becvar
|
|
- Daniela Vávrová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Jindřich Bečvář Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Banská Bystrica, 11. října becvar
2 Osnova 1 Úvod 2 Prvočísla 3 Dokonalá čísla 4 Mersennova prvočísla 5 Důkazy beze slov
3 Úvod Marně by nám Eukleides předkládal nejkrásnější geometrické pravdy, kdyby nebyl dodal důkazy potřebné k tomu, aby nás přesvědčil. Na jeho pouhé slovo bychom mu ony pravdy nikdy neuvěřili. Leonhard Euler ( )
4 Úvod Marně by nám Eukleides předkládal nejkrásnější geometrické pravdy, kdyby nebyl dodal důkazy potřebné k tomu, aby nás přesvědčil. Na jeho pouhé slovo bychom mu ony pravdy nikdy neuvěřili. Leonhard Euler ( ) Vědecké poznání je soubor tvrzení s různým stupněm jistoty; některá z těchto tvrzení jsou velmi nejistá, některá jsou téměř jistá, ale žádné z nich není zcela jisté. Richard Feynman ( ) přednáška v Americké Národní Akademii Věd, 1955
5 Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)?
6 Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)? Byla pociťována potřeba důkazu?
7 Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)? Byla pociťována potřeba důkazu? Staré Řecko Vnímání příčinnosti, implikace: jestliže..., potom...
8 Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)? Byla pociťována potřeba důkazu? Staré Řecko Vnímání příčinnosti, implikace: jestliže..., potom... První důkazy: položit před oči, udělat zřejmým, viditelným
9 Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)? Byla pociťována potřeba důkazu? Staré Řecko Vnímání příčinnosti, implikace: jestliže..., potom... První důkazy: položit před oči, udělat zřejmým, viditelným Figurální čísla Práce se sudými a lichými čísly + =
10 Počátky důkazové techniky Egypt, Mezopotámie,... Existoval důkaz (v našem slova smyslu)? Byla pociťována potřeba důkazu? Staré Řecko Vnímání příčinnosti, implikace: jestliže..., potom... První důkazy: položit před oči, udělat zřejmým, viditelným Figurální čísla Práce se sudými a lichými čísly + = Pýthagorova věta, Eukleidova věta o odvěsně,...
11 Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho
12 Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho Eukleidés: Stoicheia (Základy) (kolem r. 300 př. Kr.) Vzor pro budování vědecké teorie pro celá dvě tisíciletí
13 Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho Eukleidés: Stoicheia (Základy) (kolem r. 300 př. Kr.) Vzor pro budování vědecké teorie pro celá dvě tisíciletí
14 Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho Eukleidés: Stoicheia (Základy) (kolem r. 300 př. Kr.) Vzor pro budování vědecké teorie pro celá dvě tisíciletí Metodická poznámka
15 Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho Eukleidés: Stoicheia (Základy) (kolem r. 300 př. Kr.) Vzor pro budování vědecké teorie pro celá dvě tisíciletí Metodická poznámka
16 Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho Eukleidés: Stoicheia (Základy) (kolem r. 300 př. Kr.) Vzor pro budování vědecké teorie pro celá dvě tisíciletí Metodická poznámka (má tvar implikace):
17 Nárůst abstrakce, důkazy sporem (5. a 4. století př. Kr.) objev nesouměřitelných úseček (iracionalita čísla 2) iracionalit je nekonečně mnoho Eukleidés: Stoicheia (Základy) (kolem r. 300 př. Kr.) Vzor pro budování vědecké teorie pro celá dvě tisíciletí Metodická poznámka (má tvar implikace): Likvidujeme-li důkazy ve školské matematice, likvidujeme matematiku. Přestane být chápána příčinnost, neotřesitelnost matematických pravd. Ztrácíme mnoho možností pro vzbuzení zájmu o matematiku.
18 Prvočísla Def. Prvočíslem rozumíme přirozené číslo p, které má právě dva dělitele, tj. 1 a p. Ostatní přirozená čísla (kromě čísla 1) se nazývají složená. Př. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,...
19 Prvočísla Def. Prvočíslem rozumíme přirozené číslo p, které má právě dva dělitele, tj. 1 a p. Ostatní přirozená čísla (kromě čísla 1) se nazývají složená. Př. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,... Z hromádky kaménků prvočíselného počtu nelze sestavit (netriviální) obdélníkové číslo.
