Integer Function) Eulerova funkce (Euler s Phi-Function) August Ferdinand Möbius, Leonhard Euler Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 22

23 Součet a počet dělitelů Definice: Je dáno kladné celé číslo n, označíme τ (n) počet kladných dělitelů čísla n a σ(n) součet těchto dělitelů. Příklad: n = 12. Má tyto kladné dělitele {1, 2, 3, 4, 6, 12}, tedy τ (12) = 6, σ(12) = = 28 Určete funkce τ (n) a σ(n) pro prvních několik n Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 23

24 Součet a počet dělitelů Věta: τ (n) = 2 právě tehdy, když n je prvočíslo. Věta: σ(n) = n + 1 právě tehdy, když n je prvočíslo. Obě funkce jsou multiplikativní, tj. τ (mn) = τ (m) τ (n) σ(mn) = σ(m) σ(n), pro libovolná vzájemně nesoudělná m, n Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 24

25 Möbiova funkce August Ferdinand Möbius Definice: Pro kladné celé číslo n definujeme 1 je-li n = 1 funkci μ (n) = 0 je-li p 2 n pro nějaké prvočíslo p (-1) r je-li n = p 1 p 2 p r, kde p i jsou různá prvočísla Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 25

26 Vlastnosti Möbiovy funkce Příklad: μ(30) = μ ( ) = (-1) 3 = -1 μ(1) = 1, μ(2) = -1, μ(3) = -1, μ(4) = 0, μ(5) = -1, μ(6) = 1. Věta: Funkce μ je multiplikativní funkce. Zkuste samostatně dokázat. Aplikace najdeme v teorii čísel, kombinatorice, fyzice apod Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 26

27 Funkce celá část čísla The Greatest Integer Function, Bracket Function Definice: Pro libovolné reálné číslo x, označíme [x] nejbližší celé číslo menší než x, tedy x splňuje podmínku x 1 < [x] < x. Příklady: [-3/2] = -2, * 2+ = 1, *1/3+ = 0, [π] = 3 [-π] = 4 Věta: [x] = x právě tehdy, když x je celé číslo. Libovolné reálné číslo lze zapsat ve tvaru x = [x] + θ, kde 0 θ < Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 27

28 Eulerova funkce (Euler s Phi-Function) Definice: Pro n 1 (n) označuje počet kladných celých čísel nesoudělných s n a menších nebo rovných než n. Příklad: (30) = 8 {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}, (1) = 1, (2) = 1, (3) = 2, (4) = 2, (5) = 4, (6) = 2, (7) = Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 28

29 Některé vlastnosti funkce Věta: Je-li n prvočíslo, pak každé celé číslo menší než n je nesoudělné s n, tedy (n) = n 1 Věta: Je-li n > 1 složené, pak má n dělitele d takové, že jsou v intervalu 1 < d < n. To znamená, že nejméně dvě čísla mezi 1, 2, 3,, n nejsou soudělná s n, totiž d a n, tj. (n) n Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 29

30 Některé vlastnosti funkce Věta: Jestliže p je prvočíslo a k > 0, pak (p k ) = p k - p k 1 = p k (1 1/p) Příklad: (9) = (3 2 ) = = 6 {1, 2, 4, 5, 7, 8} (16) = (2 4 ) = = 16 8 = 8 {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} Věta: Funkce je multiplikativní, tj. (m.n)= (m). (n), kde m a n jsou nesoudělná Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 30 =

31 Gaussova věta Pro každé kladné celé číslo n 1 platí n = d n (d) (sčítá se přes všechny kladné dělitele d čísla n) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 31

32 Příklad Nechť je n = 10. Čísla mezi 0 a n rozdělíme do tříd podle d. Je-li d kladný dělitel čísla n, uložíme celé číslo m mezi prvky třídy S d, jestliže platí nsd(m,n) = d S d = {m nsd (m,n) = d, 1 m n}. S 1 = {1, 3, 7, 9} S 2 = {2, 4, 6, 8} S 5 = {5} S 10 = {10} (10) = 4, (5) = 4, (2) = 1, (1) = 1 d 10 (d) = (10) + (5) + (2) + (1) = = Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 32

33 Teorie kongruencí (The Theory of Congruences) Carl Friedrich Gauss Základní vlastnosti kongruencí Lineární kongruence Čínská věta o zbytcích Kvadratická kongruence Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 33

34 Základní vlastnosti kongruencí Definice: Nechť n je kladné celé číslo. Dvě čísla a a b jsou kongruentní podle modulu n a b (mod n), jestliže n dělí rozdíl a b, tedy a b = kn pro k celé. Kongruence je zobecněná forma ekvivalence. Věta: Nechť n > 1, a,b, c, d jsou libovolná celá čísla. Pak platí a) a a (mod n) b) Je-li a b (mod n), pak b a (mod n) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 34

35 Základní vlastnosti kongruencí Věta: c) Je-li a b (mod n) a b c (mod n), pak a c (mod n). d) a b (mod n) a c d (mod n), pak a + b c + d (mod n) a ac bd (mod n). e) Je-li a b (mod n), pak a + c b + c (mod n) a ac bc (mod n). f) Je-li a b (mod n), pak a k b k (mod n), pro libovolné kladné k Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 35

