Wienův oscilátor s reálným zesilovačem

Wienův oscilátor s reálným zesilovačem Josef Punčochář, VŠB - TU Ostrava, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Katedra elektrotechniky Wienův oscilátor je snad nejpoužívanějším typem oscilátoru RC. Při analýze tohoto obvodu se běžně předpokládá, že použitý zesilovač je ideální. V praxi se ovšem ukazuje, že tento předpoklad je splněn pouze pro nečekaně nízké frekvence. V článku jsou popsány vlastnosti Wienova oscilátoru s reálným zesilovačem, který je realizován klasickým operačním zesilovačem (VFA - přesněji zdroj napětí řízený diferenčním napětím) nebo zesilovačem s proudovou vazbou (CFA - přesněji zdroj napětí řízený proudem nebo transimpedanční zesilovač). Obecně však může být zesilovač realizován jakkoliv - elektronkami, tranzistory nebo jinými moderními zesilovacími strukturami. 1. Úvod Pokud není amplituda oscilací limitována, lze oscilátor zkoumat jako lineární obvod. Podmínka rozkmitání je definována Barkhausenovým vztahem, např. [1], ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 (1) kde ( ) definuje přenos zesilovače a ( ) přenos selektivního zpětnovazebního obvodu; a jsou odpovídající fázové posuvy. Musí být proto splněna modulová podmínka ( ) ( ) 1 a fázová podmínka + 0. Realizace oscilační struktury s Wienovým článkem a zesilovačem K je na obr. 1. Zkoumána je v praxi nejběžnější varianta se "stejnými hodnotami RC". Přenos Wienova článku (p jω) je definován vztahem ( ) ( ) ( 2 ) 1

kde (3) je normovaný kmitočet a (4) je charakteristický kmitočet Wienova článku. K R C U W C R UO Obr.1: Oscilátor s Wienovým článkem Uvažujme nyní ideální zesilovač (nekonečný vstupní odpor, nulový výstupní odpor) s frekvenčně nezávislým přenosem K 0. Pro "nasazení " oscilací musí platit na reálné oscilační frekvenci 1 tedy 1 +j (3 K ) 0 (5) Pro ideální zesilovač proto musíme zajistit K 0 3, potom ( ) 1, tedy (6) Oscilátor kmitá právě na charakteristické frekvenci. Fázový posuv Wienova článku je nulový a jeho přenos je roven hodnotě 1/3. 2

2. Zesilovač K s jedním pólem přenosu Uvažujme nejjednodušší reálnou situaci, kdy je přenos zesilovače (stále uvažujeme nekonečný vstupní odpor a nulový výstupní odpor) definován vztahem ( ) (7) je pól přenosu zesilovače (pokles přenosu o 3 db, horní kmitočet zesilovače) normovaný vůči charakteristické frekvenci. Snadno určíme modul přenosu ( ) (8) i fázi přenosu zesilovače ( ) (9) Ze vztahu (2) určíme modul přenosu Wienova článku [( ) ( ) ] (10) a fázi (11) Pro rozkmitání (kmitání) oscilátoru proto musí platit na oscilačním kmitočtu : ( ) ( ) 1 tedy požadované zesílení je 3 1+( ) 1+[(1 ) (3 )] (12) a musí platit [(1 ) (3 )] ( ) 0 (13) 3

Reálný zesilovač vnese do zpětnovazební smyčky nežádoucí fázový posuv <0, oscilační podmínky budou splněny pro + 0, tedy pro ( ); tam již ovšem poklesne přenos Wienova článku (i zesilovače) a musíme zajistit větší hodnotu zesílení. Předpokládejme nyní pouze oblast "malých chyb", kdy platí 1, proto 1. Potom můžeme použít přibližné vztahy: ( ) ; [(1 ) (3 ) ] (1 ) (3 ) Ze vztahu (13) potom snadno zjistíme, že Je zřejmé, že výchozí předpoklad bude splněn pro 3. Za této podmínky lze určit ze vztahu (12) pro požadované 1+0,5 pro 1 ) (14) (přibližný vztah 1+ 3 1+ ( ) (15) Výsledky ze vztahů (14) a (15) jsou zachyceny v tabulce 1. 3 1 0 1000 0,9985 2,99.10-6 3000 500 0,9970 1,19.10-5 1500 300 0,9950 3,30.10-5 900 200 0,9926 7,39.10-5 600 150 0,9901 1,31.10-4 450 75 0,9806 5,13.10-4 225 50 0,9713 1,13.10-3 150 30 0,9535 3,03.10-3 90 20 0,9325 6,52.10-3 60 15 0,9129 1,11.10-2 45 10 0,8771 2,31.10-2 30 Tabulka 1. Výsledky obdržené ze vztahů (14) a (15); - viz vztah (20) 4

