1.5.7 Prvočísla a složená čísla

Transkript

1 17 Prvočísla a složená čísla Předpolady: 103, 106 Dnes bez alulačy Číslo 1 je dělitelné čísly 1,, 3,, 6 a 1 Množinu, terou tvoří právě tato čísla, nazýváme D 1 množina dělitelů čísla 1, značíme ( ) Platí: D( 1) = { 1,,3,,6,1} Př 1: Najdi množiny dělitelů čísel 1, 3,, 6, 7, 9, 1 a 18 Podle počtu dělitelů se přirozená čísla dělí do tří supin Navrhni rozdělení uvedených čísel D( 1) = { 1} D( 3) = { 1,3} D( ) = { 1,, } D( 6) = { 1,,3,6 } D( 7) = { 1,7} D( 9) = { 1,3,9 } D( 1) = { 1,,7,1} D( 18) = { 1,,3,6,9,18 } Dělení do supin: počet dělitelů se liší od 1 do 6 tři supiny nestačí na to, abychom v jedné supině měli čísla se stejným počtem dělitelů Postřehy: Všechna čísla jsou dělitelná jedničou první samozřejmý dělitel Všechna čísla jsou dělitelná sama sebou druhý samozřejmý dělitel Něterá čísla mají další dělitele tři supiny: Čísla s jedním dělitelem (jen jedniča, u teré oba samozřejmí dělitelé splývají v jednoho) Čísla se dvěma děliteli (čísla, terá mají pouze samozřejmé dělitele) Čísla s více než dvěma děliteli (čísla, terá mají i nesamozřejmé dělitele) Přirozená čísla můžeme rozdělit do tří supin: Prvočísla: všechna přirozená čísla, terá mají právě různé dělitele, jedniču a sami sebe (,3,,7,11,13,17,19) Složená čísla: všechna přirozená čísla, terá mají alespoň 3 různé dělitele (6, 9, 1 ) Jedniča: má pouze jednoho dělitele, supina sama o sobě, není ani prvočíslo ani složené číslo 1

2 Př : Najdi množinu dělitelů čísla 8 a rozhodni, do jaé supiny čísel patří D( 8) = { 1,,3,, 6,8,1,16,, 8} číslo 8 je složené Ja je číslo 8 složené? 8 = 1 8, 8 =, 8 = 3 16, 8 = 1, 8 = 6 8, více možností, ja jej rozložit na dělitele Zusíme poračovat v rozládání složených čísel v rozladech, doud nezísáme pouze prvočísla 8 = = 6 = 3 = 3 8 = 3 16 = 3 = 3 = 3 8 = 1 = 3 = 3 = 3 8 = 6 8 = 3 = 3 = 3 Zísali jsme prvočíselný rozlad Zdá se, že poud prvočísla seřadíme podle veliosti, je jednoznačný (nezáleží ja začneme, výslede je vždy stejný) Př 3: Najdi prvočíselný rozlad čísla = 30 = 1 = 3 60 = 1 = 3 60 = 6 10 = 3 = 3 Opět všechny cesty vedou e stejnému výsledu Věta (Záladní věta aritmetiy) Každé přirozené číslo n větší než 1, lze zapsat jediným způsobem ve tvaru 1 n = p r r 1 p p r, de p 1 < p < < p jsou prvočísla a r1, r,, r jsou přirozená čísla Př : Zapiš prvočíselný rozlad čísla 8 ve tvaru udávaném v záladní větě aritmetiy a zapiš hodnoty proměnných, p1, p,, p, r 1, r,, r 1 8 = 3 = ; p = p (rozlad obsahuje dvě prvočísla) p = ; r = ; p = 3 = p ; r = 1 = r 1 1 Př : Zapiš prvočíselný rozlad čísla 60 ve tvaru udáveném z záladní větě aritmetiy a zapiš hodnoty proměnných, p1, p,, p, r 1, r,, r 60 = 3 = 3 (rozlad obsahuje tři prvočísla)