20 Věta. Prvočísel je nekonečně mnoho. (Eukleidés: Stoicheia), IX.20
21 Věta. Prvočísel je nekonečně mnoho. (Eukleidés: Stoicheia), IX.20 Důkaz sporem. Předpokládejme, že 2 < 3 < < p jsou všechna prvočísla. Utvořme číslo n = p + 1, které je větší než p, a proto je složené. Přitom není dělitelné žádným z prvočísel 2, 3,...,p. Musí být tedy dělitelné jiným prvočíslem. Spor.
22 Věta. Prvočísel je nekonečně mnoho. (Eukleidés: Stoicheia), IX.20 Důkaz sporem. Předpokládejme, že 2 < 3 < < p jsou všechna prvočísla. Utvořme číslo n = p + 1, které je větší než p, a proto je složené. Přitom není dělitelné žádným z prvočísel 2, 3,...,p. Musí být tedy dělitelné jiným prvočíslem. Spor. Důkaz není zcela korektní!
23 Věta. Prvočísel je nekonečně mnoho. (Eukleidés: Stoicheia), IX.20 Důkaz sporem. Předpokládejme, že 2 < 3 < < p jsou všechna prvočísla. Utvořme číslo n = p + 1, které je větší než p, a proto je složené. Přitom není dělitelné žádným z prvočísel 2, 3,...,p. Musí být tedy dělitelné jiným prvočíslem. Spor. Důkaz není zcela korektní! Mlčky předpokládáme existenci rozkladu na prvočísla (jedna část tzv. Základní věty aritmetiky).
24 Dokonalá čísla Def. Dokonalým číslem rozumíme přirozené číslo, které je součtem všech svých vlastních dělitelů. Př. Staří Řekové znali tato dokonalá čísla: 6 = = = =
25 Dokonalá čísla Def. Dokonalým číslem rozumíme přirozené číslo, které je součtem všech svých vlastních dělitelů. Př. Staří Řekové znali tato dokonalá čísla: 6 = = = = = = (1 + 2) 496 = ( ) 8128 = ( )
26 Věta. Jestliže je 2 p 1 prvočíslo, pak je 2 p 1 (2 p 1) číslo dokonalé. (Eukleidés: Stoicheia), IX.36
27 Věta. Jestliže je 2 p 1 prvočíslo, pak je 2 p 1 (2 p 1) číslo dokonalé. (Eukleidés: Stoicheia), IX.36 Důkaz. Sečtěme všechny vlastní dělitele čísla 2 p 1 (2 p 1): ( p 1 ) + ( p 2 ) (2 p 1) = = 1 2p (2p 1) 2p 1 1 = (2 p 1)2 p 1 2 1
28 Věta. Jestliže je 2 p 1 prvočíslo, pak je 2 p 1 (2 p 1) číslo dokonalé. (Eukleidés: Stoicheia), IX.36 Důkaz. Sečtěme všechny vlastní dělitele čísla 2 p 1 (2 p 1): ( p 1 ) + ( p 2 ) (2 p 1) = = 1 2p (2p 1) 2p 1 1 = (2 p 1)2 p 1 2 1
29 Věta. Jestliže je 2 p 1 prvočíslo, pak je 2 p 1 (2 p 1) číslo dokonalé. (Eukleidés: Stoicheia), IX.36 Důkaz. Sečtěme všechny vlastní dělitele čísla 2 p 1 (2 p 1): ( p 1 ) + ( p 2 ) (2 p 1) = = 1 2p (2p 1) 2p 1 1 = (2 p 1)2 p Pozn. Důkaz využívá jednoznačnosti rozkladu.
30 Věta. Jestliže je 2 p 1 prvočíslo, pak je 2 p 1 (2 p 1) číslo dokonalé. (Eukleidés: Stoicheia), IX.36 Důkaz. Sečtěme všechny vlastní dělitele čísla 2 p 1 (2 p 1): ( p 1 ) + ( p 2 ) (2 p 1) = = 1 2p (2p 1) 2p 1 1 = (2 p 1)2 p Pozn. Důkaz využívá jednoznačnosti rozkladu.