Je zřejmé, že pro >10 se potřebné hodnoty zesílení mění jen nepatrně. Ovšem oscilační frekvence poklesne o 1 % při 150 a o 10 % při 15! To je velmi důležité zjištění. Kvalitativní zobrazení fázových poměrů je na obr.2. [rad] r pro 3 15 r pro 3 50 0,08 0,06 - k ; 3 15 0,04 0,02 - k ; 3 50 0-0,02 0,9 90 0,95 1 1,05 05 1,1-0,04-0,06-0,08 Obr. 2: Kvalitativní znázornění fází pro 0,9; 1,1 - vliv horního kmitočtu zesilovače 3. Zesilovač K realizován klasickým operačním zesilovačem Realizace neinvertujícího zesilovače s klasickým OZ je na obr. 3. Pro přenos platí známý vztah ( např. [2, 5, 6]) kde / (16) 1+ / (17) Dosadíme-li za zesílení A operačního zesilovače jednopólový model 5

(18) R f R g OZ Obr.3: Realizace zesilovače klasickým OZ kde je extrapolovaný tranzitní kmitočet, zjistíme že /, tedy normovaný kmitočet (19) / (20) se mění se změnou, ať už měníme R f nebo R g. Znamená to, že požadované a jsou spolu provázány; změna jednoho parametru vede i ke změně parametru druhého. Pro >10 jsou ovšem změny nepatrné, pro výpočet stačí uvažovat 3. Potom (14a) a do Tabulky 1 můžeme doplnit poslední sloupec 3. Znamená to, že s klasickým OZ dosahujeme chybu 10% při ω ω 45 a chybu 1% při ω ω 450! - viz i [7], kde se bez odvození uvádí pro chybu 10% potřebná hodnota 43. Skutečný zesilovač byl realizován s OZ LM741 (f T 1MHz). Výstup byl výkonově posílen komplementárními tranzistory (BC546B, BC556B), byla použita jednoduchá žárovková stabilizace amplitudy (U om 10 V). Výsledky experimentu jsou shrnuty v Tabulce 2. Pro velké hodnoty f T / f 0 určuje přesnost oscilačního kmitočtu spíše přesnost použitých součástek ve Wienově článku (při experimentu byly použity prvky s tolerancí 1 %). Jednoduchý vztah (14a) vystihuje realitu poměrně dobře. 6

RC f 0 f r f r / f 0 k f T / f 0 r μs Hz Hz - % - - 737.8 209,77 209 0,996 0,8 4767 0,9991 106,2 1498,4 1490 0,994 1,5 667,4 0,9933 30,35 5244,3 5060 0,965 2,8 190,7 0,9772 17,74 10800 10180 0,943 11 92,59 0,9547 Poznámky MĚŘENO (14a) Tabulka 2. Naměřená data pro reálný oscilátor, 1 1+9 / ; k - činitel nelineárního zkreslení S růstem frekvence oscilací ovšem významně narůstá zkreslení. I při konstrukci oscilátoru totiž musíme respektovat konečnou rychlost přeběhu ρ zesilovače, viz např. [5], musí platit, že oscilační kmitočet je menší než mezní výkonový kmitočet f P : < (21) kde je amplituda oscilací. Pro LM741 je ρ 0,5 V/μs a proto, 7958 Hz. Prudký nárůst zkreslení mezi 5 khz a 10 khz je tedy objasněn. Zajímavé experimentální výsledky se slavnou 741 jsou obsaženy v [8] - Tabulka 3. Opět se počítá s hodnotou f T 1MHz, a s poněkud optimistickou rychlostí přeběhu 0,8V/μs. RC f 0 f r f r / f 0 k U om f T / f 0 r f P μs khz khz - % V - - khz 9,52 16,72 15,6 0,933 0,99 8,2 59,81 0,932 15,5 2,70 53,89 46,9 0,870 1,58 2,7 16.96 0,808 47,2 1,80 88,42 64,1 0,725 1,88 2,1 11,31 0,761 60,6 Poznámky MĚŘENO (14a) (21) Tabulka 3. Experimentální výsledky [8] a teoreticky získané hodnoty 7