36 Příklad - kongruence Ukažte, že 41 dělí Začneme tím, že (mod 41), jinak také (mod 41) Ale 81-1 (mod 41), a tedy (mod 41). Podle vlastností kongruence pokračujeme: (mod 41), tedy 41 dělí Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 36

37 Příklad - kongruence Chceme najít zbytek po dělení součtu 1! + 2! + 3! + 4! ! + 100! číslem 12. Zahájíme zjištěním, že 4! 24 (mod 12), takže Pro k 4 platí k! 4! k k 0 (mod 12) Takto dostaneme 1! + 2! + 3! + 4! ! + 100! 1! + 2! + 3! (mod 12) Odtud součet dává zbytek 9 při dělení Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 37

38 Další vlastnosti Věta: Je-li ca pak a cb (mod n), c (mod n/d), kde d = nsd (c,n). Důsledek: Je-li ca cb (mod n) a nsd(c,n) = 1, pak a b (mod n). Důsledek: Je-li ca cb (mod p), a p nedělí c, kde p je prvočíslo, pak a b (mod p). Důkaz: Podmínky: p nedělí c a p je prvočíslo implikují nsd(c, p) = Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 38

39 Příklady Uvažujme o kongruenci (mod 9), tj (mod 9). Protože nsd (3, 9) = 3 podle předcházející věty můžeme psát 11 5 (mod 3). Jinou kongruenci (mod 8) můžeme rozložit stejným způsobem na 5 (-7) 5. 9 (mod 8). Čísla 5 a 8 jsou nesoudělná, proto upravíme na -7 9 (mod 8) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 39

40 Čínská věta o zbytcích The Chinese Remainder Theorem Věta: Nechť n 1, n 2,, n r kladná celá čísla taková, že nsd (n i, n j ) = 1 pro i j. Pak soustava lineárních kongruencí x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 )... x a r (mod n r ) má jedno řešení x modulo n, kde n = n 1, n 2,, n r Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 40

41 Příklad Problém Sun-Tsu (Sun Zi) Vyřešte soustavu kongruencí x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 2 (mod 7) Řešení: n = = 105 N 1 = n/3 = 35, N 2 = n/5 = 21 N 3 = n/7 = 15 Sestavíme lineární kongruence: 35x 1 (mod 3), 21x 1 (mod 5), 15x 1 (mod 7), které dávají řešení pro x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 1 x = = 233 Mod 105, dostáváme jediné řešení x = (mod 105) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 41

42 Zákon kvadratické reciprocity (The Quadratic Reciprocity Law) Eulerovo kriterium (The Euler Criterion) Legendrův symbol (The Legendre Symbol) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 42

43 Kvadratické reziduum Definice: Nechť p je liché prvočíslo a nsd (a,p) = 1. Má-li kvadratická kongruence x 2 a (mod p) řešení x, pak řekneme, že a je kvadratické reziduum čísla p. Jestliže žádné takové x neexistuje, nazývá se a kvadratické nereziduum čísla p Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 43

44 Příklad kvadratického rezidua pro n=13 Určíme čtverce všech zbytkových tříd (mod 13): Kvadratická rezidua čísla 13 jsou: 1,3,4,9,10,12. Kvadratická nerezidua čísla 13 jsou: 2,5,6,7,8, Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 44

45 Eulerovo kriterium Euler s Criterion Věta: Nechť p je liché prvočíslo a platí nsd(a,p) = 1, pak číslo a je kvadratické reziduum prvočísla p právě tehdy, když a (p-1)/2 1 (mod p) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 45

46 Legendrův symbol a jeho vlastnosti Definice: Nechť p je liché prvočíslo a nechť nsd (a, p) = 1. Legendrův symbol (a/p) je definován takto: (a/p) = 1 je-li a kvadratické reziduum p -1 je-li a kvadratické nereziduum p Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 46

47 Příklady Příklad: Nechť p = 13. Použijeme-li Legendrův symbol, pak mohou být výsledky zaznamenány takto: 1 = (1/13) = (3/13) = (4/13) = (9/13) = = (10/13) = (12/13) -1 = (2/13) = (5/13) = (6/13) = (7/13) = (8/13) = (11/13) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 47

48 Vlastnosti Legendrova symbolu Nechť p je liché prvočíslo a nechť celá čísla a a b jsou nesoudělná s p. Potom (a) Jestliže a b (mod p), pak (a/p)=(b/p). (b) (a 2 /p) = 1. (c) (a/p) a (p-1)/2 (mod p). (d) (ab/p) = (a/p)(b/p). (e) (1/p) = 1 a (-1/p) = (-1) (p-1)/2. Příklad: Existuje nějaké řešení kongruence x 2 46 (mod 17)? (-46/17) = (-1/17) (46/17) = (-1) 8 (12/17) = (3.2 2 /17) = = (3/17) (2 2 /17) = (3/17) (-4) 2 = -1 NEEX. Nebo jinak: (-46/17) = (5/17) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 48