31 Věta. Jestliže je 2 p 1 prvočíslo, pak je 2 p 1 (2 p 1) číslo dokonalé. (Eukleidés: Stoicheia), IX.36 Důkaz. Sečtěme všechny vlastní dělitele čísla 2 p 1 (2 p 1): ( p 1 ) + ( p 2 ) (2 p 1) = = 1 2p (2p 1) 2p 1 1 = (2 p 1)2 p Pozn. Důkaz využívá jednoznačnosti rozkladu. L. Euler: Všechna sudá dokonalá čísla mají výše uvedený tvar.
32 Věta. Každé sudé dokonalé číslo má tvar 2 p 1 (2 p 1), kde 2 p 1 je prvočíslo.
33 Věta. Každé sudé dokonalé číslo má tvar 2 p 1 (2 p 1), kde 2 p 1 je prvočíslo. Důkaz. Uvažujme sudé dokonalé číslo n = 2 m 1 q, kde m > 1 a q je liché. Součet všech dělitelů čísla n je 2 m q = ( m 1 ) S, kde S je součet všech dělitelů čísla q. Odtud proto S = 2 m x. Dále je tedy 2 m q = (2 m 1) S, q = (2 m 1) x. Pokud by bylo x 1, byl by součet S všech dělitelů čísla q (2 m 1) x + (2 m 1) + x + > S = 2 m x. Proto je x = 1 a q = 2 m 1 je prvočíslo.
34 Důsledek. Existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi sudými dokonalými čísly a prvočísly tvaru 2 p 1. Podstatnou roli tedy hrají prvočísla tvaru 2 p 1.
35 Důsledek. Existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi sudými dokonalými čísly a prvočísly tvaru 2 p 1. Podstatnou roli tedy hrají prvočísla tvaru 2 p 1. Otevřený problém: Nevíme, zda existuje nějaké liché dokonalé číslo. Muselo by být větší než a mít více než 8 prvočinitelů. Nyní jsou již jistě nalezeny tvrdší podmínky.
36 Mersennova prvočísla Def. Mersennovým číslem, resp. prvočíslem rozumíme přirozené číslo, resp. prvočíslo tvaru 2 m 1.
37 Mersennova prvočísla Def. Mersennovým číslem, resp. prvočíslem rozumíme přirozené číslo, resp. prvočíslo tvaru 2 m 1. Věta. Je-li 2 m 1 prvočíslo, je m prvočíslo.
38 Mersennova prvočísla Def. Mersennovým číslem, resp. prvočíslem rozumíme přirozené číslo, resp. prvočíslo tvaru 2 m 1. Věta. Je-li 2 m 1 prvočíslo, je m prvočíslo. Důkaz. Pokud je číslo m složené, je m = ab, kde 1 < a, b < m. Potom je 2 m 1 = 2 ab 1 = (2 a 1)(2 a(b 1) + 2 a(b 2) a + 1). Protože je 1 < 2 a 1 < 2 m 1, je číslo 2 m 1 složené.
39 Mersennova prvočísla Def. Mersennovým číslem, resp. prvočíslem rozumíme přirozené číslo, resp. prvočíslo tvaru 2 m 1. Věta. Je-li 2 m 1 prvočíslo, je m prvočíslo. Důkaz. Pokud je číslo m složené, je m = ab, kde 1 < a, b < m. Potom je 2 m 1 = 2 ab 1 = (2 a 1)(2 a(b 1) + 2 a(b 2) a + 1). Protože je 1 < 2 a 1 < 2 m 1, je číslo 2 m 1 složené. Pozn. Opačná implikace neplatí, neboť Píšeme M m = 2 m = 2047 =
40 Marin Mersenne ( ), francouzský mnich (minorita), poštovní schránka,... Historik Henri Bosmans ( ): Informer Mersenne d une découverte, c était la publier par l Europe entière.
41 Marin Mersenne ( ), francouzský mnich (minorita), poštovní schránka,... Historik Henri Bosmans ( ): Informer Mersenne d une découverte, c était la publier par l Europe entière. V úvodu spisu Cogitata physico-mathematica (Paris, 1644) Mersenne uvedl, že v intervalu od 1 do 257 jsou prvočísly M 2, M 3, M 5, M 7, M 13, M 17, M 19, M 31, M 67, M 127, M 257.