Je zřejmé, že vztah (14a) stále dostatečně vystihuje vlastnosti oscilátoru s reálným operačním zesilovačem. Vliv rychlosti přeběhu je kompenzován zmenšováním amplitudy oscilací na vyšších frekvencích. Tento přístup je ovšem poněkud nepraktický, zvláště při požadavku na přeladitelnost oscilátoru. 4. Zesilovač K realizován transimpedančním zesilovačem Zapojení s transimpedančním zesilovačem má stejnou konfiguraci jako zapojení na obr. 3. Pro přenos platí, např. [5, 6], že / / (22) kde Z je transimpedance struktury: (23) je "stejnosměrná" hodnota transimpedance, popisuje frekvenční závislost - dominantní pól transimpedance. Z uvedeného lze snadno určit, že / (24) a není tedy (ideálně) funkcí odporu R g. Měníme-li tedy 1+ / změnou R g, zůstává konstantní (přibližně - viz např. [5]) a je možné přímo používat vztahy (14) a (15). Některé experimentální výsledky jsou uvedeny v [9]. Autoři ovšem pracují poněkud nepřesně s pojmy a při porovnávání klasického "VFA" (OP-27; f T 8 MHz) s dynamickým obvodem "CFA" (AD844; nastavují f 3 8 MHz - pomocí ). Velké hodnotě f 3 8 MHz ovšem odpovídá ještě větší ekvivalentní hodnota f TE 3 8 24 MHz. Přesto je jednoznačně uvedeno, že pro AD844 s nastavenou hodnotou f 3 8 MHz a f 0 4,42 MHz kmitá obvod reálně na frekvenci f r 2,71 MHz, tedy f r / f 0 0,6131. Platí 8/4,42 1,81 a ze vztahu (14) určíme 0,6134. Pro a f 0 1,26 MHz obvod reálně kmital na frekvenci f r 1,11 MHz, tedy f r / f 0 0,881; ze vztahu (14) určíme 1 1+3/(8/1,26) 0,824. 8

Pro OP-27 a f T 8 MHz byla pro f 0 4,42 MHz zjištěna f r 1,24 MHz, tedy f r / f 0 0,2805; nyní ovšem 8/4,42 1,81 a ze vztahu (14a) zjistíme, že 0,4092. Jednoduchý vztah pro tyto malé hodnoty nevyhovuje, neplatí zde již výchozí předpoklad 3. Pro velké odchylky f r od f 0 totiž významně klesá přenos Wienova článku (i zesilovače), výchozí zesílení musí být značně větší, existuje silná interakce mezi zesílením a reálným oscilačním kmitočtem, přesněji viz např. [10]. Musíme si ovšem uvědomit, že v rámci srovnatelné technologie mají CFA struktury mnohonásobně větší rychlosti přeběhu než klasické OZ a frekvence f 3 mohou nabývat hodnot stovek MHz. 5. Závěr Z úvah udělaných v článku je zřejmé, že v praxi je volba >15 velmi dobrým řešením. Potřebná hodnota zesílení 3 a lze použít vztah (14), pro praxi ve vhodnější podobě 1+3 / Pro 15 je chyba frekvence asi 10% a až pro 150, tedy 450, klesá tato chyba na hodnotu 1%! Teprve nyní hraje dominantní roli přesnost použitých pasívních součástek. Hlavní předností struktur "s proudem na vyžádání" (CCII, CFA, VFA based on CFA) je velká rychlost přeběhu a velké hodnoty ω - v porovnání se zesilovači klasickými. Rychlost přeběhu (je důsledkem limitace proudu v zesilovači) souvisí zejména se zkreslením zesilovače. Lze zde aplikovat "Hi-Fi" kritérium, např. [5]: < 4 ž 8 2 (4 ž 8) Tím je zajištěno, že se zkreslovací mechanismus vyvolaný limitací proudu prakticky neuplatní. Nejsou tak ovšem potlačeny jiné typy zkreslení použitého zesilovače. Pokud požadujeme přeladitelný oscilátor, musí být všechny požadavky splněny i pro maximální pracovní kmitočet. Nastavování amplitudy s růstem frekvence je prakticky nepřijatelné. 9