49 Zákon kvadratické reciprocity Quadratic Reciprocity Law Theorema aureum Věta: Jsou-li p a q různá lichá čísla, pak (p/q) (q/p) = (-1)(p-1)/2. (q-1)/2 Důsledek: Jsou-li p a q různá lichá čísla, pak (q/p), je-li p 1 (mod 4) nebo q 1 (mod 4) (p/q) = -(q/p), je-li p q 3 (mod 4) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 49

50 Příklad Uvažujme o Legendrově symbolu (29/53) Protože 29 1 (mod 4) a 53 1 (mod 4), můžeme upravit (29/53) = (53/29) = (24/29) = (2/29) (3/29) (4/29) = (2/29) (3/29). (2/29) = -1, druhý LS invertujeme (3/29) = (29/3) = (2/3) = -1, dále použijeme kongruenci (mod 3) a dostaneme (29/53) = (2/29) (3/29) = (-1)(-1) = Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 50

51 Pokračování Zákon kvadratické reciprocity dává odpověď na nalezení prvočísel p 3, pro něž je 3 kvadrtatické reziduum. Protože 3 3 (mod 4) z důsledku Zákona kvadratické reciprocity plyne: (3/p) = (p/3), je-li p 1 (mod 4), nebo -(p/3), je-li p 3 (mod 4). Dále probereme p 1 (mod 3) nebo p 1 (mod 4). Podle věty o vlastnostech LS platí: (p/3)= 1, je-li p 1 (mod 3), nebo -1, je-li p 2 (mod 3) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 51

52 Pokračování 2 Odtud plyne (3/p) = 1 právě tehdy, když p 1 (mod 4) a p 1 (mod 3) nebo p 3 (mod 4) a p 2 (mod 3) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 52

53 Lámejte si hlavu L11 Najděte všechna řešení kvadratické kongruence x (mod 1357) Odpověď zašlete na adresu alena.solcova@fit.cvut.cz Předmět: JménoPříjmeníČíslo skupiny-l Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 53

54 Výpočet Velikonoc Gaussův algoritmus Pro období volíme konstanty m = 24 a n = 5. Nechť a, b, c, d, e jsou nejmenší nezáporná čísla, která splňují kongruence a r (mod 19), b r (mod 4), c r (mod 7), d (m + 19a) (mod 30), e (n + 2b + 4c + 6d) (mod 19). Pak pro d + e < 10 připadá velikonoční neděle na březnový den, který výpočteme jako (22 + d + e) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 54

55 Výpočet Velikonoc 2 Pro d + e = 35 připadá velikonoční neděle na (d + e 16) tý den v dubnu a ve zbývajících případech měsíce dubna na den (d + e 9). Tento algoritmus má však nejméně dvě výjimky, roky 1954 a 2049, kdy velikonoční neděle nepřipadne na 25. dubna Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 55

56 Literatura Křížek, M., Somer, L., Šolcová, A.: Kouzlo čísel, ed. Galileo, Academia, Praha 2009 Burton, D. : Elementary Number Theory, Mc Graw Hill, Boston 2007, 6th Edition Křížek, M., Luca, F., Somer, L.: 17 Lectures on Fermat Numbers, From Number Theory to Geometry,Springer, New York 2001 Šolcová, A, Křížek, M., Mink, G.: Matematik Pierre Fermat, CEFRES, Praha Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 56

57 Čísla speciálních tvarů V další přednášce o teorii čísel se budeme zabývat čísly speciálních tvarů a jejich vlastnostmi. 2. května Mersennova čísla Fermatova čísla Dokonalá čísla (Perfect Numbers) Spřátelená čísla (Amicable Numbers) Reprezentace přiroz. čísel jako součet čtverců Fibonacciova čísla atp Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 57

58 Program přednášky Obecná algebra: grupy, konečné grupy, Cayleyho tabulky, typy grup, permutační, alternující, cyklické, grupy symetrií, normální podgrupy. Homomorfismy. AS (2+4) Konečná tělesa, prvočíselný řád tělesa, okruh a jeho vlastnosti, obor integrity. KK (2) Algebra a algoritmy (algoritmy pro výpočet kořenů polynomů - Newtonova metoda, Lehmerova-Schurova metoda, atd.) AS (4) Vybrané problémy teorie grafů, typy hamiltonovských problémů. Algoritmická teorie grafů. KK (2) Algebraická řešení kombinatorických problémů, Pólyova enumerace. KK (4) Konvexní množiny, konvexní obal, ryze konvexní množina, věta o oddělování konvexních množin, Minkowského věta o projekci. KK (2) Vybrané problémy teorie čísel, kvadratická kongruence, Gaussovy algoritmy. AS (4) Fuzzy matematika (MH 2) Malá Fermatova věta, testování prvočíselnosti, Pépinův test, teorie čísel a geometrie, konstruovatelnost mnohoúhelníků. Rychlé algoritmy: násobení, numerické hledání odmocnin. KK (4) velikonoční pondělí Speciální prvočísla - faktoriální, palindromická, cyklická, Gaussova, Eisensteinova prvočísla. Vlastnosti Fermatových prvočísel, příklady aplikací. AS (2) Konvexní analýza JM (2) Optimalizace MH(2) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 58