42 Marin Mersenne ( ), francouzský mnich (minorita), poštovní schránka,... Historik Henri Bosmans ( ): Informer Mersenne d une découverte, c était la publier par l Europe entière. V úvodu spisu Cogitata physico-mathematica (Paris, 1644) Mersenne uvedl, že v intervalu od 1 do 257 jsou prvočísly M 2, M 3, M 5, M 7, M 13, M 17, M 19, M 31, M 67, M 127, M 257. Chyby: M 67, M 257 nejsou prvočísla, M 61, M 89, M 107 jsou prvočísla F. Nelson Cole: číslo M 67 je složené dramatické vystoupení na zasedání AMS
43 Otevřený problém: je Mersennových prvočísel konečně nebo nekonečně mnoho? Do roku 1950 bylo známo 12 Mersennových prvočísel Roku 1951 bylo největší známé prvočíslo (39 cifer) M 127 =
44 Otevřený problém: je Mersennových prvočísel konečně nebo nekonečně mnoho? Do roku 1950 bylo známo 12 Mersennových prvočísel Roku 1951 bylo největší známé prvočíslo (39 cifer) M 127 = Do roku 2000 bylo známo 38 Mersennových prvočísel Nyní je známo 48 Mersennových prvočísel Číslo M má cifer (1996). Využití při zkouškách!
45 Otevřený problém: je Mersennových prvočísel konečně nebo nekonečně mnoho? Do roku 1950 bylo známo 12 Mersennových prvočísel Roku 1951 bylo největší známé prvočíslo (39 cifer) M 127 = Do roku 2000 bylo známo 38 Mersennových prvočísel Nyní je známo 48 Mersennových prvočísel Číslo M má cifer (1996). Využití při zkouškách! Číslo M má cifer (2016).
46 Otevřený problém: je Mersennových prvočísel konečně nebo nekonečně mnoho? Do roku 1950 bylo známo 12 Mersennových prvočísel Roku 1951 bylo největší známé prvočíslo (39 cifer) M 127 = Do roku 2000 bylo známo 38 Mersennových prvočísel Nyní je známo 48 Mersennových prvočísel Číslo M má cifer (1996). Využití při zkouškách! Číslo M má cifer (2016). Neuvěřitelný pokrok!
47 Francois Édouard Anatole Lucas ( ), francouzský dělostřelecký důstojník, gymnaziální profesor. Nalezl test pro zjištění prvočíselnosti Mersennových čísel.
48 Francois Édouard Anatole Lucas ( ), francouzský dělostřelecký důstojník, gymnaziální profesor. Nalezl test pro zjištění prvočíselnosti Mersennových čísel. Derrick Henry Lehmer ( ) test začátkem 30. let vytříbil. Definujme rekurentně posloupnost {S n }: S 1 = 4, S n+1 = S 2 n 2 pro každé n 1. Je tedy: S 1 = 4, S 2 = 14, S 3 = 194, S 4 = , S 5 = , S 6 = ,...
49 Francois Édouard Anatole Lucas ( ), francouzský dělostřelecký důstojník, gymnaziální profesor. Nalezl test pro zjištění prvočíselnosti Mersennových čísel. Derrick Henry Lehmer ( ) test začátkem 30. let vytříbil. Definujme rekurentně posloupnost {S n }: S 1 = 4, S n+1 = S 2 n 2 pro každé n 1. Je tedy: S 1 = 4, S 2 = 14, S 3 = 194, S 4 = , S 5 = , S 6 = ,... Lucasův-Lehmerův test. Pro liché prvočíslo p platí: M p je prvočíslo právě tehdy, když M p děĺı S p 1.