V praxi je vždy nutné použít obvod pro stabilizaci amplitudy. Teprve s tímto obvodem oscilátor spolehlivě pracuje a je schopen přelaďování. Při vhodném návrhu totiž automaticky zaručuje dodržení oscilačních podmínek i při značných odchylkách od ideálně předpokládaného stavu. 6. Dodatek vliv dolního kmitočtu zesilovače V předchozím textu je analyzován vliv horního kmitočtu zesilovače. Pokud ovšem použijeme zesilovač s diskrétními prvky, bude (oddělovací kapacity) jistě definován i dolní kmitočet ; přenos v okolí tohoto kmitočtu je dán vztahem ( ) ( ) Pomocí stejné metodiky jako v předchozím textu snadno určíme, že v oblasti malých chyb (cca do 10%) platí 1+3. Tedy 1+3 /. Požadované zesílení je 3 [1+ (3+1/ ) ]; viz numerické údaje v tabulce 4. 3 0 1 0 0,001 1,0015 2,99.10-6 0,002 1,0030 1,19.10-5 0,007 1,0104 1,44.10-4 0,015 1,0223 6,45.10-4 0,020 1,0296 1,13.10-3 0,030 1,0440 2,48.10-3 0,050 1,0724 6,52.10-3 0,070 1,1000 1,21.10-2 0,100 1,1402 2,31.10-2 Tabulka 4. Numerické výsledky pro vliv dolního kmitočtu zesilovače Je zřejmé, že vazební kondenzátory musí být navrženy tak, aby při minimální požadované oscilační frekvenci platilo <0,07, tedy < /15 - tomu odpovídá chyba frekvence (zde zvětšení) menší než 10%. Fázové poměry v oblasti malé chyby jsou orientačně znázorněny na obr. 4. 10

[rad] 0,08 0,06 r pro d 1/50 r pro d 1/20 0,04 0,02 0-0,02-0,04 0,9 90 0,95 1 1,05 05 k; d 1/50 1,1 k; d 1/20-0,06-0,08 β Obr. 4: Kvalitativní znázornění fázových poměrů - vliv dolního kmitočtu zesilovače 6. Literatura [1] Gonzales, G.: Foundations of oscillator circuit design. Artechhouse: Boston/London, 2007, www.artechhouse,com [2] Mohylová, J., Punčochář,J.: Theory of electronic circuits. VŠB - TU Ostrava, Ostrava 2013, ISBN 978-80-248-3112-1 [3] Sedra, S.A., Smith, C.K.: Microelectronic circuits. OXFORD UNIVERSITY PRESS, 2004, ISBN 0-19-514212-7 [4] Punčochář, J.: Stabilizace amplitudy kmitů oscilátoru diodami v obvodu kladné zpětné vazby. Sdělovací technika, 1978, č. 11, str. 403-404 [5] Punčochář, J.: Operační zesilovače v elektronice (5. vydání). BEN, Praha 2002, ISBN 80-7300-059-8 11

[6] Punčochář, J.: Operační zesilovače - historie a současnost. BEN, Praha 2002, ISBN 80-7300-047-4 [7] Mancini, R., Palmer, R.: Sine-Wave Oscillators. SLOA060, Texas Instruments, March 2001 [8] Huertas, J. L., Rodriguez-Vazgues, A., Perez-Verdu, B.: High frequency design of sinusoidal oscillator realised with operational amplifiers. IEE Proceedings, PtG 1984, Vol. 131, str. 137-140 [9] Celma, S., Martinez, A. P., Carlosena, A.: Current Feedback Amplifiers Based Sinusoidal Oscillators. IEEE Transactions Circuits and Systems - I: Fundamentals and Aplications, 1994, Vol. 41, No. 12, str. 906-908 [10] Punčochář, J.: Wien - bridge oscillator with real op amp. In Proceedings of Radioelektronika 2001, BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY,2001, ISBN 80-214-1861-3, str. 119-122 12