3 p = ; p = 3; p = = p 1 3 r = ; r = 1; r = 1 = r 1 3 Pedagogicá poznáma: Předchozí dva přílady se možná zdají zbytečné, není to pravda Celý přílad nevyřeší bez rady většinou vůbec nido, asi třetina studentů najde oeficienty p1, p, r1, r Další najdou tyto oeficienty poud na tabuli napíšete pod 1 8 = 3 sebe: 1 n = p r r 1 p p r Význam oeficientu je pro ně zcela neprůhledný Studenti nejsou zvylí na matematicé vyjadřování v učebnicích a sami nemají snahu větě porozumět ta, aby věděli co jednotlivé oeficienty znamenají Navíc nemají ani žádnou tendenci se zeptat (protože je prý ve šole normální, učit se věci, teré jim nic neříají) Tento smutný fat je podle mě jedním ze záladních limitů jaéhooliv vysvětlování ve šole, na teré je nutné brát ohled Př 6: Urči číslo, pro jehož prvočíselný rozlad platí: p1 = 3; p = ; p3 = 7, r = ; r = 1; r = Napíšeme rozlad podle zadaných hodnot a vynásobíme ho: 3 7 = 31 Chceme najít prvočíselný rozlad důležité znát prvočísla (abychom věděli, de se zastavit s dělením) Př 7: Najdi všechna prvočísla menší než 0,3,,7,11,13,17,19, 3, 9,31,37, 1,3, 7 Pedagogicá poznáma: Je zajímavé, že ačoliv studenti odývají rozdělení čísel na prvočísla, složená čísla a jedniču jao bezproblémové, do seznamu prvočísel přidá polovina z nich i jedniču (a značné množství jich vynechá dvoju) Ačoliv je možné studenty donutit tomu, aby věci chápali (tím, že je musí počítat sami a nic jiného jim nezbývá), nenašel jsem zatím způsob, ja je přesvědčit, aby si něco pamatovali Každopádně je dobré jim připomenout, že poud se setají s něčím, co odporuje jejich zažitým představám (jedniču většinou považují za prvočíslo), je dobré si to zusit zapamatovat Je doázáno, že neexistuje největší prvočíslo V současnosti je největším nalezeným prvočíslem číslo 1 Vyjádření v desítové soustavě má číslic Ja úsporně zjistit, zda je 1 prvočíslo? Nejtupější a nejpomalejší postup: Zoušíme číslo 1 dělit postupně všemi čísly, terá jsou menší (, 3,,, 6,, 0) Poud všechna dělení vyjdou se zbytem, je číslo 1 prvočíslem 3

4 Př 8: Najdi vylepšení algoritmu pro ověřování prvočíselnosti Možné vylepšení: U čísla 1 nemusíme dělit až do 0, největší dělitel může být maximálně polovinou čísla (pro 1 onrétně maximálně 110) Nemusíme dělit složenými čísly, dělitelnost stačí ověřit na prvočíslech (poud je číslo napřílad dělitelné 6, je určitě dělitelné i 3 a, při rozdělování čísel se dostaneme až prvočíselnému rozladu, terý se sládá pouze z prvočísel) Dělitelé se uazují v párech (viz rozlady čísel 18 a 60 z počátu hodiny) Čím je jedno číslo v páru větší, tím je druhé menší největší dělitel se uáže v páru, de jsou číslo "co nejstejnější", v ideálním případě jsou čísla stejná (jao v rozladu 6 = 8 8 ) a rovnají se druhé odmocnině z čísla ( 6 = 8 ) Zoušíme dělit pouze čísly, terá jsou menší než druhá odmocnina z čísla, teré prověřujeme Při ověřování prvočíselnosti zoušíme dělit: jen prvočísly (v prvočíselném rozladu jsou jen prvočísla), terá jsou menší než odmocnina z prověřovaného čísla Ověřujeme prvočíselnosti čísla 1: 1 < 1 Nemá cenu zoušet prvočísla větší než 13, 3, není dělitelné podle znaů dělitelnosti 1: 7 = 3 1:11 = není dělitelné 7, není dělitelné 11, :13 = číslo 1 = není prvočíslo Dodate: Tři tečy u výpočtů s dělením naznačují, že dělení by mělo poračovat, ale dopočítávat výslede dělení je zbytečné, od chvíle, dy je jasné, že nevyjde beze zbytu Pedagogicá poznáma: Žáům zdůrazňuji, že dopočítávat dělení je zbytečné a ouám v průběhu následujícího příladu, zda tuto radu dodržují Př 9: Rozhodni, zda uvedená čísla patří mezi prvočísla a) 33 b) 397 c) 899 d) 93 a) < 00 < 0 Nemá cenu zoušet prvočísla větší než 19, 3, není dělitelné podle znaů dělitelnosti 33: 7 = 33:11 = není dělitelné 7, není dělitelné 11, :17 = 19 33:13 = není dělitelné 13, 13 číslo 33 = není prvočíslo 83 0

5 b) < 0 Nemá cenu zoušet prvočísla větší než 19,3,,7,11,13,17,19 - nejde číslo 397 je prvočíslo c) < 30 Nemá cenu zoušet prvočísla větší než 9,3,,7,11,13,17,19, 3, - nejde Číslo 899 není prvočíslo, protože 899 = 9 31 d) < 31 Nemá cenu zoušet prvočísla větší než 9,3,,7,11,13,17,19, - nejde Číslo 93 není prvočíslo, protože 93 = 3 1 Př 10: Mezi prvočísly se vysytují dvojice prvočíselných dvojčat prvočísel p, p + lišících se o Jaý je společný dělitel čísel p + 1 ležících mezi nimi? Mezi prvočísly do 0 jsou to dvojice:, 7 11, 13 17, 19 9, 31 1, 3 Číslo mezi nimi je dělitelné 6 p, p + 1, p + - trojice čísel jdoucích po sobě rajní jsou lichá p + 1 je sudé, rajní nejsou dělitelná 3 p + 1 je dělitelné třemi, p + 1 je dělitelné šesti Prvočísla mají velý význam pro šifrování, napřílad asymetricá šifra RSA je založena na tom, že: součin prvočísel jde spočítat snadno (šifrování), rozlad součinu na prvočísla je pomalý (rozšifrování) Př 11: Rozhodni s pomocí alulačy, zda je číslo prvočíslo Řešení v následující hodině Shrnutí: Složená čísla jsou jednoznačně rozložitelná na prvočíselný rozlad Jedniča mezi prvočísla nepatří