50 Francois Édouard Anatole Lucas ( ), francouzský dělostřelecký důstojník, gymnaziální profesor. Nalezl test pro zjištění prvočíselnosti Mersennových čísel. Derrick Henry Lehmer ( ) test začátkem 30. let vytříbil. Definujme rekurentně posloupnost {S n }: S 1 = 4, S n+1 = S 2 n 2 pro každé n 1. Je tedy: S 1 = 4, S 2 = 14, S 3 = 194, S 4 = , S 5 = , S 6 = ,... Lucasův-Lehmerův test. Pro liché prvočíslo p platí: M p je prvočíslo právě tehdy, když M p děĺı S p 1. Příklady. M 5 = 31 je prvočíslo právě tehdy, když 31 děĺı S 4 = M 7 = 127 je prvočíslo právě tehdy, když 127 děĺı S 6 =
51 Lemma. Položme w = 2 + 3, w = 2 3. Potom je w + w = 4, w w = 1. Pro každé n je S n = w 2n 1 + w 2n 1.
52 Lemma. Položme w = 2 + 3, w = 2 3. Potom je w + w = 4, w w = 1. Pro každé n je S n = w 2n 1 + w 2n 1. Důkaz indukcí. 1. Pro n = 1 je S 1 = w + w = Předpokládejme, že tvrzení platí pro n, dokažme jeho platnost pro n + 1. S n+1 = S 2 n 2 = (w 2n 1 + w 2n 1 ) 2 2 = = w 2n + w 2n + 2w 2n 1 w 2n 1 2 = w 2n + w 2n. Q.e.d.
53 Důkaz jedné implikace L-L testu. Předpokládejme že M p = 2 p 1 děĺı S p 1. Podle lemmatu je S p 1 = w 2p 2 + w 2p 2 = R M p. Po vynásobení w 2p 2 dostaneme a po umocnění w 2p 1 = w 2p 2 R M p 1 = A M p 1 w 2p = (A M p 1) 2 = B M p + 1. Předpokládejme, že je M p složené a q je nejmenší prvočíslo, které M p děĺı, potom q 2 M p.
54 Uvažujme množinu {a + b 3 ; a, b Z q }, která má q 2 prvků. Její prvky sčítáme a násobíme (podobně jako komplexní čísla). Uvažujme všechny invertibilní prvky této množiny. Je jich nejvýše q 2 1 a tvoří grupu. V této grupě je prvek w = prvkem řádu 2 p, neboť w 2p = 1, w 2p 1 1 (viz výše). Řád prvku je nejvýše roven řádu grupy, proto 2 p q 2 1 < M p = 2 p 1 spor. Dokázali jsme tedy, že když M p = 2 p 1 děĺı S p 1, pak je M p prvočíslo.
55 Výhodná modifikace L-L testu. Pro liché prvočíslo p definujme posloupnost {R n }: R 1 = 4, R n+1 je zbytek při dělení čísla R 2 n 2 číslem M p. Potom je M p prvočíslem právě tehdy, když M p děĺı R p 1.
56 Výhodná modifikace L-L testu. Pro liché prvočíslo p definujme posloupnost {R n }: R 1 = 4, R n+1 je zbytek při dělení čísla R 2 n 2 číslem M p. Potom je M p prvočíslem právě tehdy, když M p děĺı R p 1. Důkaz. Zvažme dělitelnost čísel S n a S n+1 číslem X. Je-li S n = ax + q, je S n+1 = S 2 n 2 = (a 2 X 2 + 2aXq) + q 2 2 Q. e. d.
57 Výhodná modifikace L-L testu. Pro liché prvočíslo p definujme posloupnost {R n }: R 1 = 4, R n+1 je zbytek při dělení čísla R 2 n 2 číslem M p. Potom je M p prvočíslem právě tehdy, když M p děĺı R p 1. Důkaz. Zvažme dělitelnost čísel S n a S n+1 číslem X. Je-li S n = ax + q, je S n+1 = S 2 n 2 = (a 2 X 2 + 2aXq) + q 2 2 Q. e. d. Posloupnost {S n } prudce roste: S 1 = 4, S 2 = 14, S 3 = 194, S 4 = , S 5 = , S 6 = ,... Posloupnost {R n } neroste; pro každé p je však jiná.
58 Příklady. p = 5: M 5 = 31 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 8, R 4 = 0.
59 Příklady. p = 5: M 5 = 31 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 8, R 4 = 0. p = 7: M 7 = 127 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 67, R 4 = 42, R 5 = 111, R 6 = 0.
60 Příklady. p = 5: M 5 = 31 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 8, R 4 = 0. p = 7: M 7 = 127 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 67, R 4 = 42, R 5 = 111, R 6 = 0. p = 11: M 11 = 2047 není prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 194, R 4 = 788, R 5 = 701, R 6 = 119, R 7 = 1 877, R 8 = 240, R 9 = 282, R 10 =
61 Příklady. p = 5: M 5 = 31 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 8, R 4 = 0. p = 7: M 7 = 127 prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 67, R 4 = 42, R 5 = 111, R 6 = 0. p = 11: M 11 = 2047 není prvočíslo: R 1 = 4, R 2 = 14, R 3 = 194, R 4 = 788, R 5 = 701, R 6 = 119, R 7 = 1 877, R 8 = 240, R 9 = 282, R 10 = L-L test se využívá k hledání dalších M p pomocí počítačů.
62 Důkazy beze slov Vhodné téma pro školskou matematiku Ukazují krásu matematiky, zejména geometrie. Propojují jednotlivé discipĺıny. Mohou okouzlit a inspirovat. Mohou získat sympatie k matematice. Dívej se (a přemýšlej)! Knihy i webové stránky na téma důkazy beze slov. Mathematics Magazine: okénko Proof without Words
63 Hippokratovy měsíčky Hippokratés z Chiu (asi 450 až 400), řecký matematik Obsah modrých měsíčků je roven obsahu žlutého trojúhelníka.
64 Archimédův arbelos Archimédés ze Syrákús ( ) Obsah modrého útvaru ohraničeného třemi polokružnicemi...
65 ... je roven obsahu žlutého kruhu.
66 Archimédův sálos, saĺınon Obsah modrého útvaru ohraničeného čtyřmi polokružnicemi...
67 ... je roven obsahu žlutého kruhu.
68 Výšky v trojúhelníku se protínají v jednom bodě
69 Výšky v trojúhelníku se protínají v jednom bodě
70 Součet geometrické řady
71 Součet geometrické řady Trojúhelníky PQR a TSP jsou podobné. 1 + r + r 2 + = 1 1 r
72 Součet obsahů čtverců nad úseky libovolně zvolených kolmých tětiv je konstantní.
73
74
75
76 Reciproká Pythagorova věta: ) 2 ( 1 2 = h) ( 1 a ) 2 + ( 1 b
77 Reciproká Pythagorova věta: ) 2 ( 1 2 = h) ( 1 a ) 2 + ( 1 b
78
79 Přejdeme k podobnému trojúhelníku: 1 : 1 ab
80 Přejdeme k podobnému trojúhelníku: 1 : 1 ab Obsah: 1 2 ab = 1 2 ch
81 Obsah pravoúhlého trojúhelníka: K = xy
82 Obsah pravoúhlého trojúhelníka: K = xy
83 Čtverec vepsaný do polokružnice a kružnice 2 : 5
84 Čtverec vepsaný do polokružnice a kružnice 2 : 5
Dokonalá čísla, zvláště to páté
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Kalsem, Kouty, 2017 becvar@karlin.mff.cuni.cz www.karlin.mff.cuni.cz/ becvar www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm Osnova 1 Dokonalá čísla
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 1
Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co
VíceMatematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 4
Historie matematiky a informatiky Cvičení 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Čísla speciálních tvarů a jejich
VíceDiskrétní matematika 1. týden
Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé
VíceHistorie matematiky a informatiky 2 8. přednáška
Historie matematiky a informatiky 2 8. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 12. listopadu 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Čísla speciálních
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572
VíceMatematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl
Prvočísla, dělitelnost Matematické algoritmy (11MAG) Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 2. přednáška 11MAG ponděĺı 7. října 2013 verze: 2013-10-22 14:28 Obsah přednášky Prvočísla
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +
VíceFibonacciho čísla na střední škole
Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods
VícePrvočísla, dělitelnost
Prvočísla, dělitelnost Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2013 verze: 2014-11-03 11:28 Obsah přednášky
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené
VíceHistorie matematiky a informatiky 2 7. přednáška
Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 5. října 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitoly z teorie
VíceMatematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl. verze: :29
Prvočísla, dělitelnost Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 2. přednáška 11MAG pondělí 7. října 2013 verze: 2013-10-22 14:29 Obsah 1 Prvočísla 1 1.1 Vlastnosti prvočísel...................................
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: A7B01MCS 3. října 2011: Základy elementární teorie čísel 1/15 Dělení se zbytkem v oboru celých čísel Ať a, b jsou libovolná celá čísla, b 0. Pak existují
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly
METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:
VíceDělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel
Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
VíceÚlohy krajského kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Určete všechny trojice celých kladných čísel k, l a m, pro které platí 3l + 1 3kl + k + 3 = lm + 1 5lm + m + 5. 2. Je dána úsečka AB,
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceKód trezoru 1 je liché číslo.
1 Kód trezoru 1 je liché číslo. Kód trezoru 1 není prvočíslo. Každá číslice kódu trezoru 1 je prvočíslo. Ciferný součet kódu trezoru 1 je 12. Druhá cifra kódu trezoru 1 je sudá, ostatní jsou liché. Jeden
VíceMATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
VíceHistorie matematiky a informatiky
Historie matematiky a informatiky 2018 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 22. 2. 2018 Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 1 Pýthagorás ze Samu, 6. stol. př. n. l.
VíceSčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444
ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní
VíceDefinujte Gaussovský obor. Vysvětlete, co přesně rozumíme jednoznačností rozkladu.
1.teorie(1bod) Formulujte princip matematické indukce. Napište základní větu aritmetiky. Napište Bézoutovu rovnost v oboru celých čísel. Definujte,coznamenázápis a b(mod n),auveďtezákladnívlastnosti. Napište
VíceDůkazy. D ů k a z y. Pavel Miškovský. (říjen 2001, úpravy duben 2004, srpen 2005) Obsah
D ů k a z y Pavel Miškovský (říjen 2001, úpravy duben 2004, srpen 2005) Obsah Úvod.......... 2 A. Důkaz výčtem všech možných případů...... 5 B. Přímý důkaz......... 6 C. Nepřímý důkaz......... 8 D. Důkaz
VíceMatematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1
1 of 9 20. 1. 2014 12:05 Matematická olympiáda - 48. ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7 Zadání úloh Z5 II 1 Do prostředního kroužku je možné zapsat pouze čísla 8
VíceJak funguje asymetrické šifrování?
Jak funguje asymetrické šifrování? Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Petr Vodstrčil
Více2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná
.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná Předpoklady: 0080 Př. : Doplň tabulku (všechny sloupce je možné vypočítat bez kalkulačky). 00 x 0 0,0004 00 900,69 6 8 x 0,09 0, x 0 0,0004 00 x 0 0,0 0 6 6 900 0 00
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 10. kapitola. Některé staré i nové problémy číselné teorie In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 106 115. Persistent
VíceAplikace matematiky. aneb Nedokonalosti dokonalé matematiky
Aplikace matematiky aneb Nedokonalosti dokonalé matematiky Petr Pupík 21. září 2015 K čemu je nám matematika? Matematika je jen počítání K čemu je nám matematika? Matematika je jen počítání Vše v matematice
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VícePRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná
PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceMatematický KLOKAN 2005 kategorie Junior
Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet
VíceMatematika pro informatiku 12
Matematika pro informatiku 12 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 2. května 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu L101 Použijte Ératosthenova
VíceMoravské gymnázium Brno s.r.o.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby
VíceTémata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA
Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
Vícepro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A
Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceMoravské gymnázium Brno s.r.o.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Autor Tematická oblast Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Elementární teorie čísel. Ročník 1. Datum
VícePrvočísla a čísla složená
Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
VíceAbundantní čísla. J. Nečas
MUNDUS SYMBOLICUS 25 (2017) Abundantní čísla J. Nečas Abstract. The article discusses the relationship between the natural number and the sum of its divisors, and according to it classifies the natural
VíceDefinice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský
Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceZáklady aritmetiky a algebry II
Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II 1. Lineární rovnice, řešení v tělesech Q, R, C, Z p, počet řešení v okruhu Z n, n N \ P. Grafické řešení, lineární nerovnice. 2. Kvadratická rovnice. Didaktický
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceA STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
VíceÚvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy
Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceTémata absolventského klání z matematiky :
Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceHistorie matematiky a informatiky
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika
VíceNechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace
Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 11 Nejmenší společný násobek Největší společný dělitel O čem budeme hovořit: Nejmenší společný násobek a jeho vlastnosti Největší
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceDělitelnost přirozených čísel - opakování
Dělitelnost přirozených čísel - opakování Do kolika různých obdélníků můžeme sestavit 60 čtvercových dlaždic tak, abychom vždycky spotřebovali všechny dlaždice a nerozbíjeli je? Závěr: Všichni tito dělitelé
VíceParadoxy nekonečna. Co analyzuje Matematická analýza? Nekonečné procesy. n(n + 1) + = n 2 + = π2 6
Přednáška 1, 3. října 2014 Přednáška z Matematické analýzy I má pět částí: 1. Úvod, opakování, reálná čísla. 2. Limita nekonečné posloupnosti. 3. Nekonečné řady. 4. Limita funkce v bodě a spojitost funkce.
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
65. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Pro přirozená čísla k, l, m platí k + m + klm = 05 404. Určete všechny možné hodnoty součinu klm. Řešení. I když rovnice v zadání
Více56. ročník Matematické olympiády
56. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. Řešení. Substitucí m = a, n = b převedeme rovnici
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná
VíceMatematika pro 9. ročník základní školy
Matematika pro 9. ročník základní školy Řešení Číselné výrazy 1. Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy
Více3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES
. OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem
VícePrvočíslo a Ulamova spirála
Gymnázium a SOŠ Cihelní 410, Frýdek Místek 73802 Prvočíslo a Ulamova spirála (Seminární práce z Matematiky) Monika Pistovčáková Matematika 13. listopad 2016 1 1. Úvod 3 2. Teoretická část.4 a. Co to je
VíceCo vedlo ke zkoumání řezů kuželové plochy?
Různé přístupy ke kuželosečkám Zdeněk Halas KDM MFF UK Parabola dle Apollónia Elipsa a hyperbola dle Apollónia Konstrukce elipsy proužková součtová Obsah elipsy Zdeněk Halas (KDM MFF UK) 1 / 35 Zdeněk
VíceAlgebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant
Algebra 2 Teorie čísel Home Page Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Page 1 of 103 Abstrakt.
VíceÚvod do kryptologie. 6. března L. Balková (FJFI ČVUT v Praze) Primality Testing and Factorization 6. března / 41
Testování prvočíselnosti L ubomíra Balková Úvod do kryptologie 6. března 2014 L. Balková (FJFI ČVUT v Praze) Primality Testing and Factorization 6. března 2014 1 / 41 Problémy 1 Primality problem: Rozhodni,
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 10 Dělení se zbytkem O čem budeme hovořit: Binární operace dělení se zbytkem v N Struktury zbytkových tříd podle modulu Seznámíme
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
63 ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1 Dokažte, že pro každé celé číslo n 3 je n-místné číslo s dekadickým zápisem druhou mocninou některého celého čísla 1 1 8
Více63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s
VíceZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I
1 ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I (Cvičení) 1. Úvod, jazyk matematiky V učebnici Lineární algebra pročítejte definice a věty, uvědomujte si jejich strukturu, i když prozatím neznáte a nechápete (aaniprozatímchápatnemůžete)jejichmatematický
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
S Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 s Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy s Doporučene zdroje Martin Panák,
VíceHledání rekordně velkých prvočísel
Hledání rekordně velkých prvočísel Martina Bekrová, Gymnázium Trutnov (to.zapomenu@gmail.com) Ondřej Bouchala, Gymnázium Komenského, Havířov (ondrej.bouchala@gmail.com) David Krška, Gymnázium J. V. Jirsíka,
VíceZáklady aritmetiky a algebry I
Základy aritmetiky a algebry I Základní literatura k předmětu: [BeDla] Bečvář J., Dlab V.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, 2016. Další literatura k předmětu: [Be] Bečvář J.: Lineární
VíceCykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.
Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Více2 Důkazové techniky, Indukce
Důkazové techniky, Indukce Náš hlubší úvod do matematických formalismů pro informatiku začneme základním přehledem technik matematických důkazů. Z nich pro nás asi nejdůležitější je technika důkazů matematickou
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